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2026年河北省部分高中高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.设全集，集合，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.若函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
4.为了给顾客提供更好的服务，某饭店对年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额单位：元都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 顾客平均每次的消费金额的中位数小于元
C. 顾客平均每次的消费金额的极差介于元至元之间
D. 顾客平均每次的消费金额的平均数为元
5.已知函数的最小正周期为，则( )
A. B. C. D.
6.已知某圆锥与圆柱的底面半径均为，高分别为，，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若，则圆锥的体积与圆柱的体积的大小关系为( )
A. B. C. D. 不确定
7.已知函数，，若对任意的，，，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 在上的投影向量为
C. 与夹角的余弦值为 D. 若与垂直，则实数
10.已知直线：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线与圆相交
B. 直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为
C. 若圆上恰有三个点到直线的距离等于，则这样的直线有两条
D. 若，，是圆上任意一点，则
11.欧拉函数由瑞士数学家莱昂哈德欧拉提出，记作，表示不大于的正整数中与互质的数的个数，例如，若数列满足，则下列说法正确的是( )
A. 数列是递增数列 B.
C. D. 不可能是，的等差中项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线：的焦点为，准线为，过且与的对称轴垂直的直线交于，两点，则 ．
13.国家发展改革委等部门印发的电动汽车充电设施服务能力“三年倍增”行动方案年中提出，到年底，在全国范围内建成万个充电设施，提供超亿千瓦的公共充电容量，满足超过万辆电动汽车充电需求，实现充电服务能力的翻倍增长已知某城市现有万个充电桩，为响应国家号召，打算接下来一年内新建万个充电桩，此后每年新建的数量都比上一年增加，若该城市计划将充电桩总量提升至万个，则至少需经过 年结果保留整数，参考数据：
14.已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，已知内角，，对应的边分别为，，，且满足．
当时，求；
若，当取最大值时，求．
16.本小题分
甲、乙两名同学进行投篮游戏，两人各投一次称为一轮，投中记分，投不中记分，甲、乙每次投中的概率分别为，且每次投篮结果都相互独立，共进行轮游戏，总分多者获胜，相等为平局．
求甲获胜的概率；
游戏结束后，记甲、乙两名同学的得分之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，已知是等腰直角三角形，，是边长为的正三角形现将沿对角线折起到的位置．
在翻折过程中，记点到平面距离最大时的点为点．
求点翻折到点的轨迹长度；
求平面与平面所成二面角的正弦值．
若平面，是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小值；
设，，求证：．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，点在上．
求的方程．
已知，是椭圆上的点，是上一点，若线段，的中点都在上，记．
当点运动时，证明：的面积是定值；
求的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，由正弦定理得，则，
即，得，由可得，
又，所以；
由可得，则，所以，
当且仅当时，取得最大值，
由及，得，此时，
又，所以．
16.解：设甲、乙三轮总得分为、，且、服从二项分布，
，，，；
，，，；
甲获胜的概率；
可能的取值为，，，，，，，
，；
；
；
；
；
；
随机变量的分布列为：
．
17.解：取的中点，则，
翻折时，，且点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，
当到平面距离最大时，平面平面，此时，
故所求的轨迹长度为．
由可知、、两两相互垂直，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，
平面的法向量为，则，即，
取，
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以，
故平面与平面所成二面角的正弦值为．
因为平面，且，
所以，，两两互相垂直，
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
作关于平面的对称点，则，且，
所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
故原问题转化为求到平面距离的最小值，
而，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，即，
取，
所以点到平面的距离，
故的最小值为．
18.解：函数的定义域为，求导得，
令，求导得，
函数，即在上单调递增，而，则当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此；
证明：由得，
则当时，，当，时，取，
可得，
即，
则
，
因此．
19. 解：由椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，
可得，，
因为，所以，整理得，结合，
得，即，
所以，代入得，解得，则，
所以椭圆的方程为：；
证明：设，在上，
则，的中点为在上，
代入得，整理得，
代入得，整理得，
因为在上，则，在上，则，
联立，整理得，
联立，整理得，
因此，在直线：上，
联立，得，则，
，
直线的斜率为，
则，
点到的距离，
则，
因为即，代入得，
即的面积是定值．
解：设，则，
，
故，
联立直线与椭圆，消去整理可得，
所以，．
由知，
结合，
于是．
因为，所以，
所以．
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