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高二数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若 则 在处的瞬时变化率为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（ ）
A B. C. D.
3. 某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为（ ）
A. 120 B. 180 C. 240 D. 320
4. 设点为函数图象上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 2026
7. 若函数 在x∈[0，a]上存在唯一的极大值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若是定义在R上的函数，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
提示：若函数满足，则，其中为常数
A. R上既有极大值又有极小值
B. 在R上有极大值没有极小值
C. 在R上有极小值没有极大值
D. 在R上没有极值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 展开式中含项的系数为
C.
D.
11. 已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（ ）
A. 若f（x）的极大值点为1，则a=1
B. 若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0
C. 当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方
D. 若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算 ______
13. 已知曲线在处的切线l也是曲线 的切线，则实数_______
14. 若存在实数t，使得对于，则m的最大值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若圆锥内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为r，高为x.
（1）试将表示成关于x的函数；
（2）求圆锥体积的最小值.
16. 某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题：
（1）共有多少种不同的安排方案
（2）若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案
17. 已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256.
（1）求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数；
（2）求展开式中所有有理项；
（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.
18. 已知函数.
（1）若函数在定义域上单调，求的最大值；
（2）若函数存在两个极值点.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明:
19. 已知函数，其中a为正实数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若时，.
（i）求的取值范围；
（ii）当取最大值时，若为正实数，且，证明：.
高二数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若 则 在处的瞬时变化率为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【详解】 ，
将代入导函数得 ，
因此在处的瞬时变化率为.
2. 某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】若选择的门课程为人文社科、自然科学，则有种选法，
若选择的门课程为人文社科、艺术体育，则有种选法，
若选择的门课程为自然科学、艺术体育，则有种选法，
由分类计数原理可知，不同的选课方案种数为.
3. 某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为（ ）
A. 120 B. 180 C. 240 D. 320
【答案】C
【解析】
【详解】因为甲、乙不负责模型训练，则需要从另外4人中选出1人负责模型训练，共有种情况，
然后从剩下的5人中选出3人负责另外三项任务，共有种情况，
再根据分步乘法计数原理可得符合要求的安排方案种数为种.
4. 设点为函数图象上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵，
∴，
∴，即，
∴.
又点为函数图象上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，
∴，
∵，
∴.
5. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象，直接写出单调区间，进而得出在区间上的符号，即可求解.
【详解】由图知函数的减区间为，，增区间为，
和分别是的极小值点和极大值点，
所以当时，，当时，，
当和时，，
又由图知时，，时，，
又等价于，所以的解集为.
6. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】求导，然后分别化简，即可求解.
【详解】由于
，所以，
又，
故
，
则，
所以.
7. 若函数 在x∈[0，a]上存在唯一的极大值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】已知函数，求导得，
令，即，解得或，
易知是函数的第一个极大值点，是第二个极大值点，
若要满足函数在上存在唯一的极大值点，实数的取值范围为，故A正确.
8. 若是定义在R上的函数，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
提示：若函数满足，则，其中为常数
A. 在R上既有极大值又有极小值
B. 在R上有极大值没有极小值
C. 在R上有极小值没有极大值
D. 在R上没有极值
【答案】A
【解析】
【分析】构造，求导可得，进而可得，进而得，即可利用导数求解单调性得解.
【详解】根据题意，，故，
又，故，
令，则，
即，故，
由于，故，则，
从而，故，
则，
记，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
又，
因此存在使得，且当和时，当，
故和时，当，
所以在和处分别取到极小值和极大值，因此既有极大值又有极小值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
10. 已知 则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 展开式中含项的系数为
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合赋值法来求解各项系数.
【详解】已知，令，
则，即，选项A正确；
展开式通项公式为，（其中），
要求的系数，令，解得，
当时，，
所以展开式中含项的系数为，选项B错误；
令，可得，
即①，
令，可得，
即②．
①＋②得：，
则，选项C正确；
对两边求导，
可得，
令，则，
即，又因为，所以
，选项D错误.
11. 已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（ ）
A. 若f（x）的极大值点为1，则a=1
B. 若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0
C. 当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方
D. 若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【详解】，的定义域为
对于A，的极大值点为1，，即，解得
当时，
当时，，单调递增；当时，，单调递减
是的极大值点，故A选项正确.
对于B，由可得，可求得
设，则
令，则，解得
当时，，单调递增；当时，，单调递减
在处取得极大值，也是最大值，
当时，；当时，
当在定义域上有唯一解时，或，故选项B错误.
对于C，当时，
设
则
令,解得
当时，，单调递增；当时，，单调递减
当在处取得极大值，也是最大值，
，即
曲线恒在直线l的下方，故选项C正确.
对于D，当时， ，则
直线 的斜率为
令，即，解得
当时，，则曲线在点处的切线与直线l平行
直线 ，直线 ，
则点到直线l的距离
的最小值为，故选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算 ______
【答案】
【解析】
【详解】．
13. 已知曲线在处切线l也是曲线 的切线，则实数_______
【答案】或
【解析】
【分析】求曲线在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.
【详解】对曲线，由，故切点为，
又，所以切线的斜率，故切线的方程为，即；
由切线也是曲线的切线，设切点为，又，
则，解得或，
所以实数的值为或.
14. 若存在实数t，使得对于，则m的最大值为______
【答案】4
【解析】
【分析】利用特殊值思路当时，为的公共零点，再利用导数确定单调性并分析的符号求得的范围.
【详解】当时，，当且仅当时取等号，
设函数，，取，则为的公共零点，
函数，求导得，由，得；
由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，函数在上单调递增，，
当时，，则；
当时，，则，
因此，，当时，，则，
而恒成立，则，即，
所以的最大值为4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若圆锥的内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为r，高为x.
（1）试将表示成关于x的函数；
（2）求圆锥体积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过圆锥与内接圆柱的轴截面，利用相似三角形对应边成比例得到关于的函数.
（2）先求圆锥体积公式，再对其求导，根据导数判断单调性进而求出最小值.
【小问1详解】
因为圆锥的内接圆柱的轴截面为边长2的正方形，则圆柱底面半径为，高为，
由题意作图如下，根据图形可知：圆锥的轴截面为等腰三角形，其内接圆柱的轴截面为边长为的正方形，
易得， 则，整理得 ：，
即.
【小问2详解】
由（1）可知，，
则，
对求导可得： ，
令，可得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
因此在处取极小值，也就是最小值，
故.

16. 某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题：
（1）共有多少种不同的安排方案
（2）若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案
【答案】（1）150 （2）100
【解析】
【小问1详解】
将5人分配给3种模型，每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，安排方案有两种：
方案1（3，1，1型），共有种安排方案；
方案2（2，2，1型），共有种安排方案.
故共有安排方案种.
【小问2详解】
依题意，可从对立事件的方法数考虑.
由（1）可知，若无任何限制，则总方案数为150种.
①若甲、乙调研同一模型，有两种情况：
甲、乙与另外一人调研同一种模型，有种安排方案；
只有甲、乙两人调研同一种模型，有种安排方案；
所以甲、乙调研同一模型，共有种安排方案.
②若ChatGPT模型由3人负责，有种安排方案.
③若甲、乙调研同一种模型，且ChatGPT模型由3人负责，有种安排方案.
综上，共有种安排方案.
17. 已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256.
（1）求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.
【答案】（1），展开式中第5项的二项式系数为；
（2），，，，； （3）1792.
【解析】
【分析】（1）先列方程，求解，再代入展开项第5项的值，求二项式系数；
（2）先确定有理项中的范围，再求解有理项；
（3）利用系数的单调性，求出系数的最大值即可.
【小问1详解】
二项式系数和为，所以
展开式中第5项的二项式系数为
【小问2详解】
当，时，展开项为有理项
因为且，所以展开项为有理项时
【小问3详解】
设第项的系数为，则
所以
当时，，，即；
当时，，，即；
当时，，，即；
综上，当取最大值时，或
所以展开式中各项系数的最大值为1792.
18. 已知函数.
（1）若函数在定义域上单调，求的最大值；
（2）若函数存在两个极值点.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明:.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用给定单调确定恒成立的不等式求出的范围，再利用导数求出函数的最大值.
（2）（i）由有两个不等的正根列式求出的范围；
（ii）化简不等式的左边，利用分析法、换元并构造函数，利用导数证明不等式.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
由函数在上单调，得，恒成立，
或，恒成立，而当时，，
因此对不可能恒成立，则，，
而，当且仅当时取等号，则，
令，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以的最大值为.
【小问2详解】
（i）由（1）知，有两个不等的正根，则，解得，
所以a的取值范围是.
（ii）由（i）得，
要证，即证，
令，即证，令函数，
求导得，函数在上单调递增，
因此，即成立，
所以.
19. 已知函数，其中a为正实数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若时，.
（i）求的取值范围；
（ii）当取最大值时，若为正实数，且，证明：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（2）（i）求出，设，则可转化为，设，分别按照和 讨论，借助单调性及恒成立的不等式求出的取值范围；（ii）由（i）确定在上单调性，由结合单调性推理得证.
【小问1详解】
，，，
，切点为，
，
，，
曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
（i），
，
设，，，，
可转化为，
设，，
当时，即时，，，
，在上是单调递增函数；
，满足条件；
当时，即时，
的两个根为，且，
则当时，，，
，在上是单调递减函数；
，不满足条件；
综上可知，的取值范围是；
（ii）的取值范围是，的最大值为，
，，
在上是单调递增函数，
，
，
，，
不妨设，则，则，
，，，
，，
，
.

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