资源简介

2026 年九年级学业质量检测数学试题
（满分150分 时间120分钟 ）
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1. 2026的相反数是（ ）
A. 2026 B. 2026 C. D.
2.如图 1 为云纹青铜大铙，它是西周乐器、鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了我国古代青铜文化曾经的历史和辉煌。图 2 为其示意图，它的左视图是（ ）
3.山东省大力建设数字基础设施，全省数据中心标准机架规模预计达到456000架，为人工智能、大数据、云计算提供坚实算力支撑。将456000用科学记数法表示为（ ）
A. 4.56×104 B. 4.56×105 C. 456×104 D. 0.456×106
4.下列济南特色图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 泉标 B. 荷花 C. 解放阁 D. 黑虎泉虎头
5.如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC=70 ，则∠EDC等于（ ）
A. 40 B. 30 C. 20 D. 10
6.下列运算正确的是（ ）
A. (a 1)2=a2 a+1 B. (3a2)3=9a6 C. a4·a2=a8 D. a5÷a3=a2
7.若点( 2,y1)，(1,y2)，(3,y3)在反比例函数y=(k<0)图象上，则y1,y2,y3 的大小关系是（ ）
A.y2＜y3＜y1 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y1＜y2＜y3
8.在项目化学习中，“水是生命之源” 项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点D，作射线AD交BC于点E；②分别以点A和E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交BC的延长线于点F.若BC=6，CF=3，则线段EF的长为（ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D.
10.定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为实数)的 “序列数”，如：y=x2 2x+3的 “序列数” 为[1, 2,3]. 有以下结论：
①二次函数y= 3x2+2x 1的 “序列数” 为[ 3,2, 1]；
②“序列数” 为[1,m+2,2m]的二次函数的图象与x轴恒有两个交点；
③若点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在 “序列数” 为[m, 2m, 3m]的二次函数的图象上，已知m>0，y1= 3m，当y1>y2时，则x2的取值范围为0④“序列数” 为[m,1 m,2 m]的二次函数，如果m<0，当x<时，y随x的增大而增大；
⑤“序列数” 为[2m,1 m, 1 m]的二次函数，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则m=.
以上结论正确的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案.
11.要使分式有意义，x应满足的条件是 .
12.如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 .
（第12题图） （第13题图）
13.如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长6cm为半径作弧，得到阴影部分的扇形，则这个阴影部分的面积为 cm2.
14.2026 年春节期间，济南举办了万架无人机 “泉在济南过大年” 首秀表演。如图 1，是在空中参与飞行表演的两架无人机。如图 2，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示 1 号、2 号无人机在队形变换过程中飞行高度y1,y2(米) 与飞行时间x(秒) 的函数关系，其中y2= 4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第 秒时 1 号和 2 号无人机在同一高度.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在CD边上，连接BH，当3BH+4EF取最小值时，FG的长为 .
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分 7 分）计算：() 1 2sin45 (π 1)0+ .
17.（本小题满分 7 分）解不等式组，并求出该不等式组的所有整数解.
18.（本小题满分 7 分）如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，且CF=AE. 求证：∠AFD=∠CEB.
19.（本小题满分 8 分）如图 1，张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头。洗手盆及水龙头示意图如图 2，开启前把手AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为47 ，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底EH的夹角（∠ACE）为60 ，AM=10cm，ME=28cm.
（1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度；
（2）求EC的长.
（结果精确到0.1cm. 参考数据：sin47 ≈0.73，cos47 ≈0.68，tan47 ≈1.07，=1.73）
20.（本小题满分 8 分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，连接OM，ME，OM∥BC.
（1）求证：ME是⊙O的切线；
（2）若CF=3，cosB=，求OM的长.
21.（本小题满分 9 分）为了落实中学生 “阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校随机抽取部分学生进行体育活动项目测试，测试的活动项目为：A. 坐位体前屈；B. 跳远；C. 仰卧起坐；D. 引体向上；E. 50 米。每个学生选择自己擅长的一个项目进行测试.
请结合下面的信息回答下列问题：
（1）求随机抽取的学生人数；
（2）统计表中的m= ，扇形统计图中 D 项目所对应扇形的圆心角为 度；
（3）若选择测试 C 项目的 10 人成绩分别为 36，49，48，47，50，54，52，53，52，60，则这组数据的中位数是 分；
（4）全校有学生 3000 人，估计全校擅长跳远的学生人数是多少？
22.（本小题满分 10 分）济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化。若生产 3 件A礼盒和 1 件B礼盒的成本为 210 元，生产 2 件A礼盒和 4 件B礼盒的成本为 340 元.
（1）求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？
（2）文化节结束后，公司计划再生产 100 盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？
23.（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+6的图象与反比例函数y=的图象交于点A(4,a)，与y轴交于点B，经过点A、点O的直线与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C，△AHC是以AC为斜边的直角三角形.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图 1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积；
（3）如图 2，若AH平分∠BAC，求点H的坐标.
24.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A( 1,0)，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为2，求出满足条件的P点坐标；
（3）在（2）满足的条件下，将抛物线y= x2+bx+c沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线y′，点E为平移后点P的对应点，点F为抛物线y′上的一动点，G为x轴上一定点，且G( ,0). 若∠FGB+45 =∠OPE，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程.
25.（本小题满分 12 分）
【拓展探究】（1）在数学活动课上，老师提出如下问题：如图 1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90 ，点D在AC边上，连接BD，将线段DB绕点D顺时针旋转90 得到线段DE，连接CE. 试探究线段CE与AD，CD之间的数量关系.
如图 2，小明同学解题思路和理由如下：
请完成填空：① ；② ；
【类比分析】（2）老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化。为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图 1 进行变换，并提出下面的问题，请你解答.
如图 3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90 ，点D在AB边上，连接CD，将线段CD
绕点D逆时针旋转90 得到线段CE，连接DE交AC边于点F.
求证：EF2+DF2=2CF ；
【学以致用】（3）如图 4，在□ABCD中，AB=6，AD=10，∠B=60 ，点E，F分别在边BC，DC上，∠EAF=60 ，AE=2，求线段DF的长.
答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1. 2026的相反数是（ A ）
A. 2026 B. 2026 C. D.
2.如图 1 为云纹青铜大铙，它是西周乐器、鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了我国古代青铜文化曾经的历史和辉煌。图 2 为其示意图，它的左视图是（ A ）
3.山东省大力建设数字基础设施，全省数据中心标准机架规模预计达到456000架，为人工智能、大数据、云计算提供坚实算力支撑。将456000用科学记数法表示为（ B ）
A. 4.56×104 B. 4.56×105 C. 456×104 D. 0.456×106
4.下列济南特色图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ B ）
A. 泉标 B. 荷花 C. 解放阁 D. 黑虎泉虎头
5.如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC=70 ，则∠EDC等于（ C ）
A. 40 B. 30 C. 20 D. 10
6.下列运算正确的是（ D ）
A. (a 1)2=a2 a+1 B. (3a2)3=9a6 C. a4·a2=a8 D. a5÷a3=a2
7.若点( 2,y1)，(1,y2)，(3,y3)在反比例函数y=(k<0)图象上，则y1,y2,y3 的大小关系是（ A ）
A.y2＜y3＜y1 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y1＜y2＜y3
8.在项目化学习中，“水是生命之源” 项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ D ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点D，作射线AD交BC于点E；②分别以点A和E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交BC的延长线于点F.若BC=6，CF=3，则线段EF的长为（ B ）
A. 5 B. 3 C. 2 D.
10.定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为实数)的 “序列数”，如：y=x2 2x+3的 “序列数” 为[1, 2,3]. 有以下结论：
①二次函数y= 3x2+2x 1的 “序列数” 为[ 3,2, 1]；
②“序列数” 为[1,m+2,2m]的二次函数的图象与x轴恒有两个交点；
③若点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在 “序列数” 为[m, 2m, 3m]的二次函数的图象上，已知m>0，y1= 3m，当y1>y2时，则x2的取值范围为0④“序列数” 为[m,1 m,2 m]的二次函数，如果m<0，当x<时，y随x的增大而增大；
⑤“序列数” 为[2m,1 m, 1 m]的二次函数，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则m=.
以上结论正确的有（ C ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案.
11.要使分式有意义，x应满足的条件是 x≠2 .
12.如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 .
（第12题图） （第13题图）
13.如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长6cm为半径作弧，得到阴影部分的扇形，则这个阴影部分的面积为 24π cm2.
14.2026 年春节期间，济南举办了万架无人机 “泉在济南过大年” 首秀表演。如图 1，是在空中参与飞行表演的两架无人机。如图 2，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示 1 号、2 号无人机在队形变换过程中飞行高度y1,y2(米) 与飞行时间x(秒) 的函数关系，其中y2= 4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第 15 秒时 1 号和 2 号无人机在同一高度.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在CD边上，连接BH，当3BH+4EF取最小值时，FG的长为 .
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分 7 分）计算：() 1 2sin45 (π 1)0+ .
=2－－1+2－
=1
17.（本小题满分 7 分）解不等式组，并求出该不等式组的所有整数解.
解：解不等式①：3x+1≥2x，移项得x≥ 1
解不等式②：两边同乘 15 去分母：5(x 3)<3(6 2x)
展开：5x 15<18 6x
移项合并：11x<33，得x<3
∴不等式组的解集为： 1≤x<3
整数解为： 1,0,1,2
18.（本小题满分 7 分）如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，且CF=AE. 求证：∠AFD=∠CEB.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB，CD=AB
∴∠DCF=∠BAE
在△CDF和△ABE中：
∴△CDF≌△ABE(SAS)
∴∠CFD=∠AEB
∵180 ∠CFD=180 ∠AEB
∴∠AFD=∠CEB
19.（本小题满分 8 分）如图 1，张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头。洗手盆及水龙头示意图如图 2，开启前把手AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为47 ，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底EH的夹角（∠ACE）为60 ，AM=10cm，ME=28cm.
（1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度；
（2）求EC的长.
（结果精确到0.1cm. 参考数据：sin47 ≈0.73，cos47 ≈0.68，tan47 ≈1.07，=1.73）
解：
（1）过点A作AG⊥EH于G，作MN⊥AG于N
在Rt△AMN中，∠ANM=90
sin∠AMN=，∠AMN=47
∴AN=AM sin47 =10×sin47 ≈10×0.73=7.3(cm)
答：A点上升的高度为7.3cm
（2）∵AG⊥GC，MN⊥AG
∴∠EGN=∠MNG=90 ，
又∠DEG=90
∴四边形EGNM为矩形
∴EG=MN，EM=NG
在Rt△AMN中，cos∠AMN=
∴MN=AM cos47 =10×0.68=6.8(cm)
∴EG=MN=6.8(cm)
AG=AN+NG=AN+ME=7.3+28=35.3(cm)
在Rt△AGC中，∠AGC=90 ，tan∠ACG=
∴CG==≈20.40(cm)
∴EC=EG+CG=6.8+20.40=27.20≈27.2(cm)
答：EC的长为27.2cm
20.（本小题满分 8 分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，连接OM，ME，OM∥BC.
（1）求证：ME是⊙O的切线；
（2）若CF=3，cosB=，求OM的长.
（1）证明：连接OE
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC
∵OM∥BC，
∴∠EOM=∠OEC，∠DOM=∠OCE
∴∠EOM=∠DOM
在△OME和△OMD中：
∴△OME≌△OMD(SAS)
∴∠OEM=∠ODM
∵CD⊥AB，
∴∠ODM=90
∴∠OEM=90，即OE⊥ME
∴ME是⊙O的切线
（2）解：连接DF
∵∠ACB=90 ，CD⊥AB
∴∠A+∠B=90 ，∠A+∠DCF=90
∴∠B=∠DCF，
∴cos∠DCF=cosB=
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90
在Rt△DCF中，cos∠DCF==，CF=3
∴CD=5
∴OD=CD=
∵OM∥BC，
∴∠OMD=∠B
∴cos∠OMD==，
设DM=3x，OM=5x
在Rt△DOM中，∠ODM=90 ，由勾股定理：OD2+DM2=OM2，
即()2+(3x)2=(5x)2
解得x=
∴OM=5x=
21.（本小题满分 9 分）为了落实中学生 “阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校随机抽取部分学生进行体育活动项目测试，测试的活动项目为：A. 坐位体前屈；B. 跳远；C. 仰卧起坐；D. 引体向上；E. 50 米。每个学生选择自己擅长的一个项目进行测试.
请结合下面的信息回答下列问题：
（1）求随机抽取的学生人数；
（2）统计表中的m= ，扇形统计图中 D 项目所对应扇形的圆心角为 度；
（3）若选择测试 C 项目的 10 人成绩分别为 36，49，48，47，50，54，52，53，52，60，则这组数据的中位数是 分；
（4）全校有学生 3000 人，估计全校擅长跳远的学生人数是多少？
解：（1）总人数=6÷12%=50（人）
答：随机抽取的学生数为50人
（2）m=50 6 10 4 18=12
D项目圆心角=×360 =28.8
（3）C项目 10 人成绩排序：36,47,48,47,50,54,52,53,52,60
中位数==51（分）
（4）全校擅长跳远人数=3000×=720（人）
答：估计全校擅长跳远的学生人数是720人
22.（本小题满分 10 分）济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化。若生产 3 件A礼盒和 1 件B礼盒的成本为 210 元，生产 2 件A礼盒和 4 件B礼盒的成本为 340 元.
（1）求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？
（2）文化节结束后，公司计划再生产 100 盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？
解：（1）设每件A礼盒成本x元，每件B礼盒成本y元
由题意列方程组：
解得
答：每件A礼盒成本50元，每件B礼盒成本60元
（2）设生产A礼盒m件，则B礼盒(100 m)件
由题意：m≤(100 m)，解得m≤40
设总成本为w元，则：w=50m+60(100 m)= 10m+6000
∵ 10<0，
∴w随m的增大而减小
∴当m=40时，w取最小值
此时w= 10×40+6000=5600（元）
答：生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元。
23.（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+6的图象与反比例函数y=的图象交于点A(4,a)，与y轴交于点B，经过点A、点O的直线与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C，△AHC是以AC为斜边的直角三角形.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图 1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积；
（3）如图 2，若AH平分∠BAC，求点H的坐标.
解：（1）∵一次函数y= x+6过A(4,a)
∴a= 4+6=2，
∴A(4,2)
∵反比例函数y=过A(4,2)
∴k=4×2=8，
∴反比例函数解析式为y=
（2）作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，则AM=2，AN=4
∵A,C关于原点对称，
∴C( 4, 2)，OA=OC=2，AC=4
∵△AHC是直角三角形，AC为斜边，
∴HO=AC=2
∵B(0,6)，
∴OB=6，HB=6 2
∴S△BAH=×AN×HB=×4×(6 2)=12 4
（3）延长CH交AB的延长线于D
∵AH平分∠BAC，
∴∠DAH=∠CAH
∵△AHC是直角三角形，
∴∠AHD=∠AHC=90
在△AHD和△AHC中：
∴△AHD≌△AHC(ASA)
∴HD=HC，AD=AC=4，即H是CD的中点
∵D在直线y= x+6上，
设D(t, t+6)，D在第二象限，
∴t<0
由AD=AC：(t 4)2+( t+6 2)2=(4)2
即2(t 4)2=80，解得t=4 2（t=4+2舍去）
∴D(4 2,2+2)，C( 4, 2)
∵H是CD中点，
∴H的坐标为(－，)

24.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A( 1,0)，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为2，求出满足条件的P点坐标；
（3）在（2）满足的条件下，将抛物线y= x2+bx+c沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线y′，点E为平移后点P的对应点，点F为抛物线y′上的一动点，G为x轴上一定点，且G( ,0). 若∠FGB+45 =∠OPE，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程.
解：（1）∵对称轴x=，
∴ =，
解得b=3
把A( 1,0)代入y= x2+3x+c：0= ( 1)2+3×( 1)+c，
即c 4=0，
∴c=4
∴抛物线表达式为y= x2+3x+4
（2）过P作PH⊥BC于H，作PM⊥x轴交BC于K
∵OB=OC=4，
∴∠OBC=45
∵PH⊥BC，PM⊥x轴，
∴∠HPK=45
在Rt△PHK中，PH=2，∴PK= =4
BC的解析式为y= x+4，
设P(m, m2+3m+4)，则K(m, m+4)
∴PK=yP yK= m2+3m+4 ( m+4)= m2+4m=4
即m2 4m+4=0，
解得m1=m2=2
∴P的坐标为(2,6)
（3）抛物线沿BC方向平移个单位（左移1，上移1），得新抛物线：y′= (x+1)2+3(x+1)+4+1= x2+x+7
由∠FGB+45 =∠OPE，∠OPE=∠OPW+45 ，
得∠OPW=∠FGB
∵P(2,6)，
∴tan∠OPW=3，即tan∠FGB=3
∵G( ,0)，
∴直线GF的解析式为y=3x+5或y= 3x 5
联立直线与新抛物线：① x2+x+7=3x+5，
即x2+2x 2=0，
解得x1= 1+，x2= 1 （舍去）
对应y=3+2，得F( 1+,3+2)
② x2+x+7= 3x 5，
即x2 4x 12=0，
解得x1=6，x2= 2（舍去）
对应y= 23，得F(6, 23)
∴符合条件的F坐标为( 1+,3+2)或(6, 23)
25.（本小题满分 12 分）
【拓展探究】（1）在数学活动课上，老师提出如下问题：如图 1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90 ，点D在AC边上，连接BD，将线段DB绕点D顺时针旋转90 得到线段DE，连接CE. 试探究线段CE与AD，CD之间的数量关系.
如图 2，小明同学解题思路和理由如下：
请完成填空：① ；② ；
【类比分析】（2）老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化。为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图 1 进行变换，并提出下面的问题，请你解答.
如图 3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90 ，点D在AB边上，连接CD，将线段CD
绕点D逆时针旋转90 得到线段CE，连接DE交AC边于点F.
求证：EF2+DF2=2CF ；
【学以致用】（3）如图 4，在□ABCD中，AB=6，AD=10，∠B=60 ，点E，F分别在边BC，DC上，∠EAF=60 ，AE=2，求线段DF的长.
（1）填空
① FB；
② AD2+CD2=CE2
（2）证明：EF2+DF2=2CF2
证明：在CB上截取CM=CF，连接FM，DM
∵∠DCE=∠BCA=90 ，CD=CE
∴∠DCM=∠ECF
在△ECF和△DCM中：
∴△ECF≌△DCM(SAS)
∴∠E=∠CDM，EF=DM
∵CE=CD，∠ECD=90 ，
∴∠E=∠CDE=45 =∠CDM
∴∠FDM=45 +45 =90
∴DM2+DF2=FM2
∵CF=CM，∠FCM=90 ，
∴FM2=CF2+CM2=2CF2
∴DM2+DF2=2CF2，即EF2+DF2=2CF2
（3）作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠B=60 AH=AB sin60 =6×=3，BH=AB cos60 =3
在Rt△AEH中，AE=2，HE=1
∴BE=BH+HE=3+1=4
在AB上截取BP=BE=4，连接EP；在AD上截取DQ=DF，连接FQ
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60
∴∠D=60 ，AD∥BC，∠BAD=120
∵BP=BE，∠B=60 ，
∴△BPE是等边三角形，PE=BE=4，∠BPE=60
∴∠APE=180 60 =120 ，AP=AB BP=6 4=2
同理，△DFQ是等边三角形，QF=DF，∠DQF=60 ，
∴∠FQA=120
∵∠EAF=60 ，
∴∠PAE=120 60 ∠QAF=60 ∠QAF，∠AFQ=∠DQF ∠QAF=60 ∠QAF
∴∠PAE=∠AFQ，
∴△APE∽△FQA
∴=
设DF=DQ=QF=x，则AQ=10 x
∴=，
解得x=
∴DF=

展开更多......

收起↑