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四川雅安市2026届高三第二次诊断性考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
4.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在工业级打印与航天精密构件设计中，圆锥结构常作为支撑部件．现有一个高为的圆锥，其顶点为，底面圆的圆心为，半径为，若、两点在底面圆周上，，为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.某校人工智能社团有小李、小赵等位同学，他们计划对、豆包、通义千问这种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有人负责，每人必须且只能选择种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数的最小值为
B. 函数图象的一个对称中心为
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则( )
A. 是以为周期的周期函数
B. 点是函数的一个对称中心
C.
D. 函数有个零点
11.已知菱形中，，，现将沿对角线折起至，连接，形成三棱锥，则( )
A. 当二面角的大小为时，平面平面
B. 在折起的过程中，存在某个位置使得
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.已知一个等比数列的前项的和等于，前项的和等于，则这个数列的公比为 ．
14.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，，分别是，上的点，，是等边三角形，．
若平面，证明：；
若平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知中，．
求的大小；
设为的中点，，，求的面积．
17.本小题分
中国女排，曾经十度成为世界冠军，历经岁月沉淀铸就了响彻中华的女排精神．女排精神的核心内涵为：祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败．
看过女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近个月体重达标的人数进行统计，得到如下表格：
月份
体重达标的人数
若该大学体重达标人数与月份月份变量依次为，，，，具有线性相关关系，求关于的经验回归方程？
在某次排球训练课上，球恰好由队员控制，此后排球仅在队员，队员和队员三人中传递，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求次传球后球在队员手中的概率．
参考公式：
18.本小题分
已知椭圆：过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记．
求的方程；
若，证明：直线过轴上定点；
若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围
19.本小题分
已知函数
当时，求函数的最小值；
当时，讨论函数的单调性；
若函数存在两个极值点，设为的极小值点，为的零点，证明：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为平面，平面，平面平面，
所以．
取的中点为，连接、．
因为，，所以，且．
又因为，所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
因为，，
又是等边三角形，则，
则，所以．
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以．
又因为平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为．
16.解：因为，
所以，故．
又，故，所以，所以．
由余弦定理，得
因为是的中点，所以，
故，
即，
即
得，．
17.解：设线性回归方程为：，
由已知得，，
，
，
，
，
所以线性回归方程为．
记表示事件“次传球后球在队员手中”，
设次传球后球在队员手中的概率为，
则，，
所以，
即，
所以，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．

18.解：将点和点代入得
解得，，所以的方程为．
由知，，
设，，直线与轴的交点为，

则，解得．
即直线过定点．
设直线的方程为，，．
联立可得，
则，，且．
于是
，结合第问
，，即的范围是．
19.解：当时，，，
所以当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
所以，故的最小值为．
，
当时，令，得或，
当时，，
所以当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递增；
此时在上单调递增．
当时，，
所以当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
当时，，
所以当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
综上：当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
由知当时，显然仅有一个极值点，
当时，存在两个极值点，
且，，
又由于且当时，，
所以在存在唯一零点．
若，由知，则成立．
若，则
要证，只需证，即证，
即证，只需证．
设，则，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，
设，则，，故在上单调递减，
所以，即当时，，
所以
所以在上恒成立，
故当时，成立．
综上，成立．
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