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【小白鸥 分类卷】2026小升初数学专题34 方法八 结合方程
一、考向1 设而要求
1． 如图，菱形ABCD 的边长是18，如果三角形CDE是等腰直角三角形，四边形ABEF 的面积为　 　。
2．如图，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比为4∶5∶7，并且区域丙的面积为48，则甲的面积是　 　。
3． 如图，在直角三角形ABC 中，四边形EFBH是正方形，AB=7厘米，BC=24厘米，AC=25厘米，ED 垂直AC于点D，ED=1.76厘米，正方形EFBH的面积是多少平方厘米
二、考向 2设而不求
4．如图，右下阴影部分的面积是25平方厘米，则圆环的面积是　 　平方厘米。(结果保留π)
5． 如图，在三角形ABC 中，点D、E 都在BC上，满足 点F在AB上，满足AF=FB，点G在AC上。若三角形DGF 的面积为22，三角形EGF 的面积为24，则三角形ABC的面积为　 　。
6．如图所示，外侧四边形ABCD 是一个边长为10厘米的正方形，内侧四边形EFGH是任意四边形，过E点向 BC边画一条垂线段交BC 于点M，MG=2厘米，过F点向CD边画一条垂线段交 CD 于点N，HN=3厘米。内侧四边形 EFGH的面积是　 　平方厘米。
7．如图，正方形ABCD 的面积比正方形 CEFG的面积小16，则阴影部分的面积是多少
8．如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，梯形上、下底的比是2：3，求阴影部分的面积。
9．（2025.09.18皇冠一中）如图，P为平行四边形ABCD外一点，已知三角形PAB与三角形PCD的面积分别为7平方厘米和3平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积为多少平方厘米
答案解析部分
1．【答案】81
【知识点】四边形及其周长与面积
【解析】【解答】解：根据题意，可得
△DEC为等腰直角三角形，
斜边CD=18，
根据勾股定理DE2+CE2=CD2，
即2CE2=18×18，
即CE2=18×18÷2，
而面积为： CE2÷2 =18×18÷2÷2 =81。
答：四边形ABEF的面积为81。
故答案为：81
【分析】因为菱形ABCD关于对角线AC对称，所以BG（即BE所在直线）和DE关于AC对称，△DGF和△BEF关于AC对称。由于△CDE是等腰直角三角形，△DGF也为等腰直角三角形，故△BEF是等腰直角三角形，得BE=EF。因为AD∥EC，所以△AEF和△DFC的面积相等（同底等高）。△ABE的面积=BE×DE÷2，△EFC的面积=EF×EC÷2，由于BE=EF，DE=CE，故△ABE的面积=△EFC的面积。因此，四边形ABEF的面积=△ABE的面积+△AEF的面积，即四边形ABEF的面积=△EFC的面积+△AEF的面积=△AEC的面积=△DEC的面积。
2．【答案】32
【知识点】正方形的面积
【解析】【解答】解：根据题意，可得
周长之比就等于边长之比，设甲、乙、丙的边长为4a，5a，7a
49a2-25a2=48，
a2=2；
甲正方形的面积：16a2=32；
答：甲正方形的面积是32．
故答案为：32
【分析】周长之比就等于边长之比，设甲、乙、丙的边长为4a，5a，7a；根据“正方形的面积=边长×边长”分别求出大正方形和中正方形的面积，然后根据“大正方形的面积-中正方形的面积=丙的面积”列出方程，求出a2=2；进而求出甲正方形的面积。
3．【答案】解：连接AE、CE，
设EF为x，AF=7-x，
CH=24-x，
25×1.76÷2+（7-x）x÷2+（24﹣x）x÷2+x2=7×24÷2
44÷2+（7x-x2）÷2+（24x﹣x2）÷2+x2=168÷2，
22+3.5x﹣0.5x2+12x﹣0.5x2+x2=84，
22+15.5x=84，
15.5x=62，
x=4；
正方形EFBH的面积为：4×4=16（平方厘米），
答：正方形EFBH的面积为16平方厘米．
【知识点】三角形的面积；正方形的面积
【解析】【分析】 根据题意，可连接AE、CE，就得到三角形ACE，可设正方形的边长为x，那么可得到等量关系式：三角形ACE的面积+三角形AEF的面积+三角形CEH的面积+正方形EFBH的面积=三角形ABC的面积，根据三角形的面积公式和正方形的面积公式进行解答即可得到答案．
4．【答案】50π
【知识点】圆环的面积
【解析】【解答】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
阴影的面积=R2÷2-r2÷2=25（平方厘米）
那么R2-r2=50（平方厘米）
圆环的面积：
S圆环=πR2-πr2
=π×（R2-r2）
=π×50
=50π（平方厘米）
答：图中圆环部分的面积是50π平方厘米．
故答案为：50π
【分析】由图可以看出：大等腰直角三角形的面积-小等腰直角三角形的面积=阴影的面积=25平方厘米，圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积，利用圆环的面积公式求得即可。
5．【答案】92
【知识点】相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的面积
【解析】【解答】解：如解图，连接CF，BG，设
因为CD=
所以DE=2CD=2BE，
所以 x，
所以 S△DEF =24+3x-(22+x)= 2+2x，
所以
所以
所以
所以
因为AF=BF，
所以
所以
所以
故答案为：92。
【分析】本题考查三角形的面积和相似三角形的性质。先设△CGD的面积为未知数，根据CD=BE= BC 推出各线段比例，结合等高三角形面积比等于底之比，依次表示出相关三角形面积，再利用AF=FB的中点性质建立等式求解未知数，最终通过面积倍数关系算出△ABC的面积。
6．【答案】53
【知识点】组合图形面积的巧算；四边形及其周长与面积
【解析】【解答】解：设BM长为a，CN长为b(a>0，b>0)，FB=b，
在△AEF中，AF=10-b；AE=a，
在△FBG中，BG=a+2；
在△EDH中，ED=10-a，DH=10-3-b=7-b；
在△HGC中，HC=3+b，GC=10-2-a=8-a；
所以，
=47(平方厘米)，
所以四边形EFGH面积为10×10-47=53(平方厘米)。
故答案为：53
【分析】设BM长为a，CN长为b，根据题意，可知FB=CN，在三角形AEF，分别求出AF和AE，在三角形FBG中，BG=a+2；在三角形EDH中，分别求出ED和DH；在三角形HGC中，求出HC和GC，然后再根据三角形的面积公式：S=，代入数据，分别求出三角形AEF、 FBG、EDH和HGC的面积，最后再用正方形的面积减去以上四个小三角形的面积，即可求出内侧四边形 EFGH的面积。
7．【答案】解：设大正方形CEFG的边长为x，小正方形ABCD的边长为y，则lDE=x-y，由题意得 ，阴影部分的面积为 x=8
答：阴影部分的面积为8。
【知识点】组合图形面积的巧算；正方形的面积
【解析】【分析】设大正方形CEFG的边长为x，小正方形ABCD的边长为y，根据正方形的面积公式：S=边长×边长，代入数据，求出正方形的面积，然后再根据正方形ABCD 的面积比正方形 CEFG的面积小16，用大正方形CEFG的面积减去小正方形ABCD的面积=16，求出；观察图形，可知，阴影部分面积=三角形ADE的面积+三角形DEG的面积，根据三角形的面积公式：，代入数据，即可求解。
8．【答案】解：设梯形的上底长为2a厘米，则下底长为3a厘米，设三角形AOD的高为h厘米，三角形BCO的高为x厘米，
则(2a×h)：(3a×x)=10：12，
所以
则梯形的高为
因为三角形AOD 的面积为10平方厘米，可得ah=10，
梯形的面积为 (平方厘米)，
阴影部分的面积为45-10-12=23(平方厘米)。
答：阴影部分的面积为23 平方厘米。
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】根据题意和图形可知：已知的2个三角形高的和是梯形的高，2个三角形底的和是梯形上下底的和．而梯形和三角形的面积都和底高有关系，所以设出其中一个三角形的底和高，可以变相求出梯形的面积，再减去已知的2个三角形的面积就可以求出阴影的面积．
9．【答案】过P做PF垂直于AB， PE垂直于CD， EF垂直于AB， 因为AB平行于CD， 所以PF、EF、PE在一条直线上，所以PF=PE+EF，
平行四边形ABCD的面积
=AB×EF，
=AB×PF-AB×PE
=(AB×PF÷2-×AB×PE÷2)×2，
=(三角形PAB的面积-三角形PDC的面积)×2
=(7-3)×2
=4×2
=8(平方厘米).
【知识点】组合图形面积的巧算
【解析】【分析】因为三角形PAB和三角形PDC都可以以AB或DC为底边，且AB和DC恰好是平行四边形ABCD的一组对边，过P做PF垂直于AB，PE垂直于CD， EF垂直于AB， 因为AB平行于CD， 所以PF、EF、PE在一条直线上，所以PF=PE+EF，由此利用平行四边形的面积公式S=ah，即可求出答案.
1 / 1【小白鸥 分类卷】2026小升初数学专题34 方法八 结合方程
一、考向1 设而要求
1． 如图，菱形ABCD 的边长是18，如果三角形CDE是等腰直角三角形，四边形ABEF 的面积为　 　。
【答案】81
【知识点】四边形及其周长与面积
【解析】【解答】解：根据题意，可得
△DEC为等腰直角三角形，
斜边CD=18，
根据勾股定理DE2+CE2=CD2，
即2CE2=18×18，
即CE2=18×18÷2，
而面积为： CE2÷2 =18×18÷2÷2 =81。
答：四边形ABEF的面积为81。
故答案为：81
【分析】因为菱形ABCD关于对角线AC对称，所以BG（即BE所在直线）和DE关于AC对称，△DGF和△BEF关于AC对称。由于△CDE是等腰直角三角形，△DGF也为等腰直角三角形，故△BEF是等腰直角三角形，得BE=EF。因为AD∥EC，所以△AEF和△DFC的面积相等（同底等高）。△ABE的面积=BE×DE÷2，△EFC的面积=EF×EC÷2，由于BE=EF，DE=CE，故△ABE的面积=△EFC的面积。因此，四边形ABEF的面积=△ABE的面积+△AEF的面积，即四边形ABEF的面积=△EFC的面积+△AEF的面积=△AEC的面积=△DEC的面积。
2．如图，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比为4∶5∶7，并且区域丙的面积为48，则甲的面积是　 　。
【答案】32
【知识点】正方形的面积
【解析】【解答】解：根据题意，可得
周长之比就等于边长之比，设甲、乙、丙的边长为4a，5a，7a
49a2-25a2=48，
a2=2；
甲正方形的面积：16a2=32；
答：甲正方形的面积是32．
故答案为：32
【分析】周长之比就等于边长之比，设甲、乙、丙的边长为4a，5a，7a；根据“正方形的面积=边长×边长”分别求出大正方形和中正方形的面积，然后根据“大正方形的面积-中正方形的面积=丙的面积”列出方程，求出a2=2；进而求出甲正方形的面积。
3． 如图，在直角三角形ABC 中，四边形EFBH是正方形，AB=7厘米，BC=24厘米，AC=25厘米，ED 垂直AC于点D，ED=1.76厘米，正方形EFBH的面积是多少平方厘米
【答案】解：连接AE、CE，
设EF为x，AF=7-x，
CH=24-x，
25×1.76÷2+（7-x）x÷2+（24﹣x）x÷2+x2=7×24÷2
44÷2+（7x-x2）÷2+（24x﹣x2）÷2+x2=168÷2，
22+3.5x﹣0.5x2+12x﹣0.5x2+x2=84，
22+15.5x=84，
15.5x=62，
x=4；
正方形EFBH的面积为：4×4=16（平方厘米），
答：正方形EFBH的面积为16平方厘米．
【知识点】三角形的面积；正方形的面积
【解析】【分析】 根据题意，可连接AE、CE，就得到三角形ACE，可设正方形的边长为x，那么可得到等量关系式：三角形ACE的面积+三角形AEF的面积+三角形CEH的面积+正方形EFBH的面积=三角形ABC的面积，根据三角形的面积公式和正方形的面积公式进行解答即可得到答案．
二、考向 2设而不求
4．如图，右下阴影部分的面积是25平方厘米，则圆环的面积是　 　平方厘米。(结果保留π)
【答案】50π
【知识点】圆环的面积
【解析】【解答】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
阴影的面积=R2÷2-r2÷2=25（平方厘米）
那么R2-r2=50（平方厘米）
圆环的面积：
S圆环=πR2-πr2
=π×（R2-r2）
=π×50
=50π（平方厘米）
答：图中圆环部分的面积是50π平方厘米．
故答案为：50π
【分析】由图可以看出：大等腰直角三角形的面积-小等腰直角三角形的面积=阴影的面积=25平方厘米，圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积，利用圆环的面积公式求得即可。
5． 如图，在三角形ABC 中，点D、E 都在BC上，满足 点F在AB上，满足AF=FB，点G在AC上。若三角形DGF 的面积为22，三角形EGF 的面积为24，则三角形ABC的面积为　 　。
【答案】92
【知识点】相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的面积
【解析】【解答】解：如解图，连接CF，BG，设
因为CD=
所以DE=2CD=2BE，
所以 x，
所以 S△DEF =24+3x-(22+x)= 2+2x，
所以
所以
所以
所以
因为AF=BF，
所以
所以
所以
故答案为：92。
【分析】本题考查三角形的面积和相似三角形的性质。先设△CGD的面积为未知数，根据CD=BE= BC 推出各线段比例，结合等高三角形面积比等于底之比，依次表示出相关三角形面积，再利用AF=FB的中点性质建立等式求解未知数，最终通过面积倍数关系算出△ABC的面积。
6．如图所示，外侧四边形ABCD 是一个边长为10厘米的正方形，内侧四边形EFGH是任意四边形，过E点向 BC边画一条垂线段交BC 于点M，MG=2厘米，过F点向CD边画一条垂线段交 CD 于点N，HN=3厘米。内侧四边形 EFGH的面积是　 　平方厘米。
【答案】53
【知识点】组合图形面积的巧算；四边形及其周长与面积
【解析】【解答】解：设BM长为a，CN长为b(a>0，b>0)，FB=b，
在△AEF中，AF=10-b；AE=a，
在△FBG中，BG=a+2；
在△EDH中，ED=10-a，DH=10-3-b=7-b；
在△HGC中，HC=3+b，GC=10-2-a=8-a；
所以，
=47(平方厘米)，
所以四边形EFGH面积为10×10-47=53(平方厘米)。
故答案为：53
【分析】设BM长为a，CN长为b，根据题意，可知FB=CN，在三角形AEF，分别求出AF和AE，在三角形FBG中，BG=a+2；在三角形EDH中，分别求出ED和DH；在三角形HGC中，求出HC和GC，然后再根据三角形的面积公式：S=，代入数据，分别求出三角形AEF、 FBG、EDH和HGC的面积，最后再用正方形的面积减去以上四个小三角形的面积，即可求出内侧四边形 EFGH的面积。
7．如图，正方形ABCD 的面积比正方形 CEFG的面积小16，则阴影部分的面积是多少
【答案】解：设大正方形CEFG的边长为x，小正方形ABCD的边长为y，则lDE=x-y，由题意得 ，阴影部分的面积为 x=8
答：阴影部分的面积为8。
【知识点】组合图形面积的巧算；正方形的面积
【解析】【分析】设大正方形CEFG的边长为x，小正方形ABCD的边长为y，根据正方形的面积公式：S=边长×边长，代入数据，求出正方形的面积，然后再根据正方形ABCD 的面积比正方形 CEFG的面积小16，用大正方形CEFG的面积减去小正方形ABCD的面积=16，求出；观察图形，可知，阴影部分面积=三角形ADE的面积+三角形DEG的面积，根据三角形的面积公式：，代入数据，即可求解。
8．如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，梯形上、下底的比是2：3，求阴影部分的面积。
【答案】解：设梯形的上底长为2a厘米，则下底长为3a厘米，设三角形AOD的高为h厘米，三角形BCO的高为x厘米，
则(2a×h)：(3a×x)=10：12，
所以
则梯形的高为
因为三角形AOD 的面积为10平方厘米，可得ah=10，
梯形的面积为 (平方厘米)，
阴影部分的面积为45-10-12=23(平方厘米)。
答：阴影部分的面积为23 平方厘米。
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】根据题意和图形可知：已知的2个三角形高的和是梯形的高，2个三角形底的和是梯形上下底的和．而梯形和三角形的面积都和底高有关系，所以设出其中一个三角形的底和高，可以变相求出梯形的面积，再减去已知的2个三角形的面积就可以求出阴影的面积．
9．（2025.09.18皇冠一中）如图，P为平行四边形ABCD外一点，已知三角形PAB与三角形PCD的面积分别为7平方厘米和3平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积为多少平方厘米
【答案】过P做PF垂直于AB， PE垂直于CD， EF垂直于AB， 因为AB平行于CD， 所以PF、EF、PE在一条直线上，所以PF=PE+EF，
平行四边形ABCD的面积
=AB×EF，
=AB×PF-AB×PE
=(AB×PF÷2-×AB×PE÷2)×2，
=(三角形PAB的面积-三角形PDC的面积)×2
=(7-3)×2
=4×2
=8(平方厘米).
【知识点】组合图形面积的巧算
【解析】【分析】因为三角形PAB和三角形PDC都可以以AB或DC为底边，且AB和DC恰好是平行四边形ABCD的一组对边，过P做PF垂直于AB，PE垂直于CD， EF垂直于AB， 因为AB平行于CD， 所以PF、EF、PE在一条直线上，所以PF=PE+EF，由此利用平行四边形的面积公式S=ah，即可求出答案.
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