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九年级下学期第二次调研考试
数学试卷
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.
1．将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为
A． B．
C． D．
2．下列各数中，是无理数的是
A． B． C． D．
3．2026年国务院政府工作报告提出民生保障相关目标，其中全国城镇新增就业预期目标为12000000人以上，全力保障民生就业大局稳定．数据12000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
5．在数轴上表示不等式的解集正确的是
A． B．
C． D．
6．如图是围棋棋盘中的3个棋子，若两个黑子的坐标分别是，
，则白子的坐标为
A． B．
C． D．
7．为了让学生深入了解福建的特色文化，学校组织研学活动，提供三个福建文化景点（福州三坊七巷、泉州开元寺、厦门鼓浪屿）供学生小明和小华各自随机选择一个景点参加研学，则两人恰好选择同一景点的概率是
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，直线与轴交于
点与轴交于点，则的值为
A． B．
C． D．2
9．如图，四边形内接于圆O，连接，，
若，则的度数为
A． B．
C． D．
10．如图，，，，
则的面积为
A．4 B．6
C．9 D．10
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．因式分解：______．
12．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，
且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，
两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________．
13．《孙子算经》是我国古代数学重要著作之一，为南北朝时期佚名数学家所撰，该著作记载了 “人车几何？”问题（注释：此为古代经典的盈不足类算术问题，用于求解乘车人数与车辆数量），设有辆车，则可列方程______________．
原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？ 译文：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？
14．二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率（赫兹）与长度（米）近似成反比例关系，即（为常数，）．若某一振动弦的共振频率为320赫兹，长度为0.5米，如果为400赫兹，则是_____米．
15．2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，
难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉
某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示
意图，其中，，，
若，则______度．
16．如图，矩形中，，将该矩形绕着
点旋转，得到四边形，使点在直线上，那
么线段的长度是_____．
三、解答题：本题共9题，共86分.
17．（8分）计算题：.
18．（8分）如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：．
19．（8分）解分式方程∶
20．（8分）综合与实践
【项目背景】一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市值，为安徽省经济蓝图发展提出建议．
将收集的数据进行如下分组：
组别 A B C D

绘制2023，2025上半年安徽省各市频数分布直方图
(1)任务一：分别补全上述两幅条形统计图；
(2)任务二：【数据收集与整理】单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布）
2023年C组值 1409 1332 1181 1065 1057 1030
2025年C组值 1462 1351 1311 1225 1173 1135
2023年上半年16市数据中位数是年上半年16市数据中位数是，则___________，___________；
(3)任务三：下列说法正确的是___________；
①相比2023年，2025年A组个数增加；②相比2023年，2025年D组个数减少；
③不计算，记2023年C组数据方差为年C组数据方差为，则．
(4)任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出条合理的建议．
21．（8分）如图，在中，，点分别在边上，连接交于点．
(1)若平分，求证：；
(2)在（1）的条件下，已知，求的长度．
22．（分）在菱形中，，，点是线段上的一个动点．
（）如图①，求的最小值．
（）如图②，若也是边上的一个动点，且，求的最小值．
（）如图③，若，则在菱形内部存在一点，使得点分别到点、点、边的距离之和最小．请你画出这样的点，并求出这个最小值．
23．（10分）已知抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知、是抛物线上的两个点（点D在点E的左边），
①若线段与线段交于点F，且，求m的值；
②若，求证：．
24．（12分）编程设计大赛数学兴趣小组编了一个“新年· 快乐”的计算程序，规定：输入数据，时，若输出的是代数式称为“新年”，若输出的是等式称为“快乐”.
回答下列问题：
(1)当输入正整数，时，得到“快乐”和“新年”，若“快乐”为，求证“新年”：是完全平方式.
(2)当输入，时，求“快乐”：的，的正整数解.
(3)若正数，互为倒数，求“新年”：的最小值.
温馨提示：①对于一个整式，如果存在另一个整式，使的条件，则称是完全平方式；
②，当且仅当“”时，等号成立.
25．（14分）如图，内接于，连接并延长交于点，．
(1)如图1，设，连接，求（用含的代数式表示）；
(2)如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，若，，求的半径．九年级下学期第二次调研考试
数学试卷参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D D D A D B A
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11． 12． 13．
14．0.4 15． 16．或
三、解答题：本题共9题，共86分。
17.解：原式
．
18证明：∵平分，∴，
∵，∴，
∵，∴，
在与中，
∴，∴．
19.解：
方程两边同时乘以，得
整理，得∶
化简得
解这个整式方程得： ，
经检验，是原方程的根．
原方程的解为，．
20.（1）解：2023年D组个数为：（个），
2025年B组个数为：（个）
补全两幅条形统计图如下：
（2）解：根据题意，16个数据从小到大排列，中位数是第8个和第9个数据的平均数，
∵2023年中，A组2个城市，B组2个城市，C组6个城市，D组6个城市，
∴2023年中，中位数为C组的第2个和第3个数据的平均数，
∵2023年C组值按从小到大排列如下：1030，1057，1065，1181，1332，1409，
∴中位数；
∵2025年中，A组3个城市，B组2个城市，C组6个城市，D组5个城市，
∴2025年中，中位数为C组的第3个和第4个数据的平均数，
∵2025年C组值按从小到大排列如下：1135，1173，1225，1311，1351，1462，
∴中位数；
（3）解：∵2023年A组2个城市，2025年A组3个城市，
∴相比2023年，2025年A组个数增加了，故①正确；
∵2023年D组6个城市，2025年D组5个城市，
∴相比2023年，2025年D组个数减少了，故②错误；
∵2023年C组值按从小到大排列如下：1030，1057，1065，1181，1332，1409，2025年C组值按从小到大排列如下：1135，1173，1225，1311，1351，1462，2023年C组值波动较大，
∴，故③正确；
（4）解：从数据来看，安徽省经济呈现发展趋势，建议加大经济较弱地区的扶持，实现共同富裕．
21.∵，
又∵，
∴，
∴；
（1）证明：过点F作于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
根据（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22.（）根据垂线段最短，当时，最小，最小为菱形的高．
（）连接、、，
在菱形中，可证为等边三角形，
的最小值即为的最小值．
（）如图，以为边在菱形外作等边，
作于，即为点分别到点、点、边的距离之和最小，
当于时，点即为所求．理由如下：
当绕点逆时针旋转得到，点在上，
此时，，，
要使点分别到点、点、边的距离之和最小，
则要即可．
作，
由题意可得：为的中点．
在中，，，
∴，，
∴．
23.（1）解：将分别代入抛物线，得
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：①已知抛物线与y轴交于点C，
令，得，
即．
设直线的解析式为，将分别代入，得
解得，
∴直线的解析式为，
∵是抛物线上的两个点，且抛物线的对称轴为
，
∴．
∵点F在直线上，且纵坐标为m，
∴F点的横坐标为．
又∵，且点D在点E的左边，
∴，即，
把代入抛物线解析式中，得
即，
解得，
∵点D在点E的左边，且线段与线段交于点F，
∴，
∵点F在线段上，点D在点E的左边，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴m的值为．
②∵是抛物线上的两个点，
∴，
两式相减可得：
，
即，
，
，
，
∵，
∴，
即，
由，得，
则
∴，
将代入可得：
，
∵等式左边等于等式右边，
∴，
∴．
24.（1）∵
∴=2x+2y+2=2x+x2-1+2=x2+2x+1=(x+1)2,为完全平方式；
（2）∵
∵，都是正整数
∴或
解得或（舍去）
∴，的正整数解为6和3；
（3）∵正数，互为倒数，∴xy=1
=
=
=
=1-
当x+2y取最小值时，S有最小值，
∵=2，即x=，y=
此时S=1-=1+2-3=2-2.
25.（1）解：如图1∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：如图2，连接，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点作，交的延长线于点，
∴，即是的垂直平分线，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴．
（3）解：如图：连接，
由（2）可得：，，
∴，
∵作的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图：连接，设，则半径，
在中，，
∴，解得：或（不合题意舍去），
∴的半径为．

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