资源简介

《平面向量的数量积》题型八：综合应用
卷首导学
本卷定位
数量积的综合应用是平面向量模块的集大成者，将数量积与三角形的“四心”、解三角形、平面几何图形等知识深度融合.此类题目常作为解答题的压轴问或选择填空的难题出现，分值约10–15分.能做好本卷，说明对数量积的理解已到融会贯通的境界.
核心易错点
不会将几何条件转化为向量条件——如三角形重心对应向量和为零，垂心对应数量积相等，内心对应角平分线方向向量.转化能力是综合题的第一道坎.
与解三角形结合时，分不清何时用正弦定理、何时用余弦定理、何时用数量积——数量积用于已知两边及夹角求对边，正弦定理用于已知两角一边或两边一对角.综合题中需灵活切换.
平面几何图形中向量选取不当——在复杂图形中，选错基底会导致运算量激增甚至无法进行.优先选图形中天然的垂直或相等关系作为建系依据.
综合题步骤多，中间某步出错导致全盘皆输——务必步步为营，每一步都写清楚所用定理和公式.
训练目标
掌握三角形“四心”的向量表达及其与数量积的结合方式.
能熟练运用数量积解决解三角形中的边角关系问题.
能在复杂平面几何图形中灵活选取基底或建系，用数量积求解几何量.
形成“几何条件→向量表达→数量积运算→几何结论”的完整解题链条.
建议用时：60–70分钟.
使用说明：本卷题目综合性强，涉及前七个专题的知识点，建议在完成前七张专项卷后再做本卷.解答题需写出完整的推理过程，注意每一步的向量表达和数量积运算的规范书写.
试卷正文
一、单选题（每题5分，共20分）
1. 在中，点M是BC的中点，，点P在AM上，且满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，且，则的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
3. 某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ）
A. B.
C. D.
4. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每题5分，共20分）
5. 在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且.则的取值范围是______.
6. 如图，在四边形ABCD中，为等边三角形，，则______.
7. 十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则______.
8. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥CB，，，，E为CD上一点，且，设，若F为线段AB的中点，则______；若F为线段AB上的动点，则的最大值比最小值大______.
三、解答题（共35分）
9. （10分）如图所示，是边长为1的正三角形，点四等分线段.
（1） 求的值；
（2） 若点Q是线段上一点，且，求实数m的值.
10. （12分）已知.是否存在实数使与垂直？
11. （13分）（1） 在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值；
（2） 在中，，，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若，求的最大值.
中小学教育资源及组卷应用平台
第 2 页，共 17 页
答案解析
一、单选题
1.
【答案速览】 A
【详细解答】 由AM=1，AP=2PM，得PM=AM，AP=AM.点P是△ABC中线的三等分点，恰为△ABC的重心.由重心性质：，故.则.由AP=，故，得.
【易错警示】 常见错误①：重心向量性质记错.重心G满足.常见错误②：AP=2PM时，误认为P靠近M，把模长算错.AP:PM=2:1，AP占AM的.常见错误③：数量积运算时符号弄错.
【规律总结】 遇到中线上的分点问题，优先判断是否为重心.若为重心，直接利用化简表达式，可避免复杂的坐标运算.
2.
【答案速览】 B
【详细解答】 .由，可设.又，则，，即，.于是.当时，取得最大值2.
【易错警示】 常见错误①：共线条件用错.写成垂直条件则全错.常见错误②：解出参数后代入时符号弄错.常见错误③：二次函数求最值时未注意开口方向.
【规律总结】 向量与函数结合求最值，关键是利用向量关系建立参数方程，将目标量表示为参数的函数，再用函数方法求最值.
3.
【答案速览】 B
【详细解答】 设两胳膊的拉力为，夹角为，且.由平衡条件，平方得.代入模长：，得，.故.
【易错警示】 常见错误①：力的合成公式用错.正确为.常见错误②：特殊角余弦值记错.
【规律总结】 物理中的力与向量结合，关键是画出受力分析图，将力用向量表示，根据平衡条件列向量等式，再用数量积转化为模长方程.
4.
【答案速览】 AC
【详细解答】 对于A：由正五角星的对称性，，正确.对于B：，而，两者不相等，错误.对于C：由，故，正确.对于D：，系数计算有误，错误.故选AC.
【易错警示】 常见错误①：对正五角星中线段的比例关系不熟悉.常见错误②：向量加减法时方向容易写反.常见错误③：黄金分割比的倒数运算出错.
【规律总结】 正五角星中的向量问题，核心是利用几何对称性和黄金分割比例.解题时先分析图形中各线段的比例关系，再将向量用已知比例关系的线段表示.
二、填空题
5.
【答案速览】
【详细解答】 由得，同理，故O为△ABC的外心.延长AO交外接圆于D，则AD为直径，.由得，解得.代入得.当时取最小值，当时趋于0，当时趋于2，故范围为.
【易错警示】 常见错误①：外心向量性质应用不熟练.常见错误②：直径所对圆周角为直角的投影应用.常见错误③：由求b的范围时忘记b>0.
【规律总结】 外心与数量积的综合题，核心是利用外心到三顶点等距的性质，结合几何投影将向量数量积转化为边长平方.
6.
【答案速览】 18
【详细解答】 由，得，故，即，则.由得，故.△ACD为等边三角形，，，故.
【易错警示】 常见错误①：未先判断△ABC的形状.常见错误②：向量减法方向写反.常见错误③：等边三角形内角记错.
【规律总结】 几何图形中求数量积，先分析图形特征，将目标向量向已知模长和夹角的向量转化.
7.
【答案速览】
【详细解答】 由，三角形三个角均小于120°，故费马点P满足.设，由面积关系：.则，化简得，同理另两项均为乘以对应乘积.三者和为.
【易错警示】 常见错误①：费马点的角度记成60°.常见错误②：面积公式代入数值出错.常见错误③：数量积与夹角余弦的对应关系记反.
【规律总结】 费马点问题与数量积结合，核心是利用三个120°夹角和面积拆分建立模长乘积的关系式，进而求出数量积的和.
8.
【答案速览】 1；
【详细解答】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建系.由AB⊥AD，AB=2，AD=，得A(0,0)，B(2,0)，D(0,).由CD⊥CB，，过C作CG⊥x轴于G，作CH⊥y轴于H，由几何关系可求得C().由，得E分CD为CE:ED=1:2，可求得E().当F为AB中点时，F(1,0)，代入，解得，故.当F为AB上的动点时，设F(m,0)，m∈[0,2]，由向量等式解出，结合m范围得，最大值与最小值之差为.
【易错警示】 常见错误①：建系后C点坐标求错.常见错误②：向量等式列写时方向符号出错.常见错误③：求μ范围时未考虑m的定义域.
【规律总结】 复杂四边形中的向量问题，建系坐标法是首选.步骤：分析图形中的垂直关系选原点→求出各点坐标→将向量条件转化为坐标方程→求解参数并求范围.
三、解答题
9. （10分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 以点A为原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系.则A(0,0)，B(1,0)，C().由四等分线段BC，可得各分点坐标：，.也可直接计算坐标：，.计算.相加得.
由为靠近C的四等分点，.点Q在上，设.又已知.对比系数得，解得.代入得.
【易错警示】 常见错误①：四等分点坐标计算错误.BC四等分，靠近B，靠近C.常见错误②：向量相等对比系数时，基底不共线是前提.常见错误③：定比分点公式应用不熟练.
【规律总结】 正三角形中的向量问题，建系坐标法最为直观.分点问题可用定比分点坐标公式或向量线性表示.设参后用基底对比系数求参数是通法.
10. （12分）
【答案速览】 存在，
【详细解答】 由得，代入模长得，解得.若，则.展开得.代入：，即，.检验可知存在.
【易错警示】 常见错误①：展开时漏掉中间项系数2.常见错误②：解方程时符号和分数运算出错.
【规律总结】 已知三向量和为零及模长，通过平方建立数量积方程求，再代入垂直条件求参数.
11. （13分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 由，，得，.以B为原点，BC为x轴建系，得.设，则，，当时取最小值.
（2）设，则，.由余弦定理.由中点及比例得，.由，得，故最大值为.
【易错警示】 第(1)问：与的夹角为120°.第(2)问：基底表示时系数正确，基本不等式求最值验证等号条件.
【规律总结】 几何动态问题优先建系，将动点坐标参数化；解三角形与向量结合时，基底法是通法，利用已知边角关系化简，再用基本不等式求最值.《平面向量的数量积》题型二：坐标运算
卷首导学
本卷定位
坐标运算是解决向量数量积问题最通用、最程序化的方法，尤其适合处理图形规则或已知点坐标的题目.本卷专攻建系后的坐标运算，是月考、期中考试的主流解法，分值占比约30–40分.掌握了坐标法，等于拿到向量题的“保底分数”.
核心易错点
建系原点选错——以矩形中心为原点虽对称，但各点坐标多为分数，计算极易出错.最优策略：以矩形顶点为原点，两边落在坐标轴上.
向量坐标顺序写反——向量坐标 = 终点坐标 起点坐标.写成起点减终点，得到的向量完全相反，后续数量积符号全错.
数量积公式与模长公式混淆——数量积是，模长是。考试中因公式记混而丢分的人数惊人.
求夹角时忘记除以模长之积——，只算数量积不除以模长，得到的是分子而非本身.
训练目标
能根据图形特征，在10秒内确定最优建系方案.
能准确写出各点坐标，并熟练计算向量的坐标.
熟练运用坐标法求数量积、模长、夹角和判断垂直，形成肌肉记忆.
建议用时：50–60分钟.
使用说明：本卷所有题目均需通过建立平面直角坐标系求解，请勿使用定义法.建系→写坐标→算向量→代公式，四步走完就能稳稳拿分.
试卷正文
一、单选题（每题5分，共30分）
1. 若向量，则实数的值为（ 　　）
A. B. C. 2 D. 6
2. 在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是平行四边形，，则（ 　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3. 已知向量，则向量在方向上的投影为（ 　　）
A. B. 3 C. D. 3
4. 已知向量，且，则实数的值为（ 　　）
A. B. 0 C. 3 D.
5. 已知点，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（ 　　）
A. B. C. D.
6. 平面向量与的夹角为，，，则等于（ 　　）
A. B. C. 4 D. 12
二、填空题（每题5分，共20分）
7. 已知，若，则______.
8. 若向量，则______.
9. 已知向量，，则（是的夹角）______.
10. 已知，.若与的夹角为，则______.
三、解答题（共25分）
11. （12分）已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1） 若，且，求的坐标；
（2） 若，且与垂直，求与的夹角.
12. （13分）如图，在△ABC中，，，，为线段的垂直平分线，与交于点，为上异于的任意一点.
（1）求的值；
（2）判断的值是否为一个常数，并说明理由.
中小学教育资源及组卷应用平台
第 2 页，共 17 页
答案解析
一、单选题
1.
【答案速览】 D
【详细解答】 两向量坐标已知，直接用数量积的坐标公式：
由得，解得.
【易错警示】 常见错误：数量积公式记成，导致写成，解得.正确公式是“横×横+纵×纵”，即.
【规律总结】 已知两向量坐标求数量积，直接代公式.已知数量积求参数，列出方程求解即可.坐标法处理垂直问题比定义法更直接——无需知道模长和夹角.
【一题多解】 本题若用定义法：需先求，，再求，步骤繁琐且易错.坐标法一步到位，显然更优.
2.
【答案速览】 A
【详细解答】 平行四边形ABCD中，对角线. 由题：，， 则. 求：.
【易错警示】 常见错误①：把写成.平行四边形中，对角线是从A到C的向量，等于两边之和；才是两边之差.画个图确认方向就不会错. 常见错误②：向量坐标加法时符号出错，，纵坐标，不是.
【规律总结】 平行四边形的向量关系：，.记住：对角线=邻边和，另一对角线=邻边差.
3.
【答案速览】 D
【详细解答】 向量在方向上的投影（数量）公式为：. 先求数量积：. 再求. 投影值为.
【易错警示】 常见错误①：将投影向量与投影数量混淆.投影数量是一个实数（可正可负），投影向量是一个向量.本题问的是“投影”，指的是数量. 常见错误②：忘记除以，直接用数量积 6作为答案. 常见错误③：的模算错，平方是3，不是.
【规律总结】 投影数量公式：.口诀：数量积除以模，投影数值就得出.结果为负说明投影方向与相反.
4.
【答案速览】 C
【详细解答】 先求的坐标： ，， ，， . 由，且，得数量积为0： ，即，，解得.
【易错警示】 常见错误①：向量数乘时系数分配错误，如写成是正确的，但有人会写成漏乘. 常见错误②：垂直条件写成，这是平行条件！垂直是，平行才是. 常见错误③：计算时符号出错，写成+6.
【规律总结】 垂直条件的坐标表示：.平行条件的坐标表示：.区分口诀：垂直横横加纵纵，平行交叉相减零.
5.
【答案速览】 D
【详细解答】 点在轴上，设. 则，. . 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为. 当时取得最小值，此时点的坐标为.
【易错警示】 常见错误①：向量坐标写反.，即终点坐标减起点坐标，写成则得到相反的向量.但本题中由于后续是数量积，两个向量同时写反，结果不变（负负得正），但这是侥幸，换成其他题可能就错了. 常见错误②：二次函数配方时系数算错.展开，注意符号. 常见错误③：求出后忘记写完整坐标，只写了横坐标.
【规律总结】 处理“点在x轴上”的动点问题：设坐标为，把目标数量积表示为的函数，再用二次函数求最值.这是坐标法处理最值问题的经典套路.
6.
【答案速览】 B
【详细解答】 ，故. 与的夹角为，且. 可用定义法先求. 再求：先平方， . 所以.
【易错警示】 常见错误①：认为没有坐标就不能用坐标法.实际上有坐标，可以建系：设沿x轴正方向，由夹角和可得，然后用坐标法计算.两种方法均可. 常见错误②：展开时漏掉系数，写成.正确是. 常见错误③：算出平方为12后，忘记开方，直接写12.
【规律总结】 见模就平方！无论定义法还是坐标法，处理型问题的第一反应永远是平方展开.这是数量积模块最重要的技巧之一.
二、填空题
7.
【答案速览】
【详细解答】 ，， 先求. 由，得数量积为0： 即，，解得. 所以，.
【易错警示】 常见错误①：向量减法时符号出错.，注意纵坐标是，不是. 常见错误②：垂直条件公式用错，写成了平行条件. 常见错误③：求出后直接作为答案.题目问的是，不是！一定要审清题目问什么.
【规律总结】 已知垂直求参数，直接列数量积=0的方程.求向量模长，先用坐标公式，不要与数量积公式混淆.
8.
【答案速览】
【详细解答】 ，， 先求. 再求模长：.
【易错警示】 常见错误①：数乘时符号出错.，注意负负得正. 常见错误②：向量减法时，，纵坐标，不要算成. 常见错误③：模长公式与数量积公式混淆.模长是，数量积是.
【规律总结】 求向量模长的标准流程：①先算向量的坐标；②再代公式.不要跳步，每一步都写出坐标，能有效减少计算错误.
9.
【答案速览】
【详细解答】 夹角余弦公式：. 数量积：. 模长：， . 代入：.
【易错警示】 常见错误①：数量积算错.，符号注意. 常见错误②：模长计算时，，不要写成或不化简. 常见错误③：最后化简时，分子分母约分后要分母有理化，得，不能写成.
【规律总结】 求夹角余弦的三步：①数量积；②两个模长；③代入公式化简.注意最后结果要化为最简形式，分母一般要有理化.
10.
【答案速览】 2
【详细解答】 由夹角公式：. 数量积：. 模长：，. 代入：. 交叉相乘：， 即. 两边平方：，展开得， 整理：，即. 解得或. 检验：当时，，但等式左边原本为正值（因为且模长均为正），平方后引入了增根，应舍去.故.
【易错警示】 常见错误①：直接平方解方程，忘记检验增根.由于，所以必须大于0.时，是平方产生的增根，必须舍去.这是已知夹角求参数题最常见的扣分点！ 常见错误②：交叉相乘时系数出错. 常见错误③：解二次方程时因式分解出错.正确分解为.
【规律总结】 已知夹角求参数的标准流程：①代入夹角公式；②交叉相乘；③平方去根号（此时可能产生增根）；④解方程；⑤检验增根.口诀：夹角求参必检验，平方增根要分辨.
三、解答题
11. （12分）
【答案速览】 （1） 或 （2）
【详细解答】 （1） 设. 由得，即. ① 由且，得，即. ② 将②代入①：，，，解得. 当时，；当时，. 故或.
（2）由，得. 展开：，即. 已知，故，. 已知，故. 代入：，即， ，得. 由夹角公式：. 因为，所以.
【易错警示】 第(1)问：常见错误①：平行条件写错.的坐标条件是，即，写成是垂直条件.常见错误②：解出后只写一个解，漏掉.平行包括同向和反向两种情况. 第(2)问：常见错误①：向量展开时漏项或系数错.，中间合并为，不是.常见错误②：求出后，写或均可，但不能写.
【规律总结】 （1） 共线条件求向量坐标：设出坐标，列方程组（模长方程+共线方程），解方程组时注意正负两个解.
（2） 垂直条件求夹角：由垂直条件列数量积为0的方程，求出的值，再用夹角公式求.这是“先求数量积，再求夹角”的经典路径.
【一题多解】 第(1)问也可用定义法：由，设，由模长得，直接得到坐标.这种“倍数法”比列方程组更简洁，建议掌握.
12. （13分）
【答案速览】 （1） 14 （2） 是常数，值为14
【详细解答】 （1） 建系说明：由知，∠A=90°.以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 各点坐标推导： ，由得；由得. 由勾股定理，. D为BC中点（等腰不要求，直角三角形的斜边中点），故. 向量坐标计算： ，. 代入公式求解： .
（2）设点E坐标：E在BC的垂直平分线l上，l过点D且与BC垂直.设E的坐标为，则. 计算： . 利用E在l上的条件：l是BC的中垂线，BC的方向向量为，即.l与BC垂直，且过D(4,3).l上的点E满足，即. 展开：，即，，两边乘 1得. 因此为常数. （或者用几何法：无论E在l上何处，在方向上的投影恒等于的投影，故数量积恒为14.）
【易错警示】 常见错误①：建系时原点选错.以BC中点为原点虽对称，但A点坐标会是分数，计算复杂.以直角顶点A为原点是最优策略. 常见错误②：第(1)问中的坐标算错.，注意终点减起点. 常见错误③：第(2)问中求l的方程时，方向向量或法向量用错.BC的方向向量是，l是它的法向量，故l上点满足与BC方向向量垂直.
【规律总结】 建系口诀：直角顶点作原点，两边落在坐标轴.这是处理含直角三角形图形的最优策略. 处理“垂直平分线上任意一点”的问题：设出动点坐标，利用该点满足的几何条件（到两端点距离相等，或连线与底边垂直），建立坐标之间的关系，代入目标数量积，往往能消去参数得到常数.
【一题多解】 第(2)问也可用定义法（投影法）：在方向上的投影长度等于在方向上的投影长度（因为E和D到BC的垂足相同），故数量积为定值.坐标法的优势在于将几何关系转化为代数方程，程序固定，不易出错.《平面向量的数量积》题型六：夹角为锐角/钝角求参
卷首导学
本卷定位
由向量夹角为锐角或钝角反求参数范围，是平面向量模块中区分度最高的题型，常作为选择压轴题或填空压轴题出现，占比约5–10分.此题型的核心难点不在于列不等式，而在于“排除共线”这一极易被遗忘的步骤.据考场统计，超过60%的学生因忘记排除共线而丢分.
核心易错点
只列数量积不等式，完全忘记排除共线——这是最致命的错误. 锐角且不共线，钝角且不共线.少写“且不共线”三个字，至少扣一半分.
锐角条件漏掉的情况——时夹角为90°，不满足锐角，故不等式必须严格大于零.
钝角条件漏掉的情况——同样，时夹角为，不满足钝角，不等式必须严格小于零.
排除共线时方法错误——只会设，不会用坐标交叉相乘来求共线参数，导致计算复杂或漏解.
训练目标
形成“锐角→且不共线，钝角→且不共线”的完整条件反射.
能熟练用坐标交叉相乘相等的方法排除共线情形.
能做到此类题目永不丢分.
建议用时：50–60分钟.
使用说明：本卷每一道求参题都必须包含“排除共线”的步骤.解析中的易错警示会逐题指出共线值的求法和剔除过程.请务必每题都完整写出“列不等式→解不等式→排除共线→求交集”四步流程.
试卷正文
一、单选题（每题5分，共25分）
1. 已知，若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
A. B.
C. D.
2. 若，且与的夹角是钝角，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
4. 已知，与的夹角为钝角，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D. 或
5. 若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
6. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
7. 已知向量，下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 与同向的单位向量为
C. 在上的投影向量为
D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
三、填空题（每题5分，共15分）
8. 已知，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______.
9. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是______.
10. 已知，向量与向量的夹角是锐角，则实数的取值范围是______.
四、解答题（共28分）
11. （14分）已知向量.
（1） 若向量与垂直，求的值；
（2） 若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
12. （14分）已知，与的夹角为.若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
中小学教育资源及组卷应用平台
第 2 页，共 17 页
答案解析
一、单选题
1.
【答案速览】 B
【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线情形.若与共线，则，即，得. 第三步：从中剔除，得.
【易错警示】 典型错误：约70%的学生只做到第一步，得到后直接选A，完全忘记排除共线.使两向量共线的参数值为，此时，夹角为180°，不满足钝角条件，必须剔除.防错口诀：锐角钝角求参数，数量积先列出来.解出范围不算完，共线值要踢出去.
【规律总结】 钝角条件两件事：①；②与不共线.排除共线时，用坐标交叉相乘求出使两向量平行的参数值，再检验该值是否在初步范围内，若是则剔除.
2.
【答案速览】 C
【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.若与共线，则，即，得. 第三步：由于，不在初步范围内，因此无需剔除.最终答案为，即.
【易错警示】 本题共线值不在内，虽无需剔除，但必须写出排除共线的步骤.若跳过此步骤，虽然答案碰巧正确，但解题过程不完整，考试中若遇到共线值落在范围内的题就会出错.另注意：选项A是仅解不等式的结果，若选A则漏掉了“且不共线”的条件，是不严谨的.
【规律总结】 钝角条件列不等式时，注意不等号方向：数量积<0.排除共线后，务必检验共线值是否在初步范围内.若不在，最终范围等于初步范围；若在，必须挖去该点.
3.
【答案速览】 C
【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，解得或. 第三步：初步范围，其中包含，需要剔除；不在范围内，无需剔除.因此最终范围为.
【易错警示】 本题有两个共线值和.学生容易只求出一个或漏判是否在范围内.注意：满足，必须剔除；不满足，无需处理.最终答案用区间表示时，挖去 4这个点.若写成则错误.
【规律总结】 当二次方程解出两个共线值时，需分别判断是否在初步范围内.在则剔除，不在则保留.最终答案可能由多个区间拼接而成.口诀：二次方程两个根，落在范围才挖坑.
4.
【答案速览】 D
【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得或.
【易错警示】 本题与第1题本质相同，选项表述不同.选项A方向反了；选项B未排除共线；选项C只取了部分且未包含.正确答案D完整地排除了.可见，是否排除共线直接决定了能否选对.
【规律总结】 钝角求参，务必记住最后答案是“不等式解集挖去共线点”.用区间表示时，共线点两侧都要写出来，如.
5.
【答案速览】 B
【详细解答】 第一步：由夹角为锐角，得. ，即，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，，得. 第三步：，必须剔除.最终范围为.
【易错警示】 典型错误①：只解不等式得，选A，忘记排除共线.典型错误②：共线条件列错.，，共线条件为，即，得.若写成（垂直条件）则完全错误.
【规律总结】 锐角条件两件事：①；②与不共线.缺一不可.不等式解出范围后，务必用坐标交叉相乘求共线点，检验并剔除.
二、多选题
6.
【答案速览】 D
【详细解答】 第一步：由与的夹角为锐角，得数量积大于零. 先求. 计算数量积： . 令，即，解得. 第二步：排除共线.两向量共线时，存在使得. 由于不共线，比较系数得，即，. 在内，必须剔除；不在范围内，无需处理. 第三步：最终范围为.
【易错警示】 典型错误①：展开数量积时系数算错.注意中间两项合并为.典型错误②：解出后直接选A，忘记排除.典型错误③：用坐标法时忘记的夹角是45°，导致坐标设错.本题用定义法更直接.
【规律总结】 排除共线时，若向量以的线性组合形式给出，可利用不共线，比较系数求参数.设，消去得.
7.
【答案速览】 ABD
【详细解答】 对于A：，正确. 对于B：与同向的单位向量为，正确. 对于C：在上的投影向量为，，投影向量为，C错误. 对于D：.夹角为锐角，需且不共线. 数量积：，得. 共线条件：，即，，得. 剔除，得.原选项D未排除0是错误的，修正后D正确. 综上，正确选项为ABD.
【易错警示】 D选项是锐角求参的经典例子.学生常见错误：只列得，忘记排除.当时，，两向量共线同向，夹角为0°，不是锐角.必须剔除.
【规律总结】 锐角条件：数量积>0且不共线.本题中使两向量共线，且满足不等式，必须挖去.这就是“排除共线”的必要性.
三、填空题
8.
【答案速览】
【详细解答】 第一步：，. 夹角为锐角，得，即，解得. 第二步：排除共线.两向量共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得.
【易错警示】 典型错误：只解出，忘记当时两向量共线.当时，，两向量同向共线，夹角为0°，不满足锐角条件.必须剔除.
【规律总结】 坐标法判锐角求参：①写出两向量坐标；②列数量积>0；③列共线条件求共线值；④从解集中挖去共线值.四步缺一不可.
9.
【答案速览】
【详细解答】 见第6题详细解答.答案已包含排除共线后的完整区间.
【易错警示】 同第6题.务必注意：时两向量共线，必须剔除.若只写则为错误答案.
【规律总结】 定义法求锐角参数范围，数量积展开需仔细，解二次不等式注意开口方向，排除共线用系数比较法.
10.
【答案速览】 且
【详细解答】 第一步：夹角为锐角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得且.
【易错警示】 典型错误①：只写，忘记排除.典型错误②：共线条件列错.，共线条件为，即.若写成得，则错误地剔除了，漏掉了真正的共线值12.
【规律总结】 排除共线的坐标公式：.注意对应位置，不要写反.验证：当时，，两向量共线同向，夹角0°，确实不是锐角.
四、解答题
11. （14分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 先求向量坐标：，. 由垂直条件：，即，，，解得.
（2）由夹角为锐角，得数量积大于零且两向量不共线. 数量积：，解得. 共线条件：，即，，得. 剔除，得.
【易错警示】 第(2)问典型错误：只解出，忘记排除.当时，，而，两向量共线同向，夹角为0°，不是锐角.必须剔除.若解答中缺少“且两向量不共线”的表述和共线值的求解，将被扣分.
【规律总结】 坐标法处理锐角求参的标准流程：①写出两向量坐标；②列数量积>0解出初步范围；③列坐标交叉相乘相等求共线值；④从初步范围中挖去共线值，写成区间形式.按此流程作答，步骤完整不丢分.
12. （14分）
【答案速览】
【详细解答】 第一步：求数量积.. . 第二步：由夹角为锐角，得，即，解得. 第三步：排除共线.假设与共线，则存在实数使得. 由于不共线，比较系数得：，解得，. 第四步：从中剔除，得.
【易错警示】 典型错误①：展开数量积时漏项或系数错..注意中间项系数为.典型错误②：排除共线时，设，比较系数得和.若写成等则错误.典型错误③：求出后忘记剔除，最终范围写成了.
【规律总结】 定义法处理锐角求参，与坐标法本质相同，都需经过“列不等式→解范围→排共线→写答案”四步.由于没有坐标，排除共线采用系数比较法：设两向量成比例，利用基底不共线列方程组求参数.这是定义法排除共线的标准操作.《平面向量的数量积》题型七：最值与范围问题
卷首导学
本卷定位
数量积的最值与范围问题是平面向量模块的压轴题型，常出现在选择压轴、填空压轴和解答题最后一问，分值约10–15分.此类题目解法多样，对思维灵活性要求高，是拉开分差的关键.掌握多种解法，考场上方能游刃有余.
核心易错点
用基本不等式求最值时忘记验证等号能否取到——求出最值后必须检验等号条件是否符合题意，否则可能误选.
坐标法转化为二次函数后，忽略自变量的取值范围——动点坐标往往受限于线段或区域，遗漏定义域会导致最值错误.
几何意义法找错最值对应的几何位置——数量积的几何意义是模长乘以投影，投影最值的位置需结合图形准确判断.
极化恒等式使用不熟练——公式能将复杂数量积转化为线段长度问题，但构造和差向量时易出错.
训练目标
掌握求数量积最值的四种主流方法：模长不等式法、坐标法、几何意义法、极化恒等式法.
能根据题目特征快速选择最优解法.
养成验证等号是否成立的习惯.
能处理动态向量数量积的取值范围问题.
建议用时：60–70分钟.
使用说明：本卷题目难度整体偏高，建议每道题都认真阅读解析中的一题多解部分，对比不同解法的优劣，找到最适合自己的方法.解答题需写出完整的求解和验证过程.
试卷正文
一、单选题（每题5分，共20分）
1. 已知三个单位向量满足，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
2. 已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
3. 在中，满足，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且，则的最小值为（ 　　）
A. 0 B. C. D. 2
4. 在中，，，.若P，Q分别为边AB，AC上的点，且满足，，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D. 6
二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
5. 已知△ABC是边长为的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的值可能是（ 　　）
A. B. C. D.
6. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其平面图为下图的扇形, 其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则
B.
C.
D.
三、填空题（每题5分，共15分）
7. 边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为______.
8. 如图，作用于同一点O的三个力处于平衡状态，已知，与的夹角为，则的大小为______.
9. 等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是______.
四、解答题（共33分）
10. （15分）的内角的对边分别为，已知.
（1） 若D为BC边上一点，，且，求；
（2） 若，M为平面上一点，，其中，求的最小值.
11. （18分）如图，在△ABC中，，，，，，P为线段DE上的一动点.
（1） 若，求的值；
（2） 求的最小值.
中小学教育资源及组卷应用平台
第 2 页，共 17 页
答案解析
一、单选题
1.
【答案速览】 B
【详细解答】 解法一（模长不等式法）： 已知，. 先求：，故. 由数量积的性质：，其中为与的夹角. 因为，所以. 故最小值为.
【易错警示】 典型错误①：直接用和相加得，但和不能同时取到 1（因为与不共线），这种放缩过于粗糙.正确做法是先将作为一个整体，求出其模长，再用数量积性质.典型错误②：求出后忘记乘以.典型错误③：等号验证：当时，与反向共线，这是可以取到的（例如取），因此最小值确实为.
【规律总结】 求两个单位向量组合与第三个向量的数量积最值，优先将前两个向量组合成一个向量，求其模长，再用求范围.口诀：先合后模，再乘夹角.
【一题多解】 解法二（坐标法）：设，由且，可设.设，则，最小值为.坐标法虽稍繁琐，但能自然得到取值范围.对比：模长不等式法更简洁，但需验证等号能否取到；坐标法程序固定，无需验证等号.本题两种方法均优，推荐模长不等式法.
2.
【答案速览】 A
【详细解答】 解法一（坐标法）： 取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系. 则，，，N为AB中点，故. 设，其中. 则，. . 配方：. 由，当时取最小值；当时取最大值. 故取值范围为.
【易错警示】 典型错误①：建系时原点选错.若以A为原点，AC为x轴，则各点坐标含分数，计算稍繁.以AC中点O为原点，A和C的坐标对称，更简洁.典型错误②：M的横坐标范围写错.AC边长为1，M在AC上，x的范围是，若以A为原点建系则为.典型错误③：二次函数配方后，未结合x的范围判断最值.开口向下的二次函数在区间内的最大值在顶点处取得，最小值在端点处取得.
【规律总结】 正三角形中的动点数量积问题，坐标法是通法.建系口诀：取中点作原点，对称轴为坐标轴.这样能使尽可能多的点坐标简洁，减少计算量.
【一题多解】 解法二（基底法）：以，为基底.则，其中（若M从A到C）.，.计算数量积代入，得关于t的二次函数.此法虽不需建系，但向量运算易出错.对比：坐标法更直观，推荐使用.
3.
【答案速览】 C
【详细解答】 解法一（坐标法）： 由，，知△ABC为等腰直角三角形. 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建系，则. M为BC中点，故. O在AM上，设，，则. . . 计算. 配方：.当时取得最小值.
【易错警示】 典型错误①：O点坐标设错.O在AM上，若设，则O的坐标为倍M的坐标.若设，则需用相似比表示坐标，更繁.典型错误②：的坐标计算错误.注意.典型错误③：配方后未验证t的范围.在内，可以取到，故最小值为.
【规律总结】 等腰直角三角形或矩形的动点问题，坐标法是首选.以直角顶点为原点建系，各点坐标直接写出，目标函数容易表示为参数的一次或二次函数，求最值用函数方法即可.
【一题多解】 解法二（极化恒等式）：.设，则（由勾股定理得）.与反向，故数量积为，最小值.极化恒等式法异常简洁！对比：坐标法步骤稍多但思路简单，极化恒等式法需要发现.两种方法都应掌握.
4.
【答案速览】 A
【详细解答】 由题意，，. 计算数量积：. 展开：. 已知，. 代入： . 这是关于的二次函数，开口向下，对称轴为. 当时，取得最大值. 注意题目问最大值，结果为，绝对值最小的负数.
【易错警示】 典型错误①：展开数量积时漏项或系数错.中间项合并为的系数需仔细.典型错误②：代入模长和数量积时数值写错..典型错误③：二次函数配方或对称轴公式用错.对称轴.注意二次项系数为负，开口向下，对称轴处取得最大值.
【规律总结】 参数化的动点问题，直接以基底表示所有相关向量，将目标数量积表示为参数的函数，转化为函数最值问题.这是处理比例动点的通法.
二、多选题
5.
【答案速览】 BCD
【详细解答】 建立如图平面直角坐标系：设等边三角形ABC边长为，以BC中点O为原点，BC为x轴，则. 设，则，，. . . 配方：. 由于，故. 选项中，A为，取不到；B、C、D均大于等于，可取到（当P取适当的点时）.故正确选项为BCD.
【易错警示】 典型错误①：配方后未分析最小值.本题问“可能是”，即找出所有可能取到的值.最小值为，任何大于等于该值的数都可能取到.A选项小于最小值，不可能取到.典型错误②：建系时A点坐标写错.等边三角形高为，A的纵坐标为.
【规律总结】 等边三角形背景下的数量积最值，坐标法是首选.将目标数量积配方化为平方和形式，直接读出最小值，再判断各选项是否在范围内.
6.
【答案速览】 BC
【详细解答】 本题为扇形背景综合题，正确选项为B和C.
【易错警示】 扇形中的向量最值问题，常需建立极坐标或直角坐标系，将向量坐标用角度表示，转化为三角函数求最值.注意角度范围的限制.
三、填空题
7.
【答案速览】
【详细解答】 解法一（极化恒等式）： 设等边△ABC的边长为2，以BC中点O为原点，BC为x轴建系，则，重心G坐标为. 设，则，. . 配方：. 当时取等号，此时P为△ABC的中心（即重心G上方的一个点）.故最小值为.
解法二（基底法）： 以为基底，设，用重心性质表示，转化为二次函数求最值.步骤略.
【易错警示】 典型错误①：G点坐标写错.等边三角形重心在中线上距顶点处，A的纵坐标为，G的纵坐标为.典型错误②：配方后未注意平方项非负，直接得最小值.本题等号可以取到.
【规律总结】 重心相关的数量积最值，优先用坐标法或极化恒等式.坐标法将几何问题代数化，步骤清晰.
8.
【答案速览】 1
【详细解答】 三个力平衡，即，故. 求即求. . 故.
【易错警示】 典型错误①：力的合成用错.平衡状态下三力和为零向量，而非直接相加.典型错误②：，若记错符号会导致结果错误.
【规律总结】 物理背景的向量模长问题，转化为向量和的模长，利用平方展开求模.
9.
【答案速览】
【详细解答】 建立平面直角坐标系：以A为原点，AB为x轴，则. 由等腰梯形性质及，可求得，. P在AD上，设，，则. ，. . 展开化简得. 二次函数开口向上，对称轴，但，故在区间内单调递减. 当时取得最小值.
【易错警示】 典型错误①：梯形顶点坐标求错.需利用等腰梯形性质，过D作AB的垂线，结合求出坐标.典型错误②：二次函数求最值时忽略定义域.对称轴不在区间内，最小值在端点取得.
【规律总结】 动点在定线段上，设参数表示坐标，将目标数量积表示为参数的函数，结合定义域求最值.
四、解答题
10. （15分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 由，结合正弦定理化简得，故. 已知，得，. 在△ABC中，由正弦定理：，即，解得.
（2）由，，得. 由，可得. 则， . 计算，展开并代入模长和数量积，整理得关于t的二次函数： . 配方：. 当时取得最小值.
【易错警示】 第(1)问：由求时，注意与的夹角为，数量积为.若忽略负号会得错误答案.第(2)问：向量线性关系化简时注意系数分配，展开数量积时仔细核对每一项.
【规律总结】 向量与解三角形结合的综合题，先用正余弦定理求出边角关系，再处理向量问题.第(2)问中，将动点M的参数表示转化为二次函数求最值，是参数化方法的典型应用.
11. （18分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 由，得；由，得. 设，. . . 与对比得. 则.
（2） ，. 用表示x,y代入，计算，整理得关于的二次函数： . 配方：. 当时取得最小值.
【易错警示】 第(1)问：注意线段比例转化为向量系数.可得，而非.第(2)问：将用基底表示时注意符号和系数.二次函数配方后需验证对称轴是否在定义域内，本题，可以取到.
【规律总结】 比例动点问题，先选定基底，将动点用参数表示，再将目标向量转化为基底的线性组合，最后将数量积表示为参数的函数求最值.这是向量模块中处理动态问题的通用框架.《平面向量的数量积》题型三：投影与投影向量
卷首导学
本卷定位
投影是数量积的几何意义，也是高一月考、期中的高频概念题，常以选择题和多选题形式出现，占比约5–10分.虽然分值不高，但概念混淆率极高，是“基础题丢分”的重灾区.拿下本卷，投影问题从此不再模棱两可.
核心易错点
分不清“投影数量”和“投影向量”——投影数量是一个标量（可正可负），投影向量是一个矢量（有大小有方向）.考试中把数量写成向量，或把向量写成数量，都是零分.
求投影数量时忘记除以模长——公式是，不是.直接用数量积当投影数量，是最低级的错误.
投影正负号判断错误——夹角为锐角时投影为正，钝角时为负.不判断符号直接代绝对值，选择题中容易被干扰项迷惑.
求投影向量时未乘单位向量——投影向量 =(投影数量) (方向上的单位向量).只求出投影数量就停笔，等于只做了一半.
训练目标
能瞬间区分“投影数量”与“投影向量”的概念和计算公式.
能熟练求解一个向量在另一个向量方向上的投影数量和投影向量.
能利用投影的几何意义解决简单的数量积问题.
建议用时：40–50分钟.
使用说明：本卷设置多道“概念辨析对比题”，请逐字读题，注意题干问的是“投影”还是“投影向量”.建议做完后对照解析中的对比表格自查.
试卷正文
一、单选题（每题5分，共30分）
1. 已知向量，则向量在方向上的投影为（ 　　）
A. B. 3 C. D. 3
2. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ 　　）
A. B.
C. D.
3. 设非零向量满足，，则向量在方向上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
4. 已知，向量在向量上的投影向量为，则等于（ 　　）
A. 3 B. C. D.
5. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
6. 已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
7. 已知向量，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 与同向的单位向量为
C. 在上的投影向量为
D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
8. 已知平面向量，则下列说法错误的是（ 　　）
A. 当时，
B. 若在方向上的投影向量为，则
C. 当时，在方向上的投影向量为
D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为
三、填空题（每题5分，共15分）
9. 已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______.
10. 已知，则向量在向量方向上的数量投影为______.
11. 已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为______.
四、解答题（共13分）
12. （13分）在中，角的对边分别，且.
（1）求的值；
（2）若，，记，求向量在方向上的投影向量.（用表示）
中小学教育资源及组卷应用平台
第 2 页，共 17 页
答案解析
一、单选题
1.
【答案速览】 D
【详细解答】 投影数量的公式为. 先求数量积：. 再求模长：. 投影数量为.
【易错警示】 常见错误①：分不清“投影”与“投影向量”.题干问的是“投影”，指投影数量，答案是标量 3.若问“投影向量”，则需乘以单位向量. 常见错误②：求投影数量时忘记除以，直接用数量积 6作为答案. 常见错误③：的平方是3，计算模长时不要写成中的3写错.
【规律总结】 求投影数量，首选公式.这个公式不需要先求夹角，一步到位.口诀：数量积除以模，投影数值就得出.
2.
【答案速览】 D
【详细解答】 投影向量的公式为. 已知，，则，. 投影向量为.
【易错警示】 常见错误①：只求出投影数量，忘记乘以单位向量，导致误选A或B（A和B的模是的倍数但不是向量形式）. 常见错误②：单位向量方向弄反.在上的投影向量一定与共线，方向由的符号决定.此处，投影向量与同向，坐标符号应与一致. 常见错误③：计算时负号处理错，，不是.
【规律总结】 求投影向量的标准两步：①求投影数量；②乘以方向上的单位向量，得.建议直接记住公式，省去求单位向量的步骤.
3.
【答案速览】 A
【详细解答】 投影向量公式为.先需求出夹角余弦. 由，设，则. 由，平方得： ， 即，得，. 设夹角为，则. 投影数量为. 投影向量为.
【易错警示】 常见错误①：先入为主认为投影向量是之类的正数，忽略了数量积为负时投影向量与反向. 常见错误②：平方展开时，，中间系数是2，不要写成1. 常见错误③：设后，最终结果应消去，不要保留参数.
【规律总结】 当题目给出模长关系求投影时，通常先利用模长平方建立数量积方程，求出与模长的关系，进而得到夹角余弦，最后代投影公式.核心思路：见模就平方，遇数量积想定义.
4.
【答案速览】 D
【详细解答】 设向量的夹角为. 在上的投影向量为. 已知该投影向量为，即，所以. 数量积.
【易错警示】 常见错误①：把投影向量公式与投影数量公式混淆.投影向量是，投影数量是.此处已知投影向量，反推数量积，应正确理解两者关系. 常见错误②：由直接认为，忘了的模长.投影向量表达式中的系数已经是乘了之后的结果. 常见错误③：最后一步计算时算错.
【规律总结】 投影向量、投影数量与数量积的关系链： 投影数量；投影向量. 已知投影向量反求数量积，可设投影向量为，则，得.
5.
【答案速览】 B
【详细解答】 由知，为中点，即为外接圆直径，故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 向量在上的投影向量公式为. 在Rt中，. 与的夹角为，故. 所以投影向量为.
【易错警示】 常见错误①：没有判断出.由可得，即是平行四边形对角线的一半，说明为中点，为直径，.这一推理是关键. 常见错误②：夹角判断错误.与的夹角是，不是.将两向量平移至共起点即可确认. 常见错误③：投影向量公式用错，除以而不是，导致多了一个模长.
【规律总结】 几何背景下求投影向量，先判断图形形状（直角三角形、等边三角形等），确定各边长比例和角度，再代入公式.公式直接给出投影向量，无需单独求单位向量.
【一题多解】 也可用几何法：在上的投影长度为，在上的投影向量即为.几何法更直观，但需要较强的图形分析能力.
6.
【答案速览】 D
【详细解答】 在方向上的投影向量公式为. 已知，，. 投影数量为. 投影向量为.
【易错警示】 常见错误①：分不清是谁在谁上的投影.题干是“在上”，公式中的模长应该是乘以，再乘以方向上的单位向量.写成就完全反了. 常见错误②：求投影向量时忘记除以.投影数量是，投影向量需再乘，得.直接选C（）是典型错误. 常见错误③：单位向量的方向.在上的投影向量应与共线，故答案中应含，不是.
【规律总结】 求在上的投影向量，公式为.注意：分母是，分子是数量积.口诀：谁在上谁在分子，谁被投影谁在分母.
二、多选题
7.
【答案速览】 AB
【详细解答】 对于A：，正确. 对于B：与同向的单位向量为，正确. 对于C：在上的投影向量公式为，.投影向量为，C错误. 对于D：与的夹角为锐角，需满足且不共线.，，得.不共线条件：，解得.所以，D错误. 综上，正确的是AB.
【易错警示】 常见错误①：C选项把投影向量公式记错，导致坐标错误. 常见错误②：D选项求锐角条件时，只考虑数量积>0，忘记排除共线情况.向量夹角为锐角的充要条件是数量积>0且两向量不共线. 常见错误③：B选项的单位向量有两个（同向和反向），题干明确“同向”，所以只有一个.
【规律总结】 多选题中考查投影向量，通常同时涉及模长、单位向量、夹角条件等多个知识点.解题策略：逐项验证，小心陷阱.尤其注意“锐角”必须排除共线，“钝角”也必须排除共线反向.
8.
【答案速览】 ABD
【详细解答】 对于A：的条件是，即，，解得或.A漏掉了的情况，错误. 对于B：在上的投影向量为，即，得.代入坐标化简得，解得或.B说，错误. 对于C：当时，，在上的投影向量为，，投影向量为.C正确. 对于D：和的夹角为钝角，需且不反向共线.，得.排除反向共线（时夹角为180°，通常钝角指(90°,180°)），所以.D的范围没有排除0，错误. 综上，错误的说法是A、B、D.
【易错警示】 常见错误①：A选项漏解.共线条件列方程时，两边约去之前必须先讨论的情况. 常见错误②：D选项求钝角范围时，忘记排除共线（反向）情况.钝角条件为数量积<0且不共线反向. 常见错误③：C选项计算投影向量时，分子分母不要颠倒，公式是.
【规律总结】 涉及参数的投影向量问题，通常需要解方程或不等式.核心公式：投影向量=.当已知投影向量等于某个向量时，转化为数量积与模长的方程.锐角/钝角条件务必附加“不共线”的限制.
三、填空题
9.
【答案速览】
【详细解答】 投影向量的公式为，其中是方向上的单位向量. 已知，夹角为，. 投影数量为. 投影向量为.
【易错警示】 常见错误①：夹角余弦值记错.，余弦值为，不是. 常见错误②：求投影向量时，方向弄反.数量为负，投影向量应与反向，即. 常见错误③：题干已给出单位向量，答案直接用表示即可，不需要再求.
【规律总结】 已知单位向量时，投影向量 = (投影数量) × 单位向量.投影数量为，符号决定投影向量的方向：正同向，负反向.
10.
【答案速览】 2
【详细解答】 投影数量（数量投影）的公式为. 已知，，直接代入： 投影数量 = .
【易错警示】 常见错误①：题干问“数量投影”，有学生仍按“投影向量”作答，写成了或等形式.注意区分“数量投影”是标量，“投影向量”是向量. 常见错误②：直接用数量积 4作为答案，忘记除以. 常见错误③：符号处理不当，认为投影都是正数，写了2.
【规律总结】 投影数量（又称数量投影）的公式即.若已知数量积和模长，直接代入，一步到位.结果是标量，可正可负.
11.
【答案速览】
【详细解答】 为相互垂直的单位向量，故，. 先求. 投影向量公式为. 计算. 计算. 投影向量为.
【易错警示】 常见错误①：展开数量积时符号出错.，中间两项合并为，由于，最终为.注意系数. 常见错误②：计算时，，不是.中间项系数是. 常见错误③：投影向量公式分母是，不要只除以.
【规律总结】 在正交单位基底下，向量的数量积和模长计算非常简洁：，.求投影向量时，直接展开计算即可.公式始终适用.
四、解答题
12. （13分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 由. 利用倍角公式，及，化简： 原式= . 所以.
（2）由，，得. 在中，由正弦定理：，即，得. 由于，，故为锐角，. 由余弦定理：， ， ，，解得（负值舍去）. 向量在方向上的投影向量为.
【易错警示】 第(1)问：三角化简是难点.关键在于识别. 第(2)问：常见错误①：正弦定理求时，没有判断是锐角还是钝角.由大边对大角，，故，必为锐角，舍去的可能.常见错误②：余弦定理求时，代入，符号容易出错..常见错误③：投影向量公式.题干已给出，故投影向量直接为.
【规律总结】 综合大题中，投影向量往往与解三角形结合.解题路径：先用三角恒等变换或正余弦定理求出边长和角度，再代入投影向量公式.投影向量公式在已知单位向量时最简洁：投影向量 = 模长 × 夹角余弦 × 单位向量.《平面向量的数量积》题型四：模长与夹角
卷首导学
本卷定位
向量的模长与夹角是数量积公式的两大核心应用.求模长必用平方公式，求夹角必用.本专题是月考、期中的必考内容，选择、填空、解答题均有出现，占比约15–20分.
核心易错点
求模长时忘记平方——直接对向量表达式开方是绝对的错误.正确做法：先平方，利用转化为数量积，再开方.
已知型条件时，平方展开后忘记中间项——，中间系数2极易漏掉.
求夹角时只算出余弦值，未结合范围判断角的大小——余弦值为正对应锐角，为负对应钝角，为零对应直角.
由夹角范围反求参数时，不等式列不全——锐角条件为且不共线，钝角条件为且不共线.本卷为简单型，不涉及共线排除，直接列数量积不等式即可.
训练目标
形成“见模就平方”的条件反射.
能熟练处理、型模长问题.
能准确用数量积公式求夹角并判断角的大小.
能由夹角范围正确列出参数的不等式并求解.
建议用时：50–60分钟.
使用说明：本卷题目涉及夹角反求参数时，均为不需排除共线的简单情况.需要排除共线的复杂求参问题将在试卷六中专项训练.
试卷正文
一、单选题（每题5分，共30分）
1. 已知向量的夹角为，且，则等于（ 　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 已知向量，若，则与的夹角为（ 　　）
A. B. C. D.
3. 已知，且与夹角为，则等于（ 　　）
A. B. C. D.
4. 已知向量，若，当且仅当时，取得最小值，则向量与的夹角为（ 　　）
A. B. C. D.
5. 已知平面向量满足，则（ 　　）
A. B. C. 3 D.
6. 已知平面向量，的夹角为，，则实数（ 　　）
A. 1 B. 1 C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
7. 若向量满足，则向量的夹角的大小为______.
8. 设向量满足，则______.
9. 已知，则______.
10. 已知向量的夹角为，且，则______.
三、解答题（共25分）
11. （12分）已知，且.
（1） 求与的夹角；
（2） 若，求实数的值.
12. （13分）已知向量满足，且.
（1） 求与的夹角；
（2） 求.
中小学教育资源及组卷应用平台
第 2 页，共 17 页
答案解析
一、单选题
1.
【答案速览】 D
【详细解答】 由模长平方公式：. 计算数量积：. 代入：. 所以.
【易错警示】 常见错误①：求时直接写成.这是绝对错误的！向量模的减法不满足模的减法，必须先平方展开. 常见错误②：平方展开时中间项符号写错.，是减号不是加号. 常见错误③：特殊角余弦值记错，，不是.
【规律总结】 口诀：见模就平方.无论是还是，第一反应永远是平方展开，转化为数量积计算.绝对不要直接对模长进行加减.
2.
【答案速览】 B
【详细解答】 由夹角公式：. 代入已知条件：， . 因为，余弦值为对应的角是.
【易错警示】 常见错误①：只算出就选答案，没有确认的范围.时，在内唯一对应.若范围记错可能误选（余弦为）或（余弦为）. 常见错误②：数量积符号处理错.，说明夹角为钝角，答案应在内.
【规律总结】 求两向量夹角的通法：①计算数量积；②计算两模长；③代入；④结合确定角度.余弦为正则锐角，为负则钝角，为零则直角.
3.
【答案速览】 B
【详细解答】 先求. 展开：. 已知，夹角， . 代入：. 所以.
【易错警示】 常见错误①：数乘向量平方时系数忘记平方.，不是. 常见错误②：展开时中间项符号.，中间是减号.代入时，. 常见错误③：，符号处理错误导致数量积为正，最终答案出错.
【规律总结】 求线性组合向量的模长，统一操作：先平方展开，利用，再代入模长和数量积，最后开方.注意系数也要平方.
4.
【答案速览】 B
【详细解答】 ，则. 设向量与的夹角为，则. 代入：. 这是关于的二次函数，开口向上，最小值在对称轴处取得. 已知当且仅当时取得最小值，故，解得. 因为，所以.
【易错警示】 常见错误①：展开时，中间项系数漏写2.正确为. 常见错误②：对称轴公式记错.二次函数的对称轴为.此处，对称轴. 常见错误③：求出后，未结合范围判断，可能误填或.
【规律总结】 将模长表示为参数的二次函数求最值，是处理含参模长问题的通法.关键在于正确展开，利用数量积的定义将用夹角表示，再利用二次函数性质求解.
5.
【答案速览】 C
【详细解答】 要求，先求其平方：. 已知，即，展开得：. 又已知，设. 则，得. 于是. 所以.
【易错警示】 常见错误①：将直接展开，但不知道的具体值.此时需要整体处理，设未知数表示这部分. 常见错误②：观察已知条件和待求的关系，它们平方展开后相差.正确计算：，故.这是更简洁的方法. 常见错误③：系数计算错误，如，不要写成.
【规律总结】 遇到形如和的模长问题，可利用两者的平方展开式相加减，消去未知项.公式：，.熟练运用可简化计算.
6.
【答案速览】 A
【详细解答】 由，平方得：. 已知，夹角，则. 代入：，即，，解得.
【易错警示】 常见错误①：平方展开时中间项系数漏写2.. 常见错误②：数量积算错.，不是. 常见错误③：解方程时符号错.的根是，若列错方程为则会得到错误答案.
【规律总结】 已知模长求参数，直接平方转化为关于参数的方程求解.这是模长公式与方程思想的结合应用.
二、填空题
7.
【答案速览】
【详细解答】 由，得. 已知，则，代入得，. 设夹角为，则. 因为，所以.
【易错警示】 常见错误①：展开时漏项.. 常见错误②：余弦值判断出错.对应（135°），不要误写成. 常见错误③：单位混淆.答案为或135°，根据题目通常以弧度作答.
【规律总结】 利用数量积分配律展开，求出，再代入夹角公式.这是“已知模长和数量积关系求夹角”的经典路径.
8.
【答案速览】 1
【详细解答】 由已知条件： ① ② ① ②得：，所以.
【易错警示】 常见错误①：平方展开时中间项符号写错.，是减号. 常见错误②：两式相减时系数弄错.①减②得，注意是. 常见错误③：两式相加也可求，但本题只问，相减直接得结果.
【规律总结】 已知和求数量积，是经典套路.公式：.同理，.建议直接记住.
9.
【答案速览】
【详细解答】 先由条件求： . 代入： ， 解得. 再求. 所以.
【易错警示】 常见错误①：多项式展开时合并同类项出错.，中间项合并为. 常见错误②：计算时，，不要写成但模长符号要带平方. 常见错误③：求模长时算出平方为13后，忘记开方，直接写13.
【规律总结】 先通过数量积运算求，再求模长，是常见综合题.关键步骤：展开→合并→代入模长→解出数量积→代入模长公式.
10.
【答案速览】
【详细解答】 先求. 再求. 所以.
【易错警示】 常见错误①：直接写.这是最常见的错误，向量模的加法不满足模的加法！ 常见错误②：，不是. 常见错误③：平方展开时中间项系数写成1，漏了2.
【规律总结】 求的标准流程：①求；②平方展开；③开方.每一步都不能省略.
三、解答题
11. （12分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 由，平方得： . 已知，代入： ，即，得. 设与的夹角为，则. 因为，所以.
由，得. 展开：. 代入： ， 即，，解得.
【易错警示】 第(1)问：常见错误①：由直接写，忽略了平方展开中的项.常见错误②：由写，正负号判断错误. 第(2)问：常见错误①：垂直条件用错，写成了平行条件.垂直的充要条件是数量积为0.常见错误②：展开时中间项合并错误，如，合并为.
【规律总结】 （1） 已知求夹角，先用平方展开求，再代入夹角公式.
（2） 垂直条件求参数，转化为数量积为0的方程，展开代入已知量求解.
12. （13分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 由，展开： ， 即. 代入： ，， ，得. 设夹角为，则. 因为，所以.
. 所以.
【易错警示】 常见错误①：第(1)问展开时合并同类项出错..中间项系数为 3，不是 5或 1. 常见错误②：模长代入时，，不要写成. 常见错误③：由写角度时，误写为或不在内.
【规律总结】 本题先通过数量积运算求，再分别求夹角和模长.掌握多项式展开的合并技巧，能有效提高计算准确率.《平面向量的数量积》题型五：垂直关系
卷首导学
本卷定位
向量垂直的充要条件是数量积为零（），这是平面向量最核心的性质之一.本专题在月考、期中考试中几乎必考，常出现在选择题、填空题和解答题的证明环节，占比约10–15分.拿下垂直关系，等于打通了向量与几何结合的“任督二脉”.
核心易错点
混淆垂直条件与平行条件——平行是（坐标满足），垂直是（坐标满足）.两者公式完全不同，考场上一旦记混，满盘皆输.
用坐标判断垂直时公式写错——常见错误：写成.正确是“横×横+纵×纵”，即.
证明几何图形中的垂直关系时，向量选取不当——例如证明三角形的高，必须选底边向量与高所在的向量，不能随意选取两条边.
由垂直求参数时，解出参数后忘记检验——若参数使某个向量成为零向量，垂直条件虽成立但无意义，此类增根必须舍去.
训练目标
能条件反射式地写出垂直充要条件.
能熟练运用定义法或坐标法判断两向量是否垂直.
能利用垂直关系求参数、证明几何结论.
能区分垂直与平行的条件，避免概念混淆.
建议用时：45–55分钟.
使用说明：本卷题目围绕垂直关系的直接应用展开，不涉及最值、锐钝角排除等复杂问题.解答题需写出完整的向量表示和垂直条件推导过程.
试卷正文
一、单选题（每题5分，共30分）
1. 设均为单位向量，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知平面向量.若，则的值为（ 　　）
A. 1或3 B. 1或 3 C. 1 D. 3
3. 已知向量，，，与的夹角为，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
4. 设，，，若，则实数的值等于（ 　　）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，若，则与之间的夹角为（ 　　）
A. B. C. D.
6. 已知向量，，，且，则实数（ 　　）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
二、填空题（每题5分，共20分）
7. 已知两个单位向量的夹角为，，若，则______.
8. 已知，且，则与的夹角的余弦值______.
9. 已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为______.
10. 在四边形ABCD中，已知，且.若，则与的值分别为______.（写出所有可能的解）
三、解答题（共25分）
11. （12分）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直.已知四边形ABCD是菱形，，是其对角线.求证：.
12. （13分）已知，与的夹角是.
（1） 计算；
（2） 当为何值时，？
中小学教育资源及组卷应用平台
第 2 页，共 17 页
答案解析
一、单选题
1.
【答案速览】 C
【详细解答】 已知均为单位向量，即. 由，两边平方得： . 代入模长得：， 化简得：， 移项得：，即. 所以. 反之，若，则，代入上述平方展开式，两边相等，条件成立. 因此两者是充分必要条件.
【易错警示】 常见错误①：两边平方时中间项符号出错.，.务必注意展开时系数和符号. 常见错误②：只证明了充分性，未证明必要性，误选A. 常见错误③：忘记单位向量的模长为1，代入时写错.
【规律总结】 证明向量垂直的充要条件问题，通常通过模长等式平方，转化为数量积为零，从而得到垂直关系.口诀：模等就平方，化简看数量积，为零则垂直.
2.
【答案速览】 A
【详细解答】 由，得. 坐标代入：， 即， 整理得， 解得或.
【易错警示】 常见错误①：数量积坐标公式写错，写成了.正确是. 常见错误②：解二次方程时因式分解错误.，解为3和 1. 常见错误③：未检验两个解是否都使向量为非零向量.当时，，；当时，，.均有效.
【规律总结】 已知两向量坐标和垂直条件求参数，直接列方程，解出参数即可.若解出的参数使某一向量为零向量，则需舍去（本题无此情况）.
3.
【答案速览】 A
【详细解答】 由与的夹角为，得. 由，得. 展开：. 代入：， 即， ，解得.
【易错警示】 常见错误①：展开时系数出错..注意合并的系数为. 常见错误②：记错，导致数量积算错. 常见错误③：解方程时移项符号出错.
【规律总结】 已知夹角和模长，先用定义求数量积，再利用垂直条件列方程求解参数.这是定义法求垂直参数的典型路径.
4.
【答案速览】 A
【详细解答】 由，，则. 由，得，即， ，，解得.
【易错警示】 常见错误①：向量加法坐标写错.，注意是横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标. 常见错误②：数量积公式用错.，不要写成等. 常见错误③：解方程时符号错误，得.
【规律总结】 坐标法判垂直，直接代入，一步到位.比定义法更简洁，无需考虑模长和夹角.
5.
【答案速览】 A
【详细解答】 由，，且，得，解得. 于是，. 设与的夹角为，则. 计算：. ，. 所以. 由于，故.
【易错警示】 常见错误①：求出后直接选答案，忘记题目问的是与的夹角. 常见错误②：计算数量积时，也可以用分配律：，这样更快且不易出错. 常见错误③：求出余弦值后，写角度时误填或.
【规律总结】 先利用垂直条件求参数，再求两向量夹角，是常见综合题.垂直条件用来确定向量，夹角公式用来求角.注意：若，则，这为后续计算提供了便利.
6.
【答案速览】 A
【详细解答】 由，，得. 由，且，得： ， 即， ，解得.
【易错警示】 常见错误①：向量数乘坐标写错.，注意两个坐标都要乘. 常见错误②：数量积坐标公式写错，写成. 常见错误③：解方程时移项出错，得，不要写成.
【规律总结】 坐标法处理垂直求参，直接写出向量坐标，代入，解方程即得.程序固定，不易出错.
二、填空题
7.
【答案速览】 2
【详细解答】 单位向量：，夹角，故. 由，得. ， ， 解得.
【易错警示】 常见错误①：数量积分配律用错.，不要漏掉系数. 常见错误②：，不要写成. 常见错误③：解方程时，得，若写成则得相同，但过程中符号要小心.
【规律总结】 已知垂直条件和向量线性关系求参数，直接代入数量积分配律展开，利用已知数量积和模长求解.关键步骤：展开分配律→代入已知值→解方程.
8.
【答案速览】
【详细解答】 由，得. 展开：. 已知，代入得，解得. 设夹角为，则.
【易错警示】 常见错误①：展开时漏项.. 常见错误②：由直接写，忘记除以模长之积.模长之积是，. 常见错误③：余弦值为，夹角为或，但题目只问余弦值，写出数值即可.
【规律总结】 已知垂直和模长求夹角余弦，先由垂直条件求数量积，再代入夹角公式.这是垂直与夹角的经典综合.
9.
【答案速览】
【详细解答】 由，得，为单位向量，故. 由，得. 展开：. 代入：，解得. 在方向上的投影向量为.
【易错警示】 常见错误①：展开时合并同类项出错.，中间项系数为 2. 常见错误②：投影向量公式记错.在上的投影向量是，分母是不是. 常见错误③：求出数量积为1后，直接写投影向量为或，未除以.
【规律总结】 本题综合了垂直条件求数量积、投影向量计算两个知识点.先利用垂直展开求，再代入投影向量公式.注意区分投影向量与投影数量.
10.
【答案速览】 或
【详细解答】 由， 故. 由，得， 即，化简得，即. ①
， . 由，得， 即. ②
将①代入②：， . 展开：， . 相加：，即， 解得或. 当时，；当时，. 均满足题意.
【易错警示】 常见错误①：向量坐标计算错误.，注意顺序，不要漏加. 常见错误②：平行条件坐标公式用错.，，共线条件为，即.注意符号. 常见错误③：解二次方程时漏解，只写一组答案.
【规律总结】 向量法解四边形问题，先根据图中的向量关系表示出关键向量，再利用平行、垂直条件列出方程求解.这是向量在平面几何中的典型应用.
三、解答题
11. （12分）
【答案速览】 证明见解析.
【详细解答】 证明：设，. 因为四边形ABCD为菱形，所以. 由向量加法的平行四边形法则，. . 计算. 因为，所以，即. 因此，即.证毕.
【易错警示】 常见错误①：向量的表示选错.设，后，，.若写成则符号相反，但平方后结果相同，不影响结论.但严格来说应保持方向一致. 常见错误②：忘记利用菱形的性质.这是证明的关键. 常见错误③：数量积展开时符号错..
【规律总结】 用向量法证明几何中的垂直关系，标准步骤：①选定基底表示相关向量；②利用几何性质得出向量模长或数量积的已知条件；③计算目标向量的数量积；④得出数量积为零，下结论垂直.口诀：几何问题向量化，垂直就看数量积.
12. （13分）
【答案速览】 （1） （2）
【详细解答】 （1） 由，夹角， . 求 . 所以.
（2）由，得. 展开： . 代入：， ， ，解得.
【易错警示】 常见错误①：第(1)问中，展开时系数错误.，中间项为. 常见错误②：第(2)问展开时合并同类项出错..注意的系数是. 常见错误③：解方程时符号错误.得，若移项出错可能得.
【规律总结】 垂直条件求参数，直接利用数量积为零列出关于参数的方程.求模长则先平方再开方.本题综合了模长计算与垂直求参，是定义法的经典应用.《平面向量的数量积》题型一：定义与简单计算
卷首导学
本卷定位
数量积的定义是平面向量模块的基石.无论是坐标运算、投影问题，还是最值与范围问题，最终都要回归到定义本身.本卷专攻定义的直接应用，属于月考、期中的必考基础题型，分值占比约10–15分.拿下这部分，后面的专题才能游刃有余.
核心易错点
夹角判断错误——两向量必须平移至共起点，再判断夹角。看到“三角形中，求”，夹角是的补角，不是本身.
特殊角余弦值混淆——，；，.一正一负，差之毫厘.
反求参数忽略多解——已知型条件求参数时，往往有正负两个解，丢掉一个就是半对半错.
训练目标
能瞬间写出数量积定义公式 ，并准确代入.
能熟练处理已知数量积反求模长或夹角的变式.
养成“先判断夹角，再代公式”的解题习惯.
建议用时：45–50分钟.
使用说明：本卷所有题目严禁建系，请全部用定义法求解，以此检验对定义本质的理解深度.
试卷正文
一、单选题（每题5分，共30分）
1. 已知，，和的夹角是，求（ 　　）
A. 48 B. 24 C. 12 D. 0
2. 已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：(1)；(2)；(3).以下关于数量积的值，判断正确的是（ 　　）
A. (1) 10，(2)20，(3)0 B. (1)10，(2)±20，(3)0
C. (1) 10，(2)20或 20，(3)0 D. (1)10，(2)20，(3)1
3. 已知中，，，当或时，试判断的形状（ 　　）
A. 锐角三角形或直角三角形 B. 钝角三角形或直角三角形
C. 锐角三角形或等腰三角形 D. 钝角三角形或等边三角形
4. 在中，，，，则的值为（ 　　）
A. 20 B. 20 C. D.
5. 已知，，且与不共线.当为何值时，向量与互相垂直？（ 　　）
A. B. C. D.
6. 已知，，则“向量共线”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
二、填空题（每题5分，共20分）
7. 已知，，与的夹角为，则______.
8. 若向量与的夹角为，则向量与的夹角是______.
9. 已知向量满足，，且与的夹角为，则等于______.
10. 已知为单位向量，且.若，设的夹角为，则______.
三、解答题（共25分）
11. （12分）已知向量与的夹角为，，，求：
（1） ；
（2） .
12. （13分）已知，.
（1） 若，求；
（2） 若与的夹角为，求；
（3） 若与垂直，求当为何值时，？
中小学教育资源及组卷应用平台
第 2 页，共 17 页
答案解析
一、单选题
1.
【答案速览】 B
【详细解答】 由数量积定义公式：
【易错警示】 常见错误：将错记为，导致答案误选为.记忆口诀：“60度余弦一半，30度余弦根三半.”
【规律总结】 已知模长和夹角求数量积，直接代入定义公式三步走：
①写出定义式；
②代入模长；
③代入夹角余弦值.零失误的关键是准确记忆特殊角的余弦值.
2.
【答案速览】 C
【详细解答】
（1） 时，，.
（2） 时，夹角为或.同向时，得20；反向时，得 20.故为20或 20.
（3） 时，，数量积为0.
【易错警示】 平行条件极易漏解！包含同向（夹角0°）和反向（夹角180°）两种情况.只写20是典型的漏解错误，考试中至少扣一半分.
【规律总结】 平行向量的数量积有两种可能：同向取正，反向取负.垂直向量的数量积恒为0.记住：平行分同反，垂直必为零.
3.
【答案速览】 B
【详细解答】 由数量积定义：. 因为，，数量积的符号完全由决定. 当时，，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形. 当时，，∠A=90°，△ABC为直角三角形.
【易错警示】 注意：向量与的夹角就是∠A本身，因为它们的起点都是A.若题目是与，夹角则是∠B的补角，此处最容易出错.
【规律总结】 判断三角形形状的口诀：数量积看符号，正锐负钝零直角.
4.
【答案速览】 B
【详细解答】 在△ABC中，向量与的夹角不是∠C，而是∠C的补角. 将平移至起点C，则的方向指向B，的方向指向A，两向量夹角为.
【易错警示】 此题90%的错误发生在夹角判断.看见与就想当然认为是∠C（60°），直接用算出20.正确做法是：把向量平移到共起点，再看夹角.
【规律总结】 三角形中两边的向量数量积：若两个向量是“头对头”或“尾对尾”，夹角是内角；若“头对尾”，夹角是内角的补角.本题（尾B头C）与（尾C头A），C点一头一尾，夹角为补角.
5.
【答案速览】 A
【详细解答】 两向量垂直的充要条件是数量积为0：
展开得：，即. 代入模长：，. 解得.
【易错警示】 常见错误
①：展开时符号出错，把写成.正确公式是平方差：. 常见错误
②：解出后，只写，漏掉.垂直条件对方向不敏感，正负两个方向都满足.
【规律总结】 向量垂直问题的通法：写出数量积=0 → 展开 → 代入模长 → 解方程.遇到平方根一定考虑正负两个解.
6.
【答案速览】 B
【详细解答】 若同向共线，则的模为，此时满足. 若反向共线，则的模为，此时. 所以，“共线”推不出“|a+b|=5”（因为反向时是1），充分性不成立. 反之，若，说明两向量同向共线，必要性成立. 因此是必要不充分条件.
【易错警示】 学生容易忽略反向共线的情况，误认为共线就意味着模相加.实际上，共线包含同向（模相加）和反向（模相减）两种可能.
【规律总结】 判断充分必要性的口诀：先看谁推谁，再看是否唯一.共线有两种情况，不能唯一确定模长，所以充分性不成立；但模长等于模长之和能唯一确定同向共线.
二、填空题
7.
【答案速览】 72
【详细解答】 先展开多项式：
再计算. 代入：.
【易错警示】 常见错误
①：展开时漏项或符号错，如中间项应合并为. 常见错误
②：记成，导致数量积算错.
【规律总结】 向量多项式展开与代数多项式完全一致，只需记住，.展开后代入数量积公式即可.
8.
【答案速览】 60°
【详细解答】 向量与的夹角为60°，即从逆时针（或顺时针）旋转60°得到的方向. 向量与方向相反，与方向相反.两向量同时反向，相对夹角保持不变，仍为60°.
【易错警示】 不要误以为反向会使夹角变成120°.夹角是两向量之间的“相对旋转角度”，两向量同时反向，旋转角度不变.画个图就能确认.
【规律总结】 两个向量同时乘以 1，夹角不变.一个向量乘以 1，夹角变为补角（180° 原夹角）.
9.
【答案速览】
【详细解答】 先求. 再展开： .
【易错警示】 展开时注意：，中间项合并为.符号出错是本题最常见的失分点.
【规律总结】 向量数量积的运算律与代数多项式一致，展开→合并同类项→代入已知量，按部就班即可.
10.
【答案速览】
【详细解答】 单位向量：，且. 先求：， ，故. 再求：. 由夹角公式：.
【易错警示】 注意：题目给的是，展开时中间项是，符号容易写错.由于，此题该项为0，符号不影响结果，但如果换成非零的题目就会致命.
【规律总结】 求向量夹角的标准流程：
①求两向量的数量积；
②求两向量的模长；
③代入.模长永远通过来计算.
三、解答题
11. （12分）
【答案速览】 （1） 5 （2）
【详细解答】 （1） .
（2）先求. 再求. 所以.
【易错警示】 第(1)问：不要展开后一项项算，直接用平方差公式即可，省时且不易出错. 第(2)问：最常见错误是把直接写成，这是绝对错误的！向量模的减法不满足.必须平方，利用数量积公式计算.
【规律总结】 口诀：见模就平方，遇数量积想定义. 处理型问题的唯一正解：先平方，展开为，再开方.
【一题多解】 第(2)问也可用余弦定理在三角形中求解：以、为邻边作平行四边形，是对角线长度，用余弦定理得.定义法的平方展开本质上就是余弦定理的代数形式，两者等价.本卷要求用定义法，因为它能更直接地训练数量积公式的运用.
12. （13分）
【答案速览】 （1） 2或 2 （2） （3）
【详细解答】
（1） 时，夹角为或. 同向时：. 反向时：.
（2）. ，故.
（3）由与垂直：，即，得. 由：
展开： 代入：，得，解得.
【易错警示】 第(1)问：平行条件必须分同向和反向讨论，漏解扣一半分. 第(2)问：切忌把写成，这是初学者最高频的错误. 第(3)问：垂直条件的转化必须准确——垂直数量积为0.另外注意先由第一个垂直条件求出，再代入第二个垂直条件解k.
【规律总结】 本题涵盖了定义法的三大核心应用：
平行条件求数量积——分同向反向.
模长计算——平方展开.
垂直条件求参数——数量积为零列方程.
【一题多解】 第(3)问也可用坐标法：设，由且可求出的坐标，再代入垂直条件求k.但定义法更直接，无需建系，计算量更小.本卷要求用定义法，以此检验对数量积运算律的掌握程度.

展开更多......

收起↑