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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 下册第3章
课标要求 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。 8.体会一次函数与二元一次方程的关系。 9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级下册第3章《一次函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”。本章以函数概念为起点，依次展开常量与变量、函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），再深入正比例函数和一次函数的图象与性质，通过待定系数法确定一次函数表达式，衔接一次函数与二元一次方程的关系，最终落脚于一次函数的实际应用。教材遵循“概念—性质—方法—应用”的逻辑主线，层层递进，既注重知识的系统性，又强化数形结合思想与建模能力的培养，为后续二次函数、反比例函数等复杂函数的学习奠定重要基础。
学情分析 八年级学生已具备初步的变量意识和方程运算能力，能够理解简单的数量关系，但对“函数”这一抽象概念的认知仍较零散，在将实际问题转化为函数模型、结合图象分析性质时存在困难。学生已学习正比例函数的相关知识，可通过类比迁移学习一次函数，但对一次函数与二元一次方程的内在联系、分段函数的应用等内容理解较浅，需要通过系统梳理和实例探究，逐步构建完整的函数知识体系，提升数形结合与解决实际问题的能力。
单元目标 （一）教学目标 1.理解函数、常量、变量、自变量、函数值等核心概念，掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能根据实际情境选择合适的表示法刻画变量关系。 2.掌握正比例函数和一次函数的图象与性质，能熟练画出函数图象，理解k、b对图象位置与增减性的影响，明确一次函数与正比例函数图象的平移关系。 3.熟练运用待定系数法确定一次函数的表达式，能结合两点坐标或实际情境建立函数模型，解决简单的实际问题。 4.理解一次函数与二元一次方程的对应关系，能实现两者的相互转化，体会数形结合思想在方程与函数问题中的应用。 5.能运用一次函数模型解决行程、计费、测量等实际问题，提升数学建模能力与应用意识，感受函数在生活中的价值。 （二）教学重点、难点 重点 1.函数的概念与三种表示法，一次函数的图象与性质。 2.用待定系数法确定一次函数的表达式，建立一次函数模型解决实际问题。 难点 1.理解函数概念的抽象性，以及一次函数与二元一次方程的内在联系。 2.从实际情境中提取变量关系，建立合理的一次函数模型，并结合图象分析解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1函数的概念和表示法23.2一次函数13.3一次函数的图象23.4用待定系数法确定一次函数表达式13.5一次函数与二元一次方程的关系13.6一次函数的应用2第3章小结与复习1综合与实践生活节水1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1 变量与函数1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.理解函数的核心定义，能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。任务一：情境导入，初步接触函数。 任务二：探究新知，理解函数及相关概念。 任务三：独立思考，探究自变量和因变量。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.1.2 函数的表示法1.掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能说出各自的优点。 2.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 3.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。1.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 2.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。任务一：复习回顾 任务二：探究新知，探究函数的三种表示法。 任务三：例题精讲，学习从函数图象中提取关键信息。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 一次函数1.理解一次函数与正比例函数的概念，能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题，体会函数建模的思想。1.能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题。任务一：情境导入，列代数式。 任务二：探究新知，探究一次函数与正比例函数. 任务三：例题精讲，列出一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（1）1.理解正比例函数的图象是过原点的直线，掌握其图象画法，发展数学抽象素养。 2.掌握k的符号对正比例函数图象、增减性的影响，提升逻辑推理能力。 3.能运用正比例函数解决实际问题，增强数学建模与应用意识。1.能正确作出正比例函数的图象。 2.能运用正比例函数解决实际问题。任务一：情境导入，列函数。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象. 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（2）1.理解一次函数的图象是一条直线，掌握它与正比例函数图象的平移关系。 2.能熟练运用两点法画出一次函数的图象，理解对函数图象位置和增减性的影响。 3.能结合实际情境分析一次函数图象的意义，体会数形结合思想在解决实际问题中的应用。能熟练运用两点法画出一次函数的图象任务一：复习巩固。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.4 用待定系数法确定一次函数表达式1.理解待定系数法的基本思路，能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。 3.掌握正比例函数表达式的确定方法，体会函数与方程的联系。 4.提升分析问题、规范解题的能力，感受数学建模的实用价值。1.能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。任务一：复习巩固，回顾一次函数的相关概念。 任务二：探究新知，探究待定系数法。 任务三：例题精讲，用待定系数法确定一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.5 一次函数与二元一次方程的关系1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。 4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。1.能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 任务一：复习巩固，合作交流。 任务二：探究新知，探究一次函数与二元一次方程的关系。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（1）1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。 3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。 4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题。 3.能结合函数图象分析实际问题。任务一：情境导入。 任务二：探究新知，一次函数的应用。 任务三：例题精讲，结合函数图象分析解决实际问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（2）1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。 2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。 3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。 4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。1.能根据实际数据建立一次函数模型。 2.会利用分段函数解决实际计费问题。任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，探究分段函数。 任务三：例题精讲，利用分段函数解决实际计费问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.梳理一次函数全章知识脉络，构建完整知识体系。 2.巩固函数概念、表示法，熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。 3.深化一次函数与二元一次方程的联系，提升建模解决实际问题的能力。 4.培养反思与自评意识，提升数形结合与逻辑思维能力。能熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：生活节水1.了解地球水资源分布及我国水资源紧缺现状，认识生活节水的重要性，树立节水责任意识。 2.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 3.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 4.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。1.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 2.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 3.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。任务一：情境导入，认识生活节水的重要性。 任务二：认真思考, 合作探究。 任务三：合作交流，设计方案。
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第3章 一次函数
3.4 用待定系数法确定一次函数表达式
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解待定系数法的基本思路，能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。
2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。
3.掌握正比例函数表达式的确定方法，体会函数与方程的联系。
4.提升分析问题、规范解题的能力，感受数学建模的实用价值。
学习重点：
用待定系数法求一次函数表达式的步骤与应用。
学习难点：
从实际情境中抽象出一次函数模型，规范解方程组并写出函数表达式。
学习过程
一、复习回顾
回顾：1.一次函数的一般形式是什么？
2.一次函数的图象是什么形状？
3.确定一条直线需要几个点？
二、新知探究
探究：用待定系数法确定一次函数表达式
教材第104页
【探究】如图，已知一次函数的图象经过P(0，1），Q(1，1）两点。怎样确定这个一次函数的表达式呢？
【定义】像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数（即待定的系数），从而求出函数表达式的方法称为待定系数法。
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
1.设：设出含有待定系数的函数表达式；
2.代：把已知条件中的自变量与对应的函数值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组） ；
3.解：解方程（组） ，求出待定的系数；
4.写：将求得的待定系数的值代回所设的表达式 .
【议一议】要确定正比例函数的表达式需要几个条件？与同学交流你的想法。
小试牛刀 正比例函数的图象经过A(2，4）两点，求这个正比例函数的表达式。
三、例题精讲
例1世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标。 已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系。
思考：利用这个表达式可以将摄氏温度换算成华氏温度 . 摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等的可能吗？为什么？
例2某种收割机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图所示。
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一箱油可供收割机工作几小时？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（　　）
A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　）
A． B． C． D．
3.若一次函数的图象经过点，则下列各点在该一次函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
选做题
4.一条直线过点且平行于直线，则此函数的解析式为　 　。
5.若直线经过和两点，那么这个一次函数的关系式是　 　。
6.已知一次函数，当时，，则　 　。
【综合拓展类作业】
7.已知y与x+2成正比例，当x=3时，y=7；
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=1时，求y的值。
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么？
六、作业布置
1.已知一次函数的图象经过点（2，c），（c，2），若c<3，则（　　)
A．a>0，b>0 B．a<0，b>0
C．a>0，b<0 D．a<0，b<0
2.若一次函数的图象过点和点，其中，则应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
3.在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过（a，3），（4，b）两点，则a，b一定满足的关系式为 （　　）
A．ab=1 B．a+b=7 C．ab=12 D．
4.已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由。
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：设正比例函数，
∵该函数的图象经过点，
∴,
解得：，
∴正比例函数的解析式为．
A．由当时，，所以不在正比例函数的图象上，错误；
B．由当时，，所以不在正比例函数的图象上，错误；
C．由当时，，所以不在正比例函数的图象上，错误；
D．由当时，，所以在正比例函数的图象上，正确．
故答案为：D．
2.【答案】B
【解析】解：设直线的方程为：，
将点与代入可得：，
解得：，
∴直线的方程为：，
A、将x=-2代入y=2x得y=-4≠-1，∴点（-2，-1）不在直线y=2x上，故此选项不符合题意；
B、将x=-1代入y=2x得y=-2，∴点（-1，-2）在直线y=2x上，故此选项符合题意；
C、将x=6代入y=2x得y=12≠3，∴点（6，3）不在直线y=2x上，故此选项不符合题意；
D、将x=6代入y=2x得y=12≠8，∴点（6，8）不在直线y=2x上，故此选项不符合题意。
故答案为：B．
3.【答案】D
【解析】解：一次函数的图象经过点，
,
解得：，
该一次函数的解析式为，
A.当时，，故点不在该一次函数图象上；
B.当时，，故点不在该一次函数图象上；
C.当时，，故点不在该一次函数图象上；
D.当时，，故点在该一次函数图象上；
故答案为：D．
4.【答案】
【解析】解： ∵一条直线平行于直线
∴k=3
设函数解析式为，
∵ 直线过点，
∴,
解得：．
∴．
5.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故所求的一次函数关系为，
故答案为：．
6.【答案】或
【解析】解：当，；，时，
,
解得；
当，；，时，
,
解得；
∴或，
故答案为：或．
7.【答案】（1）解：
将代入得：
解得：
所以y与x的函数关系式为：
（2）解：当1时的y值
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：把 (-2，c)，(c，2)代入y=ax+b得
，解得，
∵ c<-3，
∴2-c>0，c+2<0，c2+4>0，
∴a<0，b<0，
故选：D.
2.【答案】B
【解析】解：一次函数的图象经过点和点，其中，
，
解得，，
，
，
，
即
故答案为：B.
3.【答案】C
【解析】解：设正比例函数的表达式为y=kx.
将(a，3)，(4，b)代入函数表达式中，得：3= ak，b=4k，
所以
所以 ab=12.
故选：C.
4．【答案】（1）解：∵与成正比例
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：
在中，当时，，
∴点是上述函数图象上的点。
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分课时教学设计
第一课时《3.4 用待定系数法确定一次函数表达式》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《用待定系数法确定一次函数表达式》是湘教版八年级下册第3章《一次函数》的第四节的内容。本节课承接一次函数图象与性质的学习，通过探究“已知两点求一次函数表达式”的问题，引出待定系数法的核心思路——设模型、代坐标、解方程组、求表达式。教材从具体函数图象、温标换算、实际应用等不同情境出发，层层递进，让学生体会待定系数法的通用性，为后续解决更复杂的函数应用问题奠定方法基础。
学习者分析 学生已掌握一次函数的概念、图象及基本性质，具备解二元一次方程组的能力，但对“从实际问题抽象出函数模型”“利用已知条件确定未知系数”的逻辑还不熟悉。八年级学生能理解“两点确定一条直线”，但在将图象或表格信息转化为方程组、规范解题步骤时容易出错，需要教师引导梳理流程，强化数形结合思想。
教学目标 1.理解待定系数法的基本思路，能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。 3.掌握正比例函数表达式的确定方法，体会函数与方程的联系。 4.提升分析问题、规范解题的能力，感受数学建模的实用价值。
教学重点 用待定系数法求一次函数表达式的步骤与应用。
教学难点 从实际情境中抽象出一次函数模型，规范解方程组并写出函数表达式。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：1.一次函数的一般形式是什么？ 2.一次函数的图象是什么形状？ 3.确定一条直线需要几个点？ 教师提问：“既然一次函数的图象是直线，确定直线需要2个点，那反过来：如果我们知道一次函数图象经过的2个点，能不能反推出这个一次函数的表达式呢？”学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真思考，举手回答问题活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：新知探究教师活动2： 探究：用待定系数法确定一次函数表达式 【探究】如图，已知一次函数的图象经过P(0，1），Q(1，1）两点。怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 解：设一次函数的表达式为（k，b为常数，k≠0） 根据题意得 解得 所以函数表达式为 【定义】像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数（即待定的系数），从而求出函数表达式的方法称为待定系数法。 教师讲授：给出一条与坐标轴不平行且不重合的直线，找出它经过的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出经过这两个点的一次函数的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线。 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 1.设：设出含有待定系数的函数表达式； 2.代：把已知条件中的自变量与对应的函数值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组） ； 3.解：解方程（组） ，求出待定的系数； 4.写：将求得的待定系数的值代回所设的表达式 . 【议一议】要确定正比例函数的表达式需要几个条件？与同学交流你的想法。 教师讲授：只需图象上除原点外的一个点的坐标即可 小试牛刀 正比例函数的图象经过A(2，4）两点，求这个正比例函数的表达式。 解：设正比例函数的表达式为（k为常数，k≠0） 根据题意得2=4，解得 所以函数表达式为学生活动2： 认真思考，尝试完成习题 认真听讲，规范格式 认真听讲，了解什么是待定系数法 认真听讲 合作交流，举手回答问题 学生认真思考，独立完成习题活动意图说明：通过实例探究引导学生掌握待定系数法求一次函数表达式，提炼“设、代、解、写”四步流程，渗透模型思想，培养学生数学建模与运算能力，落实核心素养。环节三：例题精讲教师活动3： 例1世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标。已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系。 解：由上表可知，摄氏温度每增加 10 ℃，华氏温度都增加 18 ℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示。 设一次函数的表达式为（k，b为常数，k≠0） 根据题意得 解得 所以函数表达式为 思考：利用这个表达式可以将摄氏温度换算成华氏温度 . 摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等的可能吗？为什么？ 解：摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等的可能。 理由如下： 当摄氏温度与华氏温度相等时，x=+32. 解得40, 所以+32=. 所以当摄氏温度和华氏温度都为时，二者的值相等。 例2某种收割机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图所示。 （1）求y关于x的函数表达式； （2）一箱油可供收割机工作几小时？ 解：设一次函数的表达式为（k，b为常数，k≠0） 根据题意得 解得 所以函数表达式为 （2）当剩余油量为0，即时， ，解得. 所以一箱油可供收割机工作8h.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 1.设：设出含有待定系数的函数表达式； 2.代：把已知条件中的自变量与对应的函数值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组） ； 3.解：解方程（组） ，求出待定的系数； 4.写：将求得的待定系数的值代回所设的表达式 .学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2.在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 3.若一次函数的图象经过点，则下列各点在该一次函数图象上的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 选做题： 4.一条直线过点且平行于直线，则此函数的解析式为　 　。 5.若直线经过和两点，那么这个一次函数的关系式是　　。 6.已知一次函数，当时，，则　 　。 【综合拓展类作业】 7.已知y与x+2成正比例，当x=3时，y=7； （1）求y与x的函数关系式； （2）当x=1时，求y的值。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知一次函数的图象经过点（2，c），（c，2），若c<3，则（　　) A．a>0，b>0 B．a<0，b>0 C．a>0，b<0 D．a<0，b<0 2.若一次函数的图象过点和点，其中，则应满足的条件是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3.在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过（a，3），（4，b）两点，则a，b一定满足的关系式为 （　　） A．ab=1　　B．a+b=7　　C．ab=12　　D． 【综合拓展类作业】 4.已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由。
教学反思 本节课通过多个实例引导学生掌握待定系数法，整体流程清晰，但部分学生在代入坐标列方程组时易出现符号错误，对实际问题的变量意义理解不够透彻。后续需增加针对性的纠错练习，强化“设—代—解—写”的解题规范，同时设计更多生活化情境，帮助学生建立函数模型与实际问题的联结。
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第3章 一次函数
3.4 用待定系数法确定一次函数表达式
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解待定系数法的基本思路，能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。
01
能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。
02
掌握正比例函数表达式的确定方法，体会函数与方程的联系。
03
02
新知导入
回顾
1.一次函数的一般形式是什么？
2.一次函数的图象是什么形状？
3.确定一条直线需要几个点？
（k，b为常数，k≠0）
一条直线
2个点
动脑筋：如果我们知道一次函数图象经过的2个点，能不能反推出这个一次函数的表达式呢？
03
新知探究
探究
如图，已知一次函数的图象经过P(0，1)，Q(1，1)两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？
因为一次函数的一般形式，则要求出该一次函数的表达式，关键是确定的值.
03
新知探究
因为P(0，1)和Q(1，1)都在该函数图象上，所以它们的坐标满足.
将这两点的坐标代入该式，得到一个关于的二元一次方程组：
解这个方程组，得
所以这个一次函数的表达式为.
03
新知探究
规范书写：
解：设一次函数的表达式为（k，b为常数，k≠0）
根据题意得
解得
所以函数表达式为
03
新知探究
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数（即待定的系数），从而求出函数表达式的方法称为待定系数法.
给出一条与坐标轴不平行且不重合的直线，找出它经过的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出经过这两个点的一次函数的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线.
03
新知探究
1.设： 设出含有待定系数的函数表达式；
2.代： 把已知条件中的自变量与对应的函数值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组) ；
3.解： 解方程(组) ，求出待定的系数；
4.写： 将求得的待定系数的值代回所设的表达式 .
一般步骤
03
新知探究
议一议
要确定正比例函数的表达式需要几个条件？与同学交流你的想法.
只需图象上除原点外的一个点的坐标即可
小试牛刀：正比例函数的图象经过A(2，4)两点.，求这个正比例函数的表达式.
解：设正比例函数的表达式为（k为常数，k≠0）
根据题意得2=4，解得
所以函数表达式为
03
新知探究
世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而
例1
解：由上表可知，摄氏温度每增加 10 ℃，华氏温度都增加 18 ℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示.
摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度y/℉ 32 50 68 86 104 122
美国仍然采用华氏温标. 已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系.
03
新知探究
设一次函数的表达式为（k，b为常数，k≠0）
根据题意得
解得
所以函数表达式为
思考：利用这个表达式可以将摄氏温度换算成华氏温度 . 摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等的可能吗？为什么？
03
新知探究
解：摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等的可能.
理由如下：
当摄氏温度与华氏温度相等时，x=+32.
解得40,
所以+32=.
所以当摄氏温度和华氏温度都为时，二者的值相等.
03
新知探究
某种收割机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的
例2
剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一箱油可供收割机工作几小时？
解：设一次函数的表达式为（k，b为常数，k≠0）
03
新知探究
根据题意得
解得
所以函数表达式为
（2） 当剩余油量为0，即时，
，解得.
所以一箱油可供收割机工作8h.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（　　）
A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　）
A． B． C． D．
D
B
04
课堂练习
3.若一次函数的图象经过点，则下列各点在该一次函数图象上的是（　　）
A．
B．
C．
D．
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.一条直线过点且平行于直线，则此函数的解析式为　 　．
5.若直线经过和两点，那么这个一次函数的关系式是　 　．
6.已知一次函数，当时，，则　 　．
2或2
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知y与x+2成正比例，当x=3时，y=7；
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=1时，求y的值.
（1）解：
将代入得：
解得：
所以y与x的函数关系式为：
（2）解：当1时，
05
课堂小结
1.设： 设出含有待定系数的函数表达式；
2.代： 把已知条件中的自变量与对应的函数值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组) ；
3.解： 解方程(组) ，求出待定的系数；
4.写： 将求得的待定系数的值代回所设的表达式 .
一般步骤
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.已知一次函数的图象经过点(2，c)，(c，2)，若c<3，则
(　　)
A．a>0，b>0
B．a<0，b>0
C．a>0，b<0
D．a<0，b<0
D
06
作业布置
2.若一次函数的图象过点和点，其中，则应满足的条件是（　　）
A．
B．
C．
D．
B
06
作业布置
3.在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过(a，3)，(4，b)两点，则a，b一定满足的关系式为(　　)
A．ab=1
B．a+b=7
C．ab=12
D．
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由．
（1）解：∵与成正比例
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由．
∴，
∴；
（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：
在中，当时，，
∴点是上述函数图象上的点．
07
板书设计
待定系数法：
待定系数法的一般步骤：
1.设
2.代
3.解
4.写
3.4 用待定系数法确定一次函数表达式
习题讲解书写部分
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