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贵州省遵义市余庆县城关中学2025年九年级3月质量评估数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．4 D．1
2．下列艺术字中，轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．截止年月，贵州省高速公路总里程达公里．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了“遵”字，为“遵”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，七位评委为选手打分，已知前五位给选手甲的成绩的中位数恰好为92分，最后两位评委给分后，成绩的中位数仍为92分，则最后两位评委给甲的成绩可能是（　　）
A．89分，90分 B．94分，97分 C．96分，80分 D．90分，85分
6．现有3张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同．把这3张卡片背面朝上，洗匀后放好．小义从中随机抽取1张，则抽取的卡片正面图案描述的变化是“化学变化”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．下列运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，若代数式的值落在数轴上的区域内，则整数的值可能是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．小珍学习函数后，探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度（单位：）随碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小珍经过测量得到的与之间的对应数据：
/个 ．．．
/ ．．．
根据表格中的数据，下列说法正确的是（　　）
A．当时， B．每增加一个碗，高度增加厘米
C．与的函数关系式为 D．若厘米，则
11．如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．已知一元二次方程有两实根，且，则下列结论中正确的有（　　）
①；
②抛物线的顶点坐标为；
③；
④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．要使二次根式有意义，则x的值可以是　 　 （写出一个即可）
14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
15．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是　 　．
16．如图，在矩形中，点是边上的一点，点、分别是、的中点，延长、交于点．若，，，则的长为　 　
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：
（2）在①，②，③中任选2个式子，用不等号“”把它们连接起来组成不等式，并求出解集．
18．如图①是一盏亮度可调节的台灯，工作时电压不变，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度调节，电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，对应的函数图象如图②所示，已知点在函数图象上．
（1）求电流与电阻之间的关系式；
（2）当台灯电流在时，光照适合看书写字，求出此时电阻的取值范围．
19．某校为了解学生体质健康情况，分别从七、八年级随机抽取20名学生的体质测试成绩（满分100分），制作成如下统计图表：
【数据收集】
七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 80 60 80 95 65 100 90 85 85 80
八年级：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：
成绩/分
七年级（频数） 3 7 5 5
八年级（频数） 5 8 5
【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量：
平均数 中位数 众数
七年级 83.5 82.5
八年级 85.75 87.5 90
根据信息，回答下列问题：
（1）表格中，___________，___________
（2）根据以上统计量回答：哪个年级的学生成绩较好？请说明理由．
（3）若该校七、八年级人数相同，这次测试中，甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，则甲更可能是___________年级的学生（填“七”或“八”）．
20．如图，已知．现按下列要求作图：
步骤一：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于；
步骤二：直线分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
21．为了加强体育锻炼，丰富课余生活，某校购买，两种跳绳．已知种跳绳的单价比种跳绳的单价多10元，买5条种跳绳和3条种跳绳共需610元．
（1）求，两种跳绳的单价．
（2）该校购买，两种跳绳共100条，且种跳绳的数量不低于种跳绳数量的，问该校购买，两种跳绳的总费用最少为多少？
22．如图①将水槽放置在水平桌面上，水槽的横截面为半圆，为直径，为水面，，测得，．
（1）如图①，圆心到水面的距离为，求的长．
（2）将如图①的水槽向右倾斜得到如图②，此时，水面与点在同一水平线上，求的值．
23．如图①，春碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中三点在同一条直线上，点在直线上，，，初始时．
（1）直接写出的度数为：　 　；
（2）如图②，求初始时点到的距离；
（3）如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（参考数据：）
24．如图是一个直角三角形斜坡截面米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡点处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如下表：
0 1 2 3 4 ．．．
2 2 ．．．
（1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标；
（2）若喷水管喷出水流恰好经过树顶点．
①求小树的最大高度；
②若点到两点距离相等，求点坐标．
25．综合与探究
如图，在矩形中，点是边上一点，连接，，，的平分线与的延长线相交于点，过点作于点．
（1）【问题发现】
判断的形状，并说明理由：
（2）【问题探究】
过点作交的延长线于点，根据题意在如图中补全图形，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
在（）的条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，，且1<2<4，
∴，
∴四个数中比小的数是，
故答案为：B．
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断并解答即可．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可得，选项D是轴对称图形．
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.
4．【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点，，
点和点在轴上，且，
网格中每格代表，
观察点的位置，其横坐标与点的相同横坐标为：，
点的纵坐标通过网格数得为：，
点的坐标为．
故选：C．
【分析】根据网格特点，结合点A，B的坐标即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：89分，90分，都小于92分，不符合题意；
94分，97分，都大于92分，不符合题意；
96分，80分，，符合题意；
90分，85分，都小于92分，不符合题意；
故选：C ．
【分析】根据中位数的定义，前五位评委给甲的成绩的中位数恰好为92分，所以前五位评委给甲的成绩中一定有92分，且92分在中间位置，即前五位评委给甲的成绩按照从小到大排列，92分的前面和后面各有两个数， 最后两位评委给分后，成绩的中位数仍为92分，所以最后两位评委给甲的成绩应该一个大于等于92，一个小于等于92分，据此解答即可．
6．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案描述的变化是“化学变化”的概率是，
故选：D．
【分析】根据概率公式，概率所求情况数与总情况数之比，直接利用概率公式求解即可．
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故A选项不符合题意；
B、根据积的乘方等于各因式乘方的积，可得：，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故D选项符合题意．
故选： D．
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘法运算法则逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：代数式的值落在数轴上的区域内，
，
解得：，
，
的值可能是．
故选：B ．
【分析】根据代数式的值落在数轴上的区域内，可得，解不等式可得的取值范围，结合选项，即可求解．
9．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图可知，
四边形是菱形，
．
故选：A ．
【分析】根据尺规作图可知，从而得到四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得．
10．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表中的数据知：
每增加一个碗，高度增加厘米， 即的增加量不变，故选项B不符合题意；
∴是的一次函数，设，
∵当时，；当时，；
∴，解得：，
∴与之间的函数表达式为，故选项C不符合题意；
当时，，故选项A符合题意；
当时，得：，
解得：，故选项D不符合题意．
故选：A．
【分析】观察表中数据，正确理解表格中的数据规律并确定与的函数关系式，然后对各选项进行分析即可作出判断．
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
∵五边形为正五边形，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】连接，根据正五边形的性质可得，由题意可得，即，利用三角形内角和定理即可求解．
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，一元二次方程有两实根，
∴得，由②①，可得．
∴，故①正确；
由可得，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的顶点为，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴顶点坐标为，故②不正确；
∵，
∴，
又∵，，
∴，故③正确；
∵，且抛物线的对称轴是直线，
∴该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
又∵，
∴当时和当时，函数值相等，
∴当时，可有，
即当时，，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【分析】首先将代入一元二次方程，可求得，即可判断①；确定，即可确定该抛物线的对称轴，再求得，，可确定顶点坐标为，即可判断②；结合，，，可知，即可判断③；由题意易知该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，且当时和当时，函数值相等，易得，进而可得当时，，即可判断④．
13．【答案】3（答案不唯一，即可）
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义
∴x-2≥0
解之：x≥2，
∴x的值可以是3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
14．【答案】9
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得
故答案为：9．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得判别式，求解即可．
15．【答案】16
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴该四边形的面积是：．
故答案为：16．
【分析】由题意可得四边形是菱形，再由以及菱形的面积公式，求出菱形的面积即可．
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
过点作交于点，
点是的中点，，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
是的中位线，
；
延长交于点，
，，
，
，；
过点作于点，
四边形是矩形，；
点是的中点，
，
在中，，，
．
故答案为 ：．
【分析】过点作交于点，可得是的中位线，，是的中位线，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长．
17．【答案】解：（1）解：原式；
（2）选择①②，那么有，解得，；
选择②①，那么有，解得，；
选择①③，那么有；
，
，
；
选择③①，那么有，解得；
选择②③，那么有，
，
，
；
选择③②，那么有，解得；
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，然后从左到右计算即可；
（2）任选两个式子，然后解一元一次不等式即可．
18．【答案】（1）解：设电流与电阻的关系式为，
将点代入得：，
解得，
故电流与电阻的关系式为：；
（2）解：当时，，
当时，，
因为随的增大而减小，
所以电阻的范围为：．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点代入，用待定系数法求出反比例函数的解析式；
（2）分别把和代入（1）中解析式求出的值，再根据反比例函数的性质求出I的取值范围．
（1）解：设电流与电阻的关系式为，
将点代入得：，
解得，
故电流与电阻的关系式为：；
（2）解：当时，，
当时，，
因为随的增大而减小，
所以电阻的范围为：．
19．【答案】（1）2，80
（2）解：八年级的学生成绩更好．理由如下：∵，，，
∴八年级的学生成绩的平均数、中位数、众数都高于七年级，
∴八年级的学生成绩更好；
（3）七
【知识点】频数（率）分布表；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由题意得，；
∵七年级成绩中，得分为80分的人数最多，
∴七年级的众数为80分，即，
故答案为：2，80；
（3）解：∵七年级的中位数为82.5分，八年级的中位数为87.5分，且甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，
∴甲更可能是七年级的学生，
故答案为：七．
【分析】（1）根据七年级的总数为20，即可求出a的值，再根据众数的定义结合数据，求出b即可；
（2）根据平均数，中位数以及众数，比较八年级与七年级的成绩，即可求解；
（3）根据七、八年级的中位数结合“甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前”即可得到答案．
（1）解：由题意得，；
∵七年级成绩中，得分为80分的人数最多，
∴七年级的众数为80分，即，
故答案为：2，80；
（2）解：八年级的学生成绩更好．理由如下：
∵，，，
∴八年级的学生成绩的平均数、中位数、众数都高于七年级，
∴八年级的学生成绩更好；
（3）解：∵七年级的中位数为82.5分，八年级的中位数为87.5分，且甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，
∴甲更可能是七年级的学生，
故答案为：七．
20．【答案】（1）解：∵，
，
由尺规作图可知：为的垂直平分线，
，，
在和中，
；
（2）解：四边形为菱形，
理由如下：
由尺规作图可知：，，
由可知，
，
四边形对角线相互垂直平分，
四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】由题意可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质可知：，，利用即可求证；
由题意可得：，，根据可知，根据菱形的判定方法即可求证．
（1）解：，
，
由尺规作图可知：为的垂直平分线，
，，
在和中，
；
（2）解：四边形为菱形，
理由如下：
由尺规作图可知：，，
由可知，
，
四边形对角线相互垂直平分，
四边形为菱形．
21．【答案】（1）解：设跳绳单价为元，跳绳单价为元，则：
解得
答：跳绳单价80元，跳绳单价70元．
（2）解：设购买跳绳条，则购买跳绳条，购买费用为，则：
，解得，
购买费用
由，随的增大而增大，
当时，购买费用最少，此时费用为元．
答：该校购买，两种跳绳的总费用最少为7400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设跳绳单价为元，跳绳单价为元，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买跳绳条，则购买跳绳条，根据题意可知，，解得，购买费用为，则购买费用，利用一次函数性质即可得到答案．
（1）解：设跳绳单价为元，跳绳单价为元，则：
解得
答：跳绳单价80元，跳绳单价70元．
（2）解：设购买跳绳条，则购买跳绳条，购买费用为，则：
，解得，
购买费用
由，随的增大而增大，
当时，购买费用最少，此时费用为元．
答：该校购买，两种跳绳的总费用最少为7400元．
22．【答案】（1）解：连接，则，
圆心的直线垂直于，垂足为，
故，
故；
（2）解：连接，由为直径知．
，
故：．
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，由垂径定理可得，再由勾股定理求解即可；
（2）连接，根据为直径可得，利用勾股定理求得，再根据三角函数的定义求解即可．
（1）解：连接，则，
圆心的直线垂直于，垂足为，
故，
故；
（2）连接，由为直径知．
，
故：．
23．【答案】（1）
（2）解：过作于，
中，，，
∴，
∴，
即点到的距离约为；
（3）解：过作于，
由旋转可得，，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点在竖直方向上上升了．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质；对顶角及其性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据对顶角相等可得即可求解；
（2）过作于，在中根据三角形函数的定义可得，，得到，求解即可；
（3）过作于，由旋转可得，，，根据勾股定理可得由题意可得，从而得到，解得，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：过作于，
中，，，
∴，
∴，
即点到的距离约为；
（3）解：过作于，
由旋转可得，，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点在竖直方向上上升了．
24．【答案】（1）解：由表格信息可知抛物线顶点为．
设抛物线解析式为
将点代入得：，
解得
故抛物线解析式为．
，；
（2）解：①设直线解析式为将代入得，
解得
即解析式为．
设，则，
∴
故当时，的最大值为．
②过作于点，设，则
由得：为中点，即
∵，
，
即
将点坐标代入抛物线解析式得：
整理方程得：，
解得（舍去），
故点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入，求解即可；
（2）①设直线解析式为，将代入求得直线解析式为，设，则，得到，利用二次函数的性质即可求解；
②过作于点，设，则，由可推出，从而得到，将代入抛物线解析式，求解即可．
（1）解：由表格信息可知抛物线顶点为．
设抛物线解析式为
将点代入得：，
解得
故抛物线解析式为．
（2）解：①设直线解析式为
将代入得，
解得
即解析式为．
设，则，
∴
故当时，的最大值为．
②过作于点，设，则
由得：为中点，即
∵，
，
即
将点坐标代入抛物线解析式得：
整理方程得：，
解得（舍去），
故点坐标为．
25．【答案】（1）解：等腰直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：补全图形如图；
，理由如下：
过点作交延长线于点，
由（）知：中，得，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）或．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：当，过点作于点，
∵，，，
∴
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
，
∴；
当时，则，如图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
由得：，
解得：，
将代入得，，
整理得，即，
，
∴，
综上得：或．
【分析】（1）根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠MCF，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据题意补全图形，过点作交延长线于点，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，过点作于点，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，设，则，，根据勾股定理可得BG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值化简即可求出答案；当时，则，根据矩形性质可得，，则，根据正切定义可得，设，，，则，代入等式可得，根据直线平行性质可得，根据余弦定义可得，代值化简可得，联立①②即可求出答案.
（1）解：等腰直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：补全图形如图；
，理由如下：
过点作交延长线于点，
由（）知：中，得，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当，过点作于点，
∵，，，
∴
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
，
∴；
当时，则，如图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
由得：，
解得：，
将代入得，，
整理得，即，
，
∴，
综上得：或．
1 / 1贵州省遵义市余庆县城关中学2025年九年级3月质量评估数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．4 D．1
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，，且1<2<4，
∴，
∴四个数中比小的数是，
故答案为：B．
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断并解答即可．
2．下列艺术字中，轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可得，选项D是轴对称图形．
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．
3．截止年月，贵州省高速公路总里程达公里．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.
4．书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了“遵”字，为“遵”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点，，
点和点在轴上，且，
网格中每格代表，
观察点的位置，其横坐标与点的相同横坐标为：，
点的纵坐标通过网格数得为：，
点的坐标为．
故选：C．
【分析】根据网格特点，结合点A，B的坐标即可求出答案.
5．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，七位评委为选手打分，已知前五位给选手甲的成绩的中位数恰好为92分，最后两位评委给分后，成绩的中位数仍为92分，则最后两位评委给甲的成绩可能是（　　）
A．89分，90分 B．94分，97分 C．96分，80分 D．90分，85分
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：89分，90分，都小于92分，不符合题意；
94分，97分，都大于92分，不符合题意；
96分，80分，，符合题意；
90分，85分，都小于92分，不符合题意；
故选：C ．
【分析】根据中位数的定义，前五位评委给甲的成绩的中位数恰好为92分，所以前五位评委给甲的成绩中一定有92分，且92分在中间位置，即前五位评委给甲的成绩按照从小到大排列，92分的前面和后面各有两个数， 最后两位评委给分后，成绩的中位数仍为92分，所以最后两位评委给甲的成绩应该一个大于等于92，一个小于等于92分，据此解答即可．
6．现有3张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同．把这3张卡片背面朝上，洗匀后放好．小义从中随机抽取1张，则抽取的卡片正面图案描述的变化是“化学变化”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案描述的变化是“化学变化”的概率是，
故选：D．
【分析】根据概率公式，概率所求情况数与总情况数之比，直接利用概率公式求解即可．
7．下列运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故A选项不符合题意；
B、根据积的乘方等于各因式乘方的积，可得：，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故D选项符合题意．
故选： D．
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘法运算法则逐项进行判断即可求出答案.
8．如图，若代数式的值落在数轴上的区域内，则整数的值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：代数式的值落在数轴上的区域内，
，
解得：，
，
的值可能是．
故选：B ．
【分析】根据代数式的值落在数轴上的区域内，可得，解不等式可得的取值范围，结合选项，即可求解．
9．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图可知，
四边形是菱形，
．
故选：A ．
【分析】根据尺规作图可知，从而得到四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得．
10．小珍学习函数后，探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度（单位：）随碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小珍经过测量得到的与之间的对应数据：
/个 ．．．
/ ．．．
根据表格中的数据，下列说法正确的是（　　）
A．当时， B．每增加一个碗，高度增加厘米
C．与的函数关系式为 D．若厘米，则
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表中的数据知：
每增加一个碗，高度增加厘米， 即的增加量不变，故选项B不符合题意；
∴是的一次函数，设，
∵当时，；当时，；
∴，解得：，
∴与之间的函数表达式为，故选项C不符合题意；
当时，，故选项A符合题意；
当时，得：，
解得：，故选项D不符合题意．
故选：A．
【分析】观察表中数据，正确理解表格中的数据规律并确定与的函数关系式，然后对各选项进行分析即可作出判断．
11．如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
∵五边形为正五边形，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】连接，根据正五边形的性质可得，由题意可得，即，利用三角形内角和定理即可求解．
12．已知一元二次方程有两实根，且，则下列结论中正确的有（　　）
①；
②抛物线的顶点坐标为；
③；
④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，一元二次方程有两实根，
∴得，由②①，可得．
∴，故①正确；
由可得，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的顶点为，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴顶点坐标为，故②不正确；
∵，
∴，
又∵，，
∴，故③正确；
∵，且抛物线的对称轴是直线，
∴该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
又∵，
∴当时和当时，函数值相等，
∴当时，可有，
即当时，，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【分析】首先将代入一元二次方程，可求得，即可判断①；确定，即可确定该抛物线的对称轴，再求得，，可确定顶点坐标为，即可判断②；结合，，，可知，即可判断③；由题意易知该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，且当时和当时，函数值相等，易得，进而可得当时，，即可判断④．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．要使二次根式有意义，则x的值可以是　 　 （写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一，即可）
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义
∴x-2≥0
解之：x≥2，
∴x的值可以是3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
【答案】9
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得
故答案为：9．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得判别式，求解即可．
15．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是　 　．
【答案】16
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴该四边形的面积是：．
故答案为：16．
【分析】由题意可得四边形是菱形，再由以及菱形的面积公式，求出菱形的面积即可．
16．如图，在矩形中，点是边上的一点，点、分别是、的中点，延长、交于点．若，，，则的长为　 　
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
过点作交于点，
点是的中点，，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
是的中位线，
；
延长交于点，
，，
，
，；
过点作于点，
四边形是矩形，；
点是的中点，
，
在中，，，
．
故答案为 ：．
【分析】过点作交于点，可得是的中位线，，是的中位线，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：
（2）在①，②，③中任选2个式子，用不等号“”把它们连接起来组成不等式，并求出解集．
【答案】解：（1）解：原式；
（2）选择①②，那么有，解得，；
选择②①，那么有，解得，；
选择①③，那么有；
，
，
；
选择③①，那么有，解得；
选择②③，那么有，
，
，
；
选择③②，那么有，解得；
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，然后从左到右计算即可；
（2）任选两个式子，然后解一元一次不等式即可．
18．如图①是一盏亮度可调节的台灯，工作时电压不变，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度调节，电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，对应的函数图象如图②所示，已知点在函数图象上．
（1）求电流与电阻之间的关系式；
（2）当台灯电流在时，光照适合看书写字，求出此时电阻的取值范围．
【答案】（1）解：设电流与电阻的关系式为，
将点代入得：，
解得，
故电流与电阻的关系式为：；
（2）解：当时，，
当时，，
因为随的增大而减小，
所以电阻的范围为：．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点代入，用待定系数法求出反比例函数的解析式；
（2）分别把和代入（1）中解析式求出的值，再根据反比例函数的性质求出I的取值范围．
（1）解：设电流与电阻的关系式为，
将点代入得：，
解得，
故电流与电阻的关系式为：；
（2）解：当时，，
当时，，
因为随的增大而减小，
所以电阻的范围为：．
19．某校为了解学生体质健康情况，分别从七、八年级随机抽取20名学生的体质测试成绩（满分100分），制作成如下统计图表：
【数据收集】
七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 80 60 80 95 65 100 90 85 85 80
八年级：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：
成绩/分
七年级（频数） 3 7 5 5
八年级（频数） 5 8 5
【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量：
平均数 中位数 众数
七年级 83.5 82.5
八年级 85.75 87.5 90
根据信息，回答下列问题：
（1）表格中，___________，___________
（2）根据以上统计量回答：哪个年级的学生成绩较好？请说明理由．
（3）若该校七、八年级人数相同，这次测试中，甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，则甲更可能是___________年级的学生（填“七”或“八”）．
【答案】（1）2，80
（2）解：八年级的学生成绩更好．理由如下：∵，，，
∴八年级的学生成绩的平均数、中位数、众数都高于七年级，
∴八年级的学生成绩更好；
（3）七
【知识点】频数（率）分布表；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由题意得，；
∵七年级成绩中，得分为80分的人数最多，
∴七年级的众数为80分，即，
故答案为：2，80；
（3）解：∵七年级的中位数为82.5分，八年级的中位数为87.5分，且甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，
∴甲更可能是七年级的学生，
故答案为：七．
【分析】（1）根据七年级的总数为20，即可求出a的值，再根据众数的定义结合数据，求出b即可；
（2）根据平均数，中位数以及众数，比较八年级与七年级的成绩，即可求解；
（3）根据七、八年级的中位数结合“甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前”即可得到答案．
（1）解：由题意得，；
∵七年级成绩中，得分为80分的人数最多，
∴七年级的众数为80分，即，
故答案为：2，80；
（2）解：八年级的学生成绩更好．理由如下：
∵，，，
∴八年级的学生成绩的平均数、中位数、众数都高于七年级，
∴八年级的学生成绩更好；
（3）解：∵七年级的中位数为82.5分，八年级的中位数为87.5分，且甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，
∴甲更可能是七年级的学生，
故答案为：七．
20．如图，已知．现按下列要求作图：
步骤一：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于；
步骤二：直线分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
，
由尺规作图可知：为的垂直平分线，
，，
在和中，
；
（2）解：四边形为菱形，
理由如下：
由尺规作图可知：，，
由可知，
，
四边形对角线相互垂直平分，
四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】由题意可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质可知：，，利用即可求证；
由题意可得：，，根据可知，根据菱形的判定方法即可求证．
（1）解：，
，
由尺规作图可知：为的垂直平分线，
，，
在和中，
；
（2）解：四边形为菱形，
理由如下：
由尺规作图可知：，，
由可知，
，
四边形对角线相互垂直平分，
四边形为菱形．
21．为了加强体育锻炼，丰富课余生活，某校购买，两种跳绳．已知种跳绳的单价比种跳绳的单价多10元，买5条种跳绳和3条种跳绳共需610元．
（1）求，两种跳绳的单价．
（2）该校购买，两种跳绳共100条，且种跳绳的数量不低于种跳绳数量的，问该校购买，两种跳绳的总费用最少为多少？
【答案】（1）解：设跳绳单价为元，跳绳单价为元，则：
解得
答：跳绳单价80元，跳绳单价70元．
（2）解：设购买跳绳条，则购买跳绳条，购买费用为，则：
，解得，
购买费用
由，随的增大而增大，
当时，购买费用最少，此时费用为元．
答：该校购买，两种跳绳的总费用最少为7400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设跳绳单价为元，跳绳单价为元，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买跳绳条，则购买跳绳条，根据题意可知，，解得，购买费用为，则购买费用，利用一次函数性质即可得到答案．
（1）解：设跳绳单价为元，跳绳单价为元，则：
解得
答：跳绳单价80元，跳绳单价70元．
（2）解：设购买跳绳条，则购买跳绳条，购买费用为，则：
，解得，
购买费用
由，随的增大而增大，
当时，购买费用最少，此时费用为元．
答：该校购买，两种跳绳的总费用最少为7400元．
22．如图①将水槽放置在水平桌面上，水槽的横截面为半圆，为直径，为水面，，测得，．
（1）如图①，圆心到水面的距离为，求的长．
（2）将如图①的水槽向右倾斜得到如图②，此时，水面与点在同一水平线上，求的值．
【答案】（1）解：连接，则，
圆心的直线垂直于，垂足为，
故，
故；
（2）解：连接，由为直径知．
，
故：．
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，由垂径定理可得，再由勾股定理求解即可；
（2）连接，根据为直径可得，利用勾股定理求得，再根据三角函数的定义求解即可．
（1）解：连接，则，
圆心的直线垂直于，垂足为，
故，
故；
（2）连接，由为直径知．
，
故：．
23．如图①，春碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中三点在同一条直线上，点在直线上，，，初始时．
（1）直接写出的度数为：　 　；
（2）如图②，求初始时点到的距离；
（3）如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）解：过作于，
中，，，
∴，
∴，
即点到的距离约为；
（3）解：过作于，
由旋转可得，，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点在竖直方向上上升了．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质；对顶角及其性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据对顶角相等可得即可求解；
（2）过作于，在中根据三角形函数的定义可得，，得到，求解即可；
（3）过作于，由旋转可得，，，根据勾股定理可得由题意可得，从而得到，解得，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：过作于，
中，，，
∴，
∴，
即点到的距离约为；
（3）解：过作于，
由旋转可得，，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点在竖直方向上上升了．
24．如图是一个直角三角形斜坡截面米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡点处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如下表：
0 1 2 3 4 ．．．
2 2 ．．．
（1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标；
（2）若喷水管喷出水流恰好经过树顶点．
①求小树的最大高度；
②若点到两点距离相等，求点坐标．
【答案】（1）解：由表格信息可知抛物线顶点为．
设抛物线解析式为
将点代入得：，
解得
故抛物线解析式为．
，；
（2）解：①设直线解析式为将代入得，
解得
即解析式为．
设，则，
∴
故当时，的最大值为．
②过作于点，设，则
由得：为中点，即
∵，
，
即
将点坐标代入抛物线解析式得：
整理方程得：，
解得（舍去），
故点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入，求解即可；
（2）①设直线解析式为，将代入求得直线解析式为，设，则，得到，利用二次函数的性质即可求解；
②过作于点，设，则，由可推出，从而得到，将代入抛物线解析式，求解即可．
（1）解：由表格信息可知抛物线顶点为．
设抛物线解析式为
将点代入得：，
解得
故抛物线解析式为．
（2）解：①设直线解析式为
将代入得，
解得
即解析式为．
设，则，
∴
故当时，的最大值为．
②过作于点，设，则
由得：为中点，即
∵，
，
即
将点坐标代入抛物线解析式得：
整理方程得：，
解得（舍去），
故点坐标为．
25．综合与探究
如图，在矩形中，点是边上一点，连接，，，的平分线与的延长线相交于点，过点作于点．
（1）【问题发现】
判断的形状，并说明理由：
（2）【问题探究】
过点作交的延长线于点，根据题意在如图中补全图形，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
在（）的条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值．
【答案】（1）解：等腰直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：补全图形如图；
，理由如下：
过点作交延长线于点，
由（）知：中，得，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）或．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：当，过点作于点，
∵，，，
∴
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
，
∴；
当时，则，如图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
由得：，
解得：，
将代入得，，
整理得，即，
，
∴，
综上得：或．
【分析】（1）根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠MCF，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据题意补全图形，过点作交延长线于点，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，过点作于点，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，设，则，，根据勾股定理可得BG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值化简即可求出答案；当时，则，根据矩形性质可得，，则，根据正切定义可得，设，，，则，代入等式可得，根据直线平行性质可得，根据余弦定义可得，代值化简可得，联立①②即可求出答案.
（1）解：等腰直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：补全图形如图；
，理由如下：
过点作交延长线于点，
由（）知：中，得，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当，过点作于点，
∵，，，
∴
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
，
∴；
当时，则，如图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
由得：，
解得：，
将代入得，，
整理得，即，
，
∴，
综上得：或．
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