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贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县翠里中学2025年中考一模数学试题
一、选择题：以下各小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025·从江模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．（2025·从江模拟）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，从上面看这个几何体的形状图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察圆柱和长方体都会得到长方形，
所以上面看这个几何体的形状是：
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
3．（2025·从江模拟）的结果是（　　）
A．1 B． C．a D．
【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】
根据合并同类项的法则：字母及字母的指数不变，只把系数相加减，计算即可解答．
4．（2025·从江模拟）如图，弯形管道的拐角，要保证管道，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴， 又∠，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，代入数据计算角度，解答即可．
5．（2025·从江模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，
该不等式组为，
故答案为：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间，实心圆点含等号，空心圆点不含等号，解答即可．
6．（2025·从江模拟）一个两位数，个位数字为m，十位数字为n，则这个两位数用代数式可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：个位数字为m，十位数字为n，
这个两位数是，
故答案为：D．
【分析】
根据用代数式表示数量关系：个位数字为m，十位数字为n，十位数字需要乘上，相加列式解答即可．
7．（2025·从江模拟）在菱形中，两条对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，两条对角线相交于点O，
∴，，，
但不一定成立，
故答案为：D
【分析】
根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，平分，菱形的对边平行， 故可得 ，，，判断即可解答.
8．（2025·从江模拟）象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”；
故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是．
故答案为：C。
【分析】让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率．
9．（2025·从江模拟）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∴。
故答案为：B．
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得出， 然后再根据角平分线的作法可知平分， 进而由角平分线的定义得出．
10．（2025·从江模拟）如图，在⊙O中，点B是弧AC上的一点，∠AOC=140°，则∠ABC的度数为（　　）
A．70° B．110° C．120° D．140°
【答案】B
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧AC上取点D，连接AD、CD，
∵∠AOC=，
∴∠ADC=，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=，
∴∠ABC=，
故答案为：B．
【分析】
在优弧AC上取点D，连接AD、CD，根据圆周角定理得到∠ADC=，根据圆内接四边形对角互补得到∠ADC+∠ABC=，再计算∠ABC的度数，解答即可．
11．（2025·从江模拟）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年－公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为（　　）
A．28 B．30 C．32 D．36
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设，则由全等三角形可得，
∴，，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴此勾股形的面积为，
故答案为：B．
【分析】
设，根据全等三角形的性质得到，，，根据勾股定理建立关于x的方程，计算得到x=3，再利用三角形的面积公式计算即可解答．
12．（2025·从江模拟）如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误；
由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故选项C的说法错误；
由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，即小球停止运动，此时弹簧被压缩至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为，故选项D的说法正确，选项B的说法错误．
故选：D．
【分析】观察函数图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，A选项错误，当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，对选项逐个判断即可．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025·从江模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般方法：提公因式，解答即可．
14．（2025·从江模拟）若关于x的一元二次方程恰有两个不相等的实数根，则m的值可以为　 　．（任意写出一个即可）
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由条件可知，且，
解得，且，
可以为1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解不等式即可求出答案.
15．（2025·从江模拟）科技馆拟招聘一名优秀讲解员，小婷的笔试、试讲、答辩成绩分别为100分、90分、90分，若按笔试占，试讲占，答辩占的比例确定最终成绩，则小婷的最终成绩为　 　分．
【答案】95
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分）；
故答案为：．
【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数 ，求出加权平均数．
16．（2025·从江模拟）如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
在中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】
先在上截取，连接，，利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到， 再利用三边关系得，根据两点之间线段最短得到当且仅当C、F、G三点共线时取得最小值，先计算出， 在计算线段的差得到BG=4，根据矩形的性质得到，， 再利用勾股定理计算得，从而得到最小值为 ，解答即可．
三、解答题：本大题9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·从江模拟）（1）计算：．
（2）已知分式方程．甲同学的解答过程如下：
解：去分母，得，（第一步） 解这个整式方程，得，（第二步） 检验：当时，，（第三步） 所以，原方程的根是．（第四步）
①甲同学的解答过程是从第_______步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______；
②请写出正确且完整的解答过程．
【答案】解：（1）原式；
（2）①一；去分母时，1没有乘最简公分母；
②原方程去分母得，
整理，得，
因式分解，得，
解得，，
检验：当时，；当时，，
故原分式方程的解为．
【知识点】零指数幂；解分式方程；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【解答】
解：（2）①观察解题过程可知，甲同学第一步开始出现错误，错误原因是去分母时，等式右边的1没有乘最简公分母；
故答案为：① ， 一；
【分析】
（1）先算算术平方根，零指数幂，化简绝对值，最后计算加减，解答即可；
（2）①第一步开始出现错误，错误原因是去分母时，等式右边的1没有乘最简公分母；
②根据分式方程的解法：先两边同时乘以最简公分母去分母得，然后用因式分解法解方程并检验即可解答．
18．（2025·从江模拟）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点F．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：由（1）已得：四边形是菱形，∴，
∵在中，，是的中点，，，
∴，
∴，
即四边形的面积为．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)本题考查菱形的判定、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质，先根据E是中点得到，结合得到内错角相等，利用AAS判定，得到，再结合D是中点推出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，最后利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明其为菱形；
(2)本题考查菱形的面积计算和三角形的中线性质，根据菱形的性质可知菱形的面积为，再根据直角三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得到，先计算的面积，再依次推导求出菱形的面积。
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：由（1）已得：四边形是菱形，
∴，
∵在中，，是的中点，，，
∴，
∴，
即四边形的面积为．
19．（2025·从江模拟）2025年3月28日缅甸级强震发生后，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，中国云南救援队成为了首支抵达缅甸的外国救援队伍．为了增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，测试卷共有10道题，测试后随机抽取该校20名学生，将他们答对题目的数量进行统计，并将统计结果整理成如下统计图：
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）所抽取学生答对题目数量的众数为________道，中位数为________道；
（2）求所抽取学生答对题目数量的平均数；
（3）若该校共有800名学生，请你估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有多少名？
【答案】（1）10，8
（2）解：（道），
∴所抽取学生答对题目数量的平均数为8道．
（3）解：（名），
∴估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）由统计图可得，所抽取学生答对题目数量的众数为10道，中位数为8道．
故答案为：10；8．
【分析】
（1）根据众数的定义：出现次数最多的数据，中位数的定义：将这20个数从小到大排列后取第10和11号数据的平均数，解答即可；
（2）根据平均数的公式=，计算即可解答；
（3）根据用样本估计总体=总人数答对10题学生的占比，解答即可．
（1）解：由统计图可得，所抽取学生答对题目数量的众数为10道，中位数为8道．
故答案为：10；8．
（2）解：（道），
∴所抽取学生答对题目数量的平均数为8道．
（3）解：（名），
∴估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名．
20．（2025·从江模拟）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
（1）若点的横坐标为2，求的值；
（2）点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为，把代入中，得到，
∴点坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
将代入到反比例函数得，；
（2）解：，理由如下：
∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
∴设，
∴，，
∴反比例函数为：，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
【知识点】二次根式的乘除混合运算；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）先根据点在正比例函数图象上得到点坐标为，然后代入可得的值，解答即可；
（2）设，根据点A再函数图象上表示出，，可得反比例函数为，根据得，根据过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、表示出，，再利用两点之间的距离公式表示出BD，CD 再判断数量关系，解答即可.
（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为，
把代入中，得到，
∴点坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
将代入到反比例函数得，；
（2）解：，理由如下：
∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
∴设，
∴，，
∴反比例函数为：，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
21．（2025·从江模拟）链条是自行车传动系统上的重要组成部分，如图所示，如果每节链条的长度为a，交叉重叠部分的圆的直径为b．
（1）当链条由5节组成时，链条的总长度是________；（用含a，b的代数式表示）
（2）如果一辆某型号自行车的链条由若干节这样的链条组成，每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．这辆自行车上的链条（安装前）的总长度为，求需要多少节这样的链条．
【答案】（1）
（2）解：由图形可得，x节链条的长．
当，时，．即，
解得．
即需要120节这样的链条．
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】
解：（1）由题意得：链条的总长度是．
故答案为：；
【分析】
（1）观察图形得到链条的总长度=5节链条的长度-4个重叠部分的长度，计算即可解答；
（2）设有x节链条，总长度为y，根据y=x节链条的长度-(x-1)个重叠部分的长度，列出解析式，然后把，代入计算即可解答．
（1）由题意得：链条的总长度是．
故答案为：；
（2）由图形可得，x节链条的长．
当，时，．即，
解得．
即需要120节这样的链条．
22．（2025·从江模拟）如图①，郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中最宽的结合梁斜拉桥，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：
方案设计：如图②，分别在A，B两点放置测角仪测得和的度数；
数据收集：A，B两点的距离为260米，测角仪和的高度变为1.5米，，；
问题解决：求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离．（结果保留整数．参考数据：，，）
（1）根据上述方案及数据，请你完成求解过程；
（2）你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些（写出一条即可）．
【答案】（1）解：如图，过点作于点，交于点，
根据题意得：，，米，米，
四边形是矩形，
米，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得，
米，
答：郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为150米．
（2）解：要确保，，
则测角仪测量时要与地面垂直（答案不唯一）．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点作于点，交于点，根据得四边形是矩形，再根据矩形的性质得到米，；再判定得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到米，；设米，根据正切的定义分别在和中，解直角三角形求出的长，根据建立方程，解方程求出的值，再计算线段的和差，解答即可；
（2）要确保，，即测角仪测量时要与地面垂直．
（1）解：如图，过点作于点，交于点，
则米，米，，，
四边形是矩形，
米，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得，
米，
答：郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为150米．
（2）解：要确保，，
则测角仪测量时要与地面垂直．
23．（2025·从江模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD交BP于点G．
（1）求证：直线GA是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝GD BD；
（3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的值．
【答案】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，∴BC＝BD．
∴点B在CD的垂直平分线上．
同理得：点A在CD的垂直平分线上．
∴AB⊥CD即OA⊥CD，
∵AG∥CD．
∴OA⊥GA．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线GA是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∵∠GAB＝90°，
∴∠GAD+∠BAD＝90°．
∴∠ABD＝∠GAD．
∵∠ADB＝∠ADG＝90°，
∴△BAD∽△AGD．
∴．
∴AD2＝GD BD．
∵AC＝AD，
∴AC2＝GD BD；
（3）解：∵tan∠AGB＝，∠ADG＝90°，
∴．
∴．
∵AD2＝GD BD，
∴BD＝2GD．
∵＝，
∴∠GAD＝∠GBA＝∠PCD．
∵AG∥CD，
∴∠PAG＝∠PCD．
∴∠PAG＝∠PBA．
∵∠P＝∠P，
∴△PAG∽△PBA．
∴PA2＝PG PB
∵PG＝6，BD＝2GD，
∴PA2＝6（6+3GD）．
∵∠ADP＝90°，
∴PA2＝AD2+PD2．
∴6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2．
解得：GD＝2或GD＝0（舍去）．
∴PD＝8，AP＝6，
∴cos∠P＝．
【知识点】切线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值；已知正切值求边长；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过证明OA⊥GA，即可得到直线GA是⊙O的切线；
（2）根据折叠的性质得到：AC＝AD，由题意可得，，从而得到△BAD∽△AGD，利用相似三角形的性质可得，即可求证；
（3）由（2）可得和锐角三角函数的定义求得；根据是对应边成比例得到：；结合勾股定理知PA2＝AD2+PD2．所以6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2，求得GD，根据三角函数的定义可得，即可求解．
24．（2025·从江模拟）如图1，某塑料大棚的一端由一个矩形的支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）求该塑料大棚最高点到地面的距离；
（2）小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图3，然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你进行解答．
①将抛物线向右平移，设抛物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离；
②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围．
【答案】（1）解：，
设抛物线的表达式为，
将点和点代入得，，
解得，
抛物线的表达式为．
根据抛物线的对称性质可知，抛物线顶点坐标的横坐标为3，
顶点的纵坐标，故该塑料大棚最高点到地面的距离为米；
（2）解：①设抛物线平移前与x轴的左交点为F．
令，则，解得，，
．
连接，，交于点H，
则点H是矩形对角线中点，
则．
设抛物线平移的距离为，则，，
当直线经过点H时，可以将矩形的面积平分，
，解得，
故抛物线平移的距离为；
②当抛物线过点A时，与矩形只有两个交点，此时．
当抛物线的顶点在和之间时，抛物线与矩形有两个交点，
则当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时．
当抛物线的顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时，
故当抛物线顶点在边与之间时，．
综上所述，n的取值范围为或．
【知识点】解二元一次方程组；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求出二次函数解析式，将点和点代入抛物线解析式，解方程组得到a，b的值，然后利用顶点纵坐标求得最大高度，解答即可；
（2）①令，求出平移前抛物线与轴的左边交点坐标，再利用矩形的中心对称性质求出平移距离即可；
②先分析临界点：当抛物线过点时，根据抛物线与矩形只有两个交点得到；当抛物线顶点在上时得到；当抛物线顶点在上时得到，再平移图形分析抛物线与矩形四边只有两个交点时的取值范围在临界值中间，写出范围即可解答．
（1）解：，
设抛物线的表达式为，
将点和点代入得，，解得，
抛物线的表达式为．
根据抛物线的对称性质可知，抛物线顶点坐标的横坐标为3，
顶点的纵坐标，故该塑料大棚最高点到地面的距离为米；
（2）解：①设抛物线平移前与x轴的左交点为F．
令，则，解得，，
．
连接，，交于点H，
则点H是矩形对角线中点，
则．
设抛物线平移的距离为，则，，
当直线经过点H时，可以将矩形的面积平分，
，解得，
故抛物线平移的距离为；
②当抛物线过点A时，与矩形只有两个交点，此时．
当抛物线的顶点在和之间时，抛物线与矩形有两个交点，
则当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时．
当抛物线的顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时，
故当抛物线顶点在边与之间时，．
综上所述，n的取值范围为或．
25．（2025·从江模拟）劳动课上，老师给同学们布置了任务：利用边角料加工成一批等腰三角形的部件．
问题提出：
（1）如图1，是一块三角形板材（），希望能够裁出一块以为底边的等腰三角形部件．请在图中画出切割线（要求：利用尺规作图．保留作图痕迹，不写作法）
问题探究：
（2）如图2，是一块四边形板材（四边形ABCD），其中，，，，．小明和小丽通过测量和计算发现：若连接，则就是一个等腰三角形，请你说出其中的道理，并求出的面积．
问题解决：
（3）小华对他俩的研究很感兴趣，于是也加入了进来．他们进一步发现（2）中的四边形ABCD恰好可以分割为三个等腰三角形．你知道他们是如何分割的吗？请你设计一种分割方式，说明理由．
【答案】解：（1）如图所示，即为等腰三角形，切割线即为所求；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴
（3）连接，取的中点T，连接，则、和都是等腰三角形，理由如下：
由（2）得为等腰三角形，
∵，的中点为T，
∴，
∴和都是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，分别以B，C为圆心作线段BC的垂直平分线即可解答；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，根据勾股定理得，根据补角的定义计算出，再根据的正切计算得出CE，再计算线段的和差得到AE，BE的值；根据特殊角度利用勾股定理得到EH，AH，然后利用勾股定理计算得到，从而可推导出是等腰三角形，再利用三角形的面积公式计算即可解答；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质可判定和都是等腰三角形，解答即可．
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县翠里中学2025年中考一模数学试题
一、选择题：以下各小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025·从江模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·从江模拟）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，从上面看这个几何体的形状图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·从江模拟）的结果是（　　）
A．1 B． C．a D．
4．（2025·从江模拟）如图，弯形管道的拐角，要保证管道，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·从江模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·从江模拟）一个两位数，个位数字为m，十位数字为n，则这个两位数用代数式可以表示为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·从江模拟）在菱形中，两条对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·从江模拟）象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·从江模拟）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·从江模拟）如图，在⊙O中，点B是弧AC上的一点，∠AOC=140°，则∠ABC的度数为（　　）
A．70° B．110° C．120° D．140°
11．（2025·从江模拟）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年－公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为（　　）
A．28 B．30 C．32 D．36
12．（2025·从江模拟）如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025·从江模拟）因式分解：　 　．
14．（2025·从江模拟）若关于x的一元二次方程恰有两个不相等的实数根，则m的值可以为　 　．（任意写出一个即可）
15．（2025·从江模拟）科技馆拟招聘一名优秀讲解员，小婷的笔试、试讲、答辩成绩分别为100分、90分、90分，若按笔试占，试讲占，答辩占的比例确定最终成绩，则小婷的最终成绩为　 　分．
16．（2025·从江模拟）如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为　 　．
三、解答题：本大题9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·从江模拟）（1）计算：．
（2）已知分式方程．甲同学的解答过程如下：
解：去分母，得，（第一步） 解这个整式方程，得，（第二步） 检验：当时，，（第三步） 所以，原方程的根是．（第四步）
①甲同学的解答过程是从第_______步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______；
②请写出正确且完整的解答过程．
18．（2025·从江模拟）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点F．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，，求四边形的面积．
19．（2025·从江模拟）2025年3月28日缅甸级强震发生后，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，中国云南救援队成为了首支抵达缅甸的外国救援队伍．为了增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，测试卷共有10道题，测试后随机抽取该校20名学生，将他们答对题目的数量进行统计，并将统计结果整理成如下统计图：
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）所抽取学生答对题目数量的众数为________道，中位数为________道；
（2）求所抽取学生答对题目数量的平均数；
（3）若该校共有800名学生，请你估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有多少名？
20．（2025·从江模拟）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
（1）若点的横坐标为2，求的值；
（2）点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明．
21．（2025·从江模拟）链条是自行车传动系统上的重要组成部分，如图所示，如果每节链条的长度为a，交叉重叠部分的圆的直径为b．
（1）当链条由5节组成时，链条的总长度是________；（用含a，b的代数式表示）
（2）如果一辆某型号自行车的链条由若干节这样的链条组成，每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．这辆自行车上的链条（安装前）的总长度为，求需要多少节这样的链条．
22．（2025·从江模拟）如图①，郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中最宽的结合梁斜拉桥，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：
方案设计：如图②，分别在A，B两点放置测角仪测得和的度数；
数据收集：A，B两点的距离为260米，测角仪和的高度变为1.5米，，；
问题解决：求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离．（结果保留整数．参考数据：，，）
（1）根据上述方案及数据，请你完成求解过程；
（2）你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些（写出一条即可）．
23．（2025·从江模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD交BP于点G．
（1）求证：直线GA是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝GD BD；
（3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的值．
24．（2025·从江模拟）如图1，某塑料大棚的一端由一个矩形的支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）求该塑料大棚最高点到地面的距离；
（2）小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图3，然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你进行解答．
①将抛物线向右平移，设抛物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离；
②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围．
25．（2025·从江模拟）劳动课上，老师给同学们布置了任务：利用边角料加工成一批等腰三角形的部件．
问题提出：
（1）如图1，是一块三角形板材（），希望能够裁出一块以为底边的等腰三角形部件．请在图中画出切割线（要求：利用尺规作图．保留作图痕迹，不写作法）
问题探究：
（2）如图2，是一块四边形板材（四边形ABCD），其中，，，，．小明和小丽通过测量和计算发现：若连接，则就是一个等腰三角形，请你说出其中的道理，并求出的面积．
问题解决：
（3）小华对他俩的研究很感兴趣，于是也加入了进来．他们进一步发现（2）中的四边形ABCD恰好可以分割为三个等腰三角形．你知道他们是如何分割的吗？请你设计一种分割方式，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察圆柱和长方体都会得到长方形，
所以上面看这个几何体的形状是：
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】
根据合并同类项的法则：字母及字母的指数不变，只把系数相加减，计算即可解答．
4．【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴， 又∠，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，代入数据计算角度，解答即可．
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，
该不等式组为，
故答案为：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间，实心圆点含等号，空心圆点不含等号，解答即可．
6．【答案】D
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：个位数字为m，十位数字为n，
这个两位数是，
故答案为：D．
【分析】
根据用代数式表示数量关系：个位数字为m，十位数字为n，十位数字需要乘上，相加列式解答即可．
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，两条对角线相交于点O，
∴，，，
但不一定成立，
故答案为：D
【分析】
根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，平分，菱形的对边平行， 故可得 ，，，判断即可解答.
8．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”；
故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是．
故答案为：C。
【分析】让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率．
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∴。
故答案为：B．
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得出， 然后再根据角平分线的作法可知平分， 进而由角平分线的定义得出．
10．【答案】B
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧AC上取点D，连接AD、CD，
∵∠AOC=，
∴∠ADC=，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=，
∴∠ABC=，
故答案为：B．
【分析】
在优弧AC上取点D，连接AD、CD，根据圆周角定理得到∠ADC=，根据圆内接四边形对角互补得到∠ADC+∠ABC=，再计算∠ABC的度数，解答即可．
11．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设，则由全等三角形可得，
∴，，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴此勾股形的面积为，
故答案为：B．
【分析】
设，根据全等三角形的性质得到，，，根据勾股定理建立关于x的方程，计算得到x=3，再利用三角形的面积公式计算即可解答．
12．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误；
由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故选项C的说法错误；
由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，即小球停止运动，此时弹簧被压缩至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为，故选项D的说法正确，选项B的说法错误．
故选：D．
【分析】观察函数图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，A选项错误，当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，对选项逐个判断即可．
13．【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般方法：提公因式，解答即可．
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由条件可知，且，
解得，且，
可以为1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解不等式即可求出答案.
15．【答案】95
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分）；
故答案为：．
【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数 ，求出加权平均数．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
在中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】
先在上截取，连接，，利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到， 再利用三边关系得，根据两点之间线段最短得到当且仅当C、F、G三点共线时取得最小值，先计算出， 在计算线段的差得到BG=4，根据矩形的性质得到，， 再利用勾股定理计算得，从而得到最小值为 ，解答即可．
17．【答案】解：（1）原式；
（2）①一；去分母时，1没有乘最简公分母；
②原方程去分母得，
整理，得，
因式分解，得，
解得，，
检验：当时，；当时，，
故原分式方程的解为．
【知识点】零指数幂；解分式方程；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【解答】
解：（2）①观察解题过程可知，甲同学第一步开始出现错误，错误原因是去分母时，等式右边的1没有乘最简公分母；
故答案为：① ， 一；
【分析】
（1）先算算术平方根，零指数幂，化简绝对值，最后计算加减，解答即可；
（2）①第一步开始出现错误，错误原因是去分母时，等式右边的1没有乘最简公分母；
②根据分式方程的解法：先两边同时乘以最简公分母去分母得，然后用因式分解法解方程并检验即可解答．
18．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：由（1）已得：四边形是菱形，∴，
∵在中，，是的中点，，，
∴，
∴，
即四边形的面积为．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)本题考查菱形的判定、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质，先根据E是中点得到，结合得到内错角相等，利用AAS判定，得到，再结合D是中点推出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，最后利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明其为菱形；
(2)本题考查菱形的面积计算和三角形的中线性质，根据菱形的性质可知菱形的面积为，再根据直角三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得到，先计算的面积，再依次推导求出菱形的面积。
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：由（1）已得：四边形是菱形，
∴，
∵在中，，是的中点，，，
∴，
∴，
即四边形的面积为．
19．【答案】（1）10，8
（2）解：（道），
∴所抽取学生答对题目数量的平均数为8道．
（3）解：（名），
∴估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）由统计图可得，所抽取学生答对题目数量的众数为10道，中位数为8道．
故答案为：10；8．
【分析】
（1）根据众数的定义：出现次数最多的数据，中位数的定义：将这20个数从小到大排列后取第10和11号数据的平均数，解答即可；
（2）根据平均数的公式=，计算即可解答；
（3）根据用样本估计总体=总人数答对10题学生的占比，解答即可．
（1）解：由统计图可得，所抽取学生答对题目数量的众数为10道，中位数为8道．
故答案为：10；8．
（2）解：（道），
∴所抽取学生答对题目数量的平均数为8道．
（3）解：（名），
∴估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名．
20．【答案】（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为，把代入中，得到，
∴点坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
将代入到反比例函数得，；
（2）解：，理由如下：
∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
∴设，
∴，，
∴反比例函数为：，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
【知识点】二次根式的乘除混合运算；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）先根据点在正比例函数图象上得到点坐标为，然后代入可得的值，解答即可；
（2）设，根据点A再函数图象上表示出，，可得反比例函数为，根据得，根据过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、表示出，，再利用两点之间的距离公式表示出BD，CD 再判断数量关系，解答即可.
（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为，
把代入中，得到，
∴点坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
将代入到反比例函数得，；
（2）解：，理由如下：
∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
∴设，
∴，，
∴反比例函数为：，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
21．【答案】（1）
（2）解：由图形可得，x节链条的长．
当，时，．即，
解得．
即需要120节这样的链条．
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】
解：（1）由题意得：链条的总长度是．
故答案为：；
【分析】
（1）观察图形得到链条的总长度=5节链条的长度-4个重叠部分的长度，计算即可解答；
（2）设有x节链条，总长度为y，根据y=x节链条的长度-(x-1)个重叠部分的长度，列出解析式，然后把，代入计算即可解答．
（1）由题意得：链条的总长度是．
故答案为：；
（2）由图形可得，x节链条的长．
当，时，．即，
解得．
即需要120节这样的链条．
22．【答案】（1）解：如图，过点作于点，交于点，
根据题意得：，，米，米，
四边形是矩形，
米，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得，
米，
答：郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为150米．
（2）解：要确保，，
则测角仪测量时要与地面垂直（答案不唯一）．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点作于点，交于点，根据得四边形是矩形，再根据矩形的性质得到米，；再判定得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到米，；设米，根据正切的定义分别在和中，解直角三角形求出的长，根据建立方程，解方程求出的值，再计算线段的和差，解答即可；
（2）要确保，，即测角仪测量时要与地面垂直．
（1）解：如图，过点作于点，交于点，
则米，米，，，
四边形是矩形，
米，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得，
米，
答：郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为150米．
（2）解：要确保，，
则测角仪测量时要与地面垂直．
23．【答案】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，∴BC＝BD．
∴点B在CD的垂直平分线上．
同理得：点A在CD的垂直平分线上．
∴AB⊥CD即OA⊥CD，
∵AG∥CD．
∴OA⊥GA．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线GA是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∵∠GAB＝90°，
∴∠GAD+∠BAD＝90°．
∴∠ABD＝∠GAD．
∵∠ADB＝∠ADG＝90°，
∴△BAD∽△AGD．
∴．
∴AD2＝GD BD．
∵AC＝AD，
∴AC2＝GD BD；
（3）解：∵tan∠AGB＝，∠ADG＝90°，
∴．
∴．
∵AD2＝GD BD，
∴BD＝2GD．
∵＝，
∴∠GAD＝∠GBA＝∠PCD．
∵AG∥CD，
∴∠PAG＝∠PCD．
∴∠PAG＝∠PBA．
∵∠P＝∠P，
∴△PAG∽△PBA．
∴PA2＝PG PB
∵PG＝6，BD＝2GD，
∴PA2＝6（6+3GD）．
∵∠ADP＝90°，
∴PA2＝AD2+PD2．
∴6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2．
解得：GD＝2或GD＝0（舍去）．
∴PD＝8，AP＝6，
∴cos∠P＝．
【知识点】切线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值；已知正切值求边长；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过证明OA⊥GA，即可得到直线GA是⊙O的切线；
（2）根据折叠的性质得到：AC＝AD，由题意可得，，从而得到△BAD∽△AGD，利用相似三角形的性质可得，即可求证；
（3）由（2）可得和锐角三角函数的定义求得；根据是对应边成比例得到：；结合勾股定理知PA2＝AD2+PD2．所以6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2，求得GD，根据三角函数的定义可得，即可求解．
24．【答案】（1）解：，
设抛物线的表达式为，
将点和点代入得，，
解得，
抛物线的表达式为．
根据抛物线的对称性质可知，抛物线顶点坐标的横坐标为3，
顶点的纵坐标，故该塑料大棚最高点到地面的距离为米；
（2）解：①设抛物线平移前与x轴的左交点为F．
令，则，解得，，
．
连接，，交于点H，
则点H是矩形对角线中点，
则．
设抛物线平移的距离为，则，，
当直线经过点H时，可以将矩形的面积平分，
，解得，
故抛物线平移的距离为；
②当抛物线过点A时，与矩形只有两个交点，此时．
当抛物线的顶点在和之间时，抛物线与矩形有两个交点，
则当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时．
当抛物线的顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时，
故当抛物线顶点在边与之间时，．
综上所述，n的取值范围为或．
【知识点】解二元一次方程组；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求出二次函数解析式，将点和点代入抛物线解析式，解方程组得到a，b的值，然后利用顶点纵坐标求得最大高度，解答即可；
（2）①令，求出平移前抛物线与轴的左边交点坐标，再利用矩形的中心对称性质求出平移距离即可；
②先分析临界点：当抛物线过点时，根据抛物线与矩形只有两个交点得到；当抛物线顶点在上时得到；当抛物线顶点在上时得到，再平移图形分析抛物线与矩形四边只有两个交点时的取值范围在临界值中间，写出范围即可解答．
（1）解：，
设抛物线的表达式为，
将点和点代入得，，解得，
抛物线的表达式为．
根据抛物线的对称性质可知，抛物线顶点坐标的横坐标为3，
顶点的纵坐标，故该塑料大棚最高点到地面的距离为米；
（2）解：①设抛物线平移前与x轴的左交点为F．
令，则，解得，，
．
连接，，交于点H，
则点H是矩形对角线中点，
则．
设抛物线平移的距离为，则，，
当直线经过点H时，可以将矩形的面积平分，
，解得，
故抛物线平移的距离为；
②当抛物线过点A时，与矩形只有两个交点，此时．
当抛物线的顶点在和之间时，抛物线与矩形有两个交点，
则当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时．
当抛物线的顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时，
故当抛物线顶点在边与之间时，．
综上所述，n的取值范围为或．
25．【答案】解：（1）如图所示，即为等腰三角形，切割线即为所求；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴
（3）连接，取的中点T，连接，则、和都是等腰三角形，理由如下：
由（2）得为等腰三角形，
∵，的中点为T，
∴，
∴和都是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，分别以B，C为圆心作线段BC的垂直平分线即可解答；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，根据勾股定理得，根据补角的定义计算出，再根据的正切计算得出CE，再计算线段的和差得到AE，BE的值；根据特殊角度利用勾股定理得到EH，AH，然后利用勾股定理计算得到，从而可推导出是等腰三角形，再利用三角形的面积公式计算即可解答；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质可判定和都是等腰三角形，解答即可．
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