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贵州省六盘水市2025年初中学业水平考试（适应性考试）数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025·六盘水模拟）下列各数中，无理数是（　　）
A． B．0 C．1 D．
2．（2025·六盘水模拟）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·六盘水模拟）计算的结果是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．20
4．（2025·六盘水模拟）如图，矩形的对角线，交于点，若，则的长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．10
5．（2025·六盘水模拟）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．2
6．（2025·六盘水模拟）一次函数 的图像经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
7．（2025·六盘水模拟）如图，在等腰中，的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·六盘水模拟）下图中数轴上表示的是哪个不等式组的解集（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·六盘水模拟）在七局四胜制的比赛中，前四局小王领先小果，若两人在每一局获胜的概率均为，那么小果最终胜出的概率是（　　）
A． B． C． D．1
10．（2025·六盘水模拟）如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（　　）
A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径
C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径
11．（2025·六盘水模拟）如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（　　）
A．50个 B．100个 C．150个 D．200个
12．（2025·六盘水模拟）已知在中，是边上的一点（不与端点重合），过点作边的垂线交于，设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025·六盘水模拟）因式分解：　 　．
14．（2025·六盘水模拟）若，则的值是　 　．
15．（2025·六盘水模拟）在一个不透明的口袋中有10个除颜色外都相同的小球，每次摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回．下表是摸到红球的频数记录，则袋中红球的个数是　 　．
摸球总次数 10 20 30 40 50 60 70 80
摸到红球的次数 2 5 9 13 16 18 22 24
摸到红球的频率
16．（2025·六盘水模拟）在中，，，是边上的高，当最大时，的值是　 　．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·六盘水模拟）（1）解方程：；
（2）若，求的值．
18．（2025·六盘水模拟）为加强中学生网络安全意识，从甲、乙两所中学各选取10名同学，参加网络安全知识竞赛．这20名同学的成绩如下：
　 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 学生8 学生9 学生10
甲中学 88 94 89 94 86 96 99 94 99 98
乙中学 92 93 90 94 93 98 94 98 96 99
（1）本次竞赛甲中学成绩的众数为______，乙中学成绩的中位数为______；
（2）下列说法正确的是______（填序号）；
①甲中学10名同学竞赛成绩的平均分超过了90分；
②如果此次竞赛90分及以上同学均获奖，那么获奖率超过了；
③甲中学的成绩比乙中学的成绩更稳定；
（3）根据两所中学的竞赛成绩，请推荐一所中学的同学去参加下一轮比赛，并说明理由．
19．（2025·六盘水模拟）如图，是的对角线，于点于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
20．（2025·六盘水模拟）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积．
21．（2025·六盘水模拟）在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元．
（1）求模型和模型的销售单价各是多少元？
（2）某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同．
22．（2025·六盘水模拟）某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构成一个三角形，如图所示，在中，当时，．（参考数据：）
（1）求的长；
（2）求的长．
23．（2025·六盘水模拟）的核心算法中有一种优先算法的“卷积”，类似如下操作：
优先算法，
优先算法2：，
优先算法3：．
（1）尝试操作：______；
（2）操作思考：______；
（3）思考设计：如下表所示，输出一个“微笑”的“卷积”是______，______，______，______．
表情包
表情名称 微笑 难过 惊讶 无奈
数值 25 31 35 40
24．（2025·六盘水模拟）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到．
（1）比较大小：______；（填“”，“”或“”）
（2）若点的横坐标为，求的值；
（3）在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标．
25．（2025·六盘水模拟）如图，四边形内接于．
（1）　 　度；
（2）连接，若，求的长；
（3）当是的中点，时，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数，
故答案为：D．
【分析】
根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，由此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意，足球在地面形成的影子是
故答案为：A．
【分析】
根据立体图形的投影：球体的正投影为圆，解答即可．
3．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】根据零指数幂的定义：任何不为零的数的零次幂为，解答即可．
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线，交于点，，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，解答即可.
5．【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
故答案为：A．
【分析】根据合并同类项法则：字母及字母的指数不变，只把系数相加减，计算即可解答．
6．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：一次函数 中，k=2＞0，b=3＞0，
所以一次函数 的图象经过第一、二、三象限．
故答案为：A．
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时， 一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时， 一次函数图象经过第二、三、四象限；据此判断即可.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵在等腰中，，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据等腰的性质：等腰三角形三线合一，计算即可解答．
8．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，不等式组的解集为；
故满足题意的只有；
故答案为：D．
【分析】
观察数轴得到不等式的解集为，再写出表示不等式的解集，判断即可解答。
9．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：在七局四胜制的比赛中，前四局小王领先小果，
∴还剩下局比赛；
小果的比赛情况画树状图如下：
∴由树状图可得所有都可能的结果数有种，小果获胜的机会只有种，
∴小果最终胜出的概率是，
故答案为：A
【分析】根据随机事件概率的求法：先画树状图得到所有的都可能的结果数有种，符合条件的结果数只有种，再利用概率公式计算即可解答．
10．【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是：
以点为圆心，线段长为半径画；
故答案为：C
【分析】
根据作一个角等于已知角的作图步骤解答即可．
11．【答案】B
【知识点】有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解： 混天绫第10秒时的长度是，
∵1个标准篮球场的周长为86米，
∴（个），
∴在第10秒时的长度大概相当于100个标准篮球场的周长．
故答案为：B．
【分析】
先根据题意得到混天绫第10秒时的长度，再根据1个标准篮球场的周长为86米，列式计算即可解答．
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
当点D恰好与点B重合时，则此时，
∴，
∴，
∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意，
故答案为：A．
【分析】
根据等腰直角三角形的性质求出，根据余弦的定义解直角三角形得到，表示出，根据正弦的定义解直角三角形得到，根据利用三角形的面积公式表示得到，由此可得函数图象开口向下，排除C，D，再求出的取值范围为，可得A符合题意，解答即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】根据因式分解的方法：提公因式2，分解即可解答．
14．【答案】1
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；完全平方式
【解析】【解答】解：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式展开得到，然后对应系数相等进行计算即可求解．
15．【答案】3
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到红球的频率稳定在左右，
则．
∴袋中红球的个数是，
故答案为：3．
【分析】
根据频率估计概率：随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在左右，即可得到摸出红球的概率为0.3，再计算红球的个数，解答即可．
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
是边上的高，
是以为斜边的直角的其中一条直角边，
即，此时，
当且仅当时，如图所示，
此时、两点重合，
即，此时取得最大值，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】
根据直角三角形中斜边大于直角边，当且仅当时，此时、两点重合，此时取得最大值，根据，，利用勾股定理求得，然后再求线段的比值，解答即可．
17．【答案】解：（1）去分母，得，
移项合并同类项，得；
（2）∵，且，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）根据解含分数的一元一次方程的基本步骤：去分母、移项合并同类项，系数化为1，计算即可解答；
（2）根据绝对值，二次根式，偶次方的非负性质求出a、b、c的值，再代值计算即可解答.
18．【答案】（1）94，94
（2）①
（3）解：选择乙中学，理由如下：
由（2）可知，乙中学的平均成绩高于甲中学，且乙中学的成绩比甲中学的成绩更稳定，故选择乙中学．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）甲中学10名同学的成绩出现次数最多的是94，故众数为94；
乙中学10名同学的成绩从小到大排序后，第5个和第6个数据为94，故中位数为：94；
故答案为：94，94．
（2）甲中学的平均分为：（分）；
方差为：
乙中学的平均分为：
（分）；
方差为
∴甲中学10名同学竞赛成绩的平均分超过了90分，故①正确；
如果此次竞赛90分及以上同学均获奖，那么获奖率为；故②错误；
，乙中学的成绩比甲中学的成绩更稳定；故③错误；
故答案为：①；
【分析】
（1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数；中位数的定义：将乙组数据从小到大排序后，取第5个和第6个数的平均数，解答即可；
（2）根据平均数公式先求出甲乙的平均数，再根据方差的公式求出方差，再根据方差越小越稳定，判断即可解答；
（3）利用平均数和方差作决策即可解答．
（1）解：甲中学10名同学的成绩出现次数最多的是94，故众数为94；
乙中学10名同学的成绩从小到大排序后，第5个和第6个数据为94，故中位数为：94；
故答案为：94，94．
（2）甲中学的平均分为：（分）；
方差为：
乙中学的平均分为：
（分）；
方差为
∴甲中学10名同学竞赛成绩的平均分超过了90分，故①正确；
如果此次竞赛90分及以上同学均获奖，那么获奖率为；故②错误；
，乙中学的成绩比甲中学的成绩更稳定；故③错误；
故答案为：①；
（3）选择乙中学，理由如下：
由（2）可知，乙中学的平均成绩高于甲中学，且乙中学的成绩比甲中学的成绩更稳定，故选择乙中学．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴．
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到，再根据平行线的性质得到，解答即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，再根据垂线的定义得到，由此可判定，再利用AAS证明，根据全等三角形的性质可得，解答即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴．
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
20．【答案】（1）解：∵轴于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵延长OA到点，使得，
∴为的中点，
∵，
∴，
∵，交反比例函数的图象于点，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；正切的概念
【解析】【分析】
（1）根据60正切的定义解直角三角形求出的长，即可得到点坐标，根据待定系数法求出k的值，解答即可；
（2）延长OA到点，使得，根据中点坐标公式求出点坐标，再表示出OD，CD，再根据三角形的面积公式求出，根据值的几何意义得到，利用割补法求出的面积即可解答．
（1）解：∵轴于点，
∴，
∴，
∴；
（2）∵延长OA到点，使得，
∴为的中点，
∵，
∴，
∵，交反比例函数的图象于点，
∴，，
∴，
∴的面积．
21．【答案】（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，
可得，
解得，
答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元；
（2）解：设购买种模型个，则购买种模型个，
则可得，
解得，
答：购买个模型时，两种方案费用相同．
【知识点】解一元一次方程；解二元一次方程组；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题；列一元一次方程
【解析】【分析】
（1）设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，根据买2个模型3个模型共需120元列方程为2x+3y=120；根据 买3个模型，1个模型共需110元 列方程为3x+y=110，解方程组，计算即可解答；
（2）设购买种模型个，则购买种模型个，表示出两种方案需要价格，列方程计算即可解答．
（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，
可得，
解得，
答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元；
（2）解：设购买种模型个，则购买种模型个，
则可得，
解得，
答：购买个模型时，两种方案费用相同．
22．【答案】（1）解：在中，，，
∴；
（2）解：由（1）知：，在中，，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正弦的概念；余弦的概念
【解析】【分析】
（1）在中，根据正弦的定义解直角三角形计算即可解答；
（2）在中，根据勾股定理求出的长，在中，利用余弦的定义计算求出的长，再根据线段的和差运算得到OB的值，解答即可．
（1）解：在中，，，
∴；
（2）由（1）知：，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
23．【答案】（1）
（2）
（3）（答案不唯一）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）设输出一个“微笑”的“卷积”是，
则可得，
，
，
，
，
，
则可得，
，
故可输出一个“微笑”的“卷积”是，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
（1）根据题意先计算，再计算，解答即可；
（2）根据题意计算即可解答；
（3）设输出一个“微笑”的“卷积”是，根据定义的计算得到可得将转化为根据定义的计算解答即可.
（1）解：根据题意可得，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：设输出一个“微笑”的“卷积”是，
则可得，
，
，
，
，
，
则可得，
，
故可输出一个“微笑”的“卷积”是，
故答案为：（答案不唯一）．
24．【答案】（1）
（2）解：由题意，得：，
把代入，得：，
∴；
（3）解：当时，解得：，
∴，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
当时，解得：或；
∴加固点的坐标为，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）由图象可知，抛物线的开口大小大于抛物线的开口大小，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【分析】
（1）根据二次函数的性质：|a|绝对值越大，开口越小开口大小，比较大小解答即可；
（2）根据待定系数法求出函数解析式把代入计算得到a的值，解答即可；
（3）当时，先求出的坐标，再求出，根据平移规则求出新的抛物线的解析式为，令，可求得加固点的坐标为，，解答即可．
（1）解：由图象可知，抛物线的开口大小大于抛物线的开口大小，
∴，
∵，
∴；
（2）由题意，得：，把代入，得：，
∴；
（3）当时，解得：，
∴，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
当时，解得：或；
∴加固点的坐标为，．
25．【答案】（1）
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴；

（3）解：如图，延长交于点，连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵
在中，，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵四边形内接于．
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
（1）根据圆内接四边形对角互补，计算角度即可求解；
（2）连接，根据圆周角定理的推论得出，根据正切的定义，计算线段的比值，即可算得AB的值，解答即可；
（3）延长交于点，连接，根据等弧所对的弦相等得到，根据得出是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，再根据勾股定理表示出，设，利用线段得和差表示出，，根据正切和余弦得定义表示出，，再利用这个等量关系建立方程，解方程求出r的值，计算即可求解．
（1）解：∵四边形内接于．
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点，连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵
在中，，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
∴的半径为．
1 / 1贵州省六盘水市2025年初中学业水平考试（适应性考试）数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025·六盘水模拟）下列各数中，无理数是（　　）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数，
故答案为：D．
【分析】
根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，由此解答即可.
2．（2025·六盘水模拟）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意，足球在地面形成的影子是
故答案为：A．
【分析】
根据立体图形的投影：球体的正投影为圆，解答即可．
3．（2025·六盘水模拟）计算的结果是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．20
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】根据零指数幂的定义：任何不为零的数的零次幂为，解答即可．
4．（2025·六盘水模拟）如图，矩形的对角线，交于点，若，则的长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．10
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线，交于点，，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，解答即可.
5．（2025·六盘水模拟）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
故答案为：A．
【分析】根据合并同类项法则：字母及字母的指数不变，只把系数相加减，计算即可解答．
6．（2025·六盘水模拟）一次函数 的图像经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：一次函数 中，k=2＞0，b=3＞0，
所以一次函数 的图象经过第一、二、三象限．
故答案为：A．
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时， 一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时， 一次函数图象经过第二、三、四象限；据此判断即可.
7．（2025·六盘水模拟）如图，在等腰中，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵在等腰中，，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据等腰的性质：等腰三角形三线合一，计算即可解答．
8．（2025·六盘水模拟）下图中数轴上表示的是哪个不等式组的解集（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，不等式组的解集为；
故满足题意的只有；
故答案为：D．
【分析】
观察数轴得到不等式的解集为，再写出表示不等式的解集，判断即可解答。
9．（2025·六盘水模拟）在七局四胜制的比赛中，前四局小王领先小果，若两人在每一局获胜的概率均为，那么小果最终胜出的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：在七局四胜制的比赛中，前四局小王领先小果，
∴还剩下局比赛；
小果的比赛情况画树状图如下：
∴由树状图可得所有都可能的结果数有种，小果获胜的机会只有种，
∴小果最终胜出的概率是，
故答案为：A
【分析】根据随机事件概率的求法：先画树状图得到所有的都可能的结果数有种，符合条件的结果数只有种，再利用概率公式计算即可解答．
10．（2025·六盘水模拟）如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（　　）
A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径
C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径
【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是：
以点为圆心，线段长为半径画；
故答案为：C
【分析】
根据作一个角等于已知角的作图步骤解答即可．
11．（2025·六盘水模拟）如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（　　）
A．50个 B．100个 C．150个 D．200个
【答案】B
【知识点】有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解： 混天绫第10秒时的长度是，
∵1个标准篮球场的周长为86米，
∴（个），
∴在第10秒时的长度大概相当于100个标准篮球场的周长．
故答案为：B．
【分析】
先根据题意得到混天绫第10秒时的长度，再根据1个标准篮球场的周长为86米，列式计算即可解答．
12．（2025·六盘水模拟）已知在中，是边上的一点（不与端点重合），过点作边的垂线交于，设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
当点D恰好与点B重合时，则此时，
∴，
∴，
∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意，
故答案为：A．
【分析】
根据等腰直角三角形的性质求出，根据余弦的定义解直角三角形得到，表示出，根据正弦的定义解直角三角形得到，根据利用三角形的面积公式表示得到，由此可得函数图象开口向下，排除C，D，再求出的取值范围为，可得A符合题意，解答即可．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025·六盘水模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】根据因式分解的方法：提公因式2，分解即可解答．
14．（2025·六盘水模拟）若，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；完全平方式
【解析】【解答】解：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式展开得到，然后对应系数相等进行计算即可求解．
15．（2025·六盘水模拟）在一个不透明的口袋中有10个除颜色外都相同的小球，每次摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回．下表是摸到红球的频数记录，则袋中红球的个数是　 　．
摸球总次数 10 20 30 40 50 60 70 80
摸到红球的次数 2 5 9 13 16 18 22 24
摸到红球的频率
【答案】3
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到红球的频率稳定在左右，
则．
∴袋中红球的个数是，
故答案为：3．
【分析】
根据频率估计概率：随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在左右，即可得到摸出红球的概率为0.3，再计算红球的个数，解答即可．
16．（2025·六盘水模拟）在中，，，是边上的高，当最大时，的值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
是边上的高，
是以为斜边的直角的其中一条直角边，
即，此时，
当且仅当时，如图所示，
此时、两点重合，
即，此时取得最大值，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】
根据直角三角形中斜边大于直角边，当且仅当时，此时、两点重合，此时取得最大值，根据，，利用勾股定理求得，然后再求线段的比值，解答即可．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·六盘水模拟）（1）解方程：；
（2）若，求的值．
【答案】解：（1）去分母，得，
移项合并同类项，得；
（2）∵，且，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）根据解含分数的一元一次方程的基本步骤：去分母、移项合并同类项，系数化为1，计算即可解答；
（2）根据绝对值，二次根式，偶次方的非负性质求出a、b、c的值，再代值计算即可解答.
18．（2025·六盘水模拟）为加强中学生网络安全意识，从甲、乙两所中学各选取10名同学，参加网络安全知识竞赛．这20名同学的成绩如下：
　 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 学生8 学生9 学生10
甲中学 88 94 89 94 86 96 99 94 99 98
乙中学 92 93 90 94 93 98 94 98 96 99
（1）本次竞赛甲中学成绩的众数为______，乙中学成绩的中位数为______；
（2）下列说法正确的是______（填序号）；
①甲中学10名同学竞赛成绩的平均分超过了90分；
②如果此次竞赛90分及以上同学均获奖，那么获奖率超过了；
③甲中学的成绩比乙中学的成绩更稳定；
（3）根据两所中学的竞赛成绩，请推荐一所中学的同学去参加下一轮比赛，并说明理由．
【答案】（1）94，94
（2）①
（3）解：选择乙中学，理由如下：
由（2）可知，乙中学的平均成绩高于甲中学，且乙中学的成绩比甲中学的成绩更稳定，故选择乙中学．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）甲中学10名同学的成绩出现次数最多的是94，故众数为94；
乙中学10名同学的成绩从小到大排序后，第5个和第6个数据为94，故中位数为：94；
故答案为：94，94．
（2）甲中学的平均分为：（分）；
方差为：
乙中学的平均分为：
（分）；
方差为
∴甲中学10名同学竞赛成绩的平均分超过了90分，故①正确；
如果此次竞赛90分及以上同学均获奖，那么获奖率为；故②错误；
，乙中学的成绩比甲中学的成绩更稳定；故③错误；
故答案为：①；
【分析】
（1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数；中位数的定义：将乙组数据从小到大排序后，取第5个和第6个数的平均数，解答即可；
（2）根据平均数公式先求出甲乙的平均数，再根据方差的公式求出方差，再根据方差越小越稳定，判断即可解答；
（3）利用平均数和方差作决策即可解答．
（1）解：甲中学10名同学的成绩出现次数最多的是94，故众数为94；
乙中学10名同学的成绩从小到大排序后，第5个和第6个数据为94，故中位数为：94；
故答案为：94，94．
（2）甲中学的平均分为：（分）；
方差为：
乙中学的平均分为：
（分）；
方差为
∴甲中学10名同学竞赛成绩的平均分超过了90分，故①正确；
如果此次竞赛90分及以上同学均获奖，那么获奖率为；故②错误；
，乙中学的成绩比甲中学的成绩更稳定；故③错误；
故答案为：①；
（3）选择乙中学，理由如下：
由（2）可知，乙中学的平均成绩高于甲中学，且乙中学的成绩比甲中学的成绩更稳定，故选择乙中学．
19．（2025·六盘水模拟）如图，是的对角线，于点于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴．
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到，再根据平行线的性质得到，解答即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，再根据垂线的定义得到，由此可判定，再利用AAS证明，根据全等三角形的性质可得，解答即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴．
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
20．（2025·六盘水模拟）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积．
【答案】（1）解：∵轴于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵延长OA到点，使得，
∴为的中点，
∵，
∴，
∵，交反比例函数的图象于点，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；正切的概念
【解析】【分析】
（1）根据60正切的定义解直角三角形求出的长，即可得到点坐标，根据待定系数法求出k的值，解答即可；
（2）延长OA到点，使得，根据中点坐标公式求出点坐标，再表示出OD，CD，再根据三角形的面积公式求出，根据值的几何意义得到，利用割补法求出的面积即可解答．
（1）解：∵轴于点，
∴，
∴，
∴；
（2）∵延长OA到点，使得，
∴为的中点，
∵，
∴，
∵，交反比例函数的图象于点，
∴，，
∴，
∴的面积．
21．（2025·六盘水模拟）在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元．
（1）求模型和模型的销售单价各是多少元？
（2）某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同．
【答案】（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，
可得，
解得，
答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元；
（2）解：设购买种模型个，则购买种模型个，
则可得，
解得，
答：购买个模型时，两种方案费用相同．
【知识点】解一元一次方程；解二元一次方程组；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题；列一元一次方程
【解析】【分析】
（1）设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，根据买2个模型3个模型共需120元列方程为2x+3y=120；根据 买3个模型，1个模型共需110元 列方程为3x+y=110，解方程组，计算即可解答；
（2）设购买种模型个，则购买种模型个，表示出两种方案需要价格，列方程计算即可解答．
（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，
可得，
解得，
答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元；
（2）解：设购买种模型个，则购买种模型个，
则可得，
解得，
答：购买个模型时，两种方案费用相同．
22．（2025·六盘水模拟）某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构成一个三角形，如图所示，在中，当时，．（参考数据：）
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）解：在中，，，
∴；
（2）解：由（1）知：，在中，，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正弦的概念；余弦的概念
【解析】【分析】
（1）在中，根据正弦的定义解直角三角形计算即可解答；
（2）在中，根据勾股定理求出的长，在中，利用余弦的定义计算求出的长，再根据线段的和差运算得到OB的值，解答即可．
（1）解：在中，，，
∴；
（2）由（1）知：，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
23．（2025·六盘水模拟）的核心算法中有一种优先算法的“卷积”，类似如下操作：
优先算法，
优先算法2：，
优先算法3：．
（1）尝试操作：______；
（2）操作思考：______；
（3）思考设计：如下表所示，输出一个“微笑”的“卷积”是______，______，______，______．
表情包
表情名称 微笑 难过 惊讶 无奈
数值 25 31 35 40
【答案】（1）
（2）
（3）（答案不唯一）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）设输出一个“微笑”的“卷积”是，
则可得，
，
，
，
，
，
则可得，
，
故可输出一个“微笑”的“卷积”是，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
（1）根据题意先计算，再计算，解答即可；
（2）根据题意计算即可解答；
（3）设输出一个“微笑”的“卷积”是，根据定义的计算得到可得将转化为根据定义的计算解答即可.
（1）解：根据题意可得，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：设输出一个“微笑”的“卷积”是，
则可得，
，
，
，
，
，
则可得，
，
故可输出一个“微笑”的“卷积”是，
故答案为：（答案不唯一）．
24．（2025·六盘水模拟）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到．
（1）比较大小：______；（填“”，“”或“”）
（2）若点的横坐标为，求的值；
（3）在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：由题意，得：，
把代入，得：，
∴；
（3）解：当时，解得：，
∴，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
当时，解得：或；
∴加固点的坐标为，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）由图象可知，抛物线的开口大小大于抛物线的开口大小，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【分析】
（1）根据二次函数的性质：|a|绝对值越大，开口越小开口大小，比较大小解答即可；
（2）根据待定系数法求出函数解析式把代入计算得到a的值，解答即可；
（3）当时，先求出的坐标，再求出，根据平移规则求出新的抛物线的解析式为，令，可求得加固点的坐标为，，解答即可．
（1）解：由图象可知，抛物线的开口大小大于抛物线的开口大小，
∴，
∵，
∴；
（2）由题意，得：，把代入，得：，
∴；
（3）当时，解得：，
∴，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
当时，解得：或；
∴加固点的坐标为，．
25．（2025·六盘水模拟）如图，四边形内接于．
（1）　 　度；
（2）连接，若，求的长；
（3）当是的中点，时，求的半径．
【答案】（1）
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴；

（3）解：如图，延长交于点，连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵
在中，，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵四边形内接于．
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
（1）根据圆内接四边形对角互补，计算角度即可求解；
（2）连接，根据圆周角定理的推论得出，根据正切的定义，计算线段的比值，即可算得AB的值，解答即可；
（3）延长交于点，连接，根据等弧所对的弦相等得到，根据得出是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，再根据勾股定理表示出，设，利用线段得和差表示出，，根据正切和余弦得定义表示出，，再利用这个等量关系建立方程，解方程求出r的值，计算即可求解．
（1）解：∵四边形内接于．
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点，连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵
在中，，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
∴的半径为．
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