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广西壮族自治区防城港市防城区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2025八下·防城期中）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数，得，解得：．
2．（2025八下·防城期中）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.该选项为最简二次根式，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意；
B.，与是同类二次根式，所以能合并，故该选项符合题意；
C.，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意；
D. ，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·防城期中）下列几组数是勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．1，，
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意；
B、，正确，是勾股数，符合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意；
D、，不是正整数，错误，不是勾股数，不符合题意
故选：B．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·防城期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025八下·防城期中）已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不对
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得．
∴，；
若等腰三角形的三边长为：3，3，7，
∵，不能构成三角形，
∴此种情况不存在；
若等腰三角形的三边长为：3，7，7，
则等腰三角形的周长为：，
故选：C．
【分析】根据二次根式，绝对值的非负性可得x，y值，再根据三角形三边关系，结合等腰三角形性质即可求出答案.
6．（2025八下·防城期中）如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（　　）
A．， B．，
C．， D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线、，交于点，
∴，，，，，，
由菱形的性质不能得到，
故选：D．
【分析】根据菱形性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025八下·防城期中）在平行四边形中，与的度数之比为，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，
∵，
∴，
∵与的度数之比为，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据平行四边形性质，结合角之间的关系即可求出答案.
8．（2025八下·防城期中）如图，要测定被池塘隔开的、两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，，，则、两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，
∴是三角形的中位线，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．（2025八下·防城期中）如图，矩形的对角线，，则的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．8cm D．cm
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴．
故选：D
【分析】根据矩形性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025八下·防城期中）《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺，
根据勾股定理可得：．
故选：C．
【分析】设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理建立方程即可求出答案.
11．（2025八下·防城期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：分三种情况讨论：
①如图，
此时；
②如图，
此时，
③如图，
此时，
又∵，
∴需要爬行的最短路程为．
故选：A．
【分析】根据长方体展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.
12．（2025八下·防城期中）观察数据并寻找规律：，，，，……，则第2025个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：，，，，……，
∴奇数位的符号为负，偶数位的符号为正，且被开方数为，
∴第2025个数是；
故选：A．
【分析】根据前5个数的变换，总结规律，结合二次根式的性质即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2025八下·防城期中）计算：　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：2.
【分析】根据二次根式性质“”直接化简即可.
14．（2025八下·防城期中）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　 　．
【答案】菱形的四条边相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为：菱形的四条边相等．
【分析】把一个命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，把命题的题设和结论交换位置就得到其逆命题。
15．（2025八下·防城期中）如图，正方形的顶点、的坐标分别为，，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作轴于E，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵、的坐标分别为，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作轴于E，根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据边之间的关系可得OE，再根据点的坐标即可求出答案.
16．（2025八下·防城期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】5
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，
在矩形中，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
则，即的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
连接，则，
∵，
∴．
∴的最小值为5．
故答案为：5．
【分析】连接，根据矩形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，则，即的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，根据垂直平分线性质可得，连接，则，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·防城期中）先化简再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，多项式乘多相似去括号，再合并同类项化简，再将x值代入即可求出答案.
18．（2025八下·防城期中）如图所示，已知点在的对角线上，且．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠ABE=∠CDF
∴在△ABE和△CDF中
；
（2）证明：如下图：

由(1)可得：
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF
∵AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行线的性质，熟知平行四边形的判定定理是是解题关键．（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AB∥CD，AB=CD，在根据平行线的性质可知：两直线平行，内错角相等可知：∠ABE=∠CDF；结合已知条件：BE=DF，通过全等三角形的判定定理SAS可证得：△ABE≌△CDF，由此即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：AE=CF，∠AEB=∠CFD，再根据平角的定义可知：180°-∠AEB=180°-∠CFD，即∠AEF=∠CFE，根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可知：AE∥CF，最后根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AECF是平行四边形， 由此即可证得结论 ．
19．（2025八下·防城期中）如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BDE，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（2025八下·防城期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
∴，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，，
，
∵四边形ACDE是菱形，
，，
四边形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，即可得到结论；
（2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求得CE和AD的长，即可利用菱形的面积公式计算菱形面积．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
∴，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，，
，
，，
四边形的面积．
21．（2025八下·防城期中）某校八年级（）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米到点，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：由题意得，米，，
在中，米，
∴米，
答：风筝的垂直高度为米；
（2）解：∵米，米，
∴米，
在中，米，
∴米，
答：他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得MD，根据边之间的MD，根据勾股定理可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由题意得，米，，
在中，米，
∴米，
答：风筝的垂直高度为米；
（2）解：∵米，米，
∴米，
在中，米，
∴米，
答：他应该往回收线米．
22．（2025八下·防城期中）【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】
（1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________；
【方法迁移】
（2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长．
（3）如图4，在中，，，，，设，求的值．
【答案】解：（1）
（2）∵，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，设，
∴，
∵，，
∴在中，由勾股定理，得：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：．
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；等积变换
【解析】【解答】解：（1），，
∴；
故答案为：
【分析】（1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，建立代数式即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，根据边之间的关系可得CD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025八下·防城期中）【综合与实践】
折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而矩形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动．如图，已知矩形纸片，其中，．
【操作判断】
（1）将矩形纸片按图折叠，使点落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由；
【探究发现】
（2）将图的纸片展平，把四边形剪下来，如图，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点．
求的长；
直接写出、、之间的数量关系．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可知：，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）②由（1）可知四边形是正方形，
，，
，，
点是的中点，
，
；
③．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）③解：，
如下图所示，连接，
点是的中点，
，，
在和中，，
，
，
由折叠的性质可知，
，
．
【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据折叠性质可得，，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）②根据正方形性质可得，，再根据边之间的关系可得FC，根据线段中点可得FM，再根据勾股定理即可求出答案.
③连接，根据折叠性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据折叠性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区防城港市防城区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2025八下·防城期中）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·防城期中）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·防城期中）下列几组数是勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．1，，
4．（2025八下·防城期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·防城期中）已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不对
6．（2025八下·防城期中）如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（　　）
A．， B．，
C．， D．
7．（2025八下·防城期中）在平行四边形中，与的度数之比为，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·防城期中）如图，要测定被池塘隔开的、两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，，，则、两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·防城期中）如图，矩形的对角线，，则的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．8cm D．cm
10．（2025八下·防城期中）《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025八下·防城期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025八下·防城期中）观察数据并寻找规律：，，，，……，则第2025个数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2025八下·防城期中）计算：　 　．
14．（2025八下·防城期中）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　 　．
15．（2025八下·防城期中）如图，正方形的顶点、的坐标分别为，，则点的坐标为　 　．
16．（2025八下·防城期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·防城期中）先化简再求值：，其中．
18．（2025八下·防城期中）如图所示，已知点在的对角线上，且．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
19．（2025八下·防城期中）如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
20．（2025八下·防城期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
21．（2025八下·防城期中）某校八年级（）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米到点，则他应该往回收线多少米？
22．（2025八下·防城期中）【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】
（1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________；
【方法迁移】
（2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长．
（3）如图4，在中，，，，，设，求的值．
23．（2025八下·防城期中）【综合与实践】
折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而矩形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动．如图，已知矩形纸片，其中，．
【操作判断】
（1）将矩形纸片按图折叠，使点落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由；
【探究发现】
（2）将图的纸片展平，把四边形剪下来，如图，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点．
求的长；
直接写出、、之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数，得，解得：．
2．【答案】B
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.该选项为最简二次根式，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意；
B.，与是同类二次根式，所以能合并，故该选项符合题意；
C.，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意；
D. ，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意；
B、，正确，是勾股数，符合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意；
D、，不是正整数，错误，不是勾股数，不符合题意
故选：B．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得．
∴，；
若等腰三角形的三边长为：3，3，7，
∵，不能构成三角形，
∴此种情况不存在；
若等腰三角形的三边长为：3，7，7，
则等腰三角形的周长为：，
故选：C．
【分析】根据二次根式，绝对值的非负性可得x，y值，再根据三角形三边关系，结合等腰三角形性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线、，交于点，
∴，，，，，，
由菱形的性质不能得到，
故选：D．
【分析】根据菱形性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，
∵，
∴，
∵与的度数之比为，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据平行四边形性质，结合角之间的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，
∴是三角形的中位线，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴．
故选：D
【分析】根据矩形性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺，
根据勾股定理可得：．
故选：C．
【分析】设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理建立方程即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：分三种情况讨论：
①如图，
此时；
②如图，
此时，
③如图，
此时，
又∵，
∴需要爬行的最短路程为．
故选：A．
【分析】根据长方体展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：，，，，……，
∴奇数位的符号为负，偶数位的符号为正，且被开方数为，
∴第2025个数是；
故选：A．
【分析】根据前5个数的变换，总结规律，结合二次根式的性质即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：2.
【分析】根据二次根式性质“”直接化简即可.
14．【答案】菱形的四条边相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为：菱形的四条边相等．
【分析】把一个命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，把命题的题设和结论交换位置就得到其逆命题。
15．【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作轴于E，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵、的坐标分别为，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作轴于E，根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据边之间的关系可得OE，再根据点的坐标即可求出答案.
16．【答案】5
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，
在矩形中，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
则，即的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
连接，则，
∵，
∴．
∴的最小值为5．
故答案为：5．
【分析】连接，根据矩形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，则，即的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，根据垂直平分线性质可得，连接，则，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，多项式乘多相似去括号，再合并同类项化简，再将x值代入即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠ABE=∠CDF
∴在△ABE和△CDF中
；
（2）证明：如下图：

由(1)可得：
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF
∵AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行线的性质，熟知平行四边形的判定定理是是解题关键．（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AB∥CD，AB=CD，在根据平行线的性质可知：两直线平行，内错角相等可知：∠ABE=∠CDF；结合已知条件：BE=DF，通过全等三角形的判定定理SAS可证得：△ABE≌△CDF，由此即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：AE=CF，∠AEB=∠CFD，再根据平角的定义可知：180°-∠AEB=180°-∠CFD，即∠AEF=∠CFE，根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可知：AE∥CF，最后根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AECF是平行四边形， 由此即可证得结论 ．
19．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BDE，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
∴，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，，
，
∵四边形ACDE是菱形，
，，
四边形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，即可得到结论；
（2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求得CE和AD的长，即可利用菱形的面积公式计算菱形面积．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
∴，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，，
，
，，
四边形的面积．
21．【答案】（1）解：由题意得，米，，
在中，米，
∴米，
答：风筝的垂直高度为米；
（2）解：∵米，米，
∴米，
在中，米，
∴米，
答：他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得MD，根据边之间的MD，根据勾股定理可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由题意得，米，，
在中，米，
∴米，
答：风筝的垂直高度为米；
（2）解：∵米，米，
∴米，
在中，米，
∴米，
答：他应该往回收线米．
22．【答案】解：（1）
（2）∵，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，设，
∴，
∵，，
∴在中，由勾股定理，得：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：．
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；等积变换
【解析】【解答】解：（1），，
∴；
故答案为：
【分析】（1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，建立代数式即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，根据边之间的关系可得CD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可知：，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）②由（1）可知四边形是正方形，
，，
，，
点是的中点，
，
；
③．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）③解：，
如下图所示，连接，
点是的中点，
，，
在和中，，
，
，
由折叠的性质可知，
，
．
【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据折叠性质可得，，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）②根据正方形性质可得，，再根据边之间的关系可得FC，根据线段中点可得FM，再根据勾股定理即可求出答案.
③连接，根据折叠性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据折叠性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
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