资源简介

广东省清远市清新区第三中学教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：请把选出的答案填涂在答题卡中（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025八下·清新期中）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·清新期中）已知a＜b，下列式子正确的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
3．（2025八下·清新期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·清新期中）在中，，，，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2025八下·清新期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·清新期中）把点M（－2，1）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点N，则点N的坐标为（　　）
A．（－4，4） B．（－5，3）
C．（1，－1） D．（－5，－1）
7．（2025八下·清新期中）下列说法，正确的是（　　）
A．若三边a，b，c比例为，则这个三角形为直角三角形
B．角的平分线上的点到角的两边距离相等
C．“若，则”此命题是真命题
D．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于
8．（2025八下·清新期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若AB=6cm，AC=8cm，则△ABD的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
9．（2025八下·清新期中）如图，在正方形中，，点E在边上，，把绕点A顺时针旋转，得到，连接，则线段的长为（　　）
A． B． C．4 D．
10．（2025八下·清新期中）如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价（元）与销售量（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（　　）
A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③
二、填空题：请把你的答案填在答题卡中（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．（2025八下·清新期中）因式分解： 　 　.
12．（2025八下·清新期中）不等式组解集是　 　．
13．（2025八下·清新期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　 　．
14．（2025八下·清新期中）如图，当时，自变量x的取值范围是　 　．
15．（2025八下·清新期中）如图，在中，，，，，点D是的中点，点E是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F．若时，量得的长为时，则此时的面积为　 　．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分．）
16．（2025八下·清新期中）先因式分解，再计算求值：，其中．
17．（2025八下·清新期中）如图，，，，，求的值．
18．（2025八下·清新期中）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．（2025八下·清新期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出ABC先向右平移6格，再向上平移1格所得的△A'B'C'；
（2）请以点B为坐标原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系（在图中画出），然后分别写出点A'，B'，C'的坐标．
20．（2025八下·清新期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
21．（2025八下·清新期中）随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元．
（1）A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？
（2）该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用．
五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．）
22．（2025八下·清新期中）【问题与探究】已知和都是等腰直角三角形，．
【问题初探】（1）如图1：连接，，则线段与数量关系是__________；请证明这个结论．
【问题再探】（2）若将绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在边上时，如图2所示，求证：；
【灵活运用】（3）若（2）的条件不变，当，时，求线段的长．
23．（2025八下·清新期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
（1）求证：；
（2）求经过、两点的一次函数表达式．如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标及的面积；
（3）在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形： 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合的图形，逐个选项进行判断．
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项错误；B、∵a＜b，∴a-3＜b-3，故本选项正确；
C、∵a＜b，-3a＞-3b，故本选项错误；
D、∵a＜b，∴，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，不是分解因式；
B、，不是分解因式；
C、，是分解因式；
D、，不是分解因式；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴为的对边，为斜边，
根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，得：．
故答案为：A．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边是斜边的一半）可得AB=2BC，再求解即可.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：，
将解集在数轴上表示如下图：
，
故选：C．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
6．【答案】C
【知识点】点的坐标；平移的性质
【解析】【解答】解：把点M（－2，1）向右平移3个单位长度，即横坐标加3．向下平移2个单位长度，即纵坐标减2．因此N点的坐标为（1，－1）．
故答案为：C
【分析】利用点平移的坐标规律，把点M的横坐标加3，纵坐标减2即可得到对应点N的坐标
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、设三边为、、，验证是否满足勾股定理：不满足，故A错误，不符合题意；
B、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，故B正确，符合题意；
C、举反例：若，，则成立，但，命题不成立，是假命题，故C错误，不符合题意；
D、反证法应假设结论的反面，即“底角不小于”（包含等于和大于），而选项仅假设等于，不完整，故D错误，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理、角平分线的性质、不等式的性质和反证法的定义逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴△ABD的周长=
∵AB=6cm，AC=8cm，
∴△ABD的周长=14 cm
故答案为：D.
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ABD的周长=14 cm.
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在正方形中，，
∴，，
∵把绕点A顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，即、B、C共线，
在中，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用旋转的性质可得，，再求出，，最后利用勾股定理求出的长即可.
10．【答案】D
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：图形中甲乙的交点为(2，4)，结合点的意义可知：
售2件时甲、乙两家售价一样，即①成立；
当x=1时，乙的图象在甲的图象的下方，
即买1件时买乙家的合算，②成立；
当x=3时，甲的图象在乙的图象的下方，
即买3件时买甲家的合算，③成立；
即买乙家的1件售价约为1元，④不成立.
故答案为：D.
【分析】结合函数图象中的数据逐项分析判断即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴根据“同大取较大”，不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】利用“ 不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）”求解即可.
13．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”.
故答案为： 内错角相等，两直线平行 .
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，“如果”后面接的是题设，“那么”后面接的结论，将原命题的将题设和结论互换得逆命题.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，一次函数图象在x轴上方，即此时，
∴当时，自变量的取值范围是，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
15．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作交延长线于点，连接，
∵折叠，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【分析】过点作交延长线于点，连接，先证出，可得，再求出，可得，利用勾股定理求出EH的长，最后求出三角形的面积即可.
16．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】先利用提公因式法进行因式分解，再将a的值代入计算即可.
17．【答案】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，再求出∠C=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质求出BC的长即可.
18．【答案】解：
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
19．【答案】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，即为建立的平面直角坐标系，
点A'、B'、C'的坐标分别为：A'（2，3）、B'（6，1）、C'（7，4）.
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接求出点A'，B'，C'的坐标即可．
20．【答案】（1）证明：∵是的平分线，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形.
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质和等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得，即可得证；
（2）先利用三角形的内角和求出∠BAC的度数，再利用平行线的性质求出∠AED的度数即可.
（1）证明：∵是的平分线，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
．
21．【答案】（1）解：设A型与B型汽车每辆的进价分别是，万元，
由题意得：
解得：，
答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为30万元.
（2）解：设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得：
解得：，
又a为正整数，所以a取2、3、4，
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
∵，
∴最节约成本的方案为：购进型汽车4辆，B型汽车辆，成本为260万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型与B型汽车每辆的进价分别是，万元，利用“ 若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，利用“ 购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量 ”列出不等式组求出a的范围，再求出每种方案的费用即可.
（1）解：设A型与B型汽车每辆的进价分别是，万元，
由题意得：
解得：，
答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）解：设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，
解得，
又a为正整数，所以a取2、3、4，
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
∵，
∴最节约成本的方案为：购进型汽车4辆，B型汽车辆，成本为260万元．
22．【答案】（1），
证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴（舍负）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）.
故答案为：.
【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）连接AM，先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得，再利用勾股定理及等量代换可得；
（3）利用勾股定理可得，再将数据代入求出MN的长即可.
23．【答案】解：，
∴，，
∴，
，
∴；
设直线解析式为，
把，代入上式得，
解得，
故直线的解析式为，
由得：，
设，而，
，
点在直线上，
把代入上式并解得，
，点，
的面积的面积
；
存在，理由：
设点P的坐标为，
而点C、D的坐标分别为、，
由点P、C、D的坐标得：，
，，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：(舍去)或5，
故点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式及割补法求出面积即可；
（3）设点P的坐标为，再求出，，，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别列出方程求解即可.
1 / 1广东省清远市清新区第三中学教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：请把选出的答案填涂在答题卡中（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025八下·清新期中）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形： 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合的图形，逐个选项进行判断．
2．（2025八下·清新期中）已知a＜b，下列式子正确的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项错误；B、∵a＜b，∴a-3＜b-3，故本选项正确；
C、∵a＜b，-3a＞-3b，故本选项错误；
D、∵a＜b，∴，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．（2025八下·清新期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，不是分解因式；
B、，不是分解因式；
C、，是分解因式；
D、，不是分解因式；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．（2025八下·清新期中）在中，，，，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴为的对边，为斜边，
根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，得：．
故答案为：A．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边是斜边的一半）可得AB=2BC，再求解即可.
5．（2025八下·清新期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：，
将解集在数轴上表示如下图：
，
故选：C．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
6．（2025八下·清新期中）把点M（－2，1）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点N，则点N的坐标为（　　）
A．（－4，4） B．（－5，3）
C．（1，－1） D．（－5，－1）
【答案】C
【知识点】点的坐标；平移的性质
【解析】【解答】解：把点M（－2，1）向右平移3个单位长度，即横坐标加3．向下平移2个单位长度，即纵坐标减2．因此N点的坐标为（1，－1）．
故答案为：C
【分析】利用点平移的坐标规律，把点M的横坐标加3，纵坐标减2即可得到对应点N的坐标
7．（2025八下·清新期中）下列说法，正确的是（　　）
A．若三边a，b，c比例为，则这个三角形为直角三角形
B．角的平分线上的点到角的两边距离相等
C．“若，则”此命题是真命题
D．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、设三边为、、，验证是否满足勾股定理：不满足，故A错误，不符合题意；
B、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，故B正确，符合题意；
C、举反例：若，，则成立，但，命题不成立，是假命题，故C错误，不符合题意；
D、反证法应假设结论的反面，即“底角不小于”（包含等于和大于），而选项仅假设等于，不完整，故D错误，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理、角平分线的性质、不等式的性质和反证法的定义逐项分析判断即可.
8．（2025八下·清新期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若AB=6cm，AC=8cm，则△ABD的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴△ABD的周长=
∵AB=6cm，AC=8cm，
∴△ABD的周长=14 cm
故答案为：D.
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ABD的周长=14 cm.
9．（2025八下·清新期中）如图，在正方形中，，点E在边上，，把绕点A顺时针旋转，得到，连接，则线段的长为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在正方形中，，
∴，，
∵把绕点A顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，即、B、C共线，
在中，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用旋转的性质可得，，再求出，，最后利用勾股定理求出的长即可.
10．（2025八下·清新期中）如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价（元）与销售量（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（　　）
A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：图形中甲乙的交点为(2，4)，结合点的意义可知：
售2件时甲、乙两家售价一样，即①成立；
当x=1时，乙的图象在甲的图象的下方，
即买1件时买乙家的合算，②成立；
当x=3时，甲的图象在乙的图象的下方，
即买3件时买甲家的合算，③成立；
即买乙家的1件售价约为1元，④不成立.
故答案为：D.
【分析】结合函数图象中的数据逐项分析判断即可.
二、填空题：请把你的答案填在答题卡中（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．（2025八下·清新期中）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．（2025八下·清新期中）不等式组解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴根据“同大取较大”，不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】利用“ 不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）”求解即可.
13．（2025八下·清新期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　 　．
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”.
故答案为： 内错角相等，两直线平行 .
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，“如果”后面接的是题设，“那么”后面接的结论，将原命题的将题设和结论互换得逆命题.
14．（2025八下·清新期中）如图，当时，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，一次函数图象在x轴上方，即此时，
∴当时，自变量的取值范围是，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
15．（2025八下·清新期中）如图，在中，，，，，点D是的中点，点E是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F．若时，量得的长为时，则此时的面积为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作交延长线于点，连接，
∵折叠，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【分析】过点作交延长线于点，连接，先证出，可得，再求出，可得，利用勾股定理求出EH的长，最后求出三角形的面积即可.
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分．）
16．（2025八下·清新期中）先因式分解，再计算求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】先利用提公因式法进行因式分解，再将a的值代入计算即可.
17．（2025八下·清新期中）如图，，，，，求的值．
【答案】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，再求出∠C=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质求出BC的长即可.
18．（2025八下·清新期中）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．（2025八下·清新期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出ABC先向右平移6格，再向上平移1格所得的△A'B'C'；
（2）请以点B为坐标原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系（在图中画出），然后分别写出点A'，B'，C'的坐标．
【答案】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，即为建立的平面直角坐标系，
点A'、B'、C'的坐标分别为：A'（2，3）、B'（6，1）、C'（7，4）.
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接求出点A'，B'，C'的坐标即可．
20．（2025八下·清新期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵是的平分线，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形.
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质和等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得，即可得证；
（2）先利用三角形的内角和求出∠BAC的度数，再利用平行线的性质求出∠AED的度数即可.
（1）证明：∵是的平分线，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
．
21．（2025八下·清新期中）随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元．
（1）A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？
（2）该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）解：设A型与B型汽车每辆的进价分别是，万元，
由题意得：
解得：，
答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为30万元.
（2）解：设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得：
解得：，
又a为正整数，所以a取2、3、4，
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
∵，
∴最节约成本的方案为：购进型汽车4辆，B型汽车辆，成本为260万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型与B型汽车每辆的进价分别是，万元，利用“ 若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，利用“ 购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量 ”列出不等式组求出a的范围，再求出每种方案的费用即可.
（1）解：设A型与B型汽车每辆的进价分别是，万元，
由题意得：
解得：，
答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）解：设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，
解得，
又a为正整数，所以a取2、3、4，
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
当时，B型汽车辆，成本为：（万元）；
∵，
∴最节约成本的方案为：购进型汽车4辆，B型汽车辆，成本为260万元．
五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．）
22．（2025八下·清新期中）【问题与探究】已知和都是等腰直角三角形，．
【问题初探】（1）如图1：连接，，则线段与数量关系是__________；请证明这个结论．
【问题再探】（2）若将绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在边上时，如图2所示，求证：；
【灵活运用】（3）若（2）的条件不变，当，时，求线段的长．
【答案】（1），
证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴（舍负）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）.
故答案为：.
【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）连接AM，先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得，再利用勾股定理及等量代换可得；
（3）利用勾股定理可得，再将数据代入求出MN的长即可.
23．（2025八下·清新期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
（1）求证：；
（2）求经过、两点的一次函数表达式．如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标及的面积；
（3）在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出点的坐标．
【答案】解：，
∴，，
∴，
，
∴；
设直线解析式为，
把，代入上式得，
解得，
故直线的解析式为，
由得：，
设，而，
，
点在直线上，
把代入上式并解得，
，点，
的面积的面积
；
存在，理由：
设点P的坐标为，
而点C、D的坐标分别为、，
由点P、C、D的坐标得：，
，，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：(舍去)或5，
故点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式及割补法求出面积即可；
（3）设点P的坐标为，再求出，，，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别列出方程求解即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑