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贵州省贵阳市南明区2025-2026学年上学期八年级数学期末测评卷
一、选择题（每小题3分，共30分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2026八上·南明期末）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；有理数的分类
【解析】【解答】解：A．是有限小数，可化为分数，因此是有理数；
B．是循环小数，可化为分数，因此是有理数；
C．是无限不循环小数，不能化为分数，因此是无理数；
D．是分数，是有理数．
故答案为：C．
【分析】无理数是无限不循环小数；有理数包括整数和分数，因为有限小数和循环小数都可以化为分数，因此有限小数和循环小数也是有理数。本题根据无理数和有理数的定义及分类逐项分析即可。
2．（2026八上·南明期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A，第二个方程为二次方程，不是二元一次方程；
B，含有三个未知数，不是二元一次方程；
C，两个方程均含两个未知数且均为一次方程，是二元一次方程．
D，第一个方程为二次方程，不是二元一次方程；
故答案为：C．
【分析】二元一次方程组，即方程组由两个方程、含有两个未知数且每个方程均为一次整式方程．本题根据二元一次方程组的定义逐项进行分析判断即可。
3．（2026八上·南明期末）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用坐标表示，那么“马”的位置用坐标表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
∵“卒”的坐标是，
∴“马”的坐标是，
故答案为：D．
【分析】本题根据条件““帅”的位置用坐标表示”，因此将“帅”的坐标确定原点的位置，然后再画出平面直角坐标系，根据“卒”的坐标是，且“马”的坐标和“卒”的坐标关于y轴对称，进而可得答案．
4．（2026八上·南明期末）数据8，9，6，7，6，6，7，10的下四分位数是(　　)
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】A
【知识点】四分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排序：6，6，6，7，7，8，9，10．
该组数据一共有8个，其中下半部分数据从小到大为6，6，6，7，
∴下四分位数为这4个数的中位数=．
故答案为：A．
【分析】本题先将数据从小到大排序，因为数据一共有8个，因此下四分位数就是前4个数中的中位数，计算即可。
5．（2026八上·南明期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．正数都大于零 B．如果，那么
C．两个锐角之和一定是锐角 D．全等三角形的面积相等
【答案】C
【知识点】等式的基本性质；三角形全等及其性质；真命题与假命题；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A. 正数都大于零，是真命题；
B. 如果，那么，是真命题；
C. 两个锐角之和可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，因此不一定是锐角，是假命题；
D. 全等三角形的面积相等，是真命题；
故答案为：C．
【分析】本题根据正数的定义、等式基本性质、全等三角形的性质，可以分别判断得出ABD为真命题；依据角度的分类并举例“45°+45°=90°是直角、60°+60°=120°是钝角”，即可判断C选项是假命题。
6．（2026八上·南明期末）解方程组：，下列做法正确的是（　　）
A．将代入，消去 B．将代入，消去
C．，消去 D．，消去
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入中，此时得到2y+1-y+1=0，这时消去x，求解y即可，因此A正确、B错误；
，此时得到2x-y+1=2y+1，进一步变形得到2x-3，y=0，此时x和y都没有消去，因此C和D错误。
故答案为：A．
【分析】本题结合四个选项，分别“将代入”和“”，列式变形进行观察，即可得出正确答案。
7．（2026八上·南明期末）如图，已知，，，则图中长度与线段长度一定相等的线段是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在中，
∴
∴，
故答案为：B．
【分析】本题结合条件并观察图形，利用ASA证明，此时利用全等三角形的性质得出，从而得出答案。
8．（2026八上·南明期末）一次函数的图象如图所示，则的值（　　）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：结合图象发现，一次函数经过一、三、四象限，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】本题根据一次函数的图象首先得出，然后计算即可得出答案。
9．（2026八上·南明期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为10，
∴大正方形的边长为，
∵直角三角形的两条直角边长分别为，
∴，
∵，即，
∴，
因此一个直角三角形的面积=，四个直角三角形的面积=，
∴小正方形的面积=大正方形面积-四个直角三角形面积=10-6=4，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，利用勾股定理得出，然后利用完全平方公式计算得出，依据直角三角形面积计算公式得出四个直角三角形的面积为6，最后用“大正方形面积-四个直角三角形面积”代入计算即可求出小正方形的面积。
10．（2026八上·南明期末）气温可用摄氏温度(单位：)或华氏温度(单位：)表示．小星发现与之间存在某种函数关系，下表记录了华氏温度与摄氏温度的变化情况：
根据上表信息，下列说法不正确的是( )
A．是的一次函数
B．与的关系式为：
C．表中的
D．某天南明区华氏温度是，则这天南明区的摄氏温度是
【答案】D
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：从表格中发现，当增加，对应的增加，因此y与之间是一次函数关系．A正确；
设关于的函数表达式为 、为常数，且，
将，和，代入，得，解得：
∴与的关系式为，B正确；
当时，，因此a=68，C正确；
当时，即，解得，D错误。
故答案为：D．
【分析】本题先观察表格，依据一次函数的定义发现当增加，对应的增加，由此可知与之间是一次函数关系，即可判断A选项；然后利用待定系数法将，和，代入，即可求出关于的函数表达式，即可判断B选项；将代入计算出来的函数表达式中，即可求得的值，从而判断C选项；将代入解析式即可求得南明区的摄氏温度，从而判断D选项。
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（2026八上·南明期末）的立方根是　 　．
【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴-1的立方根是，
故答案为：．
【分析】根据立方根的定义得的立方根是-1．
12．（2026八上·南明期末）将一个正比例函数图象向上平移3个单位，平移后的图象对应的一次函数的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一个正比例函数图象向上平移3个单位，平移后的图象对应的一次函数的表达式是。
故答案为：．
【分析】根据函数平移规律“左加右减、上加下减”，对原函数变形即可得出答案。
13．（2026八上·南明期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，即；
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，然后Rt△中，根据勾股定理得，，．
14．（2026八上·南明期末）某建筑公司购进77根装饰用的罗马柱，每根罗马柱可近似地看作底面直径为的圆柱体，现需将这批装饰用的罗马柱按如图方式进行堆放（第一排放2根，第二排放3根，第三排放4根……以此类推），为避免雨水浸湿，计划在罗马柱上方搭建遮雨棚，则遮雨棚的高度至少为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：设这些罗马柱可以摆放排，结合条件得出第排有根罗马柱，因此有
解得：或（不合题意舍去）
即77根罗马柱，需要摆放11排，且最上一排有2根，最下一排有11+1=12根；
找三个罗马柱的圆心连接，如图，并作，并假设一个罗马柱的直径为d，
结合条件和图中信息可知，2层罗马柱底部BC=d=20cm，斜边AB=AC=d=20cm，即AB=AC=BC=20cm，
∴是等边三角形，2BD=BC，
∴BD=10cm，
∴，再考虑上下罗马柱共有1个直径的长度，即2层罗马柱的高度为，
同理，当罗马柱为3层的高度时，底部和斜边均为2d=40cm，高为，再加上上下罗马柱共有1个直径的长度，即 3层的高度为 ，
以此类推，当罗马柱有n层时，底部和斜边均为（n-1）dcm，则高为cm，再加上上下罗马柱共有1个直径的长度，即n层的高度为cm，
当n=11时，代入计算得出高度为cm，
因此遮雨棚的高度至少为，
故答案为：．
【分析】本题先假设有排罗马柱，结合图中信息得出第排有根罗马柱，根据总数为即可建立方程求出n=11；然后画图并结合等边三角形的判定和性质、勾股定理，计算分析得出2层罗马柱的高度为，3层的高度为，逐步找出规律当罗马柱有n层时，高度为cm，最后将n=11代入计算即可。
三、解答题（本大题共7题，共54分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2026八上·南明期末）（1）下面是小明同学计算二次根式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式…………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步
①他第一次出错在第___________步：
②请写出正确的解答过程．
（2）解方程组：．
【答案】（1）①一；
②解：原式；
（2）解：原方程组整理得，
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）①在第一步，，不符合二次根式加法运算的法则，因此小明同学第一步就出错了；
故答案为：（1）①一；
【分析】（1）①根据二次根式的加法运算的法则即可进行判断；然后依据二次根式的化简以及混合计算法则进行计算即可；
（2）使用加减消元法先求出x=1，然后代入计算求出y，即可得出答案．
16．（2026八上·南明期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴。
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出，然后结合已知条件，推出，然后根据“同位角相等，两直线平行”即可得出证明结果；
（2）根据“两直线平行、内错角相等”得出，根据“两直线平行、同位角相等”得出，最后即可证明．
（1）证明：∵
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴
∵，
∴，
∴．
17．（2026八上·南明期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于轴对称的图形；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积=
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先在平面直角坐标系中分别找到关于轴对称的对称点，最后连接即可；
（2）将放到边长是3的正方形中，然后用正方形的面积减去三个三角形的面积，这三个三角形分别是底为1、高为2；底为1、高为3；底为2、高为3，列式计算即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积为．
18．（2026八上·南明期末）甲、乙两家汽车经销公司各有营销员10人．为了解两家公司的销售情况，小星对这两家公司今年12月份的销售数据进行统计后，绘制了如下的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲公司10位员工今年12月份销量的中位数是___________辆，众数是___________辆；
（2）你认为两家公司哪家的销售能力更强，为什么？
【答案】（1），
（2）解：甲公司12月份销量的平均数=
乙公司12月份销量的平均数=
乙公司销量从低到高排列，依次为，3，3，，5，5，，，，，
∴乙公司中位数为，众数为5；
∵甲乙平均数相同，但乙公司中位数5和众数5均高于甲公司的中位数和众数，且乙公司销售量≥5辆的人数更多，即乙6人，甲4人，
∴乙公司销售能力更强。
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：结合统计图，将甲公司今年12月份销量从低到高排列，依次为：，，，，，，，，，，
∴中位数为，众数为；
故答案为：（1），．
【分析】（1）中位数，即将一组数据从小到大或从大到小排列，中间的数就是中位数，如果中间有两个数，中位数就是这两个数的平均数；众数，即一组数据中出现最多的数。本题根据统计图中的信息，将甲公司今年12月份销量从低到高排列，最后根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（2）先分别计算两个公司12月份销量的平均数，结果平均数相同；然后再比较中位数和众数，即可得出答案。
（1）解：由统计图可得甲公司今年12月份销量为：，，，，，，，，，，中位数为，众数为
故答案为：，．
（2）解：甲公司12月份销量的平均数为：
乙公司12月份销量的平均数为：
平均数相同，但乙公司中位数（5辆）和众数（5辆）均高于甲公司（中位数4辆，众数4辆），且销售量≥5辆的人数更多（乙6人，甲4人）
答：乙公司销售能力更强
19．（2026八上·南明期末）南明区某景区的门票价格如下表：
购票人数 以上
票价/（元/人）
某校组织八（1）班、八（2）班学生共人到该景区游览，其中八（1）班人数不足人．八（）班人数超过人且不足人、如果两个班都以班级为单位分别购票，一共付款元．
（1）八（1）班、八（2）班的人数分别是多少人？
（2）若学校组织两个班联合起来作为一个团体购票，请通过计算比较两个班联合为一个团体购票和以班级为单位分别购票、哪种购买方案更省钱？能省多少钱？
【答案】（1）解：设八（1）班人数为，八（2）班人数为，根据条件得出x＜50，50＜y＜100，因此列式
，解得
∴八（1）班49人，八（2）班55人。
（2）解：联合购票时，总人数，结合价格表得出票价为元人，
即联合购票费用=（元），
而分别购票费用为元，
（元）
∴联合购票更省钱，省元．
【知识点】列二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）先分别假设出八（1）班人数为，八（2）班人数为，结合条件“八（1）班人数不足人．八（）班人数超过人且不足人”，即可判断出八（1）班票价为120元/人，八（2）班票价为100元/人；再结合条件“ 八（1）班、八（2）班学生共人到该景区游览 ”可以列式x+y=104；“两个班都以班级为单位分别购票，一共付款元”，可以列式120x+100y=11380，此时联立方程组求解即可；
（2）先计算出联合购票的总人数，对比价格表得出对应的票价为80元/人，然后计算出联合购票的费用，最后与分别购票对应的费用计算比较，即可得出答案。
（1）解：设八（1）班人数为，八（2）班人数为，根据题意得
解得
答：八（1）班49人，八（2）班55人
（2）解：联合购票时，总人数，票价为元人．
联合购票费用为（元）
分别购票费用为元
节省（元）
答：联合购票更省钱，省元．
20．（2026八上·南明期末）两地相距，小星和小亮两人沿同一条路从地到地、小星骑自行车先出发，3小时后小亮骑摩托车出发，，分别表示小星，小亮离开地的距离（单位：）与小星出发后的时间（单位：）之间的关系．根据图象回答下列问题：
（1）求对应的函数表达式：
（2）小星出发后，经过多长时间，两人相距？不写过程，直接写出答案．
【答案】（1）解：设的函数解析式为，
将点，代入，得
解得：
∴对应的函数表达式为。
（2）解：设的函数解析式为，
将代入，得，
解得，
∴的解析式为，
依题意，，
解得：或，
∴小星出发或小时后，两人相距．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）结合图中信息，利用待定系数法将点，代入一次函数解析式，求解即可；
（2）利用待定系数法将将代入，可以先求得的解析式，根据条件“两人相距”，并结合（1）的计算结果，利用绝对值列出一元一次方程，解方程即可。
（1）解：设的函数解析式为，代入，得
解得：
∴对应的函数表达式为
（2）解：设的函数解析式为，代入得，
，
解得：，
∴的解析式为，
依题意，或，
解得：或，
答：小星出发或小时后，两人相距．
21．（2026八上·南明期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．
【答案】任务一：；
任务二：证明：小星的猜想对，理由如下，
如图，取的中点，连接，取的中点，连接，
∵cm，
∴cm，
依题意，cm，
在中，cm，
在中，cm，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即平分，
任务三：解：如图，连接，过点作于点，
∵cm，
∴cm，
依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，cm，
∴
∴cm，
设，则，
在中，，在中，
∴
∴
解得：，即cm
∴cm，
∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：任务一，将圆柱侧面展开，则AA'就是圆柱底面圆的周长，如图
依题意，，
∴；
故答案为：任务一：；
【分析】任务一：将圆柱侧面展开，此时圆柱侧面展开图为矩形，然后分别求出AB、BP的长度，最后利用勾股定理列式计算即可；
任务二：根据题意画出图形并做出辅助线，分别求出AN、BN的长度，利用勾股定理计算出AM和MB的长度，即可得出是等边三角形，再依据等边三角形的性质和平行线的性质，计算出，从得出平分；
任务三：做辅助线后，依题意将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，cm，进而根据等面积法求得=cm，然后放到和中，利用勾股定理列式并建立方程，求得=8cm，最后再中再根据勾股定理列式即可求得的长．
1 / 1贵州省贵阳市南明区2025-2026学年上学期八年级数学期末测评卷
一、选择题（每小题3分，共30分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2026八上·南明期末）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·南明期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·南明期末）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用坐标表示，那么“马”的位置用坐标表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·南明期末）数据8，9，6，7，6，6，7，10的下四分位数是(　　)
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
5．（2026八上·南明期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．正数都大于零 B．如果，那么
C．两个锐角之和一定是锐角 D．全等三角形的面积相等
6．（2026八上·南明期末）解方程组：，下列做法正确的是（　　）
A．将代入，消去 B．将代入，消去
C．，消去 D．，消去
7．（2026八上·南明期末）如图，已知，，，则图中长度与线段长度一定相等的线段是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026八上·南明期末）一次函数的图象如图所示，则的值（　　）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1
9．（2026八上·南明期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
10．（2026八上·南明期末）气温可用摄氏温度(单位：)或华氏温度(单位：)表示．小星发现与之间存在某种函数关系，下表记录了华氏温度与摄氏温度的变化情况：
根据上表信息，下列说法不正确的是( )
A．是的一次函数
B．与的关系式为：
C．表中的
D．某天南明区华氏温度是，则这天南明区的摄氏温度是
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（2026八上·南明期末）的立方根是　 　．
12．（2026八上·南明期末）将一个正比例函数图象向上平移3个单位，平移后的图象对应的一次函数的表达式是　 　．
13．（2026八上·南明期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为　 　．
14．（2026八上·南明期末）某建筑公司购进77根装饰用的罗马柱，每根罗马柱可近似地看作底面直径为的圆柱体，现需将这批装饰用的罗马柱按如图方式进行堆放（第一排放2根，第二排放3根，第三排放4根……以此类推），为避免雨水浸湿，计划在罗马柱上方搭建遮雨棚，则遮雨棚的高度至少为　 　．
三、解答题（本大题共7题，共54分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2026八上·南明期末）（1）下面是小明同学计算二次根式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式…………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步
①他第一次出错在第___________步：
②请写出正确的解答过程．
（2）解方程组：．
16．（2026八上·南明期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点．求证：
（1）；
（2）．
17．（2026八上·南明期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于轴对称的图形；
（2）求的面积．
18．（2026八上·南明期末）甲、乙两家汽车经销公司各有营销员10人．为了解两家公司的销售情况，小星对这两家公司今年12月份的销售数据进行统计后，绘制了如下的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲公司10位员工今年12月份销量的中位数是___________辆，众数是___________辆；
（2）你认为两家公司哪家的销售能力更强，为什么？
19．（2026八上·南明期末）南明区某景区的门票价格如下表：
购票人数 以上
票价/（元/人）
某校组织八（1）班、八（2）班学生共人到该景区游览，其中八（1）班人数不足人．八（）班人数超过人且不足人、如果两个班都以班级为单位分别购票，一共付款元．
（1）八（1）班、八（2）班的人数分别是多少人？
（2）若学校组织两个班联合起来作为一个团体购票，请通过计算比较两个班联合为一个团体购票和以班级为单位分别购票、哪种购买方案更省钱？能省多少钱？
20．（2026八上·南明期末）两地相距，小星和小亮两人沿同一条路从地到地、小星骑自行车先出发，3小时后小亮骑摩托车出发，，分别表示小星，小亮离开地的距离（单位：）与小星出发后的时间（单位：）之间的关系．根据图象回答下列问题：
（1）求对应的函数表达式：
（2）小星出发后，经过多长时间，两人相距？不写过程，直接写出答案．
21．（2026八上·南明期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；有理数的分类
【解析】【解答】解：A．是有限小数，可化为分数，因此是有理数；
B．是循环小数，可化为分数，因此是有理数；
C．是无限不循环小数，不能化为分数，因此是无理数；
D．是分数，是有理数．
故答案为：C．
【分析】无理数是无限不循环小数；有理数包括整数和分数，因为有限小数和循环小数都可以化为分数，因此有限小数和循环小数也是有理数。本题根据无理数和有理数的定义及分类逐项分析即可。
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A，第二个方程为二次方程，不是二元一次方程；
B，含有三个未知数，不是二元一次方程；
C，两个方程均含两个未知数且均为一次方程，是二元一次方程．
D，第一个方程为二次方程，不是二元一次方程；
故答案为：C．
【分析】二元一次方程组，即方程组由两个方程、含有两个未知数且每个方程均为一次整式方程．本题根据二元一次方程组的定义逐项进行分析判断即可。
3．【答案】D
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
∵“卒”的坐标是，
∴“马”的坐标是，
故答案为：D．
【分析】本题根据条件““帅”的位置用坐标表示”，因此将“帅”的坐标确定原点的位置，然后再画出平面直角坐标系，根据“卒”的坐标是，且“马”的坐标和“卒”的坐标关于y轴对称，进而可得答案．
4．【答案】A
【知识点】四分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排序：6，6，6，7，7，8，9，10．
该组数据一共有8个，其中下半部分数据从小到大为6，6，6，7，
∴下四分位数为这4个数的中位数=．
故答案为：A．
【分析】本题先将数据从小到大排序，因为数据一共有8个，因此下四分位数就是前4个数中的中位数，计算即可。
5．【答案】C
【知识点】等式的基本性质；三角形全等及其性质；真命题与假命题；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A. 正数都大于零，是真命题；
B. 如果，那么，是真命题；
C. 两个锐角之和可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，因此不一定是锐角，是假命题；
D. 全等三角形的面积相等，是真命题；
故答案为：C．
【分析】本题根据正数的定义、等式基本性质、全等三角形的性质，可以分别判断得出ABD为真命题；依据角度的分类并举例“45°+45°=90°是直角、60°+60°=120°是钝角”，即可判断C选项是假命题。
6．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入中，此时得到2y+1-y+1=0，这时消去x，求解y即可，因此A正确、B错误；
，此时得到2x-y+1=2y+1，进一步变形得到2x-3，y=0，此时x和y都没有消去，因此C和D错误。
故答案为：A．
【分析】本题结合四个选项，分别“将代入”和“”，列式变形进行观察，即可得出正确答案。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在中，
∴
∴，
故答案为：B．
【分析】本题结合条件并观察图形，利用ASA证明，此时利用全等三角形的性质得出，从而得出答案。
8．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：结合图象发现，一次函数经过一、三、四象限，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】本题根据一次函数的图象首先得出，然后计算即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为10，
∴大正方形的边长为，
∵直角三角形的两条直角边长分别为，
∴，
∵，即，
∴，
因此一个直角三角形的面积=，四个直角三角形的面积=，
∴小正方形的面积=大正方形面积-四个直角三角形面积=10-6=4，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，利用勾股定理得出，然后利用完全平方公式计算得出，依据直角三角形面积计算公式得出四个直角三角形的面积为6，最后用“大正方形面积-四个直角三角形面积”代入计算即可求出小正方形的面积。
10．【答案】D
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：从表格中发现，当增加，对应的增加，因此y与之间是一次函数关系．A正确；
设关于的函数表达式为 、为常数，且，
将，和，代入，得，解得：
∴与的关系式为，B正确；
当时，，因此a=68，C正确；
当时，即，解得，D错误。
故答案为：D．
【分析】本题先观察表格，依据一次函数的定义发现当增加，对应的增加，由此可知与之间是一次函数关系，即可判断A选项；然后利用待定系数法将，和，代入，即可求出关于的函数表达式，即可判断B选项；将代入计算出来的函数表达式中，即可求得的值，从而判断C选项；将代入解析式即可求得南明区的摄氏温度，从而判断D选项。
11．【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴-1的立方根是，
故答案为：．
【分析】根据立方根的定义得的立方根是-1．
12．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一个正比例函数图象向上平移3个单位，平移后的图象对应的一次函数的表达式是。
故答案为：．
【分析】根据函数平移规律“左加右减、上加下减”，对原函数变形即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，即；
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，然后Rt△中，根据勾股定理得，，．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：设这些罗马柱可以摆放排，结合条件得出第排有根罗马柱，因此有
解得：或（不合题意舍去）
即77根罗马柱，需要摆放11排，且最上一排有2根，最下一排有11+1=12根；
找三个罗马柱的圆心连接，如图，并作，并假设一个罗马柱的直径为d，
结合条件和图中信息可知，2层罗马柱底部BC=d=20cm，斜边AB=AC=d=20cm，即AB=AC=BC=20cm，
∴是等边三角形，2BD=BC，
∴BD=10cm，
∴，再考虑上下罗马柱共有1个直径的长度，即2层罗马柱的高度为，
同理，当罗马柱为3层的高度时，底部和斜边均为2d=40cm，高为，再加上上下罗马柱共有1个直径的长度，即 3层的高度为 ，
以此类推，当罗马柱有n层时，底部和斜边均为（n-1）dcm，则高为cm，再加上上下罗马柱共有1个直径的长度，即n层的高度为cm，
当n=11时，代入计算得出高度为cm，
因此遮雨棚的高度至少为，
故答案为：．
【分析】本题先假设有排罗马柱，结合图中信息得出第排有根罗马柱，根据总数为即可建立方程求出n=11；然后画图并结合等边三角形的判定和性质、勾股定理，计算分析得出2层罗马柱的高度为，3层的高度为，逐步找出规律当罗马柱有n层时，高度为cm，最后将n=11代入计算即可。
15．【答案】（1）①一；
②解：原式；
（2）解：原方程组整理得，
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）①在第一步，，不符合二次根式加法运算的法则，因此小明同学第一步就出错了；
故答案为：（1）①一；
【分析】（1）①根据二次根式的加法运算的法则即可进行判断；然后依据二次根式的化简以及混合计算法则进行计算即可；
（2）使用加减消元法先求出x=1，然后代入计算求出y，即可得出答案．
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴。
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出，然后结合已知条件，推出，然后根据“同位角相等，两直线平行”即可得出证明结果；
（2）根据“两直线平行、内错角相等”得出，根据“两直线平行、同位角相等”得出，最后即可证明．
（1）证明：∵
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴
∵，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积=
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先在平面直角坐标系中分别找到关于轴对称的对称点，最后连接即可；
（2）将放到边长是3的正方形中，然后用正方形的面积减去三个三角形的面积，这三个三角形分别是底为1、高为2；底为1、高为3；底为2、高为3，列式计算即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积为．
18．【答案】（1），
（2）解：甲公司12月份销量的平均数=
乙公司12月份销量的平均数=
乙公司销量从低到高排列，依次为，3，3，，5，5，，，，，
∴乙公司中位数为，众数为5；
∵甲乙平均数相同，但乙公司中位数5和众数5均高于甲公司的中位数和众数，且乙公司销售量≥5辆的人数更多，即乙6人，甲4人，
∴乙公司销售能力更强。
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：结合统计图，将甲公司今年12月份销量从低到高排列，依次为：，，，，，，，，，，
∴中位数为，众数为；
故答案为：（1），．
【分析】（1）中位数，即将一组数据从小到大或从大到小排列，中间的数就是中位数，如果中间有两个数，中位数就是这两个数的平均数；众数，即一组数据中出现最多的数。本题根据统计图中的信息，将甲公司今年12月份销量从低到高排列，最后根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（2）先分别计算两个公司12月份销量的平均数，结果平均数相同；然后再比较中位数和众数，即可得出答案。
（1）解：由统计图可得甲公司今年12月份销量为：，，，，，，，，，，中位数为，众数为
故答案为：，．
（2）解：甲公司12月份销量的平均数为：
乙公司12月份销量的平均数为：
平均数相同，但乙公司中位数（5辆）和众数（5辆）均高于甲公司（中位数4辆，众数4辆），且销售量≥5辆的人数更多（乙6人，甲4人）
答：乙公司销售能力更强
19．【答案】（1）解：设八（1）班人数为，八（2）班人数为，根据条件得出x＜50，50＜y＜100，因此列式
，解得
∴八（1）班49人，八（2）班55人。
（2）解：联合购票时，总人数，结合价格表得出票价为元人，
即联合购票费用=（元），
而分别购票费用为元，
（元）
∴联合购票更省钱，省元．
【知识点】列二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）先分别假设出八（1）班人数为，八（2）班人数为，结合条件“八（1）班人数不足人．八（）班人数超过人且不足人”，即可判断出八（1）班票价为120元/人，八（2）班票价为100元/人；再结合条件“ 八（1）班、八（2）班学生共人到该景区游览 ”可以列式x+y=104；“两个班都以班级为单位分别购票，一共付款元”，可以列式120x+100y=11380，此时联立方程组求解即可；
（2）先计算出联合购票的总人数，对比价格表得出对应的票价为80元/人，然后计算出联合购票的费用，最后与分别购票对应的费用计算比较，即可得出答案。
（1）解：设八（1）班人数为，八（2）班人数为，根据题意得
解得
答：八（1）班49人，八（2）班55人
（2）解：联合购票时，总人数，票价为元人．
联合购票费用为（元）
分别购票费用为元
节省（元）
答：联合购票更省钱，省元．
20．【答案】（1）解：设的函数解析式为，
将点，代入，得
解得：
∴对应的函数表达式为。
（2）解：设的函数解析式为，
将代入，得，
解得，
∴的解析式为，
依题意，，
解得：或，
∴小星出发或小时后，两人相距．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）结合图中信息，利用待定系数法将点，代入一次函数解析式，求解即可；
（2）利用待定系数法将将代入，可以先求得的解析式，根据条件“两人相距”，并结合（1）的计算结果，利用绝对值列出一元一次方程，解方程即可。
（1）解：设的函数解析式为，代入，得
解得：
∴对应的函数表达式为
（2）解：设的函数解析式为，代入得，
，
解得：，
∴的解析式为，
依题意，或，
解得：或，
答：小星出发或小时后，两人相距．
21．【答案】任务一：；
任务二：证明：小星的猜想对，理由如下，
如图，取的中点，连接，取的中点，连接，
∵cm，
∴cm，
依题意，cm，
在中，cm，
在中，cm，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即平分，
任务三：解：如图，连接，过点作于点，
∵cm，
∴cm，
依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，cm，
∴
∴cm，
设，则，
在中，，在中，
∴
∴
解得：，即cm
∴cm，
∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：任务一，将圆柱侧面展开，则AA'就是圆柱底面圆的周长，如图
依题意，，
∴；
故答案为：任务一：；
【分析】任务一：将圆柱侧面展开，此时圆柱侧面展开图为矩形，然后分别求出AB、BP的长度，最后利用勾股定理列式计算即可；
任务二：根据题意画出图形并做出辅助线，分别求出AN、BN的长度，利用勾股定理计算出AM和MB的长度，即可得出是等边三角形，再依据等边三角形的性质和平行线的性质，计算出，从得出平分；
任务三：做辅助线后，依题意将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，cm，进而根据等面积法求得=cm，然后放到和中，利用勾股定理列式并建立方程，求得=8cm，最后再中再根据勾股定理列式即可求得的长．
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