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沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式与平方差公式解答题专项突破（一）
一、阴影面积类
1．（2026七下·期中）如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形.
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为　 　（用含m，n的代数式表示)：
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出（m+n)2，（m-n)2，mm之间的一个等量关系　 　.
（3）若m+n=7，mn=3，求阴影正方形的面积.
【答案】（1）m-n
（2）4m-n
（3）解：∵，
∴，
当，.
∴.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由拼图可知，图中的阴影正方形的边长可表示为m一n，
故答案为：m-n；
（2）大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积和为4mm，
所以有，
故答案为：
【分析】（1）根据图形，结合边之间的关系即可求出答案.
（2）根据小正方形面积=大正方形面积-矩形面积建立等量关系即可.
（3）根据m+n=7，mn=3整体代入即可求出答案.
2．（2026八上·红花岗期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的公式是 （填序号）．
①
②
③
（2）请应用上面的公式完成下列各题：
①若，，则 ．
②计算：
【答案】（1）②
（2）①
②解：
．

【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为，
如下图所示，图中平行四边形的高为，底为，
平行四边形的面积为，
拼接前后阴影部分的面积没有变化，
，
能验证的公式是②，
故答案为②；
（2）①解：，，，
∴
，
故答案为：；
【分析】（1）根据拼接前后阴影的面积不变，结合正方形，平行四边形面积即可求出答案.
（2）①根据平方差公式化简等号坐标，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（1）解：由图可知，阴影部分的面积为，
如下图所示，图中平行四边形的高为，底为，
平行四边形的面积为，
拼接前后阴影部分的面积没有变化，
，
能验证的公式是②，
故答案为②；
（2）①解：，，，
∴
，
故答案为：；
②解：
．
3．（2026八上·汇川期末）如图1是长为m，宽为n的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2的“回字形”正方形和正方形.
【观察发现】
（1）①请用两种不同的方法表示正方形的面积：
方法1：；
方法2： ；
②根据①中的结论，直接写出，，之间的等量关系式为： ；
【结论应用】
（2）已知，，求的值；
【变式拓展】
（3）将正方形，正方形按如图的方式摆放（点P与点O重合，点T在上），若两个正方形的面积之和为850，边长之差为10，求图中阴影部分的面积.
【答案】解：（1）①
②
（2）由（1）可得：，即，
∵，，
∴，
∴，
∴或．
（3）设正方形边长为a，正方形边长为b，
由题意得：，，
∴
∴
由（1）得
∴或（舍去），
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）∵正方形的面积由4个小长方形和正方形拼成的，
又∵正方形的边长为，
∴，
∴．
故答案为：；．（2）
【分析】（1）正方形的面积由4个小长方形和正方形拼成的，据此正方形的边长为，即可得，.
（2）由（1）可得，代入，，即可求出的值.
（3）设正方形边长为a，正方形边长为b，由题意得：，，进而求出，再利用（1）的结论得可求出可得，最后由即可求解．
4．（2026八上·兴仁期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式______．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若，，则______．
【知识迁移】
（3）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求CE的长度．
【答案】（1）；
（2）32；
（3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，
则，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
可以验证公式．
故答案为：．
（2）由条件可知，
当，时，．
故答案为：32．
【分析】（1）利用不同的表达式表示图形的面积可得等式；
（2）将等式变形为，再将，代入计算即可；
（3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，先求出，，，可得，，再求出，最后求出，即，从而得解.
5．（2026八上·北海期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． B．
C． D．
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
【答案】（1）B
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；有理数的巧算
【解析】【解答】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B.
【分析】（1）利用不同的表达式表示图形的面积可得，从而得解；
（2）利用可得，再将代入求出即可；
（3）利用平方差公式将原式变形为，再计算即可.
（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
．
6．（2026八上·松原期末）如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为米，宽为米．
（1）农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）；
（2）当，时，求S的值．
【答案】（1）解：
（平方米），
答：空白部分的面积为平方米；
（2）解：当，时，
（平方米）．
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）由图可知空白部分的面积=大长方形面积-正方形面积，据此结合正方形与长方形面积公式列式，然后通过整式混合运算法则化简即可；
（2）把a、b的值代入（1）所得最简式子，根据含乘方的有理数混合运算顺序计算可得答案.
（1）解：
（平方米），
答：空白部分的面积为平方米；
（2）当，时，
（平方米）．
7．（2024七下·竞秀期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，，．
，．
请仿照上例解决下列问题：
（1）①若，，则______；
②若，，则______．
（2）①若满足，求的值．
②若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【答案】(1) ①31；②
(2)①设，，而，
∴，，
∴
；
②设，，而，
∴，；
∴
；
(3) 44
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴；
（3）正方形的边长为x，，，
∴，，
∵长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，
∴，，
∴，，，，
设，，则，，
∴阴影部分的面积
∵，即，
解得：，
∴，即阴影部分的面积为44．
【分析】（1）①根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）①设，，而，则，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②设，，而，则，，根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得，，再根据矩形面积设，，则，，再根据阴影部分的面积，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2026八上·吉林期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，
，，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则的值为_____________；
（2）若，，求的值；
【答案】（1）12
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
，
∴的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：12；
【分析】（1）将x+y=8两边完全平方后再展开，然后将x2+y2=40整体代入，即可得xy的值；
（2）将2a+b=6两边完全平方后再展开，然后将ab=4代入可求出4a2+b2的值，进而根据(2a-b)2=4a2-4ab+b2，再整体代入即可算出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
，
∴的值为．
9．（2026八上·黔南期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．
方法1： ； 方法2：
（2）观察图2，请你写出代数式之间的等量关系：
（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法1：大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：；
故答案为：方法1：；方法2：；
（2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为；
故答案为：；
【分析】（1）用整体法表示大正方形面积为 ，用部分和表示为 ，
（2）由面积相等得到完全平方公式 。
（3）① 利用变形公式 ，代入已知条件求出 。
② 通过换元法，将 和 看作整体，利用同样的变形公式求出乘积。
（1）解：方法1：大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：；
故答案为：方法1：；方法2：；
（2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为；
故答案为：；
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．（2026八上·广州期末） 观察下列等式：
①32-i2=9-1=8=8×1； ②52-32=25-9=16=8×2；
③72-52=49-25=24=8×3； ④92-72=81-49=32=8×4.
请解答下列问题：
（1）按照上述规律，第⑤个等式为　 　；第⑩个等式为　 　；
（2） 猜想 的结果，并证明你的猜想；
（3）若对于用正整数n、k(k≥1)表示的两个奇数2n+2k-1和2n-1，它们的平方差结果为120.请求出所有满足条件的 (n，k).
【答案】（1）；
（2）解：n2+4n；
证明：
=-12+(2n+1) 2
（3）解：(2n+2k-1)2-(2n-1)2=120
(2n+2k-1+2n-1) (2n+2k-1-2n+1) =120
(4n+2k-2) 2k=120
k(2n+k-1) =30
∵n、k(k≥1) 都为正整数
∴当k=1时， 2n+1-1=30， 此时n=15
当k=2时， 2n+2-1=15， 此时n=7
当k=3时， 2n+3-1=10， 此时n=4
当k=4时， 2n+4-1=7.5， 此时n=2.25(不合题意， 舍去)
当k=5时， 2n+5-1=6， 此时n=1
当k=6时， 2n+6-1=5， 此时n=0(不合题意， 舍去)
此后当k越大n会越小，n都为负数，都不合题意
综上所述， 符合题意的(n， k) 有： (15， 1)， (7， 2)， (4， 3) (1， 5).
【知识点】平方差公式及应用；二元一次方程的应用；探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）根据①-④等式的特征，可得出 第⑤个等式为 ； 第⑩个等式为；
（2）根据加法的交换律和结合律，可得出=-12+(2n+1) 2 ，再根据完全平方公式展开后，进行加法运算即可得出结论；
（3）首先根据平方差公式进行因式分解，得出(4n+2k-2) 2k=120，进而得出k(2n+k-1) =30 ，进而根据n、k(k≥1) 都为正整数，分析讨论，即可得出答案。
11．（2026八上·南宁月考）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
（1）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个正方形组成的，它的面积为___________，由此得到等式：__________；
（2）如图2，正方形是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，得到等式是__________；（用a，b表示）
（3）请你用（2）发现的等式解决问题：已知两数a，b满足，，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）解：由（1）得．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：把图1看作一个大正方形，它的面积是；
如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．
由此得到．
故答案为：，；
（2）解：把图2看作是一个边长为的大正方形，它的面积是；
如果把图2看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，它的面积是；
由此得到．
故答案为：.
【分析】（1）根据图形并利用长方形的面积公式求出图形的面积，再列出等式即可；（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到答案；（3）利用（2）的规律可得，再将，代入求出，最后求出即可．
（1）解：把图1看作一个大正方形，它的面积是；
如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．
由此得到．
故答案为：，；
（2）解：把图2看作是一个边长为的大正方形，它的面积是；
如果把图2看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，它的面积是；
由此得到．
故答案为：；
（3）解：由（1）得．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
12．（2026八上·自贡期末）在数学探究中，我们常通过几何图形面积的不同计算方式推导代数恒等式．请解决以下问题：
（1）如图1，用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是___________；
（2）若满足，求的值．小度的想法是：设，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答．
（3）如图2，点为线段上一点，分别以为边向上作正方形和正方形，连接，两个正方形的面积和为20，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）4
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
1 / 1沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式与平方差公式解答题专项突破（一）
一、阴影面积类
1．（2026七下·期中）如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形.
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为　 　（用含m，n的代数式表示)：
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出（m+n)2，（m-n)2，mm之间的一个等量关系　 　.
（3）若m+n=7，mn=3，求阴影正方形的面积.
2．（2026八上·红花岗期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的公式是 （填序号）．
①
②
③
（2）请应用上面的公式完成下列各题：
①若，，则 ．
②计算：
3．（2026八上·汇川期末）如图1是长为m，宽为n的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2的“回字形”正方形和正方形.
【观察发现】
（1）①请用两种不同的方法表示正方形的面积：
方法1：；
方法2： ；
②根据①中的结论，直接写出，，之间的等量关系式为： ；
【结论应用】
（2）已知，，求的值；
【变式拓展】
（3）将正方形，正方形按如图的方式摆放（点P与点O重合，点T在上），若两个正方形的面积之和为850，边长之差为10，求图中阴影部分的面积.
4．（2026八上·兴仁期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式______．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若，，则______．
【知识迁移】
（3）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求CE的长度．
5．（2026八上·北海期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． B．
C． D．
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
6．（2026八上·松原期末）如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为米，宽为米．
（1）农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）；
（2）当，时，求S的值．
7．（2024七下·竞秀期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，，．
，．
请仿照上例解决下列问题：
（1）①若，，则______；
②若，，则______．
（2）①若满足，求的值．
②若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
8．（2026八上·吉林期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，
，，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则的值为_____________；
（2）若，，求的值；
9．（2026八上·黔南期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．
方法1： ； 方法2：
（2）观察图2，请你写出代数式之间的等量关系：
（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
10．（2026八上·广州期末） 观察下列等式：
①32-i2=9-1=8=8×1； ②52-32=25-9=16=8×2；
③72-52=49-25=24=8×3； ④92-72=81-49=32=8×4.
请解答下列问题：
（1）按照上述规律，第⑤个等式为　 　；第⑩个等式为　 　；
（2） 猜想 的结果，并证明你的猜想；
（3）若对于用正整数n、k(k≥1)表示的两个奇数2n+2k-1和2n-1，它们的平方差结果为120.请求出所有满足条件的 (n，k).
11．（2026八上·南宁月考）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
（1）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个正方形组成的，它的面积为___________，由此得到等式：__________；
（2）如图2，正方形是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，得到等式是__________；（用a，b表示）
（3）请你用（2）发现的等式解决问题：已知两数a，b满足，，求的值．
12．（2026八上·自贡期末）在数学探究中，我们常通过几何图形面积的不同计算方式推导代数恒等式．请解决以下问题：
（1）如图1，用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是___________；
（2）若满足，求的值．小度的想法是：设，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答．
（3）如图2，点为线段上一点，分别以为边向上作正方形和正方形，连接，两个正方形的面积和为20，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】（1）m-n
（2）4m-n
（3）解：∵，
∴，
当，.
∴.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由拼图可知，图中的阴影正方形的边长可表示为m一n，
故答案为：m-n；
（2）大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积和为4mm，
所以有，
故答案为：
【分析】（1）根据图形，结合边之间的关系即可求出答案.
（2）根据小正方形面积=大正方形面积-矩形面积建立等量关系即可.
（3）根据m+n=7，mn=3整体代入即可求出答案.
2．【答案】（1）②
（2）①
②解：
．

【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为，
如下图所示，图中平行四边形的高为，底为，
平行四边形的面积为，
拼接前后阴影部分的面积没有变化，
，
能验证的公式是②，
故答案为②；
（2）①解：，，，
∴
，
故答案为：；
【分析】（1）根据拼接前后阴影的面积不变，结合正方形，平行四边形面积即可求出答案.
（2）①根据平方差公式化简等号坐标，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（1）解：由图可知，阴影部分的面积为，
如下图所示，图中平行四边形的高为，底为，
平行四边形的面积为，
拼接前后阴影部分的面积没有变化，
，
能验证的公式是②，
故答案为②；
（2）①解：，，，
∴
，
故答案为：；
②解：
．
3．【答案】解：（1）①
②
（2）由（1）可得：，即，
∵，，
∴，
∴，
∴或．
（3）设正方形边长为a，正方形边长为b，
由题意得：，，
∴
∴
由（1）得
∴或（舍去），
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）∵正方形的面积由4个小长方形和正方形拼成的，
又∵正方形的边长为，
∴，
∴．
故答案为：；．（2）
【分析】（1）正方形的面积由4个小长方形和正方形拼成的，据此正方形的边长为，即可得，.
（2）由（1）可得，代入，，即可求出的值.
（3）设正方形边长为a，正方形边长为b，由题意得：，，进而求出，再利用（1）的结论得可求出可得，最后由即可求解．
4．【答案】（1）；
（2）32；
（3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，
则，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
可以验证公式．
故答案为：．
（2）由条件可知，
当，时，．
故答案为：32．
【分析】（1）利用不同的表达式表示图形的面积可得等式；
（2）将等式变形为，再将，代入计算即可；
（3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，先求出，，，可得，，再求出，最后求出，即，从而得解.
5．【答案】（1）B
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；有理数的巧算
【解析】【解答】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B.
【分析】（1）利用不同的表达式表示图形的面积可得，从而得解；
（2）利用可得，再将代入求出即可；
（3）利用平方差公式将原式变形为，再计算即可.
（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
．
6．【答案】（1）解：
（平方米），
答：空白部分的面积为平方米；
（2）解：当，时，
（平方米）．
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）由图可知空白部分的面积=大长方形面积-正方形面积，据此结合正方形与长方形面积公式列式，然后通过整式混合运算法则化简即可；
（2）把a、b的值代入（1）所得最简式子，根据含乘方的有理数混合运算顺序计算可得答案.
（1）解：
（平方米），
答：空白部分的面积为平方米；
（2）当，时，
（平方米）．
7．【答案】(1) ①31；②
(2)①设，，而，
∴，，
∴
；
②设，，而，
∴，；
∴
；
(3) 44
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴；
（3）正方形的边长为x，，，
∴，，
∵长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，
∴，，
∴，，，，
设，，则，，
∴阴影部分的面积
∵，即，
解得：，
∴，即阴影部分的面积为44．
【分析】（1）①根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）①设，，而，则，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②设，，而，则，，根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得，，再根据矩形面积设，，则，，再根据阴影部分的面积，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】（1）12
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
，
∴的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：12；
【分析】（1）将x+y=8两边完全平方后再展开，然后将x2+y2=40整体代入，即可得xy的值；
（2）将2a+b=6两边完全平方后再展开，然后将ab=4代入可求出4a2+b2的值，进而根据(2a-b)2=4a2-4ab+b2，再整体代入即可算出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
，
∴的值为．
9．【答案】（1）；
（2）
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法1：大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：；
故答案为：方法1：；方法2：；
（2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为；
故答案为：；
【分析】（1）用整体法表示大正方形面积为 ，用部分和表示为 ，
（2）由面积相等得到完全平方公式 。
（3）① 利用变形公式 ，代入已知条件求出 。
② 通过换元法，将 和 看作整体，利用同样的变形公式求出乘积。
（1）解：方法1：大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：；
故答案为：方法1：；方法2：；
（2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为；
故答案为：；
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．【答案】（1）；
（2）解：n2+4n；
证明：
=-12+(2n+1) 2
（3）解：(2n+2k-1)2-(2n-1)2=120
(2n+2k-1+2n-1) (2n+2k-1-2n+1) =120
(4n+2k-2) 2k=120
k(2n+k-1) =30
∵n、k(k≥1) 都为正整数
∴当k=1时， 2n+1-1=30， 此时n=15
当k=2时， 2n+2-1=15， 此时n=7
当k=3时， 2n+3-1=10， 此时n=4
当k=4时， 2n+4-1=7.5， 此时n=2.25(不合题意， 舍去)
当k=5时， 2n+5-1=6， 此时n=1
当k=6时， 2n+6-1=5， 此时n=0(不合题意， 舍去)
此后当k越大n会越小，n都为负数，都不合题意
综上所述， 符合题意的(n， k) 有： (15， 1)， (7， 2)， (4， 3) (1， 5).
【知识点】平方差公式及应用；二元一次方程的应用；探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）根据①-④等式的特征，可得出 第⑤个等式为 ； 第⑩个等式为；
（2）根据加法的交换律和结合律，可得出=-12+(2n+1) 2 ，再根据完全平方公式展开后，进行加法运算即可得出结论；
（3）首先根据平方差公式进行因式分解，得出(4n+2k-2) 2k=120，进而得出k(2n+k-1) =30 ，进而根据n、k(k≥1) 都为正整数，分析讨论，即可得出答案。
11．【答案】（1），
（2）
（3）解：由（1）得．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：把图1看作一个大正方形，它的面积是；
如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．
由此得到．
故答案为：，；
（2）解：把图2看作是一个边长为的大正方形，它的面积是；
如果把图2看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，它的面积是；
由此得到．
故答案为：.
【分析】（1）根据图形并利用长方形的面积公式求出图形的面积，再列出等式即可；（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到答案；（3）利用（2）的规律可得，再将，代入求出，最后求出即可．
（1）解：把图1看作一个大正方形，它的面积是；
如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．
由此得到．
故答案为：，；
（2）解：把图2看作是一个边长为的大正方形，它的面积是；
如果把图2看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，它的面积是；
由此得到．
故答案为：；
（3）解：由（1）得．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
12．【答案】（1）
（2）
（3）4
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
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