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沪科版数学七年级下册8.4因式分解计算题专项练习
一、提公因式法
1．（2026八上·长沙期末）因式分解.
（1）
（2）
2．（2026八上·东莞期末）把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
3．（2025八下·茂名期末）因式分解：.
4．分解因式
（1）
（2）
（3）6p(p+q)-4q(p+q)；
（4）m(a-3)+2(3-a).
二、分组分解法
5．（2025八上·天水期中）阅读下列材料：分解因式：
解1：
解2：
【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法：
（1）【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
分解因式：
（2）分解因式：
6．（2025八上·徐闻期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式
【类比】（1）请用分组分解法将分解因式．
【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式．
7．（2024七下·岳阳期中）七年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
（1）请用分组分解法将因式分解；
（2）请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
三、公式法
8．（2023八上·林芝期末）因式分解：
（1）；
（2）；
9．（2025八上·宁明月考）把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
四、分步分解法
10．分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
11．（2023八上·鄞州期末）分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
12．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
13． 把下列各式分解因式：
（1）
（2）.
（3）.
五、换元法
14．（2025八上·衡东期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______．
（3）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
15．（2025八上·期末） “整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了.
例如：分解因式
解：将a-2b看成一个整体，令a-2b=x，则原式 将x还原得，原式
请根据上述材料回答下列问题：
（1）请补全横线上的步骤：　 　；
（2）因式分解：
六、十字相乘法
16．（2023七下·桐城期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
17．（2023九上·城厢开学考）解方程：
18． 由多项式乘法得 ， 将该式从右到左进行运算， 即可得到用 “十字相乘法” 进行因式分解的公式： ．如： 分解因式： ．
（1） 分解因式：　 　)　 　)．
（2） 请用“十字相乘法”解方程： ．
19．（2024八上·遵义期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：
（1）因式分解：；
睿睿做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则________；________；
∴（____）（____）
（2）因式分解：；
答案解析部分
1．【答案】（1）解：原式=4bc(3a-c).
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
2．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察发现，提取公因式ab2，然后变形即可分解因式；
（2）观察发现，提取公因式（a-b），然后变形即可分解因式。
（1）解：
；
（2）解：
；
3．【答案】解：原式=3(m2-4mn+4n2)
=3(m-2n)2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】先提公因式，然后再用完全平方公式分解即可解答.
4．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=2(p+q)(3p-2q)
（4）解：原式=(a-3)(m-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
5．【答案】（1）解 ：
=x2（x+1）+（x+1）
=（x+1）（x2+1）。
（2）解：
=（y-z）2-（3x）2
=（y-z+3x）（y-z-3x）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据分组分解法，首先分成两组，把第一组提取公因式，进而再提取两组的公因式，即可得出因式分解的最后结果；
（2）首先分成两组，把第一组根据完全平方公式进行因式分解，进而再把两组根据平方差公式进行因式分解即可。
6．【答案】解：（1）
；
（2）
；

【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）首先进行分组，然后把第一组运用平方差进行因式分解，进而再提取公因式（x+a）即可得出最后结果；
（2）首先进行分组，然后分别对各组进行因式分解，最后再提公因式（a-b）即可得出最后结果。
7．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
．
当，时，原式
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）将原式改写为，先按完全平方公式分解，然后用提公因式法进一步分解；
（2）将原式改写为，先按完全平方公式分解，然后用提公因式法进一步分解；
（3）将原式改写为，先按完全平方公式分解，然后用提公因式法进一步分解，最后继续按完全平方公式作最后分解. 然后代入条件计算结果.
8．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
9．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）本题考察完全平方公式在因式分解中的应用，关键是识别多项式的结构是否符合完全平方公式。观察多项式，其形式与完全平方公式一致，其中（因为），（因为），中间项，完全满足公式条件，因此可直接用完全平方公式分解。
（2）本题考察完全平方公式的应用，解题需识别多项式的首项、末项是否为完全平方数，中间项是否为两倍的首末项平方根的乘积。多项式中，首项是完全平方形式，末项也是完全平方形式，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，再合并同类项得到最终结果。
（3）本题考察完全平方公式在因式分解中的应用，解题需将多项式中的部分项看作一个整体。观察多项式，可将看作一个整体，此时首项，末项，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，再去括号整理得到结果。
（4）本题考察完全平方公式的应用，关键是将和看作完全平方公式中的两个项。多项式中，首项、末项均为完全平方形式，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，合并同类项得，再提取公因式，整理为。
（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
10．【答案】（1）解：原式= 3 y2 ( 9 y2 6 y + 1 ) =
（2）解：原式=( m2 9 )2 = [ ( m 3 ) ( m + 3 ) ]2 = ( m 3 )2( m + 3 )2
（3）解：原式=( x2 + 4 y2 ) ( x2 4 y2 ) =
（4）解：设 A = a 2 + b2 c2 ， B = a2 b2 c2 ，
则原式为 A2 B2 = ( A + B ) ( A B ) ，
计算 A + B = ( a2 + b2 c2 ) + ( a2 b2 c2 ) = 2 a2 2 c2 = 2 ( a 2 c2 )
计算 A B = ( a2 + b2 c2 ) ( a2 b2 c2 ) = 2 b2
因此原式分解为：2 ( a2 c2) · 2 b2 = 4 b2 ( a2 c2 )=
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】
（1）先提公因式 3 y2 ，再利用完全平方公式因式分解，即可解答；
（2）先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解，最后进行积的乘方运算；
（3）先利用平方差公式因式分解，再利用平方差公式因式分解，即可解答；
（4）用换元法设 A = a 2 + b2 c2 ， B = a2 b2 c2 ，用平方差公式因式分解得到( A + B ) ( A B ) 代入式子化简得到 4 b2 ( a2 c2 )，再利用平方差公式因式分解，即可解答；
11．【答案】（1）解：原式
．

（2）原式
．
（3）原式
．
（4）原式
．
（5）原式
．
（6）原式
．
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）观察多项式，符合平方差公式特征，用平方差公式分解即可求解；
（2）由题意，用“十”字相乘法和提公因式法即可求解；
（3）由题意，按照一、二和三、四分组，然后提公因式即可求解；
（4）观察多项式，将x2+x看作一个整体，先去括号，再用“十”字相乘法分解即可求解；
（5）由题意，两两分组，提公因式即可求解；
（6）先将原多项式整理变形，然后用“十”字相乘法即可求解．
（1）解：原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
（4）原式
．
（5）原式
．
（6）原式
．
12．【答案】（1）解：ab-2b
=b（a-2）.
（2）解：5x2y-10xy2
=5xy（x-y）.
（3）解：16a4-b2（8a2-b2）
=16a4-8a2b2-b4
=（4a2-b2）2
=(2a+b)2(2a-b)2.
（4）解：9a2（x-y）+4b2（y-x）
=9a2（x-y）-4b2（x-y）
=（x-y）（9a2-4b2）
=（x-y）（3a-2b）（3a+2b）.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可求解；
（2）根据提公因式法因式分解即可求解；
（3）先根据单项式乘以多项式法则展开括号，再根据完全平方公式分解，进而再利用平方差公式进行第二次分解即可；
（4）先利用提公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
13．【答案】（1）解：设
则原式
=(x2+5x+6)(x2+5x-1)
.
（2）解：原式=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)
=[(x2+6)+7x][(x2+6)+5x]+x2
=(x2+6)2+12x(x2+6)+36x2
（3）解：令x+y=a， xy=b，则原式=a(a+2b)+(b+1)(b-1)
=a2+2ab+b2-1
=(a+b)2-1
=(a+b+1)(a+b-1)
=(x+y+ xy+1)(xy+x+y-1)
=(x+1)(y+1)(xy+x+y-1).
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】对于(1)，视 为整体，用一个字母y代替，通过换元法进行简便运算；
(2)是形如 abcd+e型的多项式，可把四个因式两两分组相乘，使得分组相乘后所得的项中有相同的部分；
(3)式中x+y，xy多次出现，引入两个新字母a、b，通过换元的方式进行运算，突出式子特点.
14．【答案】（1）C
（2）不彻底，
（3）解：设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得该同学第二步到第三步运用了完全平方公式，
故答案为：C；
（2）解：该同学因式分解的结果不彻底，
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步），
；
故答案为：不彻底，．
【分析】（1）直接利用完全平方公式得到答案；
（2）根据含有的因式还可以继续分解可得分解不彻底，然后利用完全平方公式进行分解因式即可；
（3）设，然后模仿题干的解题例子所包含的方法进行因式分解即可.
（1）解：该同学第二步到第三步运用了完全平方公式；
故选：C．
（2）解：该同学因式分解的结果不彻底，
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
；
故答案为：不彻底：．
（3）解：设，
原式
．
15．【答案】（1）(x+1)2
（2）解：令
则原式=(m+3)(m-1)+4
将m还原，
得原式： =(x+1)4
【知识点】因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法；整体思想
【解析】【解答】解：（1）
原式= x2+ 2 x + 1 ，根据完全平方公式，可得：
x2 + 2 x + 1 = ( x + 1 )2
将 x = a 2 b 代入，原式分解为：
( a 2 b + 1 )2
因此，横线处应填 ( x + 1 ) 2 ，即：
x2 + 2 x + 1 = ( x + 1 ) 2。
故答案为： ( x + 1 ) 2。
【分析】（1）根据完全平方公式，可得出答案为 ( x + 1 ) 2；
（2）令 ，代入原式，展开并进行分解即可得出原式再把m还原，即可得出原式=(x+1)4。
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）直接根据"十字相乘法"分解因式，即可得出结果；
（2）先提公因式x，再用十字相乘法进行因式分解，即可得出结果；
（3）先把常数项-6分解成两个因数的积，写出所有可能的结果，然后把两个因数相加，就可得出p所有可能的值。
17．【答案】解：
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】本题运用因式分解的十字相乘法将原式进行变形，得出，此时即可求出答案。
18．【答案】（1）2；4
（2）∴x-4=0或x+1=0，
解得x1=4，x2=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：2，4
【分析】
（1）把一次项系数写成两个数的和的形式，把积写成这两个数的积的形式，再根据 分解因式，解方程；
（2）根据（1）中做法分解因式解方程即可。
19．【答案】（1）2，4，2，4
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
【分析】（1）根据十字相乘法因式分解解题；
（2）根据十字相乘法因式分解解题．
（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则．
1 / 1沪科版数学七年级下册8.4因式分解计算题专项练习
一、提公因式法
1．（2026八上·长沙期末）因式分解.
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=4bc(3a-c).
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
2．（2026八上·东莞期末）把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察发现，提取公因式ab2，然后变形即可分解因式；
（2）观察发现，提取公因式（a-b），然后变形即可分解因式。
（1）解：
；
（2）解：
；
3．（2025八下·茂名期末）因式分解：.
【答案】解：原式=3(m2-4mn+4n2)
=3(m-2n)2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】先提公因式，然后再用完全平方公式分解即可解答.
4．分解因式
（1）
（2）
（3）6p(p+q)-4q(p+q)；
（4）m(a-3)+2(3-a).
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=2(p+q)(3p-2q)
（4）解：原式=(a-3)(m-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
二、分组分解法
5．（2025八上·天水期中）阅读下列材料：分解因式：
解1：
解2：
【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法：
（1）【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
分解因式：
（2）分解因式：
【答案】（1）解 ：
=x2（x+1）+（x+1）
=（x+1）（x2+1）。
（2）解：
=（y-z）2-（3x）2
=（y-z+3x）（y-z-3x）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据分组分解法，首先分成两组，把第一组提取公因式，进而再提取两组的公因式，即可得出因式分解的最后结果；
（2）首先分成两组，把第一组根据完全平方公式进行因式分解，进而再把两组根据平方差公式进行因式分解即可。
6．（2025八上·徐闻期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式
【类比】（1）请用分组分解法将分解因式．
【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式．
【答案】解：（1）
；
（2）
；

【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）首先进行分组，然后把第一组运用平方差进行因式分解，进而再提取公因式（x+a）即可得出最后结果；
（2）首先进行分组，然后分别对各组进行因式分解，最后再提公因式（a-b）即可得出最后结果。
7．（2024七下·岳阳期中）七年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
（1）请用分组分解法将因式分解；
（2）请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
．
当，时，原式
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）将原式改写为，先按完全平方公式分解，然后用提公因式法进一步分解；
（2）将原式改写为，先按完全平方公式分解，然后用提公因式法进一步分解；
（3）将原式改写为，先按完全平方公式分解，然后用提公因式法进一步分解，最后继续按完全平方公式作最后分解. 然后代入条件计算结果.
三、公式法
8．（2023八上·林芝期末）因式分解：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
9．（2025八上·宁明月考）把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）本题考察完全平方公式在因式分解中的应用，关键是识别多项式的结构是否符合完全平方公式。观察多项式，其形式与完全平方公式一致，其中（因为），（因为），中间项，完全满足公式条件，因此可直接用完全平方公式分解。
（2）本题考察完全平方公式的应用，解题需识别多项式的首项、末项是否为完全平方数，中间项是否为两倍的首末项平方根的乘积。多项式中，首项是完全平方形式，末项也是完全平方形式，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，再合并同类项得到最终结果。
（3）本题考察完全平方公式在因式分解中的应用，解题需将多项式中的部分项看作一个整体。观察多项式，可将看作一个整体，此时首项，末项，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，再去括号整理得到结果。
（4）本题考察完全平方公式的应用，关键是将和看作完全平方公式中的两个项。多项式中，首项、末项均为完全平方形式，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，合并同类项得，再提取公因式，整理为。
（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
四、分步分解法
10．分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式= 3 y2 ( 9 y2 6 y + 1 ) =
（2）解：原式=( m2 9 )2 = [ ( m 3 ) ( m + 3 ) ]2 = ( m 3 )2( m + 3 )2
（3）解：原式=( x2 + 4 y2 ) ( x2 4 y2 ) =
（4）解：设 A = a 2 + b2 c2 ， B = a2 b2 c2 ，
则原式为 A2 B2 = ( A + B ) ( A B ) ，
计算 A + B = ( a2 + b2 c2 ) + ( a2 b2 c2 ) = 2 a2 2 c2 = 2 ( a 2 c2 )
计算 A B = ( a2 + b2 c2 ) ( a2 b2 c2 ) = 2 b2
因此原式分解为：2 ( a2 c2) · 2 b2 = 4 b2 ( a2 c2 )=
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】
（1）先提公因式 3 y2 ，再利用完全平方公式因式分解，即可解答；
（2）先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解，最后进行积的乘方运算；
（3）先利用平方差公式因式分解，再利用平方差公式因式分解，即可解答；
（4）用换元法设 A = a 2 + b2 c2 ， B = a2 b2 c2 ，用平方差公式因式分解得到( A + B ) ( A B ) 代入式子化简得到 4 b2 ( a2 c2 )，再利用平方差公式因式分解，即可解答；
11．（2023八上·鄞州期末）分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解：原式
．

（2）原式
．
（3）原式
．
（4）原式
．
（5）原式
．
（6）原式
．
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）观察多项式，符合平方差公式特征，用平方差公式分解即可求解；
（2）由题意，用“十”字相乘法和提公因式法即可求解；
（3）由题意，按照一、二和三、四分组，然后提公因式即可求解；
（4）观察多项式，将x2+x看作一个整体，先去括号，再用“十”字相乘法分解即可求解；
（5）由题意，两两分组，提公因式即可求解；
（6）先将原多项式整理变形，然后用“十”字相乘法即可求解．
（1）解：原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
（4）原式
．
（5）原式
．
（6）原式
．
12．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：ab-2b
=b（a-2）.
（2）解：5x2y-10xy2
=5xy（x-y）.
（3）解：16a4-b2（8a2-b2）
=16a4-8a2b2-b4
=（4a2-b2）2
=(2a+b)2(2a-b)2.
（4）解：9a2（x-y）+4b2（y-x）
=9a2（x-y）-4b2（x-y）
=（x-y）（9a2-4b2）
=（x-y）（3a-2b）（3a+2b）.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可求解；
（2）根据提公因式法因式分解即可求解；
（3）先根据单项式乘以多项式法则展开括号，再根据完全平方公式分解，进而再利用平方差公式进行第二次分解即可；
（4）先利用提公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
13． 把下列各式分解因式：
（1）
（2）.
（3）.
【答案】（1）解：设
则原式
=(x2+5x+6)(x2+5x-1)
.
（2）解：原式=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)
=[(x2+6)+7x][(x2+6)+5x]+x2
=(x2+6)2+12x(x2+6)+36x2
（3）解：令x+y=a， xy=b，则原式=a(a+2b)+(b+1)(b-1)
=a2+2ab+b2-1
=(a+b)2-1
=(a+b+1)(a+b-1)
=(x+y+ xy+1)(xy+x+y-1)
=(x+1)(y+1)(xy+x+y-1).
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】对于(1)，视 为整体，用一个字母y代替，通过换元法进行简便运算；
(2)是形如 abcd+e型的多项式，可把四个因式两两分组相乘，使得分组相乘后所得的项中有相同的部分；
(3)式中x+y，xy多次出现，引入两个新字母a、b，通过换元的方式进行运算，突出式子特点.
五、换元法
14．（2025八上·衡东期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______．
（3）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）不彻底，
（3）解：设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得该同学第二步到第三步运用了完全平方公式，
故答案为：C；
（2）解：该同学因式分解的结果不彻底，
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步），
；
故答案为：不彻底，．
【分析】（1）直接利用完全平方公式得到答案；
（2）根据含有的因式还可以继续分解可得分解不彻底，然后利用完全平方公式进行分解因式即可；
（3）设，然后模仿题干的解题例子所包含的方法进行因式分解即可.
（1）解：该同学第二步到第三步运用了完全平方公式；
故选：C．
（2）解：该同学因式分解的结果不彻底，
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
；
故答案为：不彻底：．
（3）解：设，
原式
．
15．（2025八上·期末） “整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了.
例如：分解因式
解：将a-2b看成一个整体，令a-2b=x，则原式 将x还原得，原式
请根据上述材料回答下列问题：
（1）请补全横线上的步骤：　 　；
（2）因式分解：
【答案】（1）(x+1)2
（2）解：令
则原式=(m+3)(m-1)+4
将m还原，
得原式： =(x+1)4
【知识点】因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法；整体思想
【解析】【解答】解：（1）
原式= x2+ 2 x + 1 ，根据完全平方公式，可得：
x2 + 2 x + 1 = ( x + 1 )2
将 x = a 2 b 代入，原式分解为：
( a 2 b + 1 )2
因此，横线处应填 ( x + 1 ) 2 ，即：
x2 + 2 x + 1 = ( x + 1 ) 2。
故答案为： ( x + 1 ) 2。
【分析】（1）根据完全平方公式，可得出答案为 ( x + 1 ) 2；
（2）令 ，代入原式，展开并进行分解即可得出原式再把m还原，即可得出原式=(x+1)4。
六、十字相乘法
16．（2023七下·桐城期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）直接根据"十字相乘法"分解因式，即可得出结果；
（2）先提公因式x，再用十字相乘法进行因式分解，即可得出结果；
（3）先把常数项-6分解成两个因数的积，写出所有可能的结果，然后把两个因数相加，就可得出p所有可能的值。
17．（2023九上·城厢开学考）解方程：
【答案】解：
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】本题运用因式分解的十字相乘法将原式进行变形，得出，此时即可求出答案。
18． 由多项式乘法得 ， 将该式从右到左进行运算， 即可得到用 “十字相乘法” 进行因式分解的公式： ．如： 分解因式： ．
（1） 分解因式：　 　)　 　)．
（2） 请用“十字相乘法”解方程： ．
【答案】（1）2；4
（2）∴x-4=0或x+1=0，
解得x1=4，x2=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：2，4
【分析】
（1）把一次项系数写成两个数的和的形式，把积写成这两个数的积的形式，再根据 分解因式，解方程；
（2）根据（1）中做法分解因式解方程即可。
19．（2024八上·遵义期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：
（1）因式分解：；
睿睿做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则________；________；
∴（____）（____）
（2）因式分解：；
【答案】（1）2，4，2，4
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
【分析】（1）根据十字相乘法因式分解解题；
（2）根据十字相乘法因式分解解题．
（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则．
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