资源简介

　三角形内角和定理(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　三角形外角的有关计算
1.(2025·三明质检)如图,在△ABC中,D为BC边上的点,满足AB=AC=BD,且
∠DAC=30°,则∠B的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
2.(2025·新乡模拟)如图,已知AB∥CD,∠D=81°,∠E=43°,则∠B的度数是( )
A.81° B.43° C.28° D.38°
3.如图所示,五条线段首尾相连形成的图形中,∠A=90°,∠B=45°,∠C=30°,则∠D+∠E等于( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
4.(2025·济宁期末)形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”,如图是一个“燕尾形”,已知∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠BAD=22°,则∠BCD的度数为( )
A.63° B.20° C.85° D.105°
5. (2025·邢台期中)如图,在△ABC中,AE是△ABC的角平分线.当∠BAC=80°,∠ABC=30°时,求∠AEC的度数.
知识点2　利用三角形的外角证明不等关系
6.如图,在△ABC中,在BC的延长线上取点D,E,连接AD,AE,则下列式子中正确的是( )
A.∠ACB>∠ACD
B.∠ACB>∠1+∠2+∠3
C.∠ACB>∠2+∠3
D.以上都正确
7.如图,D是△ABC的边AC延长线上的一点,E是BC上一点,连接DE.求证:∠BED>∠A.
知识点3　三角形内角和与外角和的综合运用
8.图①是某种型号拉杆箱的实物图,图②是它的示意图,行李箱的侧面可看成一个长方形,点F,C,D在同一条直线上,为了拉箱时的舒适度,现将∠ABD调整为75°,若∠D保持不变,则图中∠ECF应( )
A.减少20° B.减少10°
C.增加20° D.增加10°
9.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,∠D+∠E+∠F=107°,则∠1+∠2+∠3的度数为( )
A.73° B.63° C.83° D.93°
B层能力进阶
10.(2025·长沙质检)如图,CD∥AB,CB平分∠ACD,CF平分∠ACG,点G,C,D共线,点B,E,A,F共线,∠BAC=40°,∠1=∠2,则下列结论:①CB⊥CF;②∠1=70°;③∠3=2∠4;④∠ACE=2∠4,其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
11.(2025·成都二模)已知直线AB∥CD,将一个直角三角尺如图放置,使得30°角的顶点E落在CD上,直角顶点F落在AB上,点G落在AB,CD之间,当∠BFG=40°时,∠GED的度数是( )
A.30° B.20° C.35° D.25°
12.如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB,在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上取一点E,延长A1A2到点A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E;……按此做法继续下去,则第2 025个三角形中,以A2 025为顶点的内角度数是( )
A.()2 023×75° B.()2 024×75°
C.()2 025×75° D.()2 026×75°
13.(2025·衡阳模拟)如图,在△ABC中,∠A=16°,D,E分别为边AB,AC上的点,将△AED沿ED翻折,得到△FDE,FD与AC相交于点O,连接FB.当△FBD为等腰直角三角形时,∠FEC的度数为 .
C层创新挑战(选做)
14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图(1),AB和AC相交于点A,BD和CD相交于点D,探究∠BDC与∠B,∠C,∠BAC的关系.
小明是这样做的:
解:如图(2),以点A为端点作射线AD,
∵∠1是△ABD的一个外角,
∴∠1=∠B+∠BAD,
同理∠2=∠C+∠CAD,
∴∠1+∠2=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD,
即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC,
小英的思路是:如图(3),延长BD交AC于点E.
(1)按小英的思路完成∠BDC=∠B+∠C+∠BAC这一结论.
(2)如图(4),△ABC中,BO,CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,且BO,CO相交于点O.猜想∠BOC与∠A有怎样的关系,并加以证明.　三角形内角和定理(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　三角形内角和定理
1.(2025·北京模拟)如图,E为△ABC边CA延长线上一点,过点E作ED∥BC.
若∠BAC=70°,∠CED=50°,则∠B=( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,若∠BAC=86°,则∠ADE的度数为( )
A.47° B.43° C.50° D.40°
3.将一副三角尺按如图所示方式放置于同一平面内,其中∠C=∠DBE=90°,
∠A=45°,∠E=30°.若AB∥DE,则∠CBD的度数为( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
4.(2025·宣城一模)如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,将△ABD沿BD所在的直线折叠,使得点A落在AC下方的点A'处,A'B与AC相交于点E.若∠A'=46°,∠BED=70°,则∠ABD的度数为 .
知识点2　全等三角形的性质和判定
5.如图,在△ACD与△ABD中,∠C=∠B,再添加一个下列条件,能判断△ADC≌△ADB的是( )
A.AC=AB
B.∠ADC=∠ADB
C.CD=BD
D.AC⊥CD
6.如图,AC与BD相交于点O,∠A=∠D,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是 .
7.将下面证明中每一步的理由写在括号内.
已知:如图,∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,求证:AD=BC.
证明:∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC( ),
∴∠CAB+∠DAC=∠DBA+∠CBD( ),
即∠DAB=∠CBA( ),
在△ADB和△BCA中,
∴△ADB≌△BCA( ),
∴AD=BC( ).
B层能力进阶
8.(2025·莆田质检)如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点F处,已知∠1+
∠2=100°,则∠A的度数等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
9.如图,把两个大小相同的含45°角的三角尺ACF和三角尺CFB如图所示摆放,点D在边AC上,点E在边BC上,且∠CFE=13°,∠CFD=32°,则∠DEC的度数是( )
A.58° B.45° C.77° D.64°
10. (2025·佛山质检)如图所示,△ABC的面积为50 cm2,BP平分∠ABC,过点A作AP⊥BP于P,则△PBC的面积为 cm2.
11.(2025·大同质检)(1)问题背景:已知AB∥CD,点P的位置如图①所示,连接PA,PC,试探究∠APC与∠A,∠C之间的数量关系,以下是小明的探索过程,请你结合图形仔细阅读,并完成填空:
如图①,过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD(已知),
∴PE∥CD( ).
∴∠A=∠APE,∠C=∠CPE( ).
∴∠A+∠C= (等量代换),
即∠APC与∠A,∠C之间的数量关系是 .
(2)类比探究:如图②,已知AB∥CD,线段AD与BC相交于点E,点B在点A的右侧.若∠ABC=41°,∠ADC=78°,则∠AEC的度数为 .
(3)拓展延伸:如图③,若∠ABC与∠ADC的平分线相交于点F,请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系: .
C层创新挑战(选做)
12.(推理能力、几何直观)(2025·长春质检)利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题.
【初步感知】
如图1,在△ABC中,AP为中线,过点B作BM⊥AP于点M,过点C作CN⊥AP交AP的延长线于点N.在PA延长线上取一点Q,连接BQ,使∠Q=∠CAN.
(1)填空:S△BMP__________S△CNP.(填“>”“=”或“<”)
(2)求证:△QBM≌△ACN.
(3)试说明:S△QBM=S△BPM+S△ACP.
【拓展应用】
(4)如图2,在△ABC中,∠BAC是钝角,点D在边BC上,AB=AD,点E在边AC上,点F在边CA的延长线上,∠BAF>∠DAE,∠BFA=∠AED=∠BAD,若BD=2DC,△ABD的面积是9,求△ABF与△CDE的面积之和.　三角形内角和定理(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　三角形外角的有关计算
1.(2025·三明质检)如图,在△ABC中,D为BC边上的点,满足AB=AC=BD,且
∠DAC=30°,则∠B的度数为(C)
A.30° B.35° C.40° D.45°
2.(2025·新乡模拟)如图,已知AB∥CD,∠D=81°,∠E=43°,则∠B的度数是(D)
A.81° B.43° C.28° D.38°
3.如图所示,五条线段首尾相连形成的图形中,∠A=90°,∠B=45°,∠C=30°,则∠D+∠E等于(B)
A.80° B.75° C.70° D.65°
4.(2025·济宁期末)形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”,如图是一个“燕尾形”,已知∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠BAD=22°,则∠BCD的度数为(B)
A.63° B.20° C.85° D.105°
5. (2025·邢台期中)如图,在△ABC中,AE是△ABC的角平分线.当∠BAC=80°,∠ABC=30°时,求∠AEC的度数.
【解析】∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=∠EAC=∠BAC=40°,
又∵∠ABC=30°,
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=30°+40°=70°.
知识点2　利用三角形的外角证明不等关系
6.如图,在△ABC中,在BC的延长线上取点D,E,连接AD,AE,则下列式子中正确的是(C)
A.∠ACB>∠ACD
B.∠ACB>∠1+∠2+∠3
C.∠ACB>∠2+∠3
D.以上都正确
7.如图,D是△ABC的边AC延长线上的一点,E是BC上一点,连接DE.求证:∠BED>∠A.
【证明】∵∠ECD是△ABC的一个外角,
∴∠ECD>∠A.
∵∠BED是△ECD的一个外角,
∴∠BED>∠ECD,∴∠BED>∠A.
知识点3　三角形内角和与外角和的综合运用
8.图①是某种型号拉杆箱的实物图,图②是它的示意图,行李箱的侧面可看成一个长方形,点F,C,D在同一条直线上,为了拉箱时的舒适度,现将∠ABD调整为75°,若∠D保持不变,则图中∠ECF应(C)
A.减少20° B.减少10°
C.增加20° D.增加10°
9.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,∠D+∠E+∠F=107°,则∠1+∠2+∠3的度数为(A)
A.73° B.63° C.83° D.93°
B层能力进阶
10.(2025·长沙质检)如图,CD∥AB,CB平分∠ACD,CF平分∠ACG,点G,C,D共线,点B,E,A,F共线,∠BAC=40°,∠1=∠2,则下列结论:①CB⊥CF;②∠1=70°;③∠3=2∠4;④∠ACE=2∠4,其中正确的是(A)
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
11.(2025·成都二模)已知直线AB∥CD,将一个直角三角尺如图放置,使得30°角的顶点E落在CD上,直角顶点F落在AB上,点G落在AB,CD之间,当∠BFG=40°时,∠GED的度数是(B)
A.30° B.20° C.35° D.25°
12.如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB,在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上取一点E,延长A1A2到点A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E;……按此做法继续下去,则第2 025个三角形中,以A2 025为顶点的内角度数是(B)
A.()2 023×75° B.()2 024×75°
C.()2 025×75° D.()2 026×75°
13.(2025·衡阳模拟)如图,在△ABC中,∠A=16°,D,E分别为边AB,AC上的点,将△AED沿ED翻折,得到△FDE,FD与AC相交于点O,连接FB.当△FBD为等腰直角三角形时,∠FEC的度数为　13°　.
C层创新挑战(选做)
14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图(1),AB和AC相交于点A,BD和CD相交于点D,探究∠BDC与∠B,∠C,∠BAC的关系.
小明是这样做的:
解:如图(2),以点A为端点作射线AD,
∵∠1是△ABD的一个外角,
∴∠1=∠B+∠BAD,
同理∠2=∠C+∠CAD,
∴∠1+∠2=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD,
即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC,
小英的思路是:如图(3),延长BD交AC于点E.
(1)按小英的思路完成∠BDC=∠B+∠C+∠BAC这一结论.
(2)如图(4),△ABC中,BO,CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,且BO,CO相交于点O.猜想∠BOC与∠A有怎样的关系,并加以证明.
【解析】(1)如题图(3),延长BD交AC于点E,
∵∠BDC是△CDE的一个外角,
∴∠BDC=∠C+∠CED,
同理可得∠CED=∠BAC+∠B,
∴∠BDC=∠C+∠B+∠BAC.
(2)∠BOC=90°+∠A.证明如下:
∵BO,CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠A)
=90°+∠A.　三角形内角和定理(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　三角形内角和定理
1.(2025·北京模拟)如图,E为△ABC边CA延长线上一点,过点E作ED∥BC.
若∠BAC=70°,∠CED=50°,则∠B=(B)
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,若∠BAC=86°,则∠ADE的度数为(A)
A.47° B.43° C.50° D.40°
3.将一副三角尺按如图所示方式放置于同一平面内,其中∠C=∠DBE=90°,
∠A=45°,∠E=30°.若AB∥DE,则∠CBD的度数为(B)
A.10° B.15° C.20° D.25°
4.(2025·宣城一模)如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,将△ABD沿BD所在的直线折叠,使得点A落在AC下方的点A'处,A'B与AC相交于点E.若∠A'=46°,∠BED=70°,则∠ABD的度数为　32°　.
知识点2　全等三角形的性质和判定
5.如图,在△ACD与△ABD中,∠C=∠B,再添加一个下列条件,能判断△ADC≌△ADB的是(B)
A.AC=AB
B.∠ADC=∠ADB
C.CD=BD
D.AC⊥CD
6.如图,AC与BD相交于点O,∠A=∠D,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是　AAS　.
7.将下面证明中每一步的理由写在括号内.
已知:如图,∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,求证:AD=BC.
证明:∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC(　已知　),
∴∠CAB+∠DAC=∠DBA+∠CBD(　等式的性质　),
即∠DAB=∠CBA(　等量代换　),
在△ADB和△BCA中,
∴△ADB≌△BCA(　ASA　),
∴AD=BC(　全等三角形的对应边相等　).
B层能力进阶
8.(2025·莆田质检)如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点F处,已知∠1+
∠2=100°,则∠A的度数等于(B)
A.40° B.50° C.60° D.70°
9.如图,把两个大小相同的含45°角的三角尺ACF和三角尺CFB如图所示摆放,点D在边AC上,点E在边BC上,且∠CFE=13°,∠CFD=32°,则∠DEC的度数是(D)
A.58° B.45° C.77° D.64°
10. (2025·佛山质检)如图所示,△ABC的面积为50 cm2,BP平分∠ABC,过点A作AP⊥BP于P,则△PBC的面积为　25　cm2.
11.(2025·大同质检)(1)问题背景:已知AB∥CD,点P的位置如图①所示,连接PA,PC,试探究∠APC与∠A,∠C之间的数量关系,以下是小明的探索过程,请你结合图形仔细阅读,并完成填空:
如图①,过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD(已知),
∴PE∥CD(　平行于同一条直线的两条直线平行　).
∴∠A=∠APE,∠C=∠CPE(　两直线平行,内错角相等　).
∴∠A+∠C=　∠APE　+　∠CPE　(等量代换),
即∠APC与∠A,∠C之间的数量关系是　∠APC=∠A+∠C　.
(2)类比探究:如图②,已知AB∥CD,线段AD与BC相交于点E,点B在点A的右侧.若∠ABC=41°,∠ADC=78°,则∠AEC的度数为　119°　.
(3)拓展延伸:如图③,若∠ABC与∠ADC的平分线相交于点F,请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系:　∠AEC=2∠BFD　.
C层创新挑战(选做)
12.(推理能力、几何直观)(2025·长春质检)利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题.
【初步感知】
如图1,在△ABC中,AP为中线,过点B作BM⊥AP于点M,过点C作CN⊥AP交AP的延长线于点N.在PA延长线上取一点Q,连接BQ,使∠Q=∠CAN.
(1)填空:S△BMP__________S△CNP.(填“>”“=”或“<”)
(2)求证:△QBM≌△ACN.
(3)试说明:S△QBM=S△BPM+S△ACP.
【拓展应用】
(4)如图2,在△ABC中,∠BAC是钝角,点D在边BC上,AB=AD,点E在边AC上,点F在边CA的延长线上,∠BAF>∠DAE,∠BFA=∠AED=∠BAD,若BD=2DC,△ABD的面积是9,求△ABF与△CDE的面积之和.
【解析】(1)∵在△ABC中,AP为中线,
∴BP=CP.
∵BM⊥AP,CN⊥AP,
∴∠BMP=∠CNP=90°,
∵∠BPM=∠CPN,
∴△BMP≌△CNP(AAS),
∴S△BMP=S△CNP.
答案:=
(2)由(1)可知:△BMP≌△CNP,
∴BM=CN,
∵∠BMP=90°,
∴∠BMQ=∠CNA=90°,
∵∠Q=∠CAN,
∴△QBM≌△ACN(AAS).
(3)由(1)可知△BMP≌△CNP,由(2)可知△QBM≌△ACN,
∴S△BMP=S△CNP,S△QBM=S△ACN,
∴S△QBM=S△ACN=S△CPN+S△ACP=S△BPM+S△ACP.
(4)∵∠BFA=∠AED=∠BAD,∠BAF+∠DAE=180°-∠BAD,∠BAF+∠ABF
=180°-∠BFA,
∴∠DAE=∠ABF.
在△ABF和△DAE中.
,
∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴S△ABF=S△DAE,
设△ABD的底边BD上的高为h,则△ADC的底边DC上的高为h,
∴S△ABD=BD·h=9,S△ADC=DC·h,
∵BD=2DC,∴S△ADC=,
∵S△ADC=S△CDE+S△DAE=S△CDE+S△ABF=,
∴△ABF与△CDE的面积之和为.

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