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　等腰三角形(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　等腰三角形的判定
1.下列能断定△ABC为等腰三角形的是(C)
A.∠A=40°,∠B=50°
B.∠A=2∠B=70°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.AB=3,BC=6,周长为14
2.(2025·长春期末)如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与∠CBA的平分线BD交于点D,过D点作AB的平行线分别交AC,BC于点M,N,若△ABC与△CMN的周长分别30,24,则AB的长为(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.8 B.15 C.12 D.6
3.直线AB,BC,CD,EG如图所示,∠1=∠2=80°,∠3=40°,则下列结论正确的是　①②③　.(填序号)
①AB∥CD; ②∠EBF=40°; ③∠FCG+∠3=∠2; ④EF>BE.
4. (2025·福州期末)如图,△ABF和△DCE中,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,AF=DE.求证:GE=GF.
【证明】∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=CE,
在△ABF与△DCE中,,
∴△ABF≌△DCE(SSS),
∴∠AFB=∠DEC,
∴GE=GF.
知识点2　反证法
5.(2025·衡阳期末)用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,所以∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设三角形的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.
正确的顺序应为(D)
A.①②③ B.①③②
C.②③① D.③①②
6.用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”,应该先假设　三角形的一个外角小于或等于任何一个与它不相邻的内角　.
7.用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补(填空).
已知:如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.
求证:∠1+∠2=180°.
证明:假设∠1+∠2　≠　180°,
∵l1∥l2,
∴∠1　=　∠3,
∵∠1+∠2≠180°,
∴∠3+∠2　≠　180°,这与　平角为180°　矛盾,
∴假设∠1+∠2　≠　180°不成立,即∠1+∠2=180°.
B层能力进阶
8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为(A)
A.14 B.16 C.18 D.20
9.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点F,E,则图中的等腰三角形共有(B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10. (2025·安阳期末)如图,在△ABC中,BC=15厘米,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是　15厘米　.
11.将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°.
(1)求∠1的度数;
(2)求证:△GEF是等腰三角形.
【解析】(1)∵一张长方形纸条ABCD折叠,
∴∠GEF=∠FEC=64°,∵AD∥BC,∴∠1=∠GEB=180°-64°-64°=52°.
(2)由(1)知∠GEF=64°,
∵AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC=64°,
∴∠GEF=∠GFE,
∴△GEF是等腰三角形.
C层创新挑战(选做)
12.(几何直观、推理能力)(2025·松原期中)(1)呈现问题
如图1,在△ABC中,AC=BC,D,E分别在BC,AC上,若CD=CE,则△CED和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连接AD,BE,则∠ADB,∠C,∠CAD之间的数量关系是____________________;AE与BD的数量关系是__________;
(2)类比探究
如图2,△ACB和△ECD均为等边三角形,点A,E,D在同一直线上,连接BD.求出∠ADB的度数及AE与BD的数量关系;
(3)拓展延伸
如图3,△ACB和△ECD均为等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点A,E,D在同一直线上,CF为△DCE中DE边上的高,连接BD.直接写出∠ADB的度数及线段CF,AD,BD之间的数量关系;
(4)解决问题
在(3)的条件下,若BD=6,CF=5,直接写出四边形ABDC的面积.
【解析】(1)∵AC=BC,CD=CE,
∴AC-CE=BC-CD,
即AE=BD,
∵∠ADB是△ACD的一个外角,
∴∠ADB=∠C+∠CAD.
答案:∠ADB=∠C+∠CAD　AE=BD
(2)∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∠CDE=∠CED=60°,
∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠AEC=∠BDC,
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠AEC=180°-60°=120°,
∴∠BDC=120°,
∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=120°-60°=60°,
综上可得,∠ADB的度数为60°;线段AE与BD的数量关系是AE=BD.
(3)∠ADB=90°,AD=BD+2CF.
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∠CDE=∠CED=45°,
∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠AEC=∠BDC,
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠AEC=180°-45°=135°,
∴∠BDC=135°,
∴∠ADB=∠CDB-∠CDE=135°-45°=90°;
∵∠ECD=90°,CD=CE,CF⊥DE,
∴CF=DF=EF,
∴DE=DF+EF=2CF,
∴AD=AE+DE=BD+2CF.
(4)∵AD=BD+2CF=16,
S四边形ABDC=S△ACD+S△ABD
=AD·CF+AD·BD
=×16×5+×16×6
=88.　等腰三角形(第3课时)
A层基础夯实
知识点1　等边三角形的判定
1.因为木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是( )
A.9 cm B.16 cm
C.18 cm D.20 cm
2.(新考向·学科内融合)若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.无法确定
3.(2025·南充中考)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧,再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是 .
4. (2025·温州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在BA,CB的延长线上,且AE=CD,∠BAE=∠ACD.求证:△ABC是等边三角形.
知识点2　含30°角的直角三角形的性质
5.(2025·揭阳质检)如图,哈尔滨亚洲冬季运动会上一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=100 m,则这名滑雪运动员的高度h下降了( )
A.100 m B.50 m
C.50 m D.25 m
6.如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D是BC的中点,点E是AC的中点,EF∥AD,若CF=2,则AB的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
7. (2025·抚顺期末)如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE分别垂直于横梁AC,若AB=8 m,∠A=30°,则斜梁DC的长为 m.
8. (2025·盐城期末)如图,在△ABC中,AC=8,∠B=45°,∠A=30°,求AB的长.
B层能力进阶
9.如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,以下四个结论:①ED=FD;②△DEF是等边三角形;③△AEF是等腰三角形;④连接AD,AD垂直平分EF.其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=6,CD是△ABC的一条高线.若E,F分别是CD和BC上的动点,则BE+EF的最小值是( )
A.6 B.3 C.3 D.3
11.(2025·资阳中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是 .
12.(2025·黄石质检)如图,△ABC中,∠C=90°,BC=9,∠ABC的平分线与线段AC交于点D,且有AD=BD,点E是线段AB上的动点(与A,B不重合),连接DE,当△BDE是等腰三角形时,则AE的长为 .
13. (2025·福建中考)如图,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G.
(1)求∠DCE的大小;
(2)求证:△CEG是等边三角形.
C层创新挑战(选做)
14.(运算能力、模型观念、推理能力)
如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,按图中箭头指向沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合
(2)点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN 　等腰三角形(第3课时)
A层基础夯实
知识点1　等边三角形的判定
1.因为木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是(C)
A.9 cm B.16 cm
C.18 cm D.20 cm
2.(新考向·学科内融合)若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,则△ABC的形状是(C)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.无法确定
3.(2025·南充中考)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧,再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是 　.
4. (2025·温州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在BA,CB的延长线上,且AE=CD,∠BAE=∠ACD.求证:△ABC是等边三角形.
【证明】∵AB=CA,∠BAE=∠ACD,AE=CD,
∴△ACD≌△BAE(SAS),
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠ABC=∠BAC,
∴AC=BC,
∵AB=AC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC为等边三角形.
知识点2　含30°角的直角三角形的性质
5.(2025·揭阳质检)如图,哈尔滨亚洲冬季运动会上一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=100 m,则这名滑雪运动员的高度h下降了(C)
A.100 m B.50 m
C.50 m D.25 m
6.如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D是BC的中点,点E是AC的中点,EF∥AD,若CF=2,则AB的长为(D)
A.2 B.4 C.6 D.8
7. (2025·抚顺期末)如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE分别垂直于横梁AC,若AB=8 m,∠A=30°,则斜梁DC的长为　4　m.
8. (2025·盐城期末)如图,在△ABC中,AC=8,∠B=45°,∠A=30°,求AB的长.
【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
在Rt△ACD中,AC=8,∠A=30°,
∴CD=AC=4,
∴AD===4,
在Rt△BCD中,∠B=45°,CD=4,
∴∠BCD=90°-∠B=45°,
∴CD=BD=4,
∴AB=AD+BD=4+4.
B层能力进阶
9.如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,以下四个结论:①ED=FD;②△DEF是等边三角形;③△AEF是等腰三角形;④连接AD,AD垂直平分EF.其中正确的结论有(A)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=6,CD是△ABC的一条高线.若E,F分别是CD和BC上的动点,则BE+EF的最小值是(C)
A.6 B.3 C.3 D.3
11.(2025·资阳中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是　∠BCE=∠B(答案不唯一)　.
12.(2025·黄石质检)如图,△ABC中,∠C=90°,BC=9,∠ABC的平分线与线段AC交于点D,且有AD=BD,点E是线段AB上的动点(与A,B不重合),连接DE,当△BDE是等腰三角形时,则AE的长为　18-6或12　.
13. (2025·福建中考)如图,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G.
(1)求∠DCE的大小;
(2)求证:△CEG是等边三角形.
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵D是AB的中点,
∴∠DCB=∠DCA=∠ACB=×60°=30°.
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=90°,
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°.
(2)由平移可知:CD∥EF,
∴∠EAC=∠DCA=30°,
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,∠AEC=120°,
又∵AB=CB,
∴BE垂直平分AC,
∴∠GEC=∠AEC=×120°=60°,
由(1)知,∠GCE=60°,
∴∠EGC=60°,
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC,
∴△CEG是等边三角形.
C层创新挑战(选做)
14.(运算能力、模型观念、推理能力)
如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,按图中箭头指向沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合
(2)点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN
【解析】(1)设点M,N运动x s时,M,N两点重合.则x+12=2x,解得x=12.即点M,N运动12 s时,M,N两点重合.
(2)由题可知△ABC是等边三角形,由(1)可知当点M在边AC上,点N在边AB上,且AM=AN时,△AMN是等边三角形.
设点M,N运动t s时,可得到等边三角形AMN,则AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t.
∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4,
∴点M,N运动4 s时,可得到等边三角形AMN.　等腰三角形(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　等腰三角形的性质
1.如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为( )
A.32° B.58° C.74° D.75°
2.(2025·漳州质检)一个等腰三角形一角是80°,则它的底角是( )
A.80° B.50°
C.80°或50° D.80°或60°
3.(2025·沧州期末)如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,工人师傅在焊接立柱时,只用找到BC的中点D,就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了,工人师傅这种操作方法的依据是( )
A.等边对等角 B.等角对等边
C.勾股定理的逆定理 D.等腰三角形的“三线合一”
4.如图,在△ABC中,AB=AC=10,AD=8,AD平分∠BAC,求BC的长.
知识点2　等边三角形的性质
5.如图,过等边三角形ABC的顶点A作直线.若∠1=20°,则∠2的度数是( )
A.100° B.80° C.60° D.40°
6.(2025·广西中考)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD= .
7. (2025·益阳期中)如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D在同一条直线上,CD=CE,求∠CED的度数.
8.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:AD=BE;
(2)分别求出∠BPQ,∠PBQ的度数.
B层能力进阶
9.爱晚亭是具有悠久历史的古典园林建筑,亭顶重檐四披,攒尖宝顶,亭角飞翘,远观似凌空欲飞状.如图,爱晚亭的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是( )
A.∠DAB=∠DAC
B.∠ADB=∠ADC
C.BC=2AD
D.△ABD与△ACD的周长相等
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,BC⊥CD,且AC=CD,则∠BAD的度数为( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
11.(2025·北京期中)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则它的顶角的度数为 .
12. (2025·绵阳期末)如图,△ABC为等边三角形,点D为BC延长线上一动点,连接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE,直线CE与AB交于点F.过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G.
(1)若∠BAE=45°,求∠D的度数;
(2)求证:BD=2AF.
C层创新挑战(选做)
13.(运算能力、模型观念、推理能力)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上.
活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒.
数学思考:
(1)小棒能无限摆下去吗 答:__________ .(填“能”或“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3,θ=__________ ;
活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1.
数学思考:
(3)若已经摆放了3根小棒,用含θ的式子表示θ3.　等腰三角形(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　等腰三角形的判定
1.下列能断定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=40°,∠B=50°
B.∠A=2∠B=70°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.AB=3,BC=6,周长为14
2.(2025·长春期末)如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与∠CBA的平分线BD交于点D,过D点作AB的平行线分别交AC,BC于点M,N,若△ABC与△CMN的周长分别30,24,则AB的长为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.8 B.15 C.12 D.6
3.直线AB,BC,CD,EG如图所示,∠1=∠2=80°,∠3=40°,则下列结论正确的是 .(填序号)
①AB∥CD; ②∠EBF=40°; ③∠FCG+∠3=∠2; ④EF>BE.
4. (2025·福州期末)如图,△ABF和△DCE中,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,AF=DE.求证:GE=GF.
知识点2　反证法
5.(2025·衡阳期末)用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,所以∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设三角形的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.
正确的顺序应为( )
A.①②③ B.①③②
C.②③① D.③①②
6.用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”,应该先假设 .
7.用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补(填空).
已知:如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.
求证:∠1+∠2=180°.
证明:假设∠1+∠2 180°,
∵l1∥l2,
∴∠1 ∠3,
∵∠1+∠2≠180°,
∴∠3+∠2 180°,这与 矛盾,
∴假设∠1+∠2 180°不成立,即∠1+∠2=180°.
B层能力进阶
8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
9.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点F,E,则图中的等腰三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10. (2025·安阳期末)如图,在△ABC中,BC=15厘米,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 .
11.将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°.
(1)求∠1的度数;
(2)求证:△GEF是等腰三角形.
C层创新挑战(选做)
12.(几何直观、推理能力)(2025·松原期中)(1)呈现问题
如图1,在△ABC中,AC=BC,D,E分别在BC,AC上,若CD=CE,则△CED和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连接AD,BE,则∠ADB,∠C,∠CAD之间的数量关系是____________________;AE与BD的数量关系是__________;
(2)类比探究
如图2,△ACB和△ECD均为等边三角形,点A,E,D在同一直线上,连接BD.求出∠ADB的度数及AE与BD的数量关系;
(3)拓展延伸
如图3,△ACB和△ECD均为等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点A,E,D在同一直线上,CF为△DCE中DE边上的高,连接BD.直接写出∠ADB的度数及线段CF,AD,BD之间的数量关系;
(4)解决问题
在(3)的条件下,若BD=6,CF=5,直接写出四边形ABDC的面积.　等腰三角形(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　等腰三角形的性质
1.如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为(C)
A.32° B.58° C.74° D.75°
2.(2025·漳州质检)一个等腰三角形一角是80°,则它的底角是(C)
A.80° B.50°
C.80°或50° D.80°或60°
3.(2025·沧州期末)如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,工人师傅在焊接立柱时,只用找到BC的中点D,就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了,工人师傅这种操作方法的依据是(D)
A.等边对等角 B.等角对等边
C.勾股定理的逆定理 D.等腰三角形的“三线合一”
4.如图,在△ABC中,AB=AC=10,AD=8,AD平分∠BAC,求BC的长.
【解析】∵AB=AC,
AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=BC,
∴∠ADC=90°,
在Rt△ABD中,由勾股定理得
BD2=AB2-AD2,
∵AB=10,AD=8,
∴BD===6,
∴BC=2BD=12.
知识点2　等边三角形的性质
5.如图,过等边三角形ABC的顶点A作直线.若∠1=20°,则∠2的度数是(A)
A.100° B.80° C.60° D.40°
6.(2025·广西中考)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD= -1　.
7. (2025·益阳期中)如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D在同一条直线上,CD=CE,求∠CED的度数.
【解析】∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵CD=CE,∴∠CED=∠D,
∵∠ACB=∠CED+∠D,
∴∠CED=30°.
8.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:AD=BE;
(2)分别求出∠BPQ,∠PBQ的度数.
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=CA,∠BAC=∠ACD=60°,
在△ABE和△CAD中,
,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴AD=BE.
(2)∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABP=∠CAD,
∴∠BPQ=∠ABP+∠BAP
=∠CAD+∠BAP
=∠BAC=60°,
∵BQ⊥AD,
∴∠BQP=90°,
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°.
B层能力进阶
9.爱晚亭是具有悠久历史的古典园林建筑,亭顶重檐四披,攒尖宝顶,亭角飞翘,远观似凌空欲飞状.如图,爱晚亭的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(C)
A.∠DAB=∠DAC
B.∠ADB=∠ADC
C.BC=2AD
D.△ABD与△ACD的周长相等
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,BC⊥CD,且AC=CD,则∠BAD的度数为(B)
A.50° B.60° C.65° D.70°
11.(2025·北京期中)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则它的顶角的度数为　115°或65°　.
12. (2025·绵阳期末)如图,△ABC为等边三角形,点D为BC延长线上一动点,连接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE,直线CE与AB交于点F.过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G.
(1)若∠BAE=45°,求∠D的度数;
(2)求证:BD=2AF.
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC.
∵∠DAE=120°,
∴∠BAE+∠CAD=60°.
又∠D+∠CAD=60°,
∴∠D=∠BAE=45°.
(2)∵EG∥AC,
∴∠G=∠BAC=∠ABC=60°.
在△EAG和△ADB中,
∴△EAG≌△ADB(AAS).
∴EG=AB,GA=BD,
∴EG=CA.
在△EFG和△CFA中,
∴△EFG≌△CFA(AAS).
∴AF=GF.
∴BD=AG=2AF.
C层创新挑战(选做)
13.(运算能力、模型观念、推理能力)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上.
活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒.
数学思考:
(1)小棒能无限摆下去吗 答:__________　.(填“能”或“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3,θ=__________　;
活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1.
数学思考:
(3)若已经摆放了3根小棒,用含θ的式子表示θ3.
【解析】 (1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°),小棒两端分别落在两射线上,
∴小棒能继续摆下去.
答案:能
(2)∵A1A2=A2A3,A1A2⊥A2A3,
∴∠A2A1A3=45°,∴∠AA2A1+θ=45°,
∵∠AA2A1=θ,∴θ=22.5°.
答案:22.5°
(3)∵A1A2=AA1,
∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ,
∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ,∴θ1=2θ,
同理可得:θ2=3θ,θ3=4θ.

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