资源简介

　直角三角形(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　直角三角形的性质
1.如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D.若∠C=40°,则∠1的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.(2025·重庆质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=62°,D,E分别在AB,AC上,将△ADE沿DE折叠得到△FDE,且满足EF∥AB,则∠EDF= °.
3.(2025·哈尔滨期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D在AB边上,E在AC边上,AC=AD,∠B=2∠ADE,则∠EDC的大小为 .
4.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P.已知∠EPD=125°,求∠BAD的度数.
知识点2　勾股定理与逆定理
5.(2025·西安期中)如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,则BC的长为( )
A.18 B.21 C.20 D.23
6.三角形三边长为a,b,c,满足|a-4|++(c-3)2=0,则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
7.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.
(1)求AB的长;
(2)求△ACB的面积.
知识点3　互逆命题与互逆定理
8.下列说法不正确的是( )
A.任何命题都有逆命题
B.“三角形三个内角的和等于180°”是真命题
C.命题的逆命题不一定是正确的
D.每个定理都有逆定理
9.找出下列定理有哪些存在逆定理,把它填在横线上: .(填序号)
①长方形是平行四边形.
②内错角相等,两直线平行.
③如果x>y,那么x2>y2.
B层能力进阶
10. (2025·北京期末)已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,下列结论中,正确的是( )
①当a2+b2=c2时,则∠ACB=90°.
②当∠ACB=90°时,则a+b=c+h.
③当∠ACB=90°时,则+=.
④当∠ACB=90°时,则ab=ch.
A.①② B.①②④
C.①③④ D.①②③④
11.(2025·上海期中改编)下列说法正确的是( )
A.定理一定是命题,但不一定是真命题
B.真命题的逆命题一定是真命题
C.“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题
D.以上说法都不正确
12.已知a,b,c为三角形ABC的三边且满足a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,则三角形ABC的形状为 .
13. (2025·哈尔滨质检)如图,已知AB,CD相交于点O,AB=BC=4,CD=6,AD=2,
∠B=90°,求△BOC与△AOD的面积的差.
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E是AC上一点,延长BA至点D,使得AD=AE,连接DC.
(1)求证:BE⊥CD;
(2)若CE=2AE,BD=12,求△BEC的面积.
C层创新挑战(选做)
15. (推理能力、运算能力)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位长度的速度按照从A→B→A运动,同时点Q从B→C以每秒1个单位长度的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t s,若△BPQ为直角三角形,求t的值.　直角三角形(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　用“HL”证直角三角形全等
1.(2025·咸阳质检)如图,在△ABC和△DEF中,∠D=∠BAC=90°,点A在EF上,
AB=DE,BC=EF,则能直接判断△ABC≌△DEF的依据是(D)
A.SAS B.ASA C.AAS D.HL
2.如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠1+∠2的度数是(A)
A.45° B.50° C.40° D.35°
3. (2025·上饶期末)如图,∠C=∠D=90°,若利用HL证明△ABC≌△BAD,需添加的条件是　AC=BD(或BC=AD)　.(写出一种即可)
4.如图,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
【证明】∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABF与△DCE都为直角三角形,
在Rt△ABF和Rt△DCE中,
,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
知识点2　直角三角形全等判定的应用
5.根据下列条件,不能画出唯一确定的△ABC的是(C)
A.AB=3,BC=4,AC=6
B.AB=4,∠B=45°,∠A=60°
C.AB=4,BC=3,∠A=30°
D.∠C=90°,AB=8,AC=4
6.如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则在下列各组条件中选择一组,其中不能判定△ABE≌△DCF的是(D)
A.AB=DC,∠B=∠C
B.AB=DC,AB∥CD
C.AB=DC,BE=CF
D.AB=DF,BE=CF
7.(2025·上海期末)小明同学提出:用一把直尺就可以画出一个角的平分线.具体操作如下:首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合,沿着直尺的另一边画直线l(如图1);随后移动该直尺,把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合,沿着直尺的另一边画直线m(如图2),直线l与直线m交于点P,则射线OP就是∠AOB的平分线.请指出这种画法的依据是(请写本学期所学的数学知识):　HL　.
8.(2025·宜宾期中)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,BD与AC相交于点O,∠ADB=∠BCA=90°,则图中的全等三角形一共有　3　对.
B层能力进阶
9.(2025·天津中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B',C',B'C'的延长线与边BC相交于点D,连接CC'.若AC=4,CD=3,则线段CC'的长为(D)
A.　　　B.　　　C.4　　　D.
10.(2025·南阳期中)南阳光武大桥,建于2012年,南阳农运会的应景之作,四塔高耸,斜拉铁索,南阳首创,主要承担市区到南阳机场的交通任务,被称为“南阳之门”.其侧面示意图如图所示,其中AB⊥CD,现添加以下条件,仍不能判定△ABC≌△ABD的是(A)
A.∠ABC=∠ABD B.∠ACB=∠ADB
C.AC=AD D.BC=BD
11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP=　5或10　,△ABC与△APQ全等.
12.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠DAB的平分线交BC于点E,DE⊥AE,若AD=12,BC=8,求四边形ABCD的周长.
【解析】如图所示,延长AB,DE相交于点F,
∵∠DAB的平分线交BC于点E,
∴∠DAE=∠FAE,
∵DE⊥AE,∴∠AED=∠AEF=90°,
∵AE=AE,
∴△AED≌△AEF(ASA),
∴DE=EF,AD=AF,
∵AB∥DC,∴∠CDE=∠EFB,
在△DEC和△FEB中,,
∴△DEC≌△FEB(ASA),
∴DC=BF,
∵AB+DC=AB+BF=AF=12,
∴C四边形ABCD=AD+AB+BC+DC=AD+AF+BC=12+12+8=32.
C层创新挑战(选做)
13. (几何直观、推理能力)如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)∵∠1=∠2,∴ED=EC,
∵∠A=∠B=90°,
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL);
(2) AD2+BC2=2EM2,理由如下:
由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC,
∴∠AED=∠BCE,
∵∠A=∠B=90°,
∴∠BCE+∠CEB=90°,
∴∠AED+∠CEB=90°,
∴∠DEC=180°-90°=90°,
∵∠1=∠2,∴△DEC为等腰直角三角形,
∴∠1=∠2=45°,
∵M为DC中点,
∴∠DEM=∠CEM=∠DEC,EM⊥CD,
∴∠DEM=∠CEM=45°,∴EM=DM,
在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=AD2+BC2,
在Rt△EMD中,DE2=EM2+DM2=2EM2,
∴AD2+BC2=2EM2.　直角三角形(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　用“HL”证直角三角形全等
1.(2025·咸阳质检)如图,在△ABC和△DEF中,∠D=∠BAC=90°,点A在EF上,
AB=DE,BC=EF,则能直接判断△ABC≌△DEF的依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.HL
2.如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠1+∠2的度数是( )
A.45° B.50° C.40° D.35°
3. (2025·上饶期末)如图,∠C=∠D=90°,若利用HL证明△ABC≌△BAD,需添加的条件是 .(写出一种即可)
4.如图,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
知识点2　直角三角形全等判定的应用
5.根据下列条件,不能画出唯一确定的△ABC的是( )
A.AB=3,BC=4,AC=6
B.AB=4,∠B=45°,∠A=60°
C.AB=4,BC=3,∠A=30°
D.∠C=90°,AB=8,AC=4
6.如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则在下列各组条件中选择一组,其中不能判定△ABE≌△DCF的是( )
A.AB=DC,∠B=∠C
B.AB=DC,AB∥CD
C.AB=DC,BE=CF
D.AB=DF,BE=CF
7.(2025·上海期末)小明同学提出:用一把直尺就可以画出一个角的平分线.具体操作如下:首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合,沿着直尺的另一边画直线l(如图1);随后移动该直尺,把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合,沿着直尺的另一边画直线m(如图2),直线l与直线m交于点P,则射线OP就是∠AOB的平分线.请指出这种画法的依据是(请写本学期所学的数学知识): .
8.(2025·宜宾期中)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,BD与AC相交于点O,∠ADB=∠BCA=90°,则图中的全等三角形一共有 对.
B层能力进阶
9.(2025·天津中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B',C',B'C'的延长线与边BC相交于点D,连接CC'.若AC=4,CD=3,则线段CC'的长为( )
A.　　　B.　　　C.4　　　D.
10.(2025·南阳期中)南阳光武大桥,建于2012年,南阳农运会的应景之作,四塔高耸,斜拉铁索,南阳首创,主要承担市区到南阳机场的交通任务,被称为“南阳之门”.其侧面示意图如图所示,其中AB⊥CD,现添加以下条件,仍不能判定△ABC≌△ABD的是( )
A.∠ABC=∠ABD B.∠ACB=∠ADB
C.AC=AD D.BC=BD
11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= ,△ABC与△APQ全等.
12.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠DAB的平分线交BC于点E,DE⊥AE,若AD=12,BC=8,求四边形ABCD的周长.
C层创新挑战(选做)
13. (几何直观、推理能力)如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由.　直角三角形(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　直角三角形的性质
1.如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D.若∠C=40°,则∠1的度数是(C)
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.(2025·重庆质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=62°,D,E分别在AB,AC上,将△ADE沿DE折叠得到△FDE,且满足EF∥AB,则∠EDF=　76　°.
3.(2025·哈尔滨期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D在AB边上,E在AC边上,AC=AD,∠B=2∠ADE,则∠EDC的大小为　45°　.
4.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P.已知∠EPD=125°,求∠BAD的度数.
【解析】∵AD是BC边上的高线,∠EPD=125°,
∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°,
∵BE是一条角平分线,
∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°,
在Rt△ABD中,∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.
知识点2　勾股定理与逆定理
5.(2025·西安期中)如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,则BC的长为(B)
A.18 B.21 C.20 D.23
6.三角形三边长为a,b,c,满足|a-4|++(c-3)2=0,则这个三角形是(D)
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
7.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.
(1)求AB的长;
(2)求△ACB的面积.
【解析】(1)∵S△ABE=35,DE=7,DE⊥AB,
∴AB×7=35,解得AB=10;
(2)在△ABC中,AB2=102=100,BC2+AC2=62+82=100,则AB2=AC2+BC2,
∴∠C=90°,
∴S△ABC=AC·BC=×8×6=24.
知识点3　互逆命题与互逆定理
8.下列说法不正确的是(D)
A.任何命题都有逆命题
B.“三角形三个内角的和等于180°”是真命题
C.命题的逆命题不一定是正确的
D.每个定理都有逆定理
9.找出下列定理有哪些存在逆定理,把它填在横线上:　②　.(填序号)
①长方形是平行四边形.
②内错角相等,两直线平行.
③如果x>y,那么x2>y2.
B层能力进阶
10. (2025·北京期末)已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,下列结论中,正确的是(C)
①当a2+b2=c2时,则∠ACB=90°.
②当∠ACB=90°时,则a+b=c+h.
③当∠ACB=90°时,则+=.
④当∠ACB=90°时,则ab=ch.
A.①② B.①②④
C.①③④ D.①②③④
11.(2025·上海期中改编)下列说法正确的是(D)
A.定理一定是命题,但不一定是真命题
B.真命题的逆命题一定是真命题
C.“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题
D.以上说法都不正确
12.已知a,b,c为三角形ABC的三边且满足a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,则三角形ABC的形状为　直角三角形　.
13. (2025·哈尔滨质检)如图,已知AB,CD相交于点O,AB=BC=4,CD=6,AD=2,
∠B=90°,求△BOC与△AOD的面积的差.
【解析】
如图所示,连接AC,
在Rt△ABC中,AB=BC=4,
∴AC==4.
∵CD=6,AD=2,
∴CD2=36=AD2+AC2,
∴△ACD是直角三角形,
∴S△ABC=×4×4=8,S△ACD=×4×2=4,
∴S△ABC-S△ACD=S△BCO+S△ACO-S△AOD-S△ACO=S△BCO-S△AOD=8-4.
∴△BOC与△AOD的面积的差为8-4.
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E是AC上一点,延长BA至点D,使得AD=AE,连接DC.
(1)求证:BE⊥CD;
(2)若CE=2AE,BD=12,求△BEC的面积.
【解析】(1)如图,延长BE交CD于点H,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAC=180°-∠BAC=90°=∠BAE,∠ABE+∠AEB=90°,
在△DAC和△EAB中,
,
∴△DAC≌△EAB(SAS),
∴∠ABE=∠ACD,
∵∠ABE+∠AEB=90°,∠CEH=∠AEB,
∴∠CEH+∠ACD=90°,
∴∠EHC=90°,
∴BE⊥CD;
(2)∵∠BAC=90°,
∴AB⊥AC,
∵CE=2AE,BD=12,AB=AC,AD=AE,
∴BD=AB+AD=3AE+AD=4AD=12,
∴AD=AE=3,
∴AB=AC=3AE=9,CE=2AE=6,
∴S△BEC=AB·CE=×9×6=27.
C层创新挑战(选做)
15. (推理能力、运算能力)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位长度的速度按照从A→B→A运动,同时点Q从B→C以每秒1个单位长度的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t s,若△BPQ为直角三角形,求t的值.
【解析】①如图(1),当∠BQP=90°时,则∠BPQ=30°,BP=2BQ,
∵BP=12-3t,BQ=t,∴12-3t=2t,
解得t=;
②如图(2),当∠QPB=90°时,
∵∠B=60°,∴∠BQP=30°,∴BQ=2BP,
若0若4综上,t的值为,,.

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