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　线段的垂直平分线(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　线段垂直平分线的性质
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC=(C)
A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm
2.(2025·郑州质检)如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=15°,斜边BC的垂直平分线交边AB于点E,垂足为点D,如果AC=4,则BE=　8　.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,连接BD.
(1)若AC=6,则AE=__________;
(2)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵DM是AB的垂直平分线,AB=AC,
∴AE=AB=AC=3.
答案:3
(2)∵AE=6,DM是AB的垂直平分线,
∴AB=AC=2AE=12,AD=BD,
∴△CBD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=20,
∴BC=8,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+12+8=32.
知识点2　线段垂直平分线的判定
4.如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且BD+AD=BC,则点D在(A)
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.AB的垂直平分线上
5.(2025·商丘期末)如图,DA=DC,BA=BC=6.若∠ABC=60°,则AO的长为(A)
A.3 B.2 C. D.1
6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E,连接CE,若CD=,CE=4,则BE的长为　7　.
7. (2025·西安质检)如图所示,在△ABC中,D是AB上的一点,且AD=AC,DE∥BC,CD平分∠EDF,求证:AF垂直平分CD.
【证明】∵DE∥BC,
∴∠CDE=∠DCF,
∵CD平分∠EDF,
∴∠CDF=∠CDE,
∴∠CDF=∠DCF,
∴DF=CF,
∴点F在线段CD的垂直平分线上,
∵AD=AC,
∴点A在线段CD的垂直平分线上,
∴AF垂直平分CD.
B层能力进阶
8.(2025·毕节期中)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为点E,CD平分∠ACB,若∠A=48°,则∠B的度数为(C)
A.25° B.30° C.36° D.40°
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)在△ABC中,AB=AC,边AB的垂直平分线与边AC所在直线相交所得的锐角为50°,则∠C的度数为　70°或20°　.
10.(2025·太原质检)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=BC,AD=CD.连接AC,过点D作DE∥AB,分别交BC,AC于点E,F.若BC=6,DE=4,则CF的长为　2　.
11.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:△ACD≌△CBF;
(2)求证:AD⊥CF;
(3)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CBA=∠CAB=45°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠BDE=45°,
∵BF∥AC,
∴∠CBF=180°-∠ACB=90°,
∴∠CBF=∠ACD,
∴∠BFD=45°=∠BDE,
∴BF=DB,
∵D为BC的中点,
∴CD=DB,
∴BF=CD,
在△ACD和△CBF中,
,
∴△ACD≌△CBF(SAS).
(2)∵△ACD≌△CBF,
∴∠BCF=∠CAD,
∵∠BCF+∠GCA=90°,
∴∠CAD+∠GCA=90°,
∴∠AGC=90°,
∴AD⊥CF.
(3)△ACF是等腰三角形.理由如下:
∵BF=DB,DF⊥AB,
∴AB垂直平分DF,
∴AD=AF,
由(1)可知:△ACD≌△CBF,
∴CF=AD,∴CF=AF,
∴△ACF是等腰三角形.
C层创新挑战(选做)
12.(推理能力、几何直观)△ABC是等边三角形,D是三角形外一点,满足
∠ADB=60°,
(1)如图①,当点D在AC的垂直平分线上时,求证:AD+CD=BD;
(2)如图②,当点D不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
【解析】(1)∵点D在AC的垂直平分线上,
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA,∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠DAC=30°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAD=90°,
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°,
∴BD=2AD=AD+CD.
(2)成立.
理由:在DB上截取DE=AD,连接AE,
∵∠ADB=60°,∴△ADE是等边三角形,
∴AE=AD,∠EAD=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠BAE=∠CAD.
在△BAE和△CAD中,,
∴△BAE≌△CAD(SAS),∴BE=CD,
∴BD=DE+BE=AD+CD.　线段的垂直平分线(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　线段垂直平分线的性质
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC=( )
A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm
2.(2025·郑州质检)如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=15°,斜边BC的垂直平分线交边AB于点E,垂足为点D,如果AC=4,则BE= .
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,连接BD.
(1)若AC=6,则AE=__________;
(2)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.
知识点2　线段垂直平分线的判定
4.如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且BD+AD=BC,则点D在( )
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.AB的垂直平分线上
5.(2025·商丘期末)如图,DA=DC,BA=BC=6.若∠ABC=60°,则AO的长为( )
A.3 B.2 C. D.1
6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E,连接CE,若CD=,CE=4,则BE的长为 .
7. (2025·西安质检)如图所示,在△ABC中,D是AB上的一点,且AD=AC,DE∥BC,CD平分∠EDF,求证:AF垂直平分CD.
B层能力进阶
8.(2025·毕节期中)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为点E,CD平分∠ACB,若∠A=48°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30° C.36° D.40°
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)在△ABC中,AB=AC,边AB的垂直平分线与边AC所在直线相交所得的锐角为50°,则∠C的度数为 .
10.(2025·太原质检)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=BC,AD=CD.连接AC,过点D作DE∥AB,分别交BC,AC于点E,F.若BC=6,DE=4,则CF的长为 .
11.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:△ACD≌△CBF;
(2)求证:AD⊥CF;
(3)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
C层创新挑战(选做)
12.(推理能力、几何直观)△ABC是等边三角形,D是三角形外一点,满足
∠ADB=60°,
(1)如图①,当点D在AC的垂直平分线上时,求证:AD+CD=BD;
(2)如图②,当点D不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.　线段的垂直平分线(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　有关线段垂直平分线的尺规作图
1.(2025·宜宾期末)如图,在△ABC中,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于点P,Q,作直线PQ交AB于点D,连接CD.若∠A=36°,∠B=94°,则
∠BCD的度数为( )
A.10° B.14° C.20° D.24°
2.(2025·衡阳期末)如图,在△ABC中,按以下步骤:①分别以点B,C为圆心,大于BC长为半径作弧,两弧交于点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若AB=8,AC=4,则△ACD的周长是( )
A.20 B.16 C.12 D.10
3.如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交边AB于点E.若BE=4,则AE的长为 .
知识点2　三角形三边垂直平分线的性质
4.(新情境·生活应用)(2025·宜昌期末)如图,电信部门要在某区三个乡镇的中心A,B,C围成的△ABC区域内修建一个电视信号发射塔O,使得该发射塔O到三个乡镇中心A,B,C的距离相等,以下选址正确的是( )
5.如图,在△ABC中,∠A=70°,OD,OE分别是AB,AC的垂直平分线,则∠OCB的度数是 .
6. (2025·临汾期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,AD⊥BC,垂足为D,AC的垂直平分线交AC于点E,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:AF=BF;
(2)求∠FBD的度数.
B层能力进阶
7. (2025·天津质检)如图,△ABC是等边三角形,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AC于点E,F.再分别以E,F为圆心,大于EF长为半径画弧,两弧交于点D,连接BD交AC于点G,则下列结论中一定正确的是( )
A.∠ABG=30° B.∠ABE=15°
C.2BG=AB D.AE=EG
8.如图,在△ABC中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E.若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为( )
A.22 B.20 C.18 D.16
9.(2025·西安质检)如图,△ABC中,O为△ABC的三边垂直平分线的交点,若
∠A=60°,AB=4,AC=3,连接OB.则OB的长为 .
10.为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图所示).
(1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求:不写已知、求作,只保留作图痕迹.
(2)若两村之间的距离分别为AB=5 km,BC=5 km,AC=6 km,求医疗点P到B村的距离.
C层创新挑战(选做)
11.(几何直观、运算能力)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.
(1)如图1,若∠B=32°,∠C=36°,则∠EAN= °;
(2)如图1,若∠BAC=108°,求∠EAN的度数;
(3)如图2,若∠BAC=78°,求∠EAN的度数;
(4)通过以上的探索过程,直接写出∠EAN的度数与∠B,∠C的关系.　线段的垂直平分线(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　有关线段垂直平分线的尺规作图
1.(2025·宜宾期末)如图,在△ABC中,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于点P,Q,作直线PQ交AB于点D,连接CD.若∠A=36°,∠B=94°,则
∠BCD的度数为(B)
A.10° B.14° C.20° D.24°
2.(2025·衡阳期末)如图,在△ABC中,按以下步骤:①分别以点B,C为圆心,大于BC长为半径作弧,两弧交于点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若AB=8,AC=4,则△ACD的周长是(C)
A.20 B.16 C.12 D.10
3.如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交边AB于点E.若BE=4,则AE的长为　2　.
知识点2　三角形三边垂直平分线的性质
4.(新情境·生活应用)(2025·宜昌期末)如图,电信部门要在某区三个乡镇的中心A,B,C围成的△ABC区域内修建一个电视信号发射塔O,使得该发射塔O到三个乡镇中心A,B,C的距离相等,以下选址正确的是(B)
5.如图,在△ABC中,∠A=70°,OD,OE分别是AB,AC的垂直平分线,则∠OCB的度数是　20°　.
6. (2025·临汾期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,AD⊥BC,垂足为D,AC的垂直平分线交AC于点E,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:AF=BF;
(2)求∠FBD的度数.
【解析】(1)连接CF,
∵EF是AC的垂直平分线,
∴AF=CF,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴BF=CF,
∴AF=BF.
(2)∵AB=AC,∠BAC=50°,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=65°,
∵AD⊥BC,
∴∠CAF=∠BAC=25°,
∵AF=CF,
∴∠ACF=∠CAF=25°,
∴∠FBD=∠BCF=40°.
B层能力进阶
7. (2025·天津质检)如图,△ABC是等边三角形,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AC于点E,F.再分别以E,F为圆心,大于EF长为半径画弧,两弧交于点D,连接BD交AC于点G,则下列结论中一定正确的是(A)
A.∠ABG=30° B.∠ABE=15°
C.2BG=AB D.AE=EG
8.如图,在△ABC中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E.若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为(D)
A.22 B.20 C.18 D.16
9.(2025·西安质检)如图,△ABC中,O为△ABC的三边垂直平分线的交点,若
∠A=60°,AB=4,AC=3,连接OB.则OB的长为 　.
10.为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图所示).
(1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求:不写已知、求作,只保留作图痕迹.
(2)若两村之间的距离分别为AB=5 km,BC=5 km,AC=6 km,求医疗点P到B村的距离.
【解析】(1)如图:
(2)连接AP,BC,
设AC的垂直平分线交AC于点D.
∵AB=BC,PD是CA的垂直平分线,
∴BD与PD在一条直线上.
由(1)得出AP=BP,
∵AB=5 km,BC=5 km,AC=6 km,
∴AD=3 km,BD==4(km),
∴AP2=(4-BP)2+AD2,
即AP2=(4-AP)2+32,解得AP= km,
则医疗点P到B村的距离BP= km.
C层创新挑战(选做)
11.(几何直观、运算能力)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.
(1)如图1,若∠B=32°,∠C=36°,则∠EAN=　　　°;
(2)如图1,若∠BAC=108°,求∠EAN的度数;
(3)如图2,若∠BAC=78°,求∠EAN的度数;
(4)通过以上的探索过程,直接写出∠EAN的度数与∠B,∠C的关系.
【解析】(1)∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB,∴∠B=∠EAB,
同理∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=32°+36°=68°.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-68°=112°,
∴∠EAN=∠BAC-(∠EAB+∠CAN)=112°-68°=44°.
答案:44
(2)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,∴∠B=∠EAB,
同理∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC,
∴∠EAN=∠BAC-(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°=2×108°-180°=36°.
(3)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,
∴∠B=∠EAB,同理∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC,
∴∠EAN=∠EAB+∠CAN-∠BAC=180°-2∠BAC=180°-2×78°=24°.
(4)由(2)知当90°<∠BAC<180°时,∠EAN=2∠BAC-180°=2(180°-∠B-∠C)- 180°
=180°-2(∠B+∠C);
由(3)知当0°<∠BAC<90°时,∠EAN=180°-2∠BAC=180°-2(180°-∠B-∠C)=
2(∠B+∠C)-180°.

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