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　角平分线(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　三角形角平分线的性质
1.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,交CD于点E.若S△BCE=40,
BC=20,则DE的长为(D)
A.10 B.7 C.5 D.4
2.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E.△ABC的面积为12,AB=7,DE=2,则BC的长为(C)
A.7 B.6 C.5 D.4
3.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,若AB=8,OD=1,则△AOB的面积为　4　.
4.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为点M,N.求证:FE=FD.
【证明】如图,连接BF,
∵F是△ABC的角平分线交点,
∴BF也是角平分线,
∵FM⊥AB,
FN⊥BC,
∴MF=FN,∠DNF=∠EMF=90°,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°,
∴∠DAC=∠BAC=15°,∴∠CDA=75°,
∵∠NCF=∠ACB=45°,∠ABC=60°,
∴∠NFC=45°,∠MFN=120°,
∴∠MFE=15°,∴∠MEF=75°=∠NDF,
在△DNF和△EMF中,,
∴△DNF≌△EMF(AAS),∴FE=FD.
知识点2　三角形角平分线的应用
5.如图,三角形地块ABC中,边AB=40 m,AC=30 m,其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线.若三角形地块ABD的面积为320 m2,则三角形地块ACD的面积为(B)
A.120 m2 B.240 m2 C.400 m2 D.560 m2
6.青山村计划在一块周长为60 m的三角形闲置土地上挖一口水井,使得水井到土地边沿的距离相等,已知这块土地的面积是600 m2,那么这口水井到土地边沿的距离是(C)
A.5 m B.10 m C.20 m D.30 m
7.如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,连接AD,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若∠BAC=60°,AD=10,且DE=DF,则DE的长为　5　.
8.已知,Rt△ABC中,∠BAC=90°,请你用尺规在Rt△ABC的边AB上求作一点M,使得点M到BC的距离等于AM.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图,点M即为所求,
理由:过点M作MN⊥BC于点N,由作图知:CM平分∠ACB,
又∵∠BAC=90°,∴AM=MN,即点M到BC的距离等于AM.
B层能力进阶
9.(2025·武汉期末)如图,四边形ABDC中,对角线AD平分∠BAC,∠ACD=138°,
∠ACB+∠BCD=90°,则∠ADB的度数为(B)
A.42° B.48° C.50° D.53°
10.如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分
∠MNB,若MN=2,△PMN的面积是2,△OMN的面积是8,则OM+ON的长是　10　.
11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,有三条公路两两相交,要选择一地点建一座加油站,若要使加油站到三条公路的距离相等,则加油站的位置有　4　种选择.
12.(2025·厦门期末)如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,若AB=4,BC=5,S△ABC=9,则DE的长为　2　.
13.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C,点E在边BC上,AE平分∠BAD,DE平分
∠ADC.
(1)求证:BE=CE.
(2)若四边形ABCD的周长为20,面积为26,BE=2,则△ABE的边AB上高的长为__________.
【解析】(1)过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥AD于点G,EH⊥CD于点H,
∵AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,
∴EF=EG=EH,
在△BEF与△CEH中,
,
∴△BEF≌△CEH(AAS),
∴BE=CE.
(2)由(1)得,EF=EG=EH,
在Rt△AEF和Rt△AEG中,
,
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL),
∴AF=AG,
同理可得,DG=DH,
由(1)得,△BEF≌△CEH,
∴BF=CH,
设BF=CH=x,AF=AG=y,DG=DH=z,
∵四边形ABCD的周长为20,CE=BE=2,
∴x+y+y+z+z+x+2+2=20,
∴x+y+z=8,
∵四边形ABCD的面积为30,
∴(x+y)·EF+(y+z)·EG+(z+x)·EH=26,
整理得:(x+y+z)·EF=26,即8EF=26,
∴EF=3.25,
即△ABE的边AB上高的长为3.25.
答案:3.25
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、推理能力、运算能力)
【问题提出】
勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质,有着极其广泛的应用.它为几何图形和数量关系之间搭建起了一座桥梁,因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,
【新知初探】
(1)如图1,点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BC方向向点C运动,连接AP.当点P运动__________秒时,PA=PB.
【类比分析】
(2)如图2,当点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线BC方向运动,设运动的时间为t.
①当△ABP为等腰三角形时,求t的值;
②当△ABP为直角三角形时,求t的值;
【学以致用】
(3)如图2,当点P从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿BC-CA-AB方向运动,设运动的时间为t.若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值.
【解析】(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,
∴BC==8,
设PA=PB=x,
∴PC=8-x,
在Rt△APC中,由勾股定理得AP2=CP2+AC2,即x2=(8-x)2+62,
解得x=,
∴PB=,
∴点P运动秒时,PA=PB.
答案:
(2)①当AB=BP时,2t=10,
解得t=5;
当AB=AP时,BP=2BC=16,
解得2t=16,t=8;
当BP=AP时,由(1)得PB=,
∴BP=2t=,
解得t=;
综上,当△ABP为等腰三角形时,t的值为5或8或.
②当∠PAB=90°时,BP=2t,CP=2t-8,
在Rt△APC中,由勾股定理得AP2=CP2+AC2,
在Rt△APB中,BP2=AP2+AB2,
∴BP2=CP2+AC2+AB2,
即(2t)2=(2t-8)2+62+102,
解得t=;
当∠APB=90°时,P与C重合,则2t=8,
解得t=4;
综上,当△ABP为直角三角形时,t的值为或4.
(3)如图,作PE⊥AB,
∵点P恰好在∠CAB的平分线上,∠C=90°,
∴CP=PE,
∴△ACP≌△AEP,
∴AE=AC=6,BE=AB-AE=4,
由题意得PB=4t,PE=PC=8-4t,
由勾股定理得(4t)2=(8-4t)2+42,解得t=;
当点P运动到点A时,也在角平分线上,此时4t=8+6=14,t=.
综上,t的值为或.　角平分线(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　角平分线的性质定理
1.(2025·邢台期中)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足为A,PA=4,Q是射线OM上的一个动点,则线段PQ的最小值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为 .
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:△ADC≌△ADE.
(2)若CD=3,BD=5,求BE的长.
知识点2　角平分线的判定定理
4. (2025·佛山质检)两个完全一样的三角尺如图摆放,使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB,AC重合,它们的顶点重合于点M,则点M一定在( )
A.∠A的平分线上 B.AC边的高上
C.BC的中垂线上 D.AB的中线上
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,连接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P,若AD=DP,则∠C的度数为( )
A.55° B.35° C.60° D.80°
6.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,CE⊥AD,垂足为点E.如果CE=BC,∠CAD=18°,那么∠B= °.
7.(2025·成都质检)如图,BE,CE分别为△ABC的两个外角的角平分线,EP⊥AM于点P,EQ⊥AN于点Q,ED⊥BC于点D,求证:点E在∠NAM的平分线上.
B层能力进阶
8.(2025·合肥一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=3,AB=4,外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E,则AE的值是( )
A.5 B.6 C.8 D.10
9.(2025·泉州期末)如图,在△ABC中,点M,N为AC边上的两点,AB=BN,ND⊥BC于点D,且AM=NM=ND,若∠A=α,则∠C的大小为( )
A.α　 B.90°-α　 C.120°-α　 D.2α-90°
10. (2025·长春期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则①AD是∠BAC的平分线;②若∠B=30°,则∠ADC=60°;③AD=BD;④S△DAC∶S△DAB=AC∶AB.以上说法中正确的序号是 .
11.如图1,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.
探究:(1)如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.
(2)如图3,AD平分∠BAC,BD=DC,AC≠AB,求证:∠ABD+∠ACD=180°.
C层创新挑战(选做)
12.(推理能力、几何直观)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为△ABC内一点,∠EAD=90°,且AE=AD,连接CE,BD的延长线与CE交于点F.
(1)求证:BD=CE,BD⊥CE.
(2)如图2,连接AF,DC,已知∠BDC=135°.
①判断AF与DC的位置关系,并说明理由.
②当F是线段CE中点时,直接写出线段AD与线段BD的关系:____________________. 　角平分线(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　三角形角平分线的性质
1.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,交CD于点E.若S△BCE=40,
BC=20,则DE的长为( )
A.10 B.7 C.5 D.4
2.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E.△ABC的面积为12,AB=7,DE=2,则BC的长为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
3.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,若AB=8,OD=1,则△AOB的面积为 .
4.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为点M,N.求证:FE=FD.
知识点2　三角形角平分线的应用
5.如图,三角形地块ABC中,边AB=40 m,AC=30 m,其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线.若三角形地块ABD的面积为320 m2,则三角形地块ACD的面积为( )
A.120 m2 B.240 m2 C.400 m2 D.560 m2
6.青山村计划在一块周长为60 m的三角形闲置土地上挖一口水井,使得水井到土地边沿的距离相等,已知这块土地的面积是600 m2,那么这口水井到土地边沿的距离是( )
A.5 m B.10 m C.20 m D.30 m
7.如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,连接AD,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若∠BAC=60°,AD=10,且DE=DF,则DE的长为 .
8.已知,Rt△ABC中,∠BAC=90°,请你用尺规在Rt△ABC的边AB上求作一点M,使得点M到BC的距离等于AM.(保留作图痕迹,不写作法)
B层能力进阶
9.(2025·武汉期末)如图,四边形ABDC中,对角线AD平分∠BAC,∠ACD=138°,
∠ACB+∠BCD=90°,则∠ADB的度数为( )
A.42° B.48° C.50° D.53°
10.如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分
∠MNB,若MN=2,△PMN的面积是2,△OMN的面积是8,则OM+ON的长是 .
11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,有三条公路两两相交,要选择一地点建一座加油站,若要使加油站到三条公路的距离相等,则加油站的位置有 种选择.
12.(2025·厦门期末)如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,若AB=4,BC=5,S△ABC=9,则DE的长为 .
13.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C,点E在边BC上,AE平分∠BAD,DE平分
∠ADC.
(1)求证:BE=CE.
(2)若四边形ABCD的周长为20,面积为26,BE=2,则△ABE的边AB上高的长为__________.
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、推理能力、运算能力)
【问题提出】
勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质,有着极其广泛的应用.它为几何图形和数量关系之间搭建起了一座桥梁,因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,
【新知初探】
(1)如图1,点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BC方向向点C运动,连接AP.当点P运动__________秒时,PA=PB.
【类比分析】
(2)如图2,当点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线BC方向运动,设运动的时间为t.
①当△ABP为等腰三角形时,求t的值;
②当△ABP为直角三角形时,求t的值;
【学以致用】
(3)如图2,当点P从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿BC-CA-AB方向运动,设运动的时间为t.若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值.　角平分线(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　角平分线的性质定理
1.(2025·邢台期中)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足为A,PA=4,Q是射线OM上的一个动点,则线段PQ的最小值是(B)
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为　1　.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:△ADC≌△ADE.
(2)若CD=3,BD=5,求BE的长.
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DC=DE,
∵AD=AD,
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL).
(2)在Rt△BDE中,DE=CD=3,BD=5,∠BED=90°,
∴BE==4.
知识点2　角平分线的判定定理
4. (2025·佛山质检)两个完全一样的三角尺如图摆放,使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB,AC重合,它们的顶点重合于点M,则点M一定在(A)
A.∠A的平分线上 B.AC边的高上
C.BC的中垂线上 D.AB的中线上
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,连接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P,若AD=DP,则∠C的度数为(A)
A.55° B.35° C.60° D.80°
6.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,CE⊥AD,垂足为点E.如果CE=BC,∠CAD=18°,那么∠B=　72　°.
7.(2025·成都质检)如图,BE,CE分别为△ABC的两个外角的角平分线,EP⊥AM于点P,EQ⊥AN于点Q,ED⊥BC于点D,求证:点E在∠NAM的平分线上.
【证明】∵BE,CE分别为△ABC的两个外角的角平分线,EP⊥AM,EQ⊥AN,ED⊥BC,
∴EP=ED,EQ=ED,
∴EP=EQ,
又∵EP⊥AM,EQ⊥AN,
∴点E在∠NAM的平分线上.
B层能力进阶
8.(2025·合肥一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=3,AB=4,外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E,则AE的值是(B)
A.5 B.6 C.8 D.10
9.(2025·泉州期末)如图,在△ABC中,点M,N为AC边上的两点,AB=BN,ND⊥BC于点D,且AM=NM=ND,若∠A=α,则∠C的大小为(D)
A.α　 B.90°-α　 C.120°-α　 D.2α-90°
10. (2025·长春期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则①AD是∠BAC的平分线;②若∠B=30°,则∠ADC=60°;③AD=BD;④S△DAC∶S△DAB=AC∶AB.以上说法中正确的序号是　①②④　.
11.如图1,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.
探究:(1)如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.
(2)如图3,AD平分∠BAC,BD=DC,AC≠AB,求证:∠ABD+∠ACD=180°.
【证明】(1)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠F=∠DEB=90°.
∵∠B+∠ACD=180°,
∠ACD+∠FCD=180°,
∴∠B=∠FCD.
在△DFC和△DEB中,,
∴△DFC≌△DEB(AAS),
∴DC=DB.
(2)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中,,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
∴∠ABD=∠FCD.
∵∠DCF+∠ACD=180°,
∴∠ABD+∠ACD=180°.
C层创新挑战(选做)
12.(推理能力、几何直观)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为△ABC内一点,∠EAD=90°,且AE=AD,连接CE,BD的延长线与CE交于点F.
(1)求证:BD=CE,BD⊥CE.
(2)如图2,连接AF,DC,已知∠BDC=135°.
①判断AF与DC的位置关系,并说明理由.
②当F是线段CE中点时,直接写出线段AD与线段BD的关系:____________________.
【解析】(1)如图,设AC与BF交于点O,
∵∠BAC=90°,
∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
又∵∠AOB=∠COF,
∴∠BFC=∠BAC=90°,
∴BD⊥CE.
(2)①AF∥CD.
理由如下:
如图,作AG⊥BF于点G,AH⊥CE于点H,
由(1)知△ABD≌△ACE,
∴S△ABD=S△ACE,
∵BD=CE,
∴AG=AH,
又∵AG⊥BF,AH⊥CE,
∴AF平分∠BFE,
又∵∠BFE=90°,
∴∠AFD=45°,
∵∠BDC=135°,
∴∠FDC=45°,
∴∠AFD=∠FDC,
∴AF∥CD.
②连接DE.
∵∠EAD=90°,且AE=AD,
∴∠AED=∠ADE=45°,
∵∠BDC=135°,
∴∠CDF=45°,
由(1)知,BD⊥CE,
∵F是线段CE中点,
∴CD=DE,
∴∠EDF=∠CDF=45°,
∴∠ADF=90°,
∴AD⊥BD.
答案:AD⊥BD

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