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　一元一次不等式与一次函数(第2课时)
1.某通讯公司就上宽带推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示,则下列判断中,错误的是(D)
A.每月上网时间不足25 h时,选择A方式最省钱
B.每月上网费用为60元时,B方式可上网的时间比A方式多
C.每月上网时间为35 h时,选择B方式最省钱
D.每月上网时间超过70 h时,选择C方式最省钱
2.某通讯公司推出了①②两种收费方式,收费y1,y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,若使用①更加划算,通讯时间x(分钟)的取值范围是　x>300　.
3.某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用会员卡,另一种是使用租书卡,使用这两种卡租书,租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图所示,当租书时间为120天时,应使用　会员卡　比较合算.
4.为了美化环境,某小区需要购买甲、乙两种石材共7 000块.已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元.
(1)求购买甲、乙两种石材所需总费用y(元)与甲种石材数量x(块)的函数关系式.
(2)若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍.问:该小区购买甲种石材多少块时,所需总费用最少 求出最少费用.
【解析】(1)y=50x+150(7 000-x)=-100x+1 050 000.
(2)根据题意,得x≤2.5(7 000-x),解得x≤5 000,
∵-100<0,∴y随x的增大而减小,
∵x≤5 000,
∴当x=5 000时,y值最小,y最小=-100×5 000+1 050 000=550 000,
答:该小区购买甲种石材5 000块时,所需总费用最少,最少费用为550 000元.
5.我市“共富工坊”问海借力,某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产,公司提供了两种付给员工月报酬的方案,如图所示,员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题:
(1)直接写出员工生产多少件产品时,两种方案付给的报酬一样多;
(2)求方案二y关于x的函数表达式;
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员,你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.
【解析】(1)观察题图得:
方案一与方案二相交于点(30,1 200),∴员工生产30件产品时,两种方案付给的报酬一样多;
(2)设方案二的函数表达式为y=kx+b,
将点(0,600)、点(30,1 200)代入表达式中:
,解得,即方案二y关于x的函数表达式为y=20x+600;
(3)由两方案的图象交点(30,1 200)可知:若生产量x的取值范围为0若生产量x=30,则选择两个方案都可以,
若生产量x的取值范围为x>30,则选择方案一.
6.(2024·湖南中考)某村决定种植脐橙和黄金贡柚,助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价;
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵,总费用不超过38 000元,问最多可以购买脐橙树苗多少棵
【解析】 (1)设脐橙树苗的单价为x元,黄金贡柚树苗的单价为y元,
由题意得,解得,
答:脐橙树苗的单价为50元,黄金贡柚树苗的单价为30元;
(2)设可以购买脐橙树苗m棵,则购买黄金贡柚树苗(1 000-m)棵,
由题意得50m+30(1 000-m)≤38 000,
解得m≤400,
答:最多可以购买脐橙树苗400棵.
7.某学校计划购进A,B两种品牌的足球共50个,其中A品牌足球的价格为100元/个,购买B品牌足球所需费用y(单位:元)与购买数量x(单位:个)之间的关系如图所示.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)若购买B品牌足球的数量不超过30个,但不少于A品牌足球的数量,请设计购买方案,使购买总费用W(单位:元)最低,并求出最低费用.
【解析】(1)设当0≤x≤20时,y与x之间的函数关系式为y=kx,
∴20k=2 400,
解得k=120,即当0≤x≤20时,y与x之间的函数关系式为y=120x.
设当x>20时,y与x之间的函数关系式为y=ax+b,
∴,
解得,
即当x>20时,y与x之间的函数关系式为y=96x+480.
由上可得,y与x之间的函数关系式为
y=.
(2)设购买B品牌足球m个,则购买A品牌足球(50-m)个,
∴50-m≤m≤30,解得25≤m≤30,
∵W=100(50-m)+96m+480=-4m+5 480,
∴当m=30时,W取得最小值,此时W=-4×30+5 480=5 360,50-30=20,
答:当购买A品牌足球20个,B品牌足球30个时,总费用最低,最低费用是5 360元.
8.(推理能力、运算能力、应用意识)小明到服装店参加社会实践活动,服装店经理让小明帮助解决以下问题:
服装店准备购进甲、乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元;乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500,则甲种服装最多购进多少件
(2)在(1)的条件下,该服装店在“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a(0【解析】(1)设购进甲种服装x件,由题意可知:80x+60(100-x)≤7 500,解得x≤75,
答:甲种服装最多购进75件.
(2)设总利润为w元,因为甲种服装不少于65件,所以65≤x≤75,
w=(40-a)x+30(100-x)=(10-a)x+3 000,
方案1:当00,w随x的增大而增大,所以当x=75时,w有最大值,则购进甲种服装75件,乙种服装25件;
方案2:当a=10时,所有方案获利相同,所以按哪种方案进货都可以;
方案3:当10A层基础夯实
知识点1　利用一次函数解一元一次不等式
1.(2025·青岛质检)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,当y<2时,x的取值范围是( )
A.x>0 B.x<3
C.x<0 D.x>3
2.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则不等式kx+b≤0的解集是( )
A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2
3.如图,一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,若点A(1,2)在此图象上,则不等式kx+b>2的解集为( )
A.x>1 B.x<1
C.x>0 D.x<0
4.(2025·上海质检)当x>m时,函数y=x+1的图象都在x轴的上方,那么m的取值范围是 .
5.如图,直线y1=kx+b(k>0)与直线y2=mx+n(m<0)交于点A,当y16.(2025·合肥期中)如图所示,根据图中信息解答下列问题.
(1)求点P的坐标.
(2)当y1>y2时,x的取值范围是多少
(3)求S△APB.
知识点2　利用一元一次不等式与一次函数图象解决实际问题
7.已知甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式分别是y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,其图象如图所示.当所挂物体的质量均为2 kg时,甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为( )
A.y1>y2 B.y1=y2
C.y18.我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 .
B层能力进阶
9.如图,已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=x+b的图象交于点P.下面有四个结论:①a<0;②b<0;③当x>0时,y1>0;④当x<-2时,y1>y2.其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
10.(2025·徐州中考)如图为一次函数y=kx+b的图象,关于x的不等式k(x-3)+b<0的解集为( )
A.x<-4　 B.x>-4　 C.x<2 　D.x>2
11.已知一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2中,函数y1,y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示:
表1:
x … -6 -4 -3 …
y1 … -3 -1 0 …
表2:
x … -2 -1 1 …
y2 … 0 -1 -3 …
则关于x的不等式k1(x-1)+b1>k2x+b2的解集是 .
12.已知甲、乙两地相距90 km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车,图中DE,OC分别表示A,B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象求当B出发几小时后,A在B的前面
C层创新挑战(选做)
13.(应用意识、模型观念)随着科技的发展,扫地机器人(图1)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人,经统计该产品2024年每个月的销售情况发现,每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2024年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位:元),y与x的函数关系如图2所示(图中ABC为一折线).
(1)当1≤x≤10时,求每台的销售价格y与x之间的函数关系式;
(2)设该产品2024年第x个月的销售数量为m(单位:万台),m与x的关系可以用m=x+1来描述,求哪个月的销售收入最多,最多为多少万元.(销售收入=每台的销售价格×销售数量)　一元一次不等式与一次函数(第2课时)
1.某通讯公司就上宽带推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示,则下列判断中,错误的是( )
A.每月上网时间不足25 h时,选择A方式最省钱
B.每月上网费用为60元时,B方式可上网的时间比A方式多
C.每月上网时间为35 h时,选择B方式最省钱
D.每月上网时间超过70 h时,选择C方式最省钱
2.某通讯公司推出了①②两种收费方式,收费y1,y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,若使用①更加划算,通讯时间x(分钟)的取值范围是 .
3.某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用会员卡,另一种是使用租书卡,使用这两种卡租书,租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图所示,当租书时间为120天时,应使用 比较合算.
4.为了美化环境,某小区需要购买甲、乙两种石材共7 000块.已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元.
(1)求购买甲、乙两种石材所需总费用y(元)与甲种石材数量x(块)的函数关系式.
(2)若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍.问:该小区购买甲种石材多少块时,所需总费用最少 求出最少费用.
5.我市“共富工坊”问海借力,某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产,公司提供了两种付给员工月报酬的方案,如图所示,员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题:
(1)直接写出员工生产多少件产品时,两种方案付给的报酬一样多;
(2)求方案二y关于x的函数表达式;
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员,你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.
6.(2024·湖南中考)某村决定种植脐橙和黄金贡柚,助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价;
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵,总费用不超过38 000元,问最多可以购买脐橙树苗多少棵
7.某学校计划购进A,B两种品牌的足球共50个,其中A品牌足球的价格为100元/个,购买B品牌足球所需费用y(单位:元)与购买数量x(单位:个)之间的关系如图所示.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)若购买B品牌足球的数量不超过30个,但不少于A品牌足球的数量,请设计购买方案,使购买总费用W(单位:元)最低,并求出最低费用.
8.(推理能力、运算能力、应用意识)小明到服装店参加社会实践活动,服装店经理让小明帮助解决以下问题:
服装店准备购进甲、乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元;乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500,则甲种服装最多购进多少件
(2)在(1)的条件下,该服装店在“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a(0A层基础夯实
知识点1　利用一次函数解一元一次不等式
1.(2025·青岛质检)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,当y<2时,x的取值范围是(A)
A.x>0 B.x<3
C.x<0 D.x>3
2.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则不等式kx+b≤0的解集是(A)
A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2
3.如图,一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,若点A(1,2)在此图象上,则不等式kx+b>2的解集为(A)
A.x>1 B.x<1
C.x>0 D.x<0
4.(2025·上海质检)当x>m时,函数y=x+1的图象都在x轴的上方,那么m的取值范围是　m≥-　.
5.如图,直线y1=kx+b(k>0)与直线y2=mx+n(m<0)交于点A,当y16.(2025·合肥期中)如图所示,根据图中信息解答下列问题.
(1)求点P的坐标.
(2)当y1>y2时,x的取值范围是多少
(3)求S△APB.
【解析】(1)把(3,0)代入y2=-x+m中得-3+m=0,解得m=3,
∴y2=-x+3.
把(0,1)代入y1=x+n中得0+n=1,解得n=1,
∴y1=x+1.
联立,解得,
∴P(1,2).
(2)由题中函数图象可得,当y1>y2时,x>1.
(3) 令y1=0,则0=x+1,解得x=-1,
即A(-1,0),
∴AB=3-(-1)=4,
∴S△APB=AB·yP=×4×2=4.
知识点2　利用一元一次不等式与一次函数图象解决实际问题
7.已知甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式分别是y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,其图象如图所示.当所挂物体的质量均为2 kg时,甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为(A)
A.y1>y2 B.y1=y2
C.y18.我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是　250　.
B层能力进阶
9.如图,已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=x+b的图象交于点P.下面有四个结论:①a<0;②b<0;③当x>0时,y1>0;④当x<-2时,y1>y2.其中正确的是(D)
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
10.(2025·徐州中考)如图为一次函数y=kx+b的图象,关于x的不等式k(x-3)+b<0的解集为(C)
A.x<-4　 B.x>-4　 C.x<2 　D.x>2
11.已知一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2中,函数y1,y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示:
表1:
x … -6 -4 -3 …
y1 … -3 -1 0 …
表2:
x … -2 -1 1 …
y2 … 0 -1 -3 …
则关于x的不等式k1(x-1)+b1>k2x+b2的解集是　x>-2　.
12.已知甲、乙两地相距90 km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车,图中DE,OC分别表示A,B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象求当B出发几小时后,A在B的前面
【解析】设直线OC的表达式为s1=kt,
将(3,60)代入,得3k=60,k=20,
所以直线OC的表达式为s1=20t;
设直线DE的表达式为s2=mt+n,将(1,0),(3,90)代入,得,解得,
所以直线DE的表达式为s2=45t-45;
由题意,得45t-45>20t,解得t>,
即当B出发 h后,A在B的前面.
C层创新挑战(选做)
13.(应用意识、模型观念)随着科技的发展,扫地机器人(图1)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人,经统计该产品2024年每个月的销售情况发现,每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2024年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位:元),y与x的函数关系如图2所示(图中ABC为一折线).
(1)当1≤x≤10时,求每台的销售价格y与x之间的函数关系式;
(2)设该产品2024年第x个月的销售数量为m(单位:万台),m与x的关系可以用m=x+1来描述,求哪个月的销售收入最多,最多为多少万元.(销售收入=每台的销售价格×销售数量)
【解析】(1)当1≤x≤10时,设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
∵题中图象过A(1,2 850),B(10,1 500)两点,
∴,解得,
∴当1≤x≤10时,每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=-150x+3 000;
(2) (2)设销售收入为w万元,
①当1≤x≤10时,w=(-150x+3 000)(x+1)=-15(x-5)2+3 375,
∵-15<0,∴当x=5时,w最大=3 375;
②当10∵3 375>3 300,∴2024年第5个月的销售收入最多,最多为3 375万元.

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