资源简介

　图形的旋转(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　中心对称的性质
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是(D)
2.(2025·厦门质检)如图,四边形ABCD是正方形,E,F,G,H分别为各边的中点,HF与EG交于点O.下列三角形中,与△HAE成中心对称的是(A)
A.△FCG B.△GOF C.△FBE D.△HOG
3.如图,在△OAB中,A(-1,1),B(-2,1),若△ABO与△A1B1O1关于某点成中心对称,且A的对应点A1的坐标为(1,-1),则B的对应点B1的坐标为　(2,-1)　.
4.如图,在△ABC中,点D在AB上,E是AC的中点,连接DE,过点C作AB的平行线,交DE的延长线于点F.
(1)△ADE与△__________关于点__________成中心对称;
(2)写出图中相等的线段.
【解析】(1)∵E是AC的中点,∴AE=CE.
∵CF∥AB,
∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.
在△ADE和△CFE中,
,
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴DE=FE,AD=CF,
∴△ADE与△CFE关于点E成中心对称.
答案:CFE　E
(2)由(1)知,图中相等的线段有AE=CE,AD=CF,DE=FE.
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是CD上一点,点D与点C关于点E成中心对称,连接AE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)E是线段CD的__________,点A与点F关于点__________　　成中心对称;
(2)若AB=AD+BC,求证:△ABF是等腰三角形.
【解析】(1)∵点D与点C关于点E成中心对称,
∴E是线段CD的中点,DE=EC.
∵AD∥BC,∴∠D=∠DCF.
在△ADE与△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(ASA),
∴AE=FE,AD=CF,
∴点A与点F关于点E成中心对称.
答案:中点　E
(2)∵AB=AD+BC,BF=BC+CF=BC+AD,
∴AB=BF,
∴△ABF是等腰三角形.
知识点2　中心对称图形
6.(2025·辽宁中考)数学中有许多优美的曲线.下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
7.(2025·山东中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
8. (2025·营口期末)蛟龙去,灵蛇来.中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识,寓意“事事如意,生生不息”.“巳巳如意纹”是　中心对称　图形(填“轴对称”或“中心对称”).
B层能力进阶
9.(2025·内蒙古中考)下列汽车电子控制装置显示的图案中,是中心对称图形的为(B)
10.有下列关于中心对称的结论:①如果两个图形关于某点成中心对称,那么这两个图形一定可以重合;②如果两个图形关于某点成中心对称,那么对应点的连线必被该点平分;③如果两个图形的对应点的连线都经过某点,那么这两个图形关于该点对称;④如果两个图形可以重合,那么这两个图形关于某点成中心对称.其中,正确的是　①②　.(填序号)
11.(新趋势·材料阅读)阅读理解:我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称.
观察应用:
(1)如图,若点P1(0,-1),P2(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为　(1,1)　.
(2)在(1)的基础上另取两点B(-1,2),C(-1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A,B,C循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处……
①点P4,P5,P6的坐标分别为　(2,-1)　, 　(0,3)　,　(-2,1)　.
②点P2 024的坐标为　(2,3)　.
C层创新挑战(选做)
12.(抽象能力、模型观念)课外兴趣小组活动时,老师提出了以下问题:
如图1,△ABC中,若AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2解决问题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF>EF.
(2)如图3,若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
【解析】(1)如图,延长FD到点G,使DG=DF,连接EG,BG,
∵ED⊥DF,∴EF=EG.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在△BDG和△CDF中,,
∴△BDG≌△CDF(SAS),∴BG=CF.
∵BE+BG>EG,∴BE+CF>EF.
(2) 线段BE,CF,EF之间的等量关系为BE2+CF2=EF2.证明如下:
∵∠A=90°,∴∠ABC+∠ACB=90°.
如图,延长FD到点G,使DG=FD,连接EG,BG,
由(1)知,△BDG≌△CDF,EF=EG,
∴BG=CF,∠DBG=∠ACB,
∴∠ABC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,∴BE2+CF2=EF2.　图形的旋转(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　旋转的概念及性质
1.下列图形绕某点旋转90°后,能与原来图形重合的是( )
2.(2025·镇江期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转125°到△AB1C1的位置,这时点C,A,B1正好在同一条直线上,那么∠CBA的度数是( )
A.30° B.45° C.55° D.35°
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,BC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,使得旋转后点A的对应点A'恰好落在AB边上,连接BB',则BB'的长为( )
A.12 B.6 C.6 D.6
4.(2025·南通中考)在平面直角坐标系xOy中,将点A(3,1)绕原点O逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为( )
A.(3,-1) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-3,1)
5.如图,△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A'B'C',则根据图形旋转的性质可得 .(写出两条即可)
知识点2　确定旋转中心
6.如图,三角形②,③是由三角形①依次旋转后得到的图形.
(1)在图中标出旋转中心P的位置;
(2)在图中画出按规律再次旋转后的三角形④.
知识点3　旋转作图
7.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中,△ABC的顶点分别在格点上,以点C为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转90°,请在方格纸中画出旋转后的△A'B'C.
8.(2025·宿迁期中)如图,在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均在格点(网格线的交点)上.
(1)将△ABC先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到△A1B1C1,请在图1中画出△A1B1C1;若连接AA1,BB1,则AA1,BB1的关系是_________________.
(2)将△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2,请在图2中画出△A2B2C2.
B层能力进阶
9.(2025·天津一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,把Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC,点A,B的对应点分别为点D,E,DE的延长线与AB相交于点F,连接BE,则下列结论一定正确的是( )
A.BE=AE B.∠ABC=∠BEF
C.AE+BC=ED D.DF⊥AB
10.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点B旋转得到△DBE,使点D落在AC边上,DE,BC相交于点F.设∠BAC=α,∠BFD=β,则下列关系正确的是( )
A.α+β=150° B.2α+β=230°
C.α+β=270° D.3α+β=300°
11.如图,在等边△ABC中,AB=6,点P是边BC上的动点,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点D是AC边的中点,连接DQ,则DQ的最小值是 .
12.(2025·泰州期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,点D是AC的中点,点P是BC上一动点,连接PD,将线段PD绕点P顺时针旋转,使点D的对应点E落在AB上,连接DE.若△ADE为直角三角形,则PC的长为 .
C层创新挑战(选做)
13.(推理能力、运算能力)(2025·重庆期中)如图,平面直角坐标系中,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-4,0),C(0,0).
(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1,并直接写出点C1的坐标;
(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2O;
(3)在y轴上求作一点P,使得PA+PA2的值最小,请求出PA+PA2的最小值及此时点P的坐标.　图形的旋转(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　中心对称的性质
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是( )
2.(2025·厦门质检)如图,四边形ABCD是正方形,E,F,G,H分别为各边的中点,HF与EG交于点O.下列三角形中,与△HAE成中心对称的是( )
A.△FCG B.△GOF C.△FBE D.△HOG
3.如图,在△OAB中,A(-1,1),B(-2,1),若△ABO与△A1B1O1关于某点成中心对称,且A的对应点A1的坐标为(1,-1),则B的对应点B1的坐标为 .
4.如图,在△ABC中,点D在AB上,E是AC的中点,连接DE,过点C作AB的平行线,交DE的延长线于点F.
(1)△ADE与△__________关于点__________成中心对称;
(2)写出图中相等的线段.
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是CD上一点,点D与点C关于点E成中心对称,连接AE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)E是线段CD的__________,点A与点F关于点__________ 成中心对称;
(2)若AB=AD+BC,求证:△ABF是等腰三角形.
知识点2　中心对称图形
6.(2025·辽宁中考)数学中有许多优美的曲线.下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
7.(2025·山东中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
8. (2025·营口期末)蛟龙去,灵蛇来.中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识,寓意“事事如意,生生不息”.“巳巳如意纹”是 图形(填“轴对称”或“中心对称”).
B层能力进阶
9.(2025·内蒙古中考)下列汽车电子控制装置显示的图案中,是中心对称图形的为( )
10.有下列关于中心对称的结论:①如果两个图形关于某点成中心对称,那么这两个图形一定可以重合;②如果两个图形关于某点成中心对称,那么对应点的连线必被该点平分;③如果两个图形的对应点的连线都经过某点,那么这两个图形关于该点对称;④如果两个图形可以重合,那么这两个图形关于某点成中心对称.其中,正确的是 .(填序号)
11.(新趋势·材料阅读)阅读理解:我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称.
观察应用:
(1)如图,若点P1(0,-1),P2(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为 .
(2)在(1)的基础上另取两点B(-1,2),C(-1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A,B,C循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处……
①点P4,P5,P6的坐标分别为 , , .
②点P2 024的坐标为 .
C层创新挑战(选做)
12.(抽象能力、模型观念)课外兴趣小组活动时,老师提出了以下问题:
如图1,△ABC中,若AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2解决问题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF>EF.
(2)如图3,若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.　图形的旋转(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　旋转的概念及性质
1.下列图形绕某点旋转90°后,能与原来图形重合的是(B)
2.(2025·镇江期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转125°到△AB1C1的位置,这时点C,A,B1正好在同一条直线上,那么∠CBA的度数是(D)
A.30° B.45° C.55° D.35°
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,BC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,使得旋转后点A的对应点A'恰好落在AB边上,连接BB',则BB'的长为(D)
A.12 B.6 C.6 D.6
4.(2025·南通中考)在平面直角坐标系xOy中,将点A(3,1)绕原点O逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为(B)
A.(3,-1) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-3,1)
5.如图,△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A'B'C',则根据图形旋转的性质可得　OA=OA'　OB=OB'　OC=OC'　∠AOA'=∠BOB'=∠COC'(任意两条均可)　.(写出两条即可)
知识点2　确定旋转中心
6.如图,三角形②,③是由三角形①依次旋转后得到的图形.
(1)在图中标出旋转中心P的位置;
(2)在图中画出按规律再次旋转后的三角形④.
【解析】(1)旋转中心P的位置如图所示;
(2)再次旋转后的三角形④如图所示.
知识点3　旋转作图
7.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中,△ABC的顶点分别在格点上,以点C为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转90°,请在方格纸中画出旋转后的△A'B'C.
【解析】△A'B'C如图所示.
8.(2025·宿迁期中)如图,在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均在格点(网格线的交点)上.
(1)将△ABC先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到△A1B1C1,请在图1中画出△A1B1C1;若连接AA1,BB1,则AA1,BB1的关系是_________________.
(2)将△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2,请在图2中画出△A2B2C2.
【解析】(1)如图1,△A1B1C1即为所求.
由平移的性质得,AA1,BB1的关系是平行且相等.
答案:平行且相等
(2)如图2,△A2B2C2即为所求.
B层能力进阶
9.(2025·天津一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,把Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC,点A,B的对应点分别为点D,E,DE的延长线与AB相交于点F,连接BE,则下列结论一定正确的是(D)
A.BE=AE B.∠ABC=∠BEF
C.AE+BC=ED D.DF⊥AB
10.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点B旋转得到△DBE,使点D落在AC边上,DE,BC相交于点F.设∠BAC=α,∠BFD=β,则下列关系正确的是(C)
A.α+β=150° B.2α+β=230°
C.α+β=270° D.3α+β=300°
11.如图,在等边△ABC中,AB=6,点P是边BC上的动点,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点D是AC边的中点,连接DQ,则DQ的最小值是 　.
12.(2025·泰州期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,点D是AC的中点,点P是BC上一动点,连接PD,将线段PD绕点P顺时针旋转,使点D的对应点E落在AB上,连接DE.若△ADE为直角三角形,则PC的长为　2或6　.
C层创新挑战(选做)
13.(推理能力、运算能力)(2025·重庆期中)如图,平面直角坐标系中,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-4,0),C(0,0).
(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1,并直接写出点C1的坐标;
(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2O;
(3)在y轴上求作一点P,使得PA+PA2的值最小,请求出PA+PA2的最小值及此时点P的坐标.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求,C1(5,1);
(2)如图,△A2B2O即为所求;
(3)如图,点P即为所求,
根据两点之间,线段最短可得,PA+PA2的最小值为PA2+PA3,即A2A3的长.
由图可得,A2(-3,-1),A3(1,3),
∴A2A3==4,
即PA+PA2的最小值为4.
设直线A2A3的表达式为y=kx+b,
把A2(-3,-1),A3(1,3)代入表达式得,
,解得,
∴直线A2A3的表达式为y=x+2.
当x=0时,y=2,
∴点P的坐标为(0,2).

展开更多......

收起↑