资源简介

　因式分解
A层基础夯实
知识点1　因式分解的概念
1.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是(B)
A.-6ab2c3=-abc·6bc2
B.4a2-1=(2a+1)(2a-1)
C.a(a-3b)=a2-3ab
D.a2+2a+1=a(a+2)+1
2.下列各式中,是整式乘法的是　①②　,是因式分解的是　③④　.(填序号)
①(5a-1)2=25a2-10a+1;
②(a-6)(a+6)=a2-36;
③m2-4=(m+2)(m-2);
④2xy-2xz=2x(y-z).
3.下列各式从左到右的变形,请说出哪些是因式分解 哪些不是因式分解
(1)(x+1)(x-2)=x2-x-2;
(2)x2+2x+3=(x+1)2+2;
(3)3xy2-9xy+6x=3x(y-1)(y-2);
(4)4x2+12xy+9y2=(2x+3y)2.
【解析】(1)(x+1)(x-2)=x2-x-2,是整式的乘法,不是因式分解;
(2)x2+2x+3=(x+1)2+2,最后结果不是几个整式的积,不是因式分解;
(3)3xy2-9xy+6x=3x(y-1)(y-2),是因式分解;
(4)4x2+12xy+9y2=(2x+3y)2,是因式分解.
知识点2　因式分解与整式乘法的关系
4.把x2-4x+c分解因式得(x-5)(x+1),则常数c的值为(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.-4 C.5 D.-5
5.(2025·昭通期末)若多项式x2+mx+n能因式分解为(x-2)(x+3),则mn的值是(C)
A.-1 B.1 C.-6 D.6
6.(2025·上海期末)一个整式可因式分解为(2a+1)(a-1),那么这个整式是　2a2-a-1　.
7.在分解因式x2+ax+b时,小明看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);小张看错了a,分解结果为(x-1)(x-9),求a,b的值.
【解析】∵(x+2)(x+4)=x2+6x+8,小明看错了b,∴a=6,
∵(x-1)(x-9)=x2-10x+9,小张看错了a,∴b=9,∴a=6,b=9.
B层能力进阶
8.若x2+mx-18能分解为(x-9)(x+n),那么m,n的值是(B)
A.7,2 B.-7,2 C.-7,-2 D.7,-2
9.已知x2+kx+6有一个因式为(x-3),则k的值为(D)
A.1 B.-1 C.5 D.-5
10.如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为a厘米的大正方形,2块是边长为b厘米的小正方形,5块是长为a厘米,宽为b厘米的相同的小长方形,且a>b.观察图形,可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解为　(2a+b)(a+2b)　.
11.通过计算说明255+511能被30整除.
【解析】∵255+511
=(52)5+511
=510+5×510
=5×59+25×59
=59(5+25)
=30×59,
∴255+511能被30整除.
12.(新考向·过程性学习)仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为x+n,得x2+5x+m=(x+2)(x+n),则x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n,解得n=3,m=6.∴另一个因式为x+3,m=6.
问题:仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式3x2+4x-k有一个因式是(x-5),求另一个因式以及k的值.
【解析】设另一个因式为(3x+a),得:
3x2+4x-k=(x-5)(3x+a),
则3x2+4x-k=3x2+(a-15)x-5a,
∴,
解得a=19,k=95,
∴另一个因式为(3x+19),k的值为95.
C层创新挑战(选做)
13.(推理能力、运算能力)
【例题讲解】因式分解x3-1.
∵x3-1为三次二项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次二项式和一个二次三项式的乘积.故我们可以猜想x3-1=(x-1)(x2+ax+b),
展开等式右边得:x3+(a-1)x2+(b-a)x-b,
∴x3-1=x3+(a-1)x2+(b-a)x-b恒成立.
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等,即,解得,
∴x3-1=(x-1)(x2+x+1).
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值,这种方法叫待定系数法.
【学以致用】
(1)若x2-mx-12=(x+3)(x-4),则m=__________　;
(2)若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1,求k的值及另一个因式.
【解析】(1)∵x2-mx-12=(x+3)(x-4),
∴x2-mx-12=x2-x-12,∴m=1.
答案:1
(2)设多项式x3+3x2-3x+k另一个因式为(x2+ax+b),
则x3+3x2-3x+k=(x+1)(x2+ax+b)=x3+(a+1)x2+(a+b)x+b,
∴a+1=3,a+b=-3,b=k,
∴a=2,b=-5,
∴k=-5,即另一个因式为x2+2x-5.　因式分解
A层基础夯实
知识点1　因式分解的概念
1.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.-6ab2c3=-abc·6bc2
B.4a2-1=(2a+1)(2a-1)
C.a(a-3b)=a2-3ab
D.a2+2a+1=a(a+2)+1
2.下列各式中,是整式乘法的是 ,是因式分解的是 .(填序号)
①(5a-1)2=25a2-10a+1;
②(a-6)(a+6)=a2-36;
③m2-4=(m+2)(m-2);
④2xy-2xz=2x(y-z).
3.下列各式从左到右的变形,请说出哪些是因式分解 哪些不是因式分解
(1)(x+1)(x-2)=x2-x-2;
(2)x2+2x+3=(x+1)2+2;
(3)3xy2-9xy+6x=3x(y-1)(y-2);
(4)4x2+12xy+9y2=(2x+3y)2.
知识点2　因式分解与整式乘法的关系
4.把x2-4x+c分解因式得(x-5)(x+1),则常数c的值为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.-4 C.5 D.-5
5.(2025·昭通期末)若多项式x2+mx+n能因式分解为(x-2)(x+3),则mn的值是( )
A.-1 B.1 C.-6 D.6
6.(2025·上海期末)一个整式可因式分解为(2a+1)(a-1),那么这个整式是 .
7.在分解因式x2+ax+b时,小明看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);小张看错了a,分解结果为(x-1)(x-9),求a,b的值.
B层能力进阶
8.若x2+mx-18能分解为(x-9)(x+n),那么m,n的值是( )
A.7,2 B.-7,2 C.-7,-2 D.7,-2
9.已知x2+kx+6有一个因式为(x-3),则k的值为( )
A.1 B.-1 C.5 D.-5
10.如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为a厘米的大正方形,2块是边长为b厘米的小正方形,5块是长为a厘米,宽为b厘米的相同的小长方形,且a>b.观察图形,可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解为 .
11.通过计算说明255+511能被30整除.
12.(新考向·过程性学习)仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为x+n,得x2+5x+m=(x+2)(x+n),则x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n,解得n=3,m=6.∴另一个因式为x+3,m=6.
问题:仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式3x2+4x-k有一个因式是(x-5),求另一个因式以及k的值.
C层创新挑战(选做)
13.(推理能力、运算能力)
【例题讲解】因式分解x3-1.
∵x3-1为三次二项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次二项式和一个二次三项式的乘积.故我们可以猜想x3-1=(x-1)(x2+ax+b),
展开等式右边得:x3+(a-1)x2+(b-a)x-b,
∴x3-1=x3+(a-1)x2+(b-a)x-b恒成立.
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等,即,解得,
∴x3-1=(x-1)(x2+x+1).
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值,这种方法叫待定系数法.
【学以致用】
(1)若x2-mx-12=(x+3)(x-4),则m=__________ ;
(2)若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1,求k的值及另一个因式.

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