资源简介

　公式法
A层基础夯实
知识点1　运用平方差公式因式分解
1.下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是(B)
A.x2+4 B.x2-1
C.x+9 D.x2-6x
2.已知a2-b2=15,a-b=3,则a,b的值分别为(A)
A.4,1 B.4,-1
C.-4,1 D.-4,-1
3.分解因式:(1)(2025·晋中二模)x2-16y2=　(x+4y)(x-4y)　.
(2)(2025·淮安一模)a2b2-1=　(ab+1)(ab-1)　.
4.分解因式:
(1)x2-25;
(2)a2-4b2;
(3)16-x2;
(4)9a2-b2;
(5)(x-1)2-9.
【解析】(1)原式=(x+5)(x-5);
(2)原式=(a+2b)(a-2b);
(3)原式=(4+x)(4-x);
(4)原式=(3a)2-b2=(3a+b)(3a-b);
(5)原式=(x-1+3)(x-1-3)
=(x+2)(x-4).
知识点2　运用完全平方公式因式分解
5.(2025·泉州期末)小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2=(x+2y)2”时,墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了,则墨迹覆盖的这一项是(A)
A.+4xy B.+2xy
C.-4xy D.-2xy
6.(2025·泰安期末)下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是(B)
A.x2-x+0.25 B.16a2+4a+1
C.a2+4ab+4b2 D.a2-2a+1
7.分解因式:(1)x2-6x+9=　(x-3)2　.
(2)x2-4xy+4y2=　(x-2y)2　.
8.因式分解下列各题:
(1)a2-4ab+4b2.
(2)(m-n)2-6(n-m)+9.
【解析】(1)原式=(a-2b)2.
(2)(m-n)2-6(n-m)+9
=(m-n)2+6(m-n)+9
=[(m-n)+3]2
=(m-n+3)2.
知识点3　综合运用提公因式法和公式法因式分解
9.(2025·烟台中考)因式分解:2x2-12xy+18y2=　2(x-3y)2　.
10.因式分解:
(1)x3y-12x2y+36xy;
(2)3ax2+6ax+3a.
【解析】(1)原式=xy(x2-12x+36)=xy(x-6)2;
(2)原式=3a(x2+2x+1)=3a(x+1)2.
B层能力进阶
11.若x2+(m-3)x+4能用完全平方公式进行因式分解,则常数m的值为(B)
A.1或5 B.7或-1 C.5 D.1
12.(2025·天津期末)对于任何整数x,多项式(4x+5)2-9一定能(A)
A.被8整除 B.被x整除
C.被9整除 D.被(x-1)整除
13.(2025·孝感期末)计算2 0252-2 0242的结果为(D)
A.1 B.2 025 C.2 024 D.4 049
14.因式分解:
(1)-a4+16=　-(a2+4)(a+2)(a-2)　.
(2)(2025·淄博一模)(m+n)2-4(m+n)+4=　(m+n-2)2　.
(3)(x+1)(x+5)+4=　(x+3)2　.
(4)(2025·上海质检)1-x2+2xy-y2=　(1-x+y)(1+x-y)　.
15.分解因式:
(1)a2(x-y)+b2(y-x).
(2)-4a2b2.
(3)2(x2-)-x4.
(4)(m2+m)2-(7m+16)2.
【解析】(1)a2(x-y)+b2(y-x)
=(x-y)(a2-b2)
=(x-y)(a+b)(a-b).
(2)-4a2b2
=+2a2b2+-4a2b2
=-2a2b2+
=
=(a+b)2(a-b)2.
(3)2(x2-)-x4
=2x2-1-x4
=-(x4-2x2+1)
=-(x2-1)2
=-(x+1)2(x-1)2.
(4)(m2+m)2-(7m+16)2
=(m2+m+7m+16)(m2+m-7m-16)
=(m2+8m+16)(m2-6m-16)
=(m+4)2(m+2)(m-8).
C层创新挑战(选做)
16.(运算能力、推理能力、应用意识)我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值.
x2+6x+5=x2+2·x·3+32-32+5=(x+3)2-4,
∵(x+3)2≥0,
∴(x+3)2-4≥-4,
∴当x=-3时,x2+6x+5有最小值,最小值为-4.
请根据上述方法,解答下列问题.
(1)求代数式x2-4x+1的最小值;
(2)求证:无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.
【解析】(1)x2-4x+1
=(x2-4x+4)-3
=(x-2)2-3,
∵(x-2)2≥0,
∴(x-2)2-3≥-3,
∴当x=2时,x2-4x+1有最小值,最小值为-3.
(2)∵2x2+10y2-6xy-6x-2y+11
=y2-2y+1+x2-6x+9+x2-6xy+9y2+1
=(y-1)2+(x-3)2+(x-3y)2+1,
∵(y-1)2≥0,(x-3)2≥0,(x-3y)2≥0,
∴(y-1)2+(x-3)2+(x-3y)2+1≥1,
∴2x2+10y2-6xy-6x-2y+11≥1,
∴无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.　公式法
A层基础夯实
知识点1　运用平方差公式因式分解
1.下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是( )
A.x2+4 B.x2-1
C.x+9 D.x2-6x
2.已知a2-b2=15,a-b=3,则a,b的值分别为( )
A.4,1 B.4,-1
C.-4,1 D.-4,-1
3.分解因式:(1)(2025·晋中二模)x2-16y2= .
(2)(2025·淮安一模)a2b2-1= .
4.分解因式:
(1)x2-25;
(2)a2-4b2;
(3)16-x2;
(4)9a2-b2;
(5)(x-1)2-9.
知识点2　运用完全平方公式因式分解
5.(2025·泉州期末)小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2=(x+2y)2”时,墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了,则墨迹覆盖的这一项是( )
A.+4xy B.+2xy
C.-4xy D.-2xy
6.(2025·泰安期末)下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是( )
A.x2-x+0.25 B.16a2+4a+1
C.a2+4ab+4b2 D.a2-2a+1
7.分解因式:(1)x2-6x+9= .
(2)x2-4xy+4y2= .
8.因式分解下列各题:
(1)a2-4ab+4b2.
(2)(m-n)2-6(n-m)+9.
知识点3　综合运用提公因式法和公式法因式分解
9.(2025·烟台中考)因式分解:2x2-12xy+18y2= .
10.因式分解:
(1)x3y-12x2y+36xy;
(2)3ax2+6ax+3a.
B层能力进阶
11.若x2+(m-3)x+4能用完全平方公式进行因式分解,则常数m的值为( )
A.1或5 B.7或-1 C.5 D.1
12.(2025·天津期末)对于任何整数x,多项式(4x+5)2-9一定能( )
A.被8整除 B.被x整除
C.被9整除 D.被(x-1)整除
13.(2025·孝感期末)计算2 0252-2 0242的结果为( )
A.1 B.2 025 C.2 024 D.4 049
14.因式分解:
(1)-a4+16= .
(2)(2025·淄博一模)(m+n)2-4(m+n)+4= .
(3)(x+1)(x+5)+4= .
(4)(2025·上海质检)1-x2+2xy-y2= .
15.分解因式:
(1)a2(x-y)+b2(y-x).
(2)-4a2b2.
(3)2(x2-)-x4.
(4)(m2+m)2-(7m+16)2.
C层创新挑战(选做)
16.(运算能力、推理能力、应用意识)我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值.
x2+6x+5=x2+2·x·3+32-32+5=(x+3)2-4,
∵(x+3)2≥0,
∴(x+3)2-4≥-4,
∴当x=-3时,x2+6x+5有最小值,最小值为-4.
请根据上述方法,解答下列问题.
(1)求代数式x2-4x+1的最小值;
(2)求证:无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.

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