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　分式方程(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　分式方程的识别
1.(2025·上海质检)下列方程中,属于分式方程的是( )
A.=2 B.=
C. D.xy-1=0
2.下列方程中,哪些是分式方程 哪些是整式方程
(1)=;　　　(2)=;
(3)=x;(4)=;
(5)-3=;(6)2x=1.
知识点2　解分式方程
3.分式方程=-2的解是( )
A.x=6　　B.x=2　　C.x=0　　D.无解
4.(1)(2025·长沙中考)分式方程=的解为 .
　(2)(2025·北京中考)方程+=0的解为 .
5.解方程:
(1)(2025·镇江中考)=.
(2)(2025·连云港中考)=.
6.(2025·广东中考)在解分式方程=-2时,小李的解法如下:
第一步:·=-·-2, 第二步:1-x=-1-2, 第三步:-x=-1-2-1, 第四步:x=4. 第五步:检验:当x=4时,x-2≠0. 第六步:∴原分式方程的解为x=4.
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过程.
知识点3　已知分式方程根的情况求待定字母的值或取值范围
7.若分式方程=有增根x=5,那么k的值为( )
A.2　　B.5　　C.3　　D.-3
8.若关于x的方程=3的解是负数,则m的取值范围是 .
9.(2025·上海质检)已知关于x的方程-=,若方程有增根,求k的值.
B层能力进阶
10.在下列方程中,关于x的分式方程有( )
①x2-x+4=0;②=4;③=4;
④=1;⑤=6;⑥+=2.
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
11.已知关于x的分式方程+3=的解为正数,则负整数m的和为( )
A.-8　　B.-9　　C.-10　　D.-11
12.解方程:(1)-1=.
(2)-=0.
C层创新挑战(选做)
13.(运算能力、推理能力)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4,且关于y的分式方程-=1的解均为负整数,求所有满足条件的整数a的值之和.　分式方程(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　工程问题
1.新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一.甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务,甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同,设乙队单独完成此项任务需要x天,则可列方程为(B)
A.= B.=
C.= D.=
2.(2025·绵阳一模)在新农村建设中,某乡镇决定对一段长6 000 m的乡村道路进行改造.根据需要该工程实际施工时增加了施工人员,每天改造的道路比原计划增加了50%,结果提前4天完成任务,则原计划每天改造道路　500 m　.
3.为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
【解析】设乙组同学平均每小时包x个粽子,则甲组同学平均每小时包(x+20)个粽子,
根据题意得=,解得x=80,
经检验,x=80是原方程的解,且符合题意,
∴x+20=100.
答:甲组同学平均每小时包100个粽子,乙组同学平均每小时包80个粽子.
知识点2　行程问题
4.随着全球经济发展,环境保护受到国家的重视.李老师购置了电动汽车,他驾车上班比乘公交车少用了12分钟,李老师家到学校的距离为8千米.已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍,若设公交车平均每小时行驶x千米,则可列方程为(D)
A.+12= B.=+12
C.+= D.=+
5.(2025·南阳质检)电动车每小时比自行车多行驶20千米,自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时,求两车的平均速度各为多少.设电动车的平均速度为x千米/时,应列方程为 -1=　.
知识点3　销售问题
6.(2025·苏州模拟)《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一,为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”大意是:现请人代买一批椽(椽,承载屋面用的木构件),这批椽的总价钱为6 210文.由于每株椽要另外支付3文运费,于是就少买一株椽,购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费.设这批椽有x株,则符合题意的方程是(A)
A.=3(x-1) B.=3
C.=3 D.=3x-1
7.为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用3 600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3 600元,若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,求这个学校九年级学生有多少人.
【解析】设这个学校九年级学生有x人,
根据题意得:×50=×60,
解得:x=300,
经检验,x=300是所列方程的解,且符合题意.
答:这个学校九年级学生有300人.
B层能力进阶
8.为改善办学条件,提升教学质量,某校计划投资80万元对教室进行升级改造.为了保证质量,实际每间教室的改造费用比原计划增加了20%,并比原计划多改造了5间教室,总投资追加了40万元.根据题意,实际每间教室的改造费用是(C)
A.3万元 B.4万元
C.4.8万元 D.6万元
9.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,则江水的流速为　6　km/h.
10.(2025·重庆中考)列方程解下列问题:
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个
(2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个,乙比甲多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
【解析】(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个,则每天生产乙种文创产品的数量是(x-50)个,
根据题意得:3x-4(x-50)=100,
解得:x=100,
∴x-50=100-50=50(个).
答:该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个,每天生产乙种文创产品的数量是50个.
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个,则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个,
根据题意得:-=10,
解得:y=20,
经检验,y=20是所列方程的解,且符合题意.
答:每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.
C层创新挑战(选做)
11.(应用意识、运算能力)宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火,并带动整个人形机器人行业的畅销.某公司推出了A,B两款人形机器人.
(1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同;每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元.该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元
(2)如果该公司把这两款人形机器人在网上进行预约销售,并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少20%,根据网上预约的情况,该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时,B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件.则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元
【解析】(1)设A款人形机器人每件的成本为x万元,则B款人形机器人每件的成本为(x-2)万元,根据题意,得5x=6(x-2),解得x=12,∴x-2=10,
答:A款人形机器人每件的成本为12万元,B款人形机器人每件的成本为10万元.
(2)设A款人形机器人在网上的售价为y万元,则B款人形机器人在网上的售价为(1-20%)y万元,根据题意,得=-10,
解得y=15.
答:该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元.　分式方程(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　工程问题
1.新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一.甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务,甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同,设乙队单独完成此项任务需要x天,则可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
2.(2025·绵阳一模)在新农村建设中,某乡镇决定对一段长6 000 m的乡村道路进行改造.根据需要该工程实际施工时增加了施工人员,每天改造的道路比原计划增加了50%,结果提前4天完成任务,则原计划每天改造道路 .
3.为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
知识点2　行程问题
4.随着全球经济发展,环境保护受到国家的重视.李老师购置了电动汽车,他驾车上班比乘公交车少用了12分钟,李老师家到学校的距离为8千米.已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍,若设公交车平均每小时行驶x千米,则可列方程为( )
A.+12= B.=+12
C.+= D.=+
5.(2025·南阳质检)电动车每小时比自行车多行驶20千米,自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时,求两车的平均速度各为多少.设电动车的平均速度为x千米/时,应列方程为 .
知识点3　销售问题
6.(2025·苏州模拟)《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一,为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”大意是:现请人代买一批椽(椽,承载屋面用的木构件),这批椽的总价钱为6 210文.由于每株椽要另外支付3文运费,于是就少买一株椽,购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费.设这批椽有x株,则符合题意的方程是( )
A.=3(x-1) B.=3
C.=3 D.=3x-1
7.为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用3 600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3 600元,若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,求这个学校九年级学生有多少人.
B层能力进阶
8.为改善办学条件,提升教学质量,某校计划投资80万元对教室进行升级改造.为了保证质量,实际每间教室的改造费用比原计划增加了20%,并比原计划多改造了5间教室,总投资追加了40万元.根据题意,实际每间教室的改造费用是( )
A.3万元 B.4万元
C.4.8万元 D.6万元
9.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,则江水的流速为 km/h.
10.(2025·重庆中考)列方程解下列问题:
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个
(2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个,乙比甲多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
C层创新挑战(选做)
11.(应用意识、运算能力)宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火,并带动整个人形机器人行业的畅销.某公司推出了A,B两款人形机器人.
(1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同;每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元.该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元
(2)如果该公司把这两款人形机器人在网上进行预约销售,并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少20%,根据网上预约的情况,该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时,B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件.则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元 　分式方程(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　分式方程的识别
1.(2025·上海质检)下列方程中,属于分式方程的是(A)
A.=2 B.=
C. D.xy-1=0
2.下列方程中,哪些是分式方程 哪些是整式方程
(1)=;　　　(2)=;
(3)=x;(4)=;
(5)-3=;(6)2x=1.
【解析】∵分母中含有未知数的方程是分式方程,∴(1)(3)(4)(5)是分式方程,(2)(6)是整式方程.
知识点2　解分式方程
3.分式方程=-2的解是(C)
A.x=6　　B.x=2　　C.x=0　　D.无解
4.(1)(2025·长沙中考)分式方程=的解为　x=1.25　.
　(2)(2025·北京中考)方程+=0的解为　x=2　.
5.解方程:
(1)(2025·镇江中考)=.
(2)(2025·连云港中考)=.
【解析】(1)原方程两边同乘2(4+x)得2(3-x)=4+x,
去括号得6-2x=4+x,
移项得-2x-x=4-6,
合并同类项得-3x=-2,系数化为1得x=,
经检验,x=是分式方程的解,
所以方程的解为x=.
(2)去分母得:2x=3(x+1),
整理得:2x=3x+3,解得:x=-3,
检验:当x=-3时,x(x+1)=6≠0,
则x=-3是原方程的解.
6.(2025·广东中考)在解分式方程=-2时,小李的解法如下:
第一步:·=-·-2, 第二步:1-x=-1-2, 第三步:-x=-1-2-1, 第四步:x=4. 第五步:检验:当x=4时,x-2≠0. 第六步:∴原分式方程的解为x=4.
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过程.
【解析】第一步是去分母,去分母的依据是:等式两边同时乘一个不为0的数(或式子),等式仍然成立.
小李的解答过程不正确,正确解答如下:
=-2,
1-x=-1-2,
1-x=-1-2x+4
-x+2x=-1+4-1,
解得:x=2,经检验,x=2是分式方程的增根,
∴原方程无解.
知识点3　已知分式方程根的情况求待定字母的值或取值范围
7.若分式方程=有增根x=5,那么k的值为(C)
A.2　　B.5　　C.3　　D.-3
8.若关于x的方程=3的解是负数,则m的取值范围是　m<3且m≠2　.
9.(2025·上海质检)已知关于x的方程-=,若方程有增根,求k的值.
【解析】-=,
去分母,得2(x+2)-kx=x-1,
整理得(1-k)x=-5.
∵方程有增根,
∴x-1=0或x+2=0,
∴x=1或x=-2.
当x=1时,(1-k)×1=-5,解得k=6;
当x=-2时,(1-k)×(-2)=-5,解得k=-.
综上,k=-或6.
B层能力进阶
10.在下列方程中,关于x的分式方程有(B)
①x2-x+4=0;②=4;③=4;
④=1;⑤=6;⑥+=2.
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
11.已知关于x的分式方程+3=的解为正数,则负整数m的和为(A)
A.-8　　B.-9　　C.-10　　D.-11
12.解方程:(1)-1=.
(2)-=0.
【解析】(1)方程两边同乘(x+3)(x-3),得
x(x+3)-(x+3)(x-3)=18,
整理得3x+9=18,解得:x=3,
经检验x=3是增根,原分式方程无解.
(2)原方程变形为-=0,
两边同乘x(x+1)(x-1),得5(x-1)-(x+1)=0,
去括号得:5x-5-x-1=0,
移项、合并同类项得:4x=6,
系数化为1得:x=,
检验:将x=代入x(x+1)(x-1)中可得:×(+1)×(-1)=≠0,
则原方程的解为x=.
C层创新挑战(选做)
13.(运算能力、推理能力)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4,且关于y的分式方程-=1的解均为负整数,求所有满足条件的整数a的值之和.
【解析】,
解不等式①,得x≤4,
解不等式②,得x由题意得a+2>4,解得a>2;
解方程-=1得,y=,且y≠-2,
当a=8时,y==-1;
当a=6时,y==-2(不合题意,舍去);
当a=4时,y==-3,
∴符合条件的a有8,4,
∴8+4=12,
即所有满足条件的整数a的值之和是12.

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