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　平行四边形的性质及判定(第5课时)
A层基础夯实
知识点1　平行线间的距离
1.如图所示,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,点E,G为垂足,则下列说法中,错误的是( )
A.FG∥EC　
B.CE=FG　
C.A,B两点之间的距离就是线段AB的长　
D.直线a,b之间的距离就是线段CD的长
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,将Rt△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若四边形ACFD的面积等于8,则平移的距离等于( )
A.2 B.3 C.2 D.4
3.如图,直线a∥b,AB∥CD,AD=3AE.若△ABE的面积是1,则四边形ABCD的面积为 .
4.如图所示,在5×4的方格纸中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B在方格纸的格点上,在图中的格点上找到一点C,使△ABC的面积为3,则这样的点C共有几个
知识点2　平行四边形的性质与判定定理的综合应用
5.下列说法中,正确的是( )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.平行四边形的对角互补
C.有两组对边相等的四边形是平行四边形
D.平行四边形的对角线平分每一组对角
6.如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,将△ABC沿直线BC向右平移2 cm得到△DEF,连接AE,有以下结论:①AD∥BE;②∠B=∠ADE;③DE⊥AC;④BE=AD,其中正确的有 .(填序号)
7.如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:DE+DF=AC.
B层能力进阶
8.(2024·浙江中考)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC交BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是( )
A.x+y B.x-y
C.xy D.x2+y2
9.在平面直角坐标系中,已知A,B,C,D四点的坐标依次为(0,0),(5,0),(8,4),(3,4),若一次函数y=mx+1(m≠0)的图象将四边形ABCD面积分成相等的两部分,则m的值为( )
A. B. C. D.1
10.如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠BCD=∠ABD,ED⊥CD,下列说法:①AB∥CD;②DE平分∠ADB;③∠CDF=∠CFD;④S△EDF=S△BCF.其中正确的有( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
11.如图所示,已知AB∥CD,AO平分∠BAC,CO平分∠ACD,OE⊥AC于点E,且OE=2,则两平行线间的距离为 .
12.如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE,连接BE,DE,BF,DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若∠BAC=80°,AB=AF,DC=DF,求∠EBF的度数.
C层创新挑战(选做)
13.(推理能力、应用意识、创新意识)学行四边形后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空:
用直尺和圆规,作AC的垂直平分线交DC于点E,交AB于点F,垂足为点O.(只保留作图痕迹)
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为点O.
求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB.∴∠ECO=__________.
∵EF垂直平分AC,∴__________ .
又∠EOC=__________,
∴△COE≌△AOF(ASA).
∴OE=OF.
小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题:
平行四边形上,过对角线中点的线段__________. 　平行四边形的性质及判定(第3课时)
A层基础夯实
知识点1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
2.在四边形ABCD中,AB=CD,要使四边形ABCD是平行四边形,你可以添加的一个条件是 .
3.一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形一定是 形.
4.如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF.求证:四边形DAEF是平行四边形.
知识点2　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.(2025·广元期中)下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD,AD=BC
B.AB=CD,AD∥BC
C.AB∥CD,AB=CD
D.AB∥CD,AD∥BC
6.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)在平面直角坐标系中,已知两点A(-1,2),B(3,2),点C在x轴上,若以A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则C点坐标是 .
7.尺规作图问题:
如图1,点E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.
小明:如图2,以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦,我明白了!
(1)证明AF∥CE;
(2)指出小丽作法中存在的问题.
B层能力进阶
8.(2025·沧州模拟)如图,在四边形ABPD中,AD∥BP,∠B<90°,PD>AB.老师让同学们利用没有刻度的直尺和圆规在四边形ABPD上找一点C,使得四边形ABCD是平行四边形.甲、乙两同学的作法如下所示,下列判断正确的是( )
甲:在BP上截取BC,使BC=AD,连接CD;
乙:以点D为圆心,AB长为半径画弧,与BP交于点C,连接CD.
A.甲、乙的作法都一定可行
B.甲、乙的作法都不一定可行
C.只有甲的作法不一定可行
D.只有乙的作法不一定可行
9.下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的为( )
A.AB∶BC∶CD∶DA=2∶1∶2∶1
B.∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°
C.AB∥CD,∠B=∠D
D.AB=CD,∠A+∠B=180°
10.(2025·重庆模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在CD,BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF,AB=,EF=4,则CF的长是 .
11.如图, ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.求证:OE=OF.
12.如图所示,△ABC≌△EAD,点E在BC上.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若∠B∶∠CAD=3∶2,∠EDC=25°,求∠AED的度数.
C层创新挑战(选做)
13.(推理能力、运算能力)(2025·徐州质检)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6 cm,AD=10 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点Q也停止运动.设运动时间为t秒,开始运动以后,当t为何值时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形 　平行四边形的性质及判定(第4课时)
A层基础夯实
知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.根据所标数据,下列不一定是平行四边形的是( )
2.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO.如果要使四边形ABCD是平行四边形,那么可以添加的条件是( )
A.AC⊥BD B.AO=BO
C.OB=OD D.OC=OD
3.如图,AO=OC,BD=12,则当OB= 时,四边形ABCD是平行四边形.
4.学习完四边形的知识后,小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法,下面是具体过程.
已知:△ABC.
求作:BC边上的中线AD.
作法:如图,
①分别以点B,C为圆心,AC,AB长为半径在BC的下方作弧,两弧相交于P点;
②作直线AP,AP与BC交于D点,所以线段AD就是所求作的中线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:连接PB,PC.
∵PB=AC,__________ ,∴四边形ABPC是平行四边形( )
(填推理的依据).
∴__________ (__________ )(填推理的依据).
∴AD是BC边上的中线.
知识点2　平行四边形判定方法的选择
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.OA=AC,OB=BD
B.AB=CD,AO=OC
C.AB∥CD,∠DAC=∠BCA
D.AB=CD,BC=AD
6.(2025·镇江期中)如图,在下列四个关系:①AB∥CD,②AD=BC,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°中,选出两个关系作为条件,可以推出四边形ABCD是平行四边形的条件可以是 .(写出一种即可,填序号)
7.如图所示,在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求解决下列问题:
(1)通过计算判断△ABC的形状;
(2)在图中确定一个格点D,连接AD,CD,使四边形ABCD为平行四边形,并求出 ABCD的面积.
B层能力进阶
8.(2025·淄博质检)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,下列条件不能判定四边形DEBF是平行四边形的是( )
A.OE=OF B.DE=BF
C.∠ADE=∠CBF D.∠ABE=∠CDF
9.如图,在“V”字形图形中,DE=DF,BE=CF,∠D=60°,CF∥DE∥AB,BE∥DF∥AC,若要求出这个图形的周长,则需添加的一个条件是( )
A.BE的长 B.DE的长
C.AB的长 D.AB与BE的和
10.如图, ABCD的对角线交于点O,点M,N,P,Q分别是 ABCD四条边上不重合的点.下列条件:①AQ=CN,AM=CP;②MP,NQ均经过点O;③NQ经过点O,AQ=CN.能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 (填序号).
11.(2025·武汉期中)如图,将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 .
12.(2025·厦门质检)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F是DE延长线上的点,且EF=DE.
(1)图中的平行四边形有哪几个 请说明理由.
(2)若△AEF的面积是4,求四边形BCFD的面积.
C层创新挑战(选做)
13.(运算能力、应用意识、创新意识)如图所示,有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ,连接EF,GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2,S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=10,则S2= . 　平行四边形的性质及判定(第3课时)
A层基础夯实
知识点1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(C)
2.在四边形ABCD中,AB=CD,要使四边形ABCD是平行四边形,你可以添加的一个条件是　AD=BC(答案不唯一)　.
3.一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形一定是　平行四边　形.
4.如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF.求证:四边形DAEF是平行四边形.
【证明】∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,
∴∠DBF=∠ABC.
又∵BD=BA,BF=BC,
∴△DBF≌△ABC,∴AC=DF=AE,
同理可证△ABC≌△EFC,∴AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形.
知识点2　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.(2025·广元期中)下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(B)
A.AB=CD,AD=BC
B.AB=CD,AD∥BC
C.AB∥CD,AB=CD
D.AB∥CD,AD∥BC
6.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)在平面直角坐标系中,已知两点A(-1,2),B(3,2),点C在x轴上,若以A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则C点坐标是　(4,0)或(-4,0)　.
7.尺规作图问题:
如图1,点E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.
小明:如图2,以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦,我明白了!
(1)证明AF∥CE;
(2)指出小丽作法中存在的问题.
【解析】(1)根据小明的作法知,CF=AE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
又∵CF=AE,
∴四边形AFCE是平行四边形,∴AF∥CE;
(2)以A为圆心,EC为半径画弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,只有其中之一符合题意.
故小丽的作法有问题.
B层能力进阶
8.(2025·沧州模拟)如图,在四边形ABPD中,AD∥BP,∠B<90°,PD>AB.老师让同学们利用没有刻度的直尺和圆规在四边形ABPD上找一点C,使得四边形ABCD是平行四边形.甲、乙两同学的作法如下所示,下列判断正确的是(D)
甲:在BP上截取BC,使BC=AD,连接CD;
乙:以点D为圆心,AB长为半径画弧,与BP交于点C,连接CD.
A.甲、乙的作法都一定可行
B.甲、乙的作法都不一定可行
C.只有甲的作法不一定可行
D.只有乙的作法不一定可行
9.下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的为(D)
A.AB∶BC∶CD∶DA=2∶1∶2∶1
B.∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°
C.AB∥CD,∠B=∠D
D.AB=CD,∠A+∠B=180°
10.(2025·重庆模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在CD,BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF,AB=,EF=4,则CF的长是　2　.
11.如图, ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.求证:OE=OF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴AM∥CN,
∵AM=CN,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∴AN∥CM,∴∠OAE=∠OCF,
在△AOE与△COF中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
12.如图所示,△ABC≌△EAD,点E在BC上.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若∠B∶∠CAD=3∶2,∠EDC=25°,求∠AED的度数.
【解析】(1)∵△ABC≌△EAD,
∴∠B=∠EAD,AB=EA,BC=AD,
∴∠B=∠AEB,
∴∠EAD=∠AEB,
∴BC∥AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵∠B∶∠CAD=3∶2,
∴设∠B=3x°,
则∠CAD=2x°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC=3x°,
∵BC∥AD,
∴∠ACB=∠CAD=2x°,
∵△ABC≌△EAD,
∴∠ADE=∠ACB=2x°,
∵∠ADC-∠ADE=∠EDC,
∴3x°-2x°=25°,解得x=25,
∴∠ADE=2x°=50°,∠EAD=∠B=3x°=75°,
∴∠AED=180°-50°-75°=55°.
C层创新挑战(选做)
13.(推理能力、运算能力)(2025·徐州质检)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6 cm,AD=10 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点Q也停止运动.设运动时间为t秒,开始运动以后,当t为何值时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=10 cm,AD∥BC,
∵要使以点P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形,
∴只需DP=BQ,
∵点Q从点C到点B需要10÷2.5=4(s),点P从A到D需要10÷1=10(s),
分为以下情况:
当0解得t=0,此时不符合题意;
②当4由题意,得2.5t-10=10-t,解得t=;
③当8由题意,得10-(2.5t-20)=10-t,
解得t=>10,此时不符合题意.
综上所述,t=.　平行四边形的性质及判定(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　平行四边形的性质——边
1.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
2.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是( )
A.(-3,3) B.(3,-3)　
C.(7,3)　 D.(-5,3)
3.(2025·新疆中考)如图,在 ABCD中.∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE= .
4.(2025·漯河质检)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE和BF分别平分∠DAB和∠CBA,交CD于E,F,AE与BF相交于点P.
(1)求证:DF=CE.
(2)若AD=6,DC=10,求EF的长.
知识点2　平行四边形的性质——角
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠A-∠B=50°,则∠A的度数是( )
A.130° 　　 　B.115°
C.65° 　　 　D.50°
6.在 ABCD中,它的四个内角按一定顺序的度数比可能为( )
A.3∶4∶5∶6 B.4∶5∶4∶5
C.2∶3∶3∶2 D.2∶4∶3∶3
7.(2025·上海期中)在 ABCD中,如果∠A=2∠B,那么∠C= °.
8.(2025·岳阳一模)如图,在 ABCD中,AB=10,AD=14,DE平分∠ADC交BC于点E.
(1)求 ABCD的周长;
(2)若∠DEC=25°,求∠B的度数.
B层能力进阶
9.如图,在 ABCD中,点E,点F在对角线AC上.要使△ABE≌△CDF,可添加的条件为( )
A.BE=DF B.AF=CE
C.∠BAE=∠DCF D.∠CAD=∠ACB
10.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3 cm,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形,则AD的长度是( )
A.6 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
11.(2025·上海期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,点D在BC边上,将△ABD沿直线AD翻折后,点B落在点E处,如果四边形AECD是平行四边形,那么∠BAD= .
12.(2025·大连一模)如图,在 ABCD中,AB=8,BC=12,∠B=60°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点M,交AD于点N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,则四边形AECD的周长是 .
13.如图,在平行四边形ABCD中,点H是边AB上一点,连接CH.作∠ADC的平分线DF,分别交CH,BC及AB的延长线于G,E,F.
(1)如果AB=2,AD=3,那么AF= ,BE=__________ ;
(2)若点G恰好是线段CH的中点,求证:BF=AH.
C层创新挑战(选做)
14.(推理能力、运算能力)(2025·天津期中)如图,已知在 ABCD中,动点P在AD边上,以每秒0.5 cm的速度从点A向点D运动.
(1)如图①,在运动过程中,若CP平分∠BCD,且满足CD=CP,求∠B的度数;
(2)如图②,在(1)的条件下,连接BP并延长,与CD的延长线交于点F,连接AF,若AB=4 cm,求△APF的面积.　平行四边形的性质及判定(第5课时)
A层基础夯实
知识点1　平行线间的距离
1.如图所示,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,点E,G为垂足,则下列说法中,错误的是(D)
A.FG∥EC　
B.CE=FG　
C.A,B两点之间的距离就是线段AB的长　
D.直线a,b之间的距离就是线段CD的长
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,将Rt△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若四边形ACFD的面积等于8,则平移的距离等于(A)
A.2 B.3 C.2 D.4
3.如图,直线a∥b,AB∥CD,AD=3AE.若△ABE的面积是1,则四边形ABCD的面积为　6　.
4.如图所示,在5×4的方格纸中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B在方格纸的格点上,在图中的格点上找到一点C,使△ABC的面积为3,则这样的点C共有几个
【解析】由图可知,AB∥x轴,且AB=3,
设点C到AB的距离为h,则S△ABC=×3h=3,解得h=2,∴点C的位置如图所示,共有6个.
知识点2　平行四边形的性质与判定定理的综合应用
5.下列说法中,正确的是(C)
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.平行四边形的对角互补
C.有两组对边相等的四边形是平行四边形
D.平行四边形的对角线平分每一组对角
6.如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,将△ABC沿直线BC向右平移2 cm得到△DEF,连接AE,有以下结论:①AD∥BE;②∠B=∠ADE;③DE⊥AC;④BE=AD,其中正确的有　①②③④　.(填序号)
7.如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:DE+DF=AC.
【证明】∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴DE=AF,
又AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DF∥AB,∴∠CDF=∠B,
∴∠CDF=∠C,
∴DF=CF,
∴AC=AF+FC=DE+DF.
B层能力进阶
8.(2024·浙江中考)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC交BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是(C)
A.x+y B.x-y
C.xy D.x2+y2
9.在平面直角坐标系中,已知A,B,C,D四点的坐标依次为(0,0),(5,0),(8,4),(3,4),若一次函数y=mx+1(m≠0)的图象将四边形ABCD面积分成相等的两部分,则m的值为(A)
A. B. C. D.1
10.如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠BCD=∠ABD,ED⊥CD,下列说法:①AB∥CD;②DE平分∠ADB;③∠CDF=∠CFD;④S△EDF=S△BCF.其中正确的有(B)
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
11.如图所示,已知AB∥CD,AO平分∠BAC,CO平分∠ACD,OE⊥AC于点E,且OE=2,则两平行线间的距离为　4　.
12.如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE,连接BE,DE,BF,DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若∠BAC=80°,AB=AF,DC=DF,求∠EBF的度数.
【解析】(1)在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAF=∠DCE,在△ABF和△CDE中,
,
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴BF=DE,∠DEF=∠BFA,
∴ED∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形;
(2)∵四边形BEDF是平行四边形,
∴BE=DF,
∵AB=DC=DF,∴AB=BE,
∴∠BEA=∠BAC=80°,
∴∠ABE=180°-2×80°=20°,
∵AB=AF,
∴∠ABF=∠AFB=×(180°-80°)=50°,
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=50°-20°=30°.
C层创新挑战(选做)
13.(推理能力、应用意识、创新意识)学行四边形后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空:
用直尺和圆规,作AC的垂直平分线交DC于点E,交AB于点F,垂足为点O.(只保留作图痕迹)
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为点O.
求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB.∴∠ECO=__________.
∵EF垂直平分AC,∴__________　　.
又∠EOC=__________,
∴△COE≌△AOF(ASA).
∴OE=OF.
小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题:
平行四边形上,过对角线中点的线段__________.
【解析】作图如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB.∴∠ECO=∠FAO.
∵EF垂直平分AC,∴OA=OC.
又∠EOC=∠FOA,
∴△COE≌△AOF(ASA).
∴OE=OF;
平行四边形上,过对角线中点的线段被平分.
答案:∠FAO　OA=OC　∠FOA　被平分　平行四边形的性质及判定(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　平行四边形的性质——对角线
1.已知在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,则OA等于(A)
A.3 B.6 C.4 D.12
2.如图,平行四边形ABCD的周长为20 cm,AB≠AD,AC,BD相交于点O,EO⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为(D)
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
3.(2025·上海期中)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,如果 ABCD的周长为32,△COD的周长比△BOC的周长多4,那么BC的长为　6　.
4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E和点F.若AB=9,AD=5,OE=2,求四边形BCFE的周长.
【解析】∵平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,OD=OB,
∴∠FDO=∠EBO,
∵∠DOF=∠BOE,
∴△DOF≌△BOE,
∴OE=OF,DF=BE,
∴四边形BCFE的周长为BE+BC+CF+EF=BC+CF+DF+2OE=
BC+CD+2OE=AD+AB+2OE=9+5+2×2=18.
知识点2　平行四边形性质的综合运用
5.下列说法正确的是(B)
A.平行四边形邻边相等
B.平行四边形对边平行
C.平行四边形对角互补
D.平行四边形既是中心对称图形,也是轴对称图形
6.(2025·北京期中)如图,在 ABCD中,AC交BD于点O,经过点O的直线分别交直线AB,CD,AD,BC于点E,F,M,N,下列结论错误的是(A)
A.AM=CF B.∠E=∠F
C.DM=BN D.EM=FN
7.已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC.
∵点O为对角线AC的中点,∴AO=CO,
在△AOE和△COF中,,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,∴DE=BF.
知识点3　梯形
8.(新考向·新定义)我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形.下列四边形是等对角线四边形的是(D)
A.平行四边形 B.梯形
C.四边形 D.等腰梯形
9.(2025·淮南质检)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠BEC,AD=BE,若AB=7,BC=8,AD=3,则DE的长度为　5　.
B层能力进阶
10.(2025·广州期中)如图,在平行四边形ABCD中,AC=8,BD=4,则AD2+AB2的值为(C)
A.80 B.64 C.40 D.32
11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;
④PF=PC.其中正确结论的个数为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图,点O是 ABCD的对角线的交点,∠ABC=120°,∠ADC的平分线DE交AB于点E,DE与AC交于点F,AB=2AD.下列结论:①S ABCD=AD·BD;②DB平分∠CDE;③AO=DE,其中正确的是　①②　.(填序号)
13.(2025·珠海期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=12 cm,BC=15 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点D运动,点Q从点C同时出发,以2 cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,经过　4或6　秒时,PQ=CD.
14.如图,已知:在 ABCD中,DH⊥AB,垂足为H,AD=HB,点E,F分别为HB,CB的中点,连接HF,EC相交于点G.
(1)求证:GE=GF;
(2)若DH=3,HE=2,求 ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∵AD=HB,∴BH=BC,
∵点E,F分别为HB,CB的中点,
∴HE=BE=BF=CF,
在△BFH和△BEC中,,
∴△BFH≌△BEC(SAS),
∴∠BHF=∠BCE,
在△HEG和△CFG中,,
∴△HEG≌△CFG(AAS),∴GE=GF;
(2)∵DH=3,HE=2,点E为HB的中点,
∴BH=2HE=4,∵AD=HB,∴AD=4,
∵DH⊥AB,∴AH===,∴AB=AH+HB=+4,
∴S ABCD=AB·DH=(+4)×3=3+12.
C层创新挑战(选做)
15.(推理能力、模型观念、应用意识)如图,点O为 ABCD的对角线AC,BD的交点,∠BCO=90°,∠BOC=60°,BD=8,点E是OD上的一动点,点F是OB上的一动点(E,F不与端点重合),且DE=OF,连接AE,CF.
(1)求线段EF的长;
(2)若△OAE的面积为S1,△OCF的面积为S2,S1+S2的值是否发生变化 若不变,求出这个不变的值;若变化,请说明随着DE的增大,S1+S2的值是如何变化的.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB.
∵DE=OF,∴EF=OD=BD=4.
(2) S1+S2的值不变.
如图所示,连接AF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,AD∥BC,
∴S△AOF=S△COF,∠DAC=∠BCO.
∵DE=OF,
∴S△ADE=S△AOF=S△COF,
∴S1+S2=S△AEF=S△AOD.
∵∠BCO=90°,∠BOC=60°,
∴∠DAC=90°,∠AOD=60°,
∴∠ADO=30°,
∴AO=OD=2,
在Rt△AOD中,AD==2,
∴S1+S2=S△AOD=AD·OA=×2×2=2.　平行四边形的性质及判定(第4课时)
A层基础夯实
知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.根据所标数据,下列不一定是平行四边形的是(B)
2.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO.如果要使四边形ABCD是平行四边形,那么可以添加的条件是(C)
A.AC⊥BD B.AO=BO
C.OB=OD D.OC=OD
3.如图,AO=OC,BD=12,则当OB=　6　时,四边形ABCD是平行四边形.
4.学习完四边形的知识后,小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法,下面是具体过程.
已知:△ABC.
求作:BC边上的中线AD.
作法:如图,
①分别以点B,C为圆心,AC,AB长为半径在BC的下方作弧,两弧相交于P点;
②作直线AP,AP与BC交于D点,所以线段AD就是所求作的中线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:连接PB,PC.
∵PB=AC,__________　　　,∴四边形ABPC是平行四边形(　)
(填推理的依据).
∴__________　(__________　　　)(填推理的依据).
∴AD是BC边上的中线.
【解析】(1)如图所示:
(2)连接PB,PC.∵PB=AC,PC=AB,
∴四边形ABPC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∴BD=DC(平行四边形的对角线互相平分).
∴AD是BC边上的中线.
知识点2　平行四边形判定方法的选择
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(B)
A.OA=AC,OB=BD
B.AB=CD,AO=OC
C.AB∥CD,∠DAC=∠BCA
D.AB=CD,BC=AD
6.(2025·镇江期中)如图,在下列四个关系:①AB∥CD,②AD=BC,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°中,选出两个关系作为条件,可以推出四边形ABCD是平行四边形的条件可以是　①③或③④　.(写出一种即可,填序号)
7.如图所示,在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求解决下列问题:
(1)通过计算判断△ABC的形状;
(2)在图中确定一个格点D,连接AD,CD,使四边形ABCD为平行四边形,并求出 ABCD的面积.
【解析】(1)由题意可得,AB==,AC==2,BC==5,
∵()2+(2)2=25=52,即AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形.
(2) 过点A作AD∥BC,过点C作CD∥AB,直线AD和CD的交点就是D的位置,格点D的位置如图所示,
∴ ABCD的面积为AB·AC=×2=10.
B层能力进阶
8.(2025·淄博质检)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,下列条件不能判定四边形DEBF是平行四边形的是(B)
A.OE=OF B.DE=BF
C.∠ADE=∠CBF D.∠ABE=∠CDF
9.如图,在“V”字形图形中,DE=DF,BE=CF,∠D=60°,CF∥DE∥AB,BE∥DF∥AC,若要求出这个图形的周长,则需添加的一个条件是(C)
A.BE的长 B.DE的长
C.AB的长 D.AB与BE的和
10.如图, ABCD的对角线交于点O,点M,N,P,Q分别是 ABCD四条边上不重合的点.下列条件:①AQ=CN,AM=CP;②MP,NQ均经过点O;③NQ经过点O,AQ=CN.能判定四边形MNPQ是平行四边形的有　①②　(填序号).
11.(2025·武汉期中)如图,将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是　3　.
12.(2025·厦门质检)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F是DE延长线上的点,且EF=DE.
(1)图中的平行四边形有哪几个 请说明理由.
(2)若△AEF的面积是4,求四边形BCFD的面积.
【解析】(1)图中的平行四边形有:平行四边形ADCF,平行四边形BDFC,
理由:∵E为AC的中点,
∴AE=CE,
∵DE=EF,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∴AD∥CF,AD=CF,
∵D为AB的中点,
∴AD=BD,
∴BD=CF,BD∥CF,
∴四边形BDFC是平行四边形.
(2)由(1)知四边形ADCF是平行四边形,四边形BDFC是平行四边形,
∴S△CEF=S△CED=S△AEF=4,
∴平行四边形BDFC的面积是16.
C层创新挑战(选做)
13.(运算能力、应用意识、创新意识)如图所示,有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ,连接EF,GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2,S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=10,则S2= 　. 　平行四边形的性质及判定(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　平行四边形的性质——对角线
1.已知在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,则OA等于( )
A.3 B.6 C.4 D.12
2.如图,平行四边形ABCD的周长为20 cm,AB≠AD,AC,BD相交于点O,EO⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
3.(2025·上海期中)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,如果 ABCD的周长为32,△COD的周长比△BOC的周长多4,那么BC的长为 .
4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E和点F.若AB=9,AD=5,OE=2,求四边形BCFE的周长.
知识点2　平行四边形性质的综合运用
5.下列说法正确的是( )
A.平行四边形邻边相等
B.平行四边形对边平行
C.平行四边形对角互补
D.平行四边形既是中心对称图形,也是轴对称图形
6.(2025·北京期中)如图,在 ABCD中,AC交BD于点O,经过点O的直线分别交直线AB,CD,AD,BC于点E,F,M,N,下列结论错误的是( )
A.AM=CF B.∠E=∠F
C.DM=BN D.EM=FN
7.已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF.
知识点3　梯形
8.(新考向·新定义)我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形.下列四边形是等对角线四边形的是( )
A.平行四边形 B.梯形
C.四边形 D.等腰梯形
9.(2025·淮南质检)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠BEC,AD=BE,若AB=7,BC=8,AD=3,则DE的长度为 .
B层能力进阶
10.(2025·广州期中)如图,在平行四边形ABCD中,AC=8,BD=4,则AD2+AB2的值为( )
A.80 B.64 C.40 D.32
11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;
④PF=PC.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图,点O是 ABCD的对角线的交点,∠ABC=120°,∠ADC的平分线DE交AB于点E,DE与AC交于点F,AB=2AD.下列结论:①S ABCD=AD·BD;②DB平分∠CDE;③AO=DE,其中正确的是 .(填序号)
13.(2025·珠海期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=12 cm,BC=15 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点D运动,点Q从点C同时出发,以2 cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,经过 秒时,PQ=CD.
14.如图,已知:在 ABCD中,DH⊥AB,垂足为H,AD=HB,点E,F分别为HB,CB的中点,连接HF,EC相交于点G.
(1)求证:GE=GF;
(2)若DH=3,HE=2,求 ABCD的面积.
C层创新挑战(选做)
15.(推理能力、模型观念、应用意识)如图,点O为 ABCD的对角线AC,BD的交点,∠BCO=90°,∠BOC=60°,BD=8,点E是OD上的一动点,点F是OB上的一动点(E,F不与端点重合),且DE=OF,连接AE,CF.
(1)求线段EF的长;
(2)若△OAE的面积为S1,△OCF的面积为S2,S1+S2的值是否发生变化 若不变,求出这个不变的值;若变化,请说明随着DE的增大,S1+S2的值是如何变化的.　平行四边形的性质及判定(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　平行四边形的性质——边
1.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B)
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
2.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是(A)
A.(-3,3) B.(3,-3)　
C.(7,3)　 D.(-5,3)
3.(2025·新疆中考)如图,在 ABCD中.∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE=　2　.
4.(2025·漯河质检)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE和BF分别平分∠DAB和∠CBA,交CD于E,F,AE与BF相交于点P.
(1)求证:DF=CE.
(2)若AD=6,DC=10,求EF的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD=BC,
∴∠DEA=∠BAE,∠CFB=∠ABF,
∵AE和BF分别平分∠DAB和∠CBA,
∴∠DAE=∠BAE,∠CBF=∠ABF,
∴∠DAE=∠DEA,∠CBF=∠CFB,
∴AD=DE,BC=CF,
∵AD=BC,
∴DE=CF,
∴DE-EF=CF-EF,
∴DF=CE.
(2)∵AD=6,
∴DE=CF=AD=6,
∵DC=10,
∴CE=DC-DE=4,
∴EF=CF-CE=2.
知识点2　平行四边形的性质——角
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠A-∠B=50°,则∠A的度数是(B)
A.130° 　　 　B.115°
C.65° 　　 　D.50°
6.在 ABCD中,它的四个内角按一定顺序的度数比可能为(B)
A.3∶4∶5∶6 B.4∶5∶4∶5
C.2∶3∶3∶2 D.2∶4∶3∶3
7.(2025·上海期中)在 ABCD中,如果∠A=2∠B,那么∠C=　120　°.
8.(2025·岳阳一模)如图,在 ABCD中,AB=10,AD=14,DE平分∠ADC交BC于点E.
(1)求 ABCD的周长;
(2)若∠DEC=25°,求∠B的度数.
【解析】(1)∵在 ABCD中,AB=10,AD=14,
∴ ABCD的周长为2(AB+AD)=2×(10+14)=48.
(2)在 ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC=25°.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADC=2∠ADE=50°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC=50°.
B层能力进阶
9.如图,在 ABCD中,点E,点F在对角线AC上.要使△ABE≌△CDF,可添加的条件为(B)
A.BE=DF B.AF=CE
C.∠BAE=∠DCF D.∠CAD=∠ACB
10.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3 cm,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形,则AD的长度是(A)
A.6 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
11.(2025·上海期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,点D在BC边上,将△ABD沿直线AD翻折后,点B落在点E处,如果四边形AECD是平行四边形,那么∠BAD=　45°　.
12.(2025·大连一模)如图,在 ABCD中,AB=8,BC=12,∠B=60°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点M,交AD于点N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,则四边形AECD的周长是　32　.
13.如图,在平行四边形ABCD中,点H是边AB上一点,连接CH.作∠ADC的平分线DF,分别交CH,BC及AB的延长线于G,E,F.
(1)如果AB=2,AD=3,那么AF=　　　,BE=__________　;
(2)若点G恰好是线段CH的中点,求证:BF=AH.
【解析】(1)∵DF是∠ADC的平分线,
∴∠ADF=∠CDE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD=2,BC=AD=3,∴∠ADF=∠DEC,∠AFD=∠CDE,
∴∠ADF=∠AFD,∠DEC=∠CDE,
∴AF=AD=3,CE=CD=2,
∴BE=BC-CE=3-2=1.
答案:3　1
(2) ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠AFD=∠CDF.
∵G为CH的中点,∴CG=HG.
∵∠CGD=∠HGF,
∴△CDG≌△HFG(AAS),
∴FH=CD,∴FH=AB,
∴FH-BH=AB-BH,∴BF=AH.
C层创新挑战(选做)
14.(推理能力、运算能力)(2025·天津期中)如图,已知在 ABCD中,动点P在AD边上,以每秒0.5 cm的速度从点A向点D运动.
(1)如图①,在运动过程中,若CP平分∠BCD,且满足CD=CP,求∠B的度数;
(2)如图②,在(1)的条件下,连接BP并延长,与CD的延长线交于点F,连接AF,若AB=4 cm,求△APF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠B=∠D,
∴∠DPC=∠PCB,
∵CP平分∠BCD,
∴∠PCD=∠PCB,
∴∠DPC=∠DCP,
∴DP=DC,
∵CD=CP,
∴PC=CD=PD,
∴△PDC是等边三角形,
∴∠D=60°,
∴∠B=∠D=60°;
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,BC∥AD,AB=CD=4 cm,
∴S△PBC=S△FAB=S ABCD,
∵S△ABP+S△PCD=S ABCD,
∴S△APF+S△ABP=S△ABP+S△PCD,
∴S△APF=S△PCD,
如图,过点C作CK⊥AD于点K,
∴∠DCK=90°-∠ADC=30°,
∴DK=CD=PD=2 cm,
∴CK==2 cm,
∴S△APF=S△PCD=×2×4=4(cm2).

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