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单元质量评价(三)
(第三章 图形的平移与旋转)
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义.下列纹样中,是中心对称图形的是(A)
2.下列生活现象中,属于平移的是(B)
A.钟摆的摆动　　 B.拉开抽屉
C.足球在草地上滚动　　 D.投影片的文字经投影转换到屏幕上
3.下列说法错误的是(A)
A.平移前后的两个图形中,两组对应点的连线平行且相等
B.旋转前后的两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等
C.成轴对称的两个图形中,对应点(不在对称轴上)所连线段被对称轴垂直平分
D.成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分
4.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,点B的对应点D恰好落在边BC上.若∠C=30°,∠CAE=20°,则∠DAC的度数为(D)
A.80° B.70° C.60° D.50°
5.(2025·攀枝花中考)已知直角坐标系xOy,点A在该坐标系中的坐标为(-1,2),现将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90°到x'Oy'的位置,则点A在新坐标系x'Oy'中的坐标为(C)
A.(-1,2) B.(2,1) C.(2,-1)　 D.(-2,-1)
6.(2025·北京期中)在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点.将某整点连续进行若干次平移操作,每次平移1个单位长度,平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数:当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移;余数为3时,向下平移.例如点P(2,1)按上述规则连续平移3次:P(2,1)P1(2,0)P2(1,0)P3(1,1),最后得到点P3(1,1).若某整点Q按上述规则连续平移n次后,最后得到点Qn(7,2),则点Q的坐标不可能是(B)
A.(10,-2) B.(10,-3) C.(12,-1) D.(12,-2)
7.(2025·石家庄质检)如图,两个直角三角形重叠在一起,将△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,则下列说法正确的有__________个(C)
①AC∥DF;②∠A=∠D;③AD=CE;④若AB=9,DH=3,阴影部分的面积为30,则BE=4;⑤若△ABC的面积是2,点B平移到BC的中点时,则△ABC扫过的面积是6.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.将一副三角尺如图放置,点B,D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G.∠C=
∠EFB=90°,∠A=60°,∠E=45°,现将图中的△ABC绕点G按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°,在旋转的过程中,△ABC恰有一边与DE平行的时间为(D)
A.1秒或9秒 B.9秒或11秒
C.1秒或3秒或9秒 D.3秒或9秒或11秒
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2025·西安期中)如图,数学探究延伸课上,王老师将木条a,b与c钉在一起,木条a与木条c交于点O,∠1=75°,∠2=40°,要使木条a与木条b平行,木条a绕点O顺时针旋转的最少度数是　35°　.
10.在平面直角坐标系中,若点A(7,a)与点B(b,-4)关于原点对称,则a+b的值是　-3　.
11.夏季荷花盛开,为了便于游客领略“人从桥上过,如在河中行”的美好意境,大明湖某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥.若荷塘周长为280 m,桥宽忽略不计,则小桥总长为　140　m.
12.如图,BO是等腰三角形ABC的底边中线,AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C中心对称,连接AP,则AP的长是　2　.
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,将周长为14的△ABC沿BC向右平移4个单位长度得到△DEF,连接AD,AC,DE交于点O,有下列结论:①AC∥DF,AC=DF;②DE⊥AC;③四边形ABFD的周长是22;④S四边形ABEO=S四边形CFDO.其中正确的结论有　4　个.
14.(2025·无锡期中)如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,将△ABC绕点A顺时针旋转,点B,C的对应点分别是B',C',若点D为线段AB的中点,点E为线段B'C'上一动点,则在旋转过程中,线段ED的最小值为 　.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点O,△ABC的顶点A,B,C均在格点(网格线的交点)上.
(1)把△ABC先向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1,在图中画出△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
16.(8分)(2025·三明期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,将△ABD沿BC的方向平移,点D移至点C的位置,得到△EFC,求证:∠E=∠ACE.
【证明】∵△EFC是由△ABD平移而来,
∴AD∥CE,∠E=∠BAD,∴∠ECA=∠DAC,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ECA=∠BAD,
∵∠E=∠BAD,∴∠E=∠ACE.
17. (8分)如图,将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F,连接AD,BF,且BF=AF.
(1)求证:AD∥BC;
(2)求证:AD=2AE.
【证明】(1)由旋转的性质可得BD=BA,∠ABD=∠ABC=60°,
∴△ABD是等边三角形,∴∠BAD=60°,
∴∠BAD=∠ABC=60°,∴AD∥BC;
(2)∵△ABD是等边三角形,∴AD=BD,∠BDA=60°,
又∵BF=AF,∴DF垂直平分AB,
∴∠AED=90°,∠ADE=∠ADB=30°,∴AD=2AE.
18. (8分)(2025·常州期中)在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90度.
(1)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是　　　(写出所有正确结论的序号);
①正三角形;②正方形;③正六边形;④正八边形
(2)写出一个多边形,它是旋转对称图形,有一个旋转角为72°,并且满足:既是轴对称图形,又是中心对称图形:__________;
(3)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”,它是由四个大小相等,形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图2),设直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,最长的斜边为c.
①此正方形会标是旋转对称图形吗 __________;(是或不是)
②根据图2猜想a2,b2,c2之间的数量关系,并说明理由;
③若图2中大正方形的面积是25,小正方形的面积是4,现将四个直角三角形按如图3的形式重新摆放,那么图3中最大的正方形的面积为__________.
【解析】(1)①=120°.正三角形是旋转对称图形,它有一个旋转角为120°;
②=90°,90°×2=180°≠120°,正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90°或180°;
③=60°,60°×2=120°,正六边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为120°;
④=45°,45°×2=90°,45°×3=135°,正八边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为45°或90°或135°;
答案:①③
(2)=72°,正五边形满足有一个旋转角为72°,是轴对称图形,但不是中心对称图形;=36°,36°×2=72°,正十边形有一个旋转角为72°,既是轴对称图形,又是中心对称图形.
答案:正十边形(答案不唯一)
(3)①根据旋转对称图形的定义,此正方形会标是旋转对称图形,它有一个旋转角是90°.
答案:是
②a2,b2,c2之间的数量关系为a2+b2=c2,
理由:边长为c的正方形的面积可以表示为c2,
也可以表示为4×ab+(b-a)2=a2+b2,即a2+b2=c2,
所以a2,b2,c2之间的数量关系为a2+b2=c2;
③题图2中大正方形的面积是25,即a2+b2=25,
小正方形的面积是4,即(b-a)2=4,
∴a2-2ab+b2=4,
∴2ab=21,
那么题图3中最大的正方形的面积为(a+b)2=a2+2ab+b2=25+21=46.
答案:46
19. (10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF,A,B,C的对应点分别是点D,E,F.
(1)若∠DAC=60°,求∠DFE的度数.
(2)若BC=8,在平移过程中,当AD=3EC时,求AD的长.
【解析】(1)∵△ABC沿射线BC方向平移,得到△DEF,
∴AC∥DF,AD∥BF,
∴∠DAC+∠ACF=180°,∠ACF+∠DFE=180°,
∴∠DFE=∠DAC=60°.
(2)∵△ABC沿射线BC方向平移,得到△DEF,
∴AD=BE=CF,
设AD=x,则BE=CF=x.
∵AD=3EC,∴EC=x.
当点E在点C左侧时,
∵BC=8,∴x+x=8,
解得x=6,即AD的长为6.
当点E在点C右侧时,同理可得,x-x=8,解得x=12,
综上所述,AD=6或12.
20.(10分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°.点E,F分别为AB,AC的中点,H为线段EF上一动点(不与点E,F重合),将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG,连接GC,HB.
(1)证明:△AHB≌△AGC;
(2)如图2,连接GF,HG,HG交AC于点Q.
①当EH=3,FH=4,求AH的值;
②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时,△AQG为等腰三角形 (不要求写解答过程,只需直接写出答案即可)
【解析】(1)由旋转得:AH=AG,∠HAG=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAH=∠CAG,
∵AB=AC,
∴△AHB≌△AGC(SAS);
(2)①∵在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵点E,F分别为AB,AC的中点,
∴AE=AB,AF=AC,
∵AB=AC,
∴AE=AF,∴∠AEF=∠AFE=45°,
∵∠EAH=∠FAG,AH=AG,
∴△AEH≌△AFG(SAS),
∴∠AFG=∠AEH=45°,FG=EH=3,
∴∠HFG=45°+45°=90°,
∴HG===5,
在Rt△AHG中,AH2+AG2=HG2,∴AH=HG=.
②分两种情况:
(i)如图,当AQ=QG时,
∵∠HAG=90°,AH=AG,
∴∠AHG=∠AGH=45°,
∵AQ=QG,∴∠QAG=∠AGQ=45°,
∴∠HAF=∠HAG-∠QAG=90°-45°=45°,
∵AE=AF=AB=2,
∴EF==2,
∴EH=EF=.
(ii)如图,当AG=QG时,∠GAQ=∠AQG,
∵∠AEH=∠AGQ=45°,∠EAH=∠GAQ,
∴∠AHE=∠AQG=∠EAH,
∴EH=AE=2,
∴当EH的长度为2时,△AQG为等腰三角形.
综上,当EH的长度为或2时,△AQG为等腰三角形.
【附加题】(10分)
1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120°时,
如图1,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',由PC=P'C,
∠PCP'=60°,可知△PCP'为①　　　三角形,故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B,
由②__________　可知,当B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”,
且有∠APC=∠BPC=∠APB=③__________　;
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若∠BAC≥120°,则该三角形的“费马点”为④__________点.
(2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值;
(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知AC=4 km,BC=2 km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/ km,a元/km,a元/km,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为__________元.(结果用含a的式子表示)
【解析】(1)∵PC=P'C,∠PCP'=60°,
∴△PCP'为等边三角形,
∴PP'=PC,∠P'PC=∠PP'C=60°,
又∵P'A'=PA,
∴PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B,
根据两点之间线段最短可知,当B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,最小值为A'B,
此时的P点为该三角形的“费马点”,
∴∠BPC+∠P'PC=180°,∠A'P'C+∠PP'C=180°,
∴∠BPC=120°,∠A'P'C=120°,
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,
∴△APC≌△A'P'C,
∴∠APC=∠A'P'C=120°,
∴∠APB=360°-120°-120°=120°,
∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°,
∵∠BAC≥120°,∴BC>AC,BC>AB,
∴BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,
∴三个顶点中顶点A到另外两个顶点的距离和最小,
又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点,
∴该三角形的“费马点”为点A.
答案:①等边　②两点之间线段最短 ③120°　④A
(2)如图,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',A'P,
由(1)可知当B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,最小值为A'B,
∵∠ACP=∠A'CP',
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°,
又∵∠PCP'=60°,∴∠BCA'=90°,
根据旋转的性质可知:AC=A'C=3,
∴A'B==5,
即PA+PB+PC的最小值为5;
(3)∵总铺设成本=PA×a+PB×a+PC×a=a(PA+PB+PC),∴当PA+PB+PC最小时,总铺设成本最低,
将△APC绕点C顺时针旋转90°得到△A'P'C,连接PP',A'B,如图.
由旋转的性质可知:P'C=PC,∠PCP'=∠ACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4 km,∴PP'=PC,
∴PA+PB+PC=P'A'+PB+PP',
当B,P,P',A'在同一条直线上时,P'A'+PB+PP'取最小值,
即PA+PB+PC取最小值为A'B,
过点A'作A'H⊥BC延长线于H,
∵∠ACB=60°,∠ACA'=90°,
∴∠A'CH=30°,∴A'H=A'C=2 km,
∴HC===2(km),
∴BH=BC+CH=2+2=4(km),
∴A'B===2(km),
即PA+PB+PC的最小值为2 km,
总铺设成本=a(PA+PB+PC)=2a(元).
答案:2a单元质量评价(三)
(第三章 图形的平移与旋转)
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义.下列纹样中,是中心对称图形的是( )
2.下列生活现象中,属于平移的是( )
A.钟摆的摆动　　 B.拉开抽屉
C.足球在草地上滚动　　 D.投影片的文字经投影转换到屏幕上
3.下列说法错误的是( )
A.平移前后的两个图形中,两组对应点的连线平行且相等
B.旋转前后的两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等
C.成轴对称的两个图形中,对应点(不在对称轴上)所连线段被对称轴垂直平分
D.成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分
4.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,点B的对应点D恰好落在边BC上.若∠C=30°,∠CAE=20°,则∠DAC的度数为( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
5.(2025·攀枝花中考)已知直角坐标系xOy,点A在该坐标系中的坐标为(-1,2),现将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90°到x'Oy'的位置,则点A在新坐标系x'Oy'中的坐标为( )
A.(-1,2) B.(2,1) C.(2,-1)　 D.(-2,-1)
6.(2025·北京期中)在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点.将某整点连续进行若干次平移操作,每次平移1个单位长度,平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数:当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移;余数为3时,向下平移.例如点P(2,1)按上述规则连续平移3次:P(2,1)P1(2,0)P2(1,0)P3(1,1),最后得到点P3(1,1).若某整点Q按上述规则连续平移n次后,最后得到点Qn(7,2),则点Q的坐标不可能是( )
A.(10,-2) B.(10,-3) C.(12,-1) D.(12,-2)
7.(2025·石家庄质检)如图,两个直角三角形重叠在一起,将△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,则下列说法正确的有__________个( )
①AC∥DF;②∠A=∠D;③AD=CE;④若AB=9,DH=3,阴影部分的面积为30,则BE=4;⑤若△ABC的面积是2,点B平移到BC的中点时,则△ABC扫过的面积是6.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.将一副三角尺如图放置,点B,D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G.∠C=
∠EFB=90°,∠A=60°,∠E=45°,现将图中的△ABC绕点G按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°,在旋转的过程中,△ABC恰有一边与DE平行的时间为( )
A.1秒或9秒 B.9秒或11秒
C.1秒或3秒或9秒 D.3秒或9秒或11秒
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2025·西安期中)如图,数学探究延伸课上,王老师将木条a,b与c钉在一起,木条a与木条c交于点O,∠1=75°,∠2=40°,要使木条a与木条b平行,木条a绕点O顺时针旋转的最少度数是 .
10.在平面直角坐标系中,若点A(7,a)与点B(b,-4)关于原点对称,则a+b的值是 .
11.夏季荷花盛开,为了便于游客领略“人从桥上过,如在河中行”的美好意境,大明湖某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥.若荷塘周长为280 m,桥宽忽略不计,则小桥总长为 m.
12.如图,BO是等腰三角形ABC的底边中线,AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C中心对称,连接AP,则AP的长是 .
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,将周长为14的△ABC沿BC向右平移4个单位长度得到△DEF,连接AD,AC,DE交于点O,有下列结论:①AC∥DF,AC=DF;②DE⊥AC;③四边形ABFD的周长是22;④S四边形ABEO=S四边形CFDO.其中正确的结论有 个.
14.(2025·无锡期中)如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,将△ABC绕点A顺时针旋转,点B,C的对应点分别是B',C',若点D为线段AB的中点,点E为线段B'C'上一动点,则在旋转过程中,线段ED的最小值为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点O,△ABC的顶点A,B,C均在格点(网格线的交点)上.
(1)把△ABC先向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1,在图中画出△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
16.(8分)(2025·三明期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,将△ABD沿BC的方向平移,点D移至点C的位置,得到△EFC,求证:∠E=∠ACE.
17. (8分)如图,将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F,连接AD,BF,且BF=AF.
(1)求证:AD∥BC;
(2)求证:AD=2AE.
18. (8分)(2025·常州期中)在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90度.
(1)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是 (写出所有正确结论的序号);
①正三角形;②正方形;③正六边形;④正八边形
(2)写出一个多边形,它是旋转对称图形,有一个旋转角为72°,并且满足:既是轴对称图形,又是中心对称图形:__________;
(3)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”,它是由四个大小相等,形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图2),设直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,最长的斜边为c.
①此正方形会标是旋转对称图形吗 __________;(是或不是)
②根据图2猜想a2,b2,c2之间的数量关系,并说明理由;
③若图2中大正方形的面积是25,小正方形的面积是4,现将四个直角三角形按如图3的形式重新摆放,那么图3中最大的正方形的面积为__________.
19. (10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF,A,B,C的对应点分别是点D,E,F.
(1)若∠DAC=60°,求∠DFE的度数.
(2)若BC=8,在平移过程中,当AD=3EC时,求AD的长.
20.(10分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°.点E,F分别为AB,AC的中点,H为线段EF上一动点(不与点E,F重合),将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG,连接GC,HB.
(1)证明:△AHB≌△AGC;
(2)如图2,连接GF,HG,HG交AC于点Q.
①当EH=3,FH=4,求AH的值;
②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时,△AQG为等腰三角形 (不要求写解答过程,只需直接写出答案即可)
【附加题】(10分)
1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120°时,
如图1,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',由PC=P'C,
∠PCP'=60°,可知△PCP'为 三角形,故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B,
由 __________ 可知,当B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”,
且有∠APC=∠BPC=∠APB= __________ ;
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若∠BAC≥120°,则该三角形的“费马点”为 __________点.
(2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值;
(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知AC=4 km,BC=2 km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/ km,a元/km,a元/km,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为__________元.(结果用含a的式子表示)

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