资源简介

单元质量评价(四)
(第四章 因式分解)
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.5y3与y的公因式是( )
A.5y3 B.y C.5y D.5
2.(2025·信阳期末)下列因式分解正确的是( )
A.2-8a2=2(1+2a)(1-2a) B.4x2-4xy+1=(2x+1)2
C.x2+x-2=(x+1)-2 D.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
3.若x2-mx+4能用完全平方公式进行因式分解,则常数m的值为( )
A.4 B.-4 C.4或-4 D.不能确定
4.下列多项式:①-y2+x2;②2(a+b)2+4x2;③(a+b)2+4a2b2;④2x2+y2;⑤(3a)2-4(2b)2;
⑥9(a-b)2-16(a+b)2.能用平方差公式因式分解的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.将多项式x2-x-2进行因式分解,结论正确的为( )
A.(x-1)(x-2) B.(x+1)(x+2) C.(x+1)(x-2) D.(x-1)(x+2)
6.若a,b,c是△ABC的三边长,则a2-(b-c)2的结果( )
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.不确定
7.某课外密码研究小组接收到一条密文:8x(m2-n2)-8y(m2-n2).已知密码手册的部分信息如表所示:
密文 … m-n m+n x-y x+y 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文8x(m2-n2)-8y(m2-n2)用因式分解解码后,明文可能是( )
A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大
8.计算+++…+++=( )
A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.把x2+5x+c分解因式,得(x+2)(x+3),则c的值为 .
10.(2025·绥化中考)分解因式:2mx2-4mxy+2my2= .
11.(2025·杭州期末)如图,已知a,b两个数落在隐去原点的数轴上,有下列说法:
①a-b<0;②a+b<-2;③a+b+ab+1<0,其中正确的是 .(只填写序号)
12.(2025·衡水期末)阅读题:分解因式:x2+2x-3.
原式=x2+2x+1-1-3
=(x2+2x+1)-4
=(x+1)2-4
=(x+1+2)(x+1-2)
=(x+3)(x-1).
此方法是抓住二次项和一次项的特点,然后加一项,使这三项为完全平方式,我们称这种方法为配方法.此题用配方法分解因式.请体会配方法的特点,然后用配方法解决下列问题:在实数范围内分解因式:4a2+4a-1= .
13.小李在计算2 0253-2 025时,发现其计算结果能被三个连续整数整除,则这三个整数是 .
14. (2025·武汉期末)如图所示的是2025年1月份的月历,“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字(两种阴影图形可以重叠覆盖,也可以上下左右平移).将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作m,将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n,若m-n=30,则m+n的值为 .
三、解答题(共52分)
15.(9分)(1)分解因式:3xy2+6xy+3x;
(2)分解因式:a2(a-b)+b2(b-a);
(3)利用因式分解计算:762-32×76+162.
16.(7分)已知实数a,b满足a+b=2,ab=-15.
(1)求代数式a2+b2的值;
(2)求代数式-3(a2+b2)+a3b+ab3的值.
17.(8分)在学习对复杂多项式进行因式分解时,老师示范了如下例题:
例:因式分解:(x2+6x+5)(x2+6x-7)+36 解:设x2+6x=y 原式=(y+5)(y-7)+36第一步 =y2-2y+1第二步 =(y-1)2第三步 =(x2+6x-1)2第四步
完成下列任务:
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的__________;(填序号)
①提取公因式;　②平方差公式;　③两数和的完全平方公式;　④两数差的完全平方公式.
(2)请你模仿例题因式分解:(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4.
18. (8分)如图,把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为b(b<)厘米的小正方形,折成一个无盖的正方体纸盒.
(1)①用含a,b的式子表示纸片(阴影部分)的面积;
②当a=6.4,b=1.8时,利用因式分解法计算阴影部分的面积.
(2)当a+2b=8,ab=2时,求出纸盒的底面积.
19.(10分)我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b),所以x2+6x-7=x2+[7+(-1)]x+7×(-1)=(x+7)[x+(-1)]=(x+7)(x-1).
但小明在学习中发现,对于x2+6x-7还可以使用以下方法分解因式.
x2+6x-7=x2+6x+9-7-9=(x+3)2-16=(x+3)2-42
=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1).
如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法,配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
例如:求代数式2x2+4x-6的最小值.
2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x2+2x+1-3-1)=2(x+1)2-8.
因为(x+1)2≥0,所以2(x+1)2-8≥-8,
所以当x=-1时,2x2+4x-6有最小值,最小值是-8.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:①x2-10x+9;②x2-8xy+7y2.
(2)当x为何值时,多项式-2x2-8x+3有最大值 并求出这个最大值.
(3)利用配方法,尝试求出等式a2+2b2-2ab-2b+1=0中a,b的值.
20.(10分)(2025·衡阳质检)“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下.
甲:a2-2ab-4+b2 =(a2-2ab+b2)-4(分成两组) =(a-b)2-22(直接运用公式) =(a-b+2)(a-b-2). 乙:a2-ab-a+b =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) =a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b)(a-1).
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)分解因式:9x2-6xy+y2-16;
(2)若a,b,c分别为△ABC三边的长.
①若满足ac-bc+a2-2ab+b2=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.
②若满足a2+b2=12a+8b-52,求c的范围.
【附加题】(10分)
阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.
解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
∴(m-n)2+(n-4)2=0,
∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0,∴(m-n)2=0,(n-4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)a2+b2-4a+4=0,则a=__________;b=__________.
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,关于此三角形形状的命题:
①它是等边三角形;②它属于等腰三角形;③它属于锐角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为__________.
(3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且a2+b2-2a-6b+10=0,求△ABC的周长.单元质量评价(四)
(第四章 因式分解)
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.5y3与y的公因式是(B)
A.5y3 B.y C.5y D.5
2.(2025·信阳期末)下列因式分解正确的是(A)
A.2-8a2=2(1+2a)(1-2a) B.4x2-4xy+1=(2x+1)2
C.x2+x-2=(x+1)-2 D.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
3.若x2-mx+4能用完全平方公式进行因式分解,则常数m的值为(C)
A.4 B.-4 C.4或-4 D.不能确定
4.下列多项式:①-y2+x2;②2(a+b)2+4x2;③(a+b)2+4a2b2;④2x2+y2;⑤(3a)2-4(2b)2;
⑥9(a-b)2-16(a+b)2.能用平方差公式因式分解的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.将多项式x2-x-2进行因式分解,结论正确的为(C)
A.(x-1)(x-2) B.(x+1)(x+2) C.(x+1)(x-2) D.(x-1)(x+2)
6.若a,b,c是△ABC的三边长,则a2-(b-c)2的结果(A)
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.不确定
7.某课外密码研究小组接收到一条密文:8x(m2-n2)-8y(m2-n2).已知密码手册的部分信息如表所示:
密文 … m-n m+n x-y x+y 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文8x(m2-n2)-8y(m2-n2)用因式分解解码后,明文可能是(D)
A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大
8.计算+++…+++=(D)
A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.把x2+5x+c分解因式,得(x+2)(x+3),则c的值为　6　.
10.(2025·绥化中考)分解因式:2mx2-4mxy+2my2=　2m(x-y)2　.
11.(2025·杭州期末)如图,已知a,b两个数落在隐去原点的数轴上,有下列说法:
①a-b<0;②a+b<-2;③a+b+ab+1<0,其中正确的是　①③　.(只填写序号)
12.(2025·衡水期末)阅读题:分解因式:x2+2x-3.
原式=x2+2x+1-1-3
=(x2+2x+1)-4
=(x+1)2-4
=(x+1+2)(x+1-2)
=(x+3)(x-1).
此方法是抓住二次项和一次项的特点,然后加一项,使这三项为完全平方式,我们称这种方法为配方法.此题用配方法分解因式.请体会配方法的特点,然后用配方法解决下列问题:在实数范围内分解因式:4a2+4a-1=　(2a+1-)(2a+1+)　.
13.小李在计算2 0253-2 025时,发现其计算结果能被三个连续整数整除,则这三个整数是　2 024,2 025,2 026　.
14. (2025·武汉期末)如图所示的是2025年1月份的月历,“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字(两种阴影图形可以重叠覆盖,也可以上下左右平移).将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作m,将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n,若m-n=30,则m+n的值为　900　.
三、解答题(共52分)
15.(9分)(1)分解因式:3xy2+6xy+3x;
(2)分解因式:a2(a-b)+b2(b-a);
(3)利用因式分解计算:762-32×76+162.
【解析】(1)3xy2+6xy+3x
=3x(y2+2y+1)
=3x(y+1)2;
(2)a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b);
(3)762-32×76+162
=762-2×16×76+162
=(76-16)2
=3 600.
16.(7分)已知实数a,b满足a+b=2,ab=-15.
(1)求代数式a2+b2的值;
(2)求代数式-3(a2+b2)+a3b+ab3的值.
【解析】(1)∵a+b=2,ab=-15,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab
=22-2×(-15)
=34;
(2)∵a2+b2=34,ab=-15,
∴-3(a2+b2)+a3b+ab3
=-3(a2+b2)+ab(a2+b2)
=(-3+ab)(a2+b2)
=(-3-15)×34
=-612.
17.(8分)在学习对复杂多项式进行因式分解时,老师示范了如下例题:
例:因式分解:(x2+6x+5)(x2+6x-7)+36 解:设x2+6x=y 原式=(y+5)(y-7)+36第一步 =y2-2y+1第二步 =(y-1)2第三步 =(x2+6x-1)2第四步
完成下列任务:
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的__________;(填序号)
①提取公因式;　②平方差公式;　③两数和的完全平方公式;　④两数差的完全平方公式.
(2)请你模仿例题因式分解:(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4.
【解析】(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式.
答案:④
(2)设a2-4a=x,
原式=(x+2)(x+6)+4
=x2+8x+16
=(x+4)2
=(a2-4a+4)2
=(a-2)4.
18. (8分)如图,把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为b(b<)厘米的小正方形,折成一个无盖的正方体纸盒.
(1)①用含a,b的式子表示纸片(阴影部分)的面积;
②当a=6.4,b=1.8时,利用因式分解法计算阴影部分的面积.
(2)当a+2b=8,ab=2时,求出纸盒的底面积.
【解析】(1)①由题图得:纸片(阴影部分)的面积为(a2-4b2)平方厘米;
②∵a=6.4,b=1.8,
∴a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(6.4+2×1.8)×(6.4-2×1.8)=10×2.8=28(平方厘米);
(2)∵a+2b=8,ab=2,
∴纸盒的底面积为(a-2b)2=a2-4ab+4b2=(a+2b)2-8ab=82-8×2=48(平方厘米).
19.(10分)我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b),所以x2+6x-7=x2+[7+(-1)]x+7×(-1)=(x+7)[x+(-1)]=(x+7)(x-1).
但小明在学习中发现,对于x2+6x-7还可以使用以下方法分解因式.
x2+6x-7=x2+6x+9-7-9=(x+3)2-16=(x+3)2-42
=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1).
如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法,配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
例如:求代数式2x2+4x-6的最小值.
2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x2+2x+1-3-1)=2(x+1)2-8.
因为(x+1)2≥0,所以2(x+1)2-8≥-8,
所以当x=-1时,2x2+4x-6有最小值,最小值是-8.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:①x2-10x+9;②x2-8xy+7y2.
(2)当x为何值时,多项式-2x2-8x+3有最大值 并求出这个最大值.
(3)利用配方法,尝试求出等式a2+2b2-2ab-2b+1=0中a,b的值.
【解析】(1)①x2-10x+9
=(x2-10x+25)-16
=(x-5)2-42
=(x-5+4)(x-5-4)
=(x-1)(x-9);
②x2-8xy+7y2
=(x2-8xy+16y2)-9y2
=(x-4y)2-(3y)2
=(x-4y+3y)(x-4y-3y)
=(x-y)(x-7y);
(2)由题意得,-2x2-8x+3
=-2(x2+4x-)
=-2(x2+4x+4--4)
=-2(x+2)2+11,
∵-2(x+2)2≤0,
∴-2(x+2)2+11≤11,
∴当x=-2时,
多项式-2x2-8x+3有最大值11.
(3)a2+2b2-2ab-2b+1=0,
∴(a2-2ab+b2)+(b2-2b+1)=0,
配方得(a-b)2+(b-1)2=0,
解得a=1,b=1.
20.(10分)(2025·衡阳质检)“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下.
甲:a2-2ab-4+b2 =(a2-2ab+b2)-4(分成两组) =(a-b)2-22(直接运用公式) =(a-b+2)(a-b-2). 乙:a2-ab-a+b =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) =a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b)(a-1).
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)分解因式:9x2-6xy+y2-16;
(2)若a,b,c分别为△ABC三边的长.
①若满足ac-bc+a2-2ab+b2=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.
②若满足a2+b2=12a+8b-52,求c的范围.
【解析】(1)9x2-6xy+y2-16
=(9x2-6xy+y2)-16
=(3x-y)2-42
=(3x-y+4)(3x-y-4);
(2)①△ABC为等腰三角形,理由如下:
∵ac-bc+a2-2ab+b2=0,
∴(a-b)c+(a-b)2=0,
∴(a-b)(a-b+c)=0,
又∵a,b,c分别为△ABC三边的长,
∴a+c>b,
∴a-b+c>0,
∴a-b=0,
∴a=b,
即△ABC为等腰三角形;
②∵a2+b2=12a+8b-52,
∴a2-12a+36+b2-8b+16=0,
∴(a-6)2+(b-4)2=0,
∵(a-6)2≥0,(b-4)2≥0,
∴a-6=0,b-4=0,
解得a=6,b=4,
∵a,b,c分别为△ABC三边的长,
∴a-b∴2即c的范围为2【附加题】(10分)
阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.
解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
∴(m-n)2+(n-4)2=0,
∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0,∴(m-n)2=0,(n-4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)a2+b2-4a+4=0,则a=__________;b=__________.
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,关于此三角形形状的命题:
①它是等边三角形;②它属于等腰三角形;③它属于锐角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为__________.
(3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且a2+b2-2a-6b+10=0,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵a2+b2-4a+4=0,∴(a2-4a+4)+b2=0,∴(a-2)2+b2=0,
又∵(a-2)2≥0,b2≥0,∴a-2=0且b=0,∴a=2且b=0.
答案:2　0
(2)∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,
∴(a2-2ab+b2)+(c2-2bc+b2)=0,
∴(a-b)2+(c-b)2=0,
又∵(a-b)2≥0且(c-b)2≥0,∴a=b,b=c,∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.
答案:①②③④
(3)∵a2+b2-2a-6b+10=0,∴(a2-2a+1)+(b2-6b+9)=0,
∴(a-1)2+(b-3)2=0,
又∵(a-1)2≥0,(b-3)2≥0,∴a-1=0,b-3=0,∴a=1,b=3,
在△ABC中,a,b,c分别为三角形的三边,
∵b-a又∵c是正整数,∴c=3,
∴当c=3时,△ABC的周长为a+b+c=1+3+3=7.

展开更多......

收起↑