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单元质量评价(五)
(第五章 分式与分式方程)
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在式子,,(x-y),中,分式的个数为(B)
A.4 B.3 C.2 D.1
2.计算:-=(A)
A.2 B.2a-b C. D.
3.要使分式有意义,则x的取值为(B)
A.x≠3 B.x≠-3 C.x>0 D.x>-3
4.下列分式中,是最简分式的是(A)
A. B. C. D.
5.数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程为(C)
A.-=10 B.-=10 C.-= D.-=
6.若x为正整数,则表示(x+)÷的值的点落在图中的__________区域(B)
A.① B.② C.③ D.④
7.若关于x的方程-2=的解为正数,则m的取值范围是(D)
A.m>- B. m< C.m>-且m≠0 D. m<且m≠
8.甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,若相向而行,则a h相遇;若同向而行,则b h甲追上乙.甲、乙两人的速度之比为(C)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.分式,的最简公分母为　abx2　.
10.若分式的值为0,则x=　-1　.
11.(2025·长沙期中)计算-a-b的值为 　.
12.(2024·辽宁中考)方程=1的解为　x=3　.
13.我们把形如x+=a+b(a,b不为零),且两个解分别为x1=a,x2=b的方程称为“完美分式方程”.例如x+=4为“完美分式方程”,可化为x+=1+3,∴x1=1,x2=3.
再如x+=-6为“完美分式方程”,可化为x+=(-2)+(-4),∴x1=-2,x2=-4.
应用上面的结论解答问题:已知“完美分式方程”x+=p的两个解分别为x1=m,x2=n.若p=3,q=-2,则+的值为　-　.
14.(2025·重庆期末)在平面直角坐标系中,点A(a-6,4-a)关于x轴的对称点在第三象限,关于y的分式方程3-=的解为非负整数,则所有满足条件的整数a的绝对值之和为　9　.
三、解答题(共52分)
15.(8分)化简:(1)÷-;
(2)÷(-).
【解析】(1)原式=·-
=-
=-
=
=
=.
(2)原式=÷
=÷
=·
=.
16.(8分)解分式方程:(1)-=0;　　　(2)=.
【解析】(1)去分母,得3(x-2)-2x=0,
去括号,得3x-6-2x=0,
移项,得3x-2x=6,
合并同类项,得x=6,
经检验:当x=6时,x(x-2)≠0,
∴这个分式方程的解为x=6.
(2)=,
两边都乘(x+1)(x-1),得2(x+1)=4,解得x=1,
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴x=1是分式方程的增根,原方程无解.
17.(8分)化简分式:+,并求值(请从小宇和小丽的对话中确定a,b的值).
【解析】依题意,a=-3,1+
=+
=+
=,
当a=-3,b=2时,原式==-.
18.(8分)为了健全分时电价机制,引导电动汽车在用电低谷时段充电,某市实施峰谷分时电价制度,用电高峰时段(简称峰时):7:00—23:00,用电低谷时段(简称谷时):23:00—次日7:00,峰时电价比谷时电价高0.2元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电,某月的峰时电费为50元,谷时电费为30元,并且峰时用电量与谷时用电量相等,求该市谷时电价.
【解析】设该市谷时电价为x元/度,则峰时电价为(x+0.2)元/度,根据题意得,
=,
解得x=0.3,经检验x=0.3是原方程的解,且符合题意,
答:该市谷时电价为0.3元/度.
19.(10分)(2025·昭通期末)已知关于x的分式方程-=2.
(1)当a=1时,求分式方程的解.
(2)若该分式方程有增根,求a的值.
【解析】(1)当a=1时,原分式方程为-=2,
去分母,得2+1=2(x-3),
解得x=,
检验:当x=时,x-3≠0,
∴x=是原分式方程的解.
(2)去分母,得2+a=2(x-3),
解得x=,
∵该分式方程有增根,
∴x-3=0,即x=3,
∴=3,解得a=-2,
∴当a=-2时,该分式方程有增根.
20.(10分)【问题背景】2024年4月23日是第29个“世界读书日”,为给师生提供更加良好的阅读环境,学校决定扩大图书馆面积,增加藏书数量,现需购进20个书架用于摆放书籍.
【素材呈现】
素材一:有A,B两种书架可供选择,A种书架的单价比B种书架单价高20%;
素材二:用18 000元购买A种书架的数量比用9 000元购买B种书架的数量多6个;
素材三:A种书架数量不少于B种书架数量的.
【问题解决】
(1)求出A,B两种书架的单价;
(2)设购买a个A种书架,购买总费用为w元,求w与a的函数关系式,并求出费用最少时的购买方案;
(3)实际购买时,商家调整了书架价格,A种书架每个降价m元,B种书架每个涨价m元,按(2)的购买方案需花费21 120元,求m的值.
【解析】(1)设B种书架的单价为x元,则A种书架的单价为(1+20%)x元.
由题意得-=6,解得x=1 000,
经检验,x=1 000是分式方程的解,且符合题意,
∴(1+20%)x=1 200.
答:A,B两种书架的单价分别为1 200元,1 000元.
(2)当购买a个A种书架时,购买总费用w=1 200a+1 000(20-a),即w=200a+20 000,
由题意得,a应满足:a≥(20-a),解得a≥8.
∵200>0,∴w随着a的增大而增大,∴当a=8时,w的值最小,最小值为200×8+20 000=21 600,
∴费用最少时购买A种书架8个,B种书架12个.
(3)由题意得(1 200-m)×8+(1 000+m)×12=21 120,解得m=120.
【附加题】(10分)
(2024·青岛中考)为培养学生的创新意识,提高学生的动手能力,某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元,用2 000元购买航空模型的数量是用1 800 元购买航海模型数量的.
(1)求航空和航海模型的单价;
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销:航空模型八折优惠.若购买航空、航海模型共120个,且航空模型数量不少于航海模型数量的,请问分别购买多少个航空和航海模型,学校花费最少
【解析】(1)设航空模型的单价为x元,则航海模型的单价为(x-35)元,
由题意得,=×,解得x=125,检验,当x=125时,x(x-35)≠0,
∴x=125是原方程的解,且符合题意,∴x-35=90,
答:航空模型的单价为125元,航海模型的单价为90元.
(2)设购买航空模型m个,花费y元,则购买航海模型(120-m)个,
由题意得,m≥(120-m),解得m≥40,
y=125×0.8m+90(120-m)=10m+10 800,
∵10>0,∴y随m的增大而增大,
∴当m=40时,y有最小值,最小值为10×40+10 800=11 200,此时有120-m=80,
答:当购买航空模型40个,航海模型80个时,学校花费最少.单元质量评价(五)
(第五章 分式与分式方程)
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在式子,,(x-y),中,分式的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.计算:-=( )
A.2 B.2a-b C. D.
3.要使分式有意义,则x的取值为( )
A.x≠3 B.x≠-3 C.x>0 D.x>-3
4.下列分式中,是最简分式的是( )
A. B. C. D.
5.数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程为( )
A.-=10 B.-=10 C.-= D.-=
6.若x为正整数,则表示(x+)÷的值的点落在图中的__________区域( )
A.① B.② C.③ D.④
7.若关于x的方程-2=的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m>- B. m< C.m>-且m≠0 D. m<且m≠
8.甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,若相向而行,则a h相遇;若同向而行,则b h甲追上乙.甲、乙两人的速度之比为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.分式,的最简公分母为 .
10.若分式的值为0,则x= .
11.(2025·长沙期中)计算-a-b的值为 .
12.(2024·辽宁中考)方程=1的解为 .
13.我们把形如x+=a+b(a,b不为零),且两个解分别为x1=a,x2=b的方程称为“完美分式方程”.例如x+=4为“完美分式方程”,可化为x+=1+3,∴x1=1,x2=3.
再如x+=-6为“完美分式方程”,可化为x+=(-2)+(-4),∴x1=-2,x2=-4.
应用上面的结论解答问题:已知“完美分式方程”x+=p的两个解分别为x1=m,x2=n.若p=3,q=-2,则+的值为 .
14.(2025·重庆期末)在平面直角坐标系中,点A(a-6,4-a)关于x轴的对称点在第三象限,关于y的分式方程3-=的解为非负整数,则所有满足条件的整数a的绝对值之和为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)化简:(1)÷-;
(2)÷(-).
16.(8分)解分式方程:(1)-=0;　　　(2)=.
17.(8分)化简分式:+,并求值(请从小宇和小丽的对话中确定a,b的值).
18.(8分)为了健全分时电价机制,引导电动汽车在用电低谷时段充电,某市实施峰谷分时电价制度,用电高峰时段(简称峰时):7:00—23:00,用电低谷时段(简称谷时):23:00—次日7:00,峰时电价比谷时电价高0.2元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电,某月的峰时电费为50元,谷时电费为30元,并且峰时用电量与谷时用电量相等,求该市谷时电价.
19.(10分)(2025·昭通期末)已知关于x的分式方程-=2.
(1)当a=1时,求分式方程的解.
(2)若该分式方程有增根,求a的值.
20.(10分)【问题背景】2024年4月23日是第29个“世界读书日”,为给师生提供更加良好的阅读环境,学校决定扩大图书馆面积,增加藏书数量,现需购进20个书架用于摆放书籍.
【素材呈现】
素材一:有A,B两种书架可供选择,A种书架的单价比B种书架单价高20%;
素材二:用18 000元购买A种书架的数量比用9 000元购买B种书架的数量多6个;
素材三:A种书架数量不少于B种书架数量的.
【问题解决】
(1)求出A,B两种书架的单价;
(2)设购买a个A种书架,购买总费用为w元,求w与a的函数关系式,并求出费用最少时的购买方案;
(3)实际购买时,商家调整了书架价格,A种书架每个降价m元,B种书架每个涨价m元,按(2)的购买方案需花费21 120元,求m的值.
【附加题】(10分)
(2024·青岛中考)为培养学生的创新意识,提高学生的动手能力,某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元,用2 000元购买航空模型的数量是用1 800 元购买航海模型数量的.
(1)求航空和航海模型的单价;
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销:航空模型八折优惠.若购买航空、航海模型共120个,且航空模型数量不少于航海模型数量的,请问分别购买多少个航空和航海模型,学校花费最少

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