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单元质量评价(一)
第一章 三角形的证明
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是(A)
A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法
2.(2025·西安二模)如图,D是△ABC的边AC上的一点,AE经过BD的中点且垂直于BD.若AB=10,AC=17,则DC的长为(C)
A.27 B.12 C.7 D.5
3.如图,在△ABC中,有一点P在BC边上移动,若AB=AC=10,BC=16,则AP的最小值为(A)
A.6 B.8 C.10 D.12
4.(2024·九江期末)在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是(C)
A.a∶b∶c=5∶12∶13 B.a∶b∶c=1∶∶
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.∠A+∠B=∠C
5.如图,△ABC为等边三角形,点D是BC边上异于B,C的任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC边上的高线AM=10,则DE+DF=(B)
A.5 B.10 C.8 D.6
6.题目:“如图,∠AOB=60°,C是射线OB反向延长线上的一点,OC=8 cm,动点P从点C出发沿CB以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以2 cm/s的速度移动,已知点P,Q同时出发,t(s)表示移动的时间,若△POQ是等腰三角形,求t的值.”对于其答案,甲答:“t=.”乙答:“t=8.”则正确的是(C)
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.甲、乙合在一起才正确 D.甲、乙合在一起也不正确
7.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为斜边BC的中点,点E,F分别在直角边AB,AC上运动(不与端点重合),且保持AE=CF,连接DE,DF,EF.设BE=m,CF=n,EF=p.在点E,F的运动过程中,给出下面三个结论:
①<1;②m2=(p+n)(p-n);③p的最小值为.
上述结论中,所有正确结论的序号是(A)
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
8.(2025·安庆期末)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点G作GD⊥AC于点D,下列五个结论:
①EF=BE+CF;②BG=CG;③∠BGC=90°+∠A;④点G到△ABC各边的距离相等;⑤设GD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.其中一定正确的结论有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°.以点B为圆心,以适当长为半径画弧,分别交AB,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作圆弧,两弧在△ABC的右侧交于点P,作射线BP交AC于点D,则∠PDC的大小为　105°　.
10.(2025·北京期中)如图,△ABC中,∠BAC=67°,PD垂直平分AB,PE垂直平分AC,则∠PBC的度数为　23°　.
11.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,AB=AC=13,点B,C的坐标分别是(8,12),(8,2),则点A的坐标是　(-4,7)　.
12.(2025·宜宾期末)如图,在长方形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE,将△ABE沿BE翻折得到△FBE,EF交BC于点H,延长BF,DC相交于点G.若DG=4,BC=5,则DC= 　.
13.如图,等边三角形ABC的边长为6 cm,动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧,当点D落在BC边上时,点P需移动　1　s.
14.如图,由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,得到正方形ABCD和正方形EFGH,连接BE并延长交线段AD于点M,若∠AMB=2∠BAF,给出下面四个结论:①M是AD的中点;②BF平分∠EBC;③BM=AB.上述结论中,所有正确结论的序号是　①②③　.
三、解答题(共52分)
15. (8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAD=22.5°,求BD的长.
【解析】(1)∵∠BAC=90°=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)∵∠BAC=90°,AB=AC=1,∴BC=,∠B=∠ACB=45°,
∵∠BAD=22.5°,∴∠ADC=67.5°=∠CAD,∴AC=CD=1,∴BD=-1.
16. (8分)(2025·茂名质检)如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O.
(1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上,并说明理由;
(2)若∠BAC=110°,求∠BOC的度数.
【解析】(1)点O在BC的垂直平分线上,理由如下:
如图所示,连接AO,BO,CO,
∵DM,EN分别是AB,AC的垂直平分线,
∴OA=OB,OA=OC,
∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.
(2)∵OM,ON分别垂直平分AB,AC,
∴△ABO,△ACO均为轴对称图形,
∴∠BOM=∠AOM,∠CON=∠AON,
∵OM⊥AB,ON⊥AC,
∴∠AMO=∠ANO=90°,
∵∠BAC=110°,
∴∠MON=360°-90°-90°-110°=70°,
∴∠BOC=∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON=2∠MON=140°.
17. (8分)(2025·邢台期中)下面是多媒体上展示的一道习题,请你将解题过程补充完整.
试题:如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,BC=DC.
求证:∠B+∠D=180°.
证明:延长AD,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别是E和F.
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠CFA=∠CEA=　　　　°,
∵AC平分∠DAB,
∴CE=__________,
在Rt△CDF和Rt△CBE中,
∵,
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(__________),
∴∠B=∠__________.
∵∠CDF+∠ADC=__________°(平角的性质),
∴∠B+∠ADC=__________°.
【解析】证明:延长AD,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别是E和F.
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠CFA=∠CEA=90°,
∵AC平分∠DAB,
∴CE=CF,
在Rt△CDF和Rt△CBE中,
∵,
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL),
∴∠B=∠CDF.
∵∠CDF+∠ADC=180°(平角的性质),
∴∠B+∠ADC=180°.
答案:90　CF　CB　CE　HL　CDF　180　180
18.(8分)(1)如图①,在△ABC中,EF∥BC,点D在EF上,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,若已知BE=5,CF=3,求EF的长度.
(2)如图②,点B,C,G在同一直线上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACG,DE∥BC交AB于点E,交AC于点F,直接写出线段EF与BE,CF的数量关系.
【解析】(1)∵BD为∠ABC的平分线,∴∠EBD=∠CBD,
又∵EF∥BC,∴∠EDB=∠CBD,∴∠EBD=∠EDB,∴BE=ED=5,同理CF=FD=3,
又∵EF=ED+FD,∴EF=BE+CF=8.
(2)EF=BE-CF,理由如下:∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACG,∴∠DBE=∠CBD,
∠DCF=∠DCG,
∵DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD,∠CDF=∠DCG,∴∠BDE=∠DBE,∠CDF=
∠DCF,
∴BE=DE,CF=DF,∴EF=DE-DF=BE-CF.
19.(10分)机器人AD在水平线路BC间(不含B,C)往返运动,BC=10,D为BC上动点,AD⊥BC,AD=6,连接AB,AC.
(1)机器人在运动的过程中,△ABC的周长是否改变 __________　(填“改变”或“不变”);△ABC的面积是否改变 __________　(填“改变”或“不变”).
(2)机器人运动到BC中点时,判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)机器人运动的过程中,△ABC为等腰三角形,点D的位置有__________　处.
【解析】(1)设BD=x.
∵BC=10,
∴CD=BC-BD=10-x,
∵AD⊥BC,AD=6,BD=x,CD=10-x,
∴AB==,
AC==,
∴△ABC的周长为:
AB+AC+BC=++10,
∴△ABC的周长在机器人运动的过程中会发生改变.
∵△ABC的面积S=AD×BC,AD=6,BC=10,
∴S=×6×10=30,
∴△ABC的面积在机器人运动的过程中不会发生改变.
答案:改变　不变
(2)当机器人运动到BC中点时,△ABC是等腰三角形.理由如下:
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∵D为BC中点,
∴BD=DC,
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形;
(3)△ABC为等腰三角形分三种:
当AC=BC=10时,∵AD=6,∠ADC=90°,
∴DC===8,BD=BC-DC=2,
∵∠ADB=90°,
∴AB===2,
根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可以判断出,此时存在等腰三角形△ABC,
当AB=BC=10时,同理可得:AC=2,此时也存在等腰三角形△ABC,
当AB=AC时,根据(2)可知,此时△ABC是等腰三角形.
答案:3
20. (10分)如图,在△ABC中,AB=20 cm,BC=16 cm,点D为线段AB的中点,动点P以2 cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动,同时点Q以a cm/s的速度从C点出发在线段CA上运动,设运动时间为t s.
(1)若AB=AC,P在线段BC上,求当a为何值时,能够在运动过程中有△BPD和△CQP全等的情况
(2)若∠B=60°,求点P出发多长时间后,△BDP为直角三角形
【解析】(1)由题意得BP=2t cm,CQ=at cm,则CP=(16-2t)cm,∵AB=AC,∴∠B=
∠C,
当△BPD≌△CQP,即BP=CQ时,则2t=at,∴a=2;
当△BPD≌△CPQ,即BP=CP,BD=CQ时,
∵D是AB的中点,∴BD=10 cm,∴,∴a=,
综上所述,当a=2或a=时,能够在运动过程中有△BPD和△CQP全等的情况;
(2)如图1所示,当∠BPD=90°时,
∵∠B=60°,∴∠BDP=30°,∴BD=2BP,
∴4t=10,∴t=2.5;
如图2所示,当∠BDP=90°时,同理可得∠BPD=30°,
∴BP=2BD,∴2t=20,∴t=10,∴点P出发2.5 s或10 s后,△BDP为直角三角形.
【附加题】(10分)
在平面直角坐标系xOy中,A(m,0),B(0,m),其中m>0.
(1)若点C(4,3)在第一象限,AB⊥AC,求m的值.
(2)点D为x轴正半轴上一个动点,OD=t,点E的坐标为(n,t),n>t>m,若BD=ED,则在点D运动的过程中,∠EAD的大小是否发生变化 若不变,请求出∠EAD的度数;若变化,请说明∠EAD的大小变化过程.
【解析】(1)过点C作CH⊥x轴于点H,如图1所示:
∵A(m,0),B(0,m),其中m>0.
∴OA=OB=m,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠OAB=45°,
∵AB⊥AC,∴∠CAH=45°,
∴△ACH为等腰直角三角形,
∴AH=CH,
∵点C(4,3),∴OH=4,CH=3,
∴AH=4-m,∴4-m=3,
解得m=1.
(2)∵点D为x轴正半轴上一个动点,OD=t,点E(n,t),n>t>m,∴点D(t,0),且点D在点A的右侧,点E在第一象限,
过点E作EM⊥x轴于点M,如图2所示:
∵OA=OB=m,OD=t,
∴AD=OD-OA=t-m,
∵点E(n,t),∴EM=t,∴OD=EM,
在Rt△ODB和Rt△MED中,,
∴Rt△ODB≌Rt△MED(HL),
∴OB=MD=m,
∴AM=AD+MD=t-m+m=t,
∴AM=EM=t,
∴△AME为等腰直角三角形,
∴∠EAD=45°.
∴在点D运动的过程中,∠EAD的大小不发生变化,始终是45°.单元质量评价(一)
第一章 三角形的证明
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( )
A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法
2.(2025·西安二模)如图,D是△ABC的边AC上的一点,AE经过BD的中点且垂直于BD.若AB=10,AC=17,则DC的长为( )
A.27 B.12 C.7 D.5
3.如图,在△ABC中,有一点P在BC边上移动,若AB=AC=10,BC=16,则AP的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
4.(2024·九江期末)在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.a∶b∶c=5∶12∶13 B.a∶b∶c=1∶∶
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.∠A+∠B=∠C
5.如图,△ABC为等边三角形,点D是BC边上异于B,C的任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC边上的高线AM=10,则DE+DF=( )
A.5 B.10 C.8 D.6
6.题目:“如图,∠AOB=60°,C是射线OB反向延长线上的一点,OC=8 cm,动点P从点C出发沿CB以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以2 cm/s的速度移动,已知点P,Q同时出发,t(s)表示移动的时间,若△POQ是等腰三角形,求t的值.”对于其答案,甲答:“t=.”乙答:“t=8.”则正确的是( )
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.甲、乙合在一起才正确 D.甲、乙合在一起也不正确
7.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为斜边BC的中点,点E,F分别在直角边AB,AC上运动(不与端点重合),且保持AE=CF,连接DE,DF,EF.设BE=m,CF=n,EF=p.在点E,F的运动过程中,给出下面三个结论:
①<1;②m2=(p+n)(p-n);③p的最小值为.
上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
8.(2025·安庆期末)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点G作GD⊥AC于点D,下列五个结论:
①EF=BE+CF;②BG=CG;③∠BGC=90°+∠A;④点G到△ABC各边的距离相等;⑤设GD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.其中一定正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°.以点B为圆心,以适当长为半径画弧,分别交AB,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作圆弧,两弧在△ABC的右侧交于点P,作射线BP交AC于点D,则∠PDC的大小为 .
10.(2025·北京期中)如图,△ABC中,∠BAC=67°,PD垂直平分AB,PE垂直平分AC,则∠PBC的度数为 .
11.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,AB=AC=13,点B,C的坐标分别是(8,12),(8,2),则点A的坐标是 .
12.(2025·宜宾期末)如图,在长方形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE,将△ABE沿BE翻折得到△FBE,EF交BC于点H,延长BF,DC相交于点G.若DG=4,BC=5,则DC= .
13.如图,等边三角形ABC的边长为6 cm,动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧,当点D落在BC边上时,点P需移动 s.
14.如图,由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,得到正方形ABCD和正方形EFGH,连接BE并延长交线段AD于点M,若∠AMB=2∠BAF,给出下面四个结论:①M是AD的中点;②BF平分∠EBC;③BM=AB.上述结论中,所有正确结论的序号是 .
三、解答题(共52分)
15. (8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAD=22.5°,求BD的长.
16. (8分)(2025·茂名质检)如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O.
(1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上,并说明理由;
(2)若∠BAC=110°,求∠BOC的度数.
17. (8分)(2025·邢台期中)下面是多媒体上展示的一道习题,请你将解题过程补充完整.
试题:如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,BC=DC.
求证:∠B+∠D=180°.
证明:延长AD,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别是E和F.
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠CFA=∠CEA= 　°,
∵AC平分∠DAB,
∴CE=__________,
在Rt△CDF和Rt△CBE中,
∵,
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(__________),
∴∠B=∠__________.
∵∠CDF+∠ADC=__________°(平角的性质),
∴∠B+∠ADC=__________°.
18.(8分)(1)如图①,在△ABC中,EF∥BC,点D在EF上,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,若已知BE=5,CF=3,求EF的长度.
(2)如图②,点B,C,G在同一直线上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACG,DE∥BC交AB于点E,交AC于点F,直接写出线段EF与BE,CF的数量关系.
19.(10分)机器人AD在水平线路BC间(不含B,C)往返运动,BC=10,D为BC上动点,AD⊥BC,AD=6,连接AB,AC.
(1)机器人在运动的过程中,△ABC的周长是否改变 __________ (填“改变”或“不变”);△ABC的面积是否改变 __________ (填“改变”或“不变”).
(2)机器人运动到BC中点时,判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)机器人运动的过程中,△ABC为等腰三角形,点D的位置有__________ 处.
20. (10分)如图,在△ABC中,AB=20 cm,BC=16 cm,点D为线段AB的中点,动点P以2 cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动,同时点Q以a cm/s的速度从C点出发在线段CA上运动,设运动时间为t s.
(1)若AB=AC,P在线段BC上,求当a为何值时,能够在运动过程中有△BPD和△CQP全等的情况
(2)若∠B=60°,求点P出发多长时间后,△BDP为直角三角形
【附加题】(10分)
在平面直角坐标系xOy中,A(m,0),B(0,m),其中m>0.
(1)若点C(4,3)在第一象限,AB⊥AC,求m的值.
(2)点D为x轴正半轴上一个动点,OD=t,点E的坐标为(n,t),n>t>m,若BD=ED,则在点D运动的过程中,∠EAD的大小是否发生变化 若不变,请求出∠EAD的度数;若变化,请说明∠EAD的大小变化过程.

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