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期中素养评估
(第一至第三章)
(120分钟　120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各式:①x+3≠0,②-3<0,③3m=5,④a2+2ab+b2,⑤3a+2b<0,其中属于不等式的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2025·青岛中考)围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆放的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(D)
3.若a>b,下列各式一定正确的是(B)
A.-3a>-3b B.a+m>b+m
C.2a<2b D.ac>bc
4.在平面直角坐标系中,点A(1,0)先向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到A',则点A'的坐标是(B)
A.(4,1) B.(-2,1) C.(4,-1) D.(-2,-1)
5.(2025·重庆期中)已知在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象如图所示,若kx+b≤mx+n,则x的取值范围为(B)
A.x≥2 B.x≤-3 C.x≤2 D.x≥-3
6.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,将△ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转180°,得到△A1B1C1,则点A的对应点A1的坐标是(A )
A.(-1,-2) B.(1,2) C.(2,1) D.(-2,-1)
7.若关于x的不等式组无解,则a的取值范围是(A)
A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<3
8.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'.若∠BAC=90°,AB=AC=2,则图中阴影部分的面积为(D)
A.-1 B. C.3-3 D.2-2
9.(2025·深圳二模)如图,可折叠工具箱共有三层,工具箱打开前,连接装置与水平方向的夹角为30°,连接装置转动90°后箱子完全打开,每一根连接装置长15 cm(可看作一条线段),当三层工具箱完全打开后,整体高度比打开前增加__________cm.(C)
A.15 B.30 C.15-15 D.-
10.如图,在△ABC中,∠A=30°,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE,延长AC分别交BD,DE于点F,G,连接BG.下列结论:
①∠FGE=120°;②AG⊥BD;③DG=BG;④AG=DE+BE,其中正确的是(C)
A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2025·石家庄期末)等腰三角形的一个内角为100°,则它的底角为　40°　.
12.满足不等式3-x<0的最小整数解是　7　.
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为点D,若∠B=2∠C,BC=4,则CD=　3　.
14.已知当x≥2时x的最小值为a,当x≤-3时x的最大值为b,则ab=　-6　.
15.(2025·济南期末)如图,点A的坐标为(-1,1),点B在x轴上,把线段AB沿x轴向右平移得到CD,若四边形ABDC的面积为,则点C的坐标为　(,1)　.
16.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在边BC上,AD=BD,点E在边AD上,且∠BED=45°,若CD=5,AE=6,则AC的长为　12　.
17.(2025·内江中考)对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解,则实数P的取值范围是　-17≤P<-7　 .
18.如图,在△ABC中,AC=1,BC=,AB=2,且AC在直线l上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①,可得到点P1;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=2+;将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=3+,……按此规律继续旋转,直到得到点P2 025,则AP2 025=　2 025+675　.
三、解答题(共66分)
19.(6分)(1)解不等式:>2x.
(2)解不等式组:.
【解析】(1)>2x,去分母,得3x-5>4x,移项,得3x-4x>5,合并同类项,得-x>5,不等式的两边都除以-1,得x<-5.
(2),
解不等式①得x≤4,解不等式②得x>2,
∴原不等式组的解集为220. (6分)如图,已知△ABC中,∠C=50°,将AB沿射线BC方向平移至DE,使E为BC的中点,连接AD,记DE与AC的交点为O.
(1)求证:△AOD≌△COE;
(2)若AC平分∠BAD,求∠B的度数.
【解析】(1)由平移得,AD∥BE,AD=BE,
∴∠OAD=∠C,∠D=∠OEC,
∵E为BC的中点,∴AD=BE=CE,
∴△AOD≌△COE(ASA).
(2)由(1)得,AD∥BE,∴∠OAD=∠C=50°,
∵AC平分∠BAD,∴∠BAD=2∠OAD=100°,
∵AD∥BE,∴∠B=180°-∠BAD=80°.
21.(8分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,在方格纸中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上.
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2;
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求作的三角形:
(2)如图,△A2B2C2即为所求作的三角形:
(3)如图,连接B1B2,C1C2,交于点(2,0),即可得到旋转中心为(2,0).
22.(8分)课题学习
已知竹木工厂生产一种产品,该产品售价为1 000元/套,原材料成本价为550元/套(含设备损耗等),但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水.并且为了达到国家环保要求,工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作.现有两种处理废水的方案可供选择:
方案一:由工厂直接处理,费用为50元/吨,并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20 000元;
方案二:由废水处理厂统一处理,费用为150元/吨.
请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案,使得既达到环保要求,又获得最高利润(可设每月生产了x套产品,获得了y元的月利润).
【解析】根据题意可得:
方案一的利润为:
y1=(1 000-550-50)x-20 000,得y1=400x-20 000;
方案二的利润为:
y2=(1 000-550-150)x,得y2=300x.
∵当y1=y2时,
400x-20 000=300x,解得x=200;
当y1当y1>y2时,400x-20 000>300x,解得x>200.
∴当x=200时,两种方案均可;当0200时,选择方案一利润更高.
23. (8分)如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线MN分别交AC,BC边于点D,E,连接BD.
(1)若CE=4,△BDC的周长为18,求BD的长.
(2)若∠ADM=60°,∠ABD=20°,求∠A的度数.
【解析】(1)∵MN垂直平分BC,∴DC=BD,CE=EB,
又∵EC=4,∴BE=4,
又∵△BDC的周长为18,∴BD+DC=10,∴BD=5;
(2)∵∠ADM=60°,∴∠CDN=60°,
又∵MN垂直平分BC,∴∠DEC=90°,∴∠C=30°,
又∵DC=BD,∴∠C=∠DBC=30°,
∵∠ABD=20°,∴∠ABC=50°,∴∠A=180°-∠C-∠ABC=100°.
24. (8分)(2025·扬州一模)如图,将△AEC绕着点E顺时针旋转得到△BED,点D恰好落在AC边上,AE和BD相交于点O.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)过点E作EH⊥BD,垂足为H,若EH=3,AC=5,求△AEC的面积.
【解析】(1)∵将△AEC绕着点E顺时针旋转得到△BED,
∴ED=EC,∠C=∠EDB,
∴∠EDB=∠ECD=∠EDC,
∵∠1=180°-∠EDB-∠EDC,
∴∠1=180°-∠EDC-∠ECD=∠2.
(2)由题意可知,△AEC≌△BED,AC=5,∴AC=BD=5,
∵EH⊥BD,EH=3,
∴S△BED===,
∴S△AEC=.
25.(10分)如图,请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)当x__________　时,kx+b≥mx-n;
(2)不等式kx+b<0的解集是____________________;
(3)求两个一次函数的解析式;
(4)若直线l1分别交x轴,y轴于点M,A,直线l2分别交x轴,y轴于点B,N,求点M的坐标和四边形OMPN的面积.
【解析】(1)当x≤1时,kx+b≥mx-n;
答案:≤1
(2)由题图可知:不等式kx+b<0的解集为x>3;
答案:x>3
(3)把A(0,-1),P(1,1)代入y=mx-n,得,解得,
所以直线l1的解析式为y=2x-1,
把P(1,1),B(3,0)代入y=kx+b,得,解得,
所以直线l2的解析式为y=-x+;
(4)将y=0代入y=2x-1,解得x=,所以M点的坐标为(,0);
将x=0代入y=-x+,解得y=,则N点坐标为(0,),
所以四边形OMPN的面积=S△ONB-S△PMB=×3×-×(3-)×1=1.
26.(12分)数学老师在课堂上给出了一个问题,让同学们探究.在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D在直线BC上,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作EF∥BC,交直线AB于点F.
(1)当点D在线段BC上时,如图①,求证:BD+EF=AB;
分析问题:某同学在思考这道题时,想利用AD=AE构造全等三角形,便尝试着在AB上截取AM=EF,连接DM,通过证明两个三角形全等,最终证出结论;
推理证明:写出图①的证明过程;
探究问题:
(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图②;当点D在线段CB的延长线上时,如图③,请判断并直接写出线段BD,EF,AB之间的数量关系;
拓展思考:
(3)在(1)(2)的条件下,若AC=6,CD=2BD,则EF=__________.
【解析】(1)在AB上截取AM=EF,连接DM.
在Rt△ABC中,∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°.
∵EF∥BC,
∴∠EFB=∠B=60°.
又∵∠EAD=60°,
∴∠EFB=∠EAD.
又∵∠BAD=∠EAD-∠EAF,∠AEF=∠EFB-∠EAF,
∴∠BAD=∠AEF.
又∵AD=AE,AM=EF,
∴△DAM≌△AEF(SAS).
∴AF=DM,
∴∠AMD=∠EFA=180°-∠EFB=180°-60°=120°,
∴∠BMD=180°-∠AMD=180°-120°=60°.
∵∠B=60°,
∴∠BMD=∠B=∠BDM.
∴△BMD是等边三角形.
∴BD=BM=DM,
∵AB=AM+BM,
∴AB=EF+BD;
(2)当点D在线段BC的延长线上时,AB=BD-EF,证明如下:
如图所示,在BD上取点H,使BH=AB,连接AH并延长到点G使AG=AF,连接DG,
∵∠ABC=60°,
∴△ABH是等边三角形,
∴∠BAH=60°,
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,
∴∠DAE=60°,AE=AD,
∴∠BAH=∠DAE,
∴∠BAH-∠EAH=∠DAE-∠EAH,即∠BAE=∠HAD,
又∵AG=AF,
∴△FAE≌△GAD(SAS),
∴EF=DG,∠AFE=∠G,
∵BD∥EF,
∴∠ABC=∠F=∠G=60°,
∵∠DHG=∠AHB=60°,
∴△DHG是等边三角形,
∴DH=DG=EF,
∴AB=BH=BD-DH=BD-EF;
当点D在线段CB的延长线上时,AB=EF-BD,证明如下:
如图所示,在EF上取点H使AH=AF,
∵EF∥BC,∴∠F=∠ABC=60°,
∵AH=AF,∴△AHF是等边三角形,
∴∠AHF=∠HAF=60°,∴∠AHE=120°,
∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,
∴AD=AE,∠DAE=60°,∴∠DAB+∠EAH=180°-∠EAD-∠HAF=60°,
∵∠D+∠DAB=∠ABC=60°,∴∠D=∠EAH,
∵∠DBA=180°-∠ABC=120°=∠EHA,
又∵AD=AE,∴△EAH≌△ADB(AAS),
∴BD=AH,AB=EH,
∵AH=FH,
∴BD=HF,
∴AB=EH=EF-FH=EF-BD;
(3)如图所示,当点D在线段BC上时,
∵∠BAC=30°,∠C=90°,
∴AB=2BC,AB2=BC2+AC2,
∴(2BC)2=BC2+(6)2,
∴BC=6,
∴AB=2BC=12,
∵CD=2BD,BC=BD+CD,
∴BD=BC=2,
由(1)可知,BD+EF=AB,
∴EF=AB-BD=12-2=10;
如图所示,当点D在线段BC的延长线上时,
∵CD∴不符合题意;
如图所示,当点D在线段CB的延长线上时,
∵CD=2BD=BD+BC,BC=6,
∴BD=BC=6,
由(2)可知,AB=EF-BD,
∵AB=2BC=12,
∴EF=AB+BD=12+6=18.
综上所述,EF=10或18.期中素养评估
(第一至第三章)
(120分钟　120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各式:①x+3≠0,②-3<0,③3m=5,④a2+2ab+b2,⑤3a+2b<0,其中属于不等式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2025·青岛中考)围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆放的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
3.若a>b,下列各式一定正确的是( )
A.-3a>-3b B.a+m>b+m
C.2a<2b D.ac>bc
4.在平面直角坐标系中,点A(1,0)先向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到A',则点A'的坐标是( )
A.(4,1) B.(-2,1) C.(4,-1) D.(-2,-1)
5.(2025·重庆期中)已知在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象如图所示,若kx+b≤mx+n,则x的取值范围为( )
A.x≥2 B.x≤-3 C.x≤2 D.x≥-3
6.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,将△ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转180°,得到△A1B1C1,则点A的对应点A1的坐标是(A )
A.(-1,-2) B.(1,2) C.(2,1) D.(-2,-1)
7.若关于x的不等式组无解,则a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<3
8.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'.若∠BAC=90°,AB=AC=2,则图中阴影部分的面积为( )
A.-1 B. C.3-3 D.2-2
9.(2025·深圳二模)如图,可折叠工具箱共有三层,工具箱打开前,连接装置与水平方向的夹角为30°,连接装置转动90°后箱子完全打开,每一根连接装置长15 cm(可看作一条线段),当三层工具箱完全打开后,整体高度比打开前增加__________cm.( )
A.15 B.30 C.15-15 D.-
10.如图,在△ABC中,∠A=30°,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE,延长AC分别交BD,DE于点F,G,连接BG.下列结论:
①∠FGE=120°;②AG⊥BD;③DG=BG;④AG=DE+BE,其中正确的是( )
A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2025·石家庄期末)等腰三角形的一个内角为100°,则它的底角为 .
12.满足不等式3-x<0的最小整数解是 .
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为点D,若∠B=2∠C,BC=4,则CD= .
14.已知当x≥2时x的最小值为a,当x≤-3时x的最大值为b,则ab= .
15.(2025·济南期末)如图,点A的坐标为(-1,1),点B在x轴上,把线段AB沿x轴向右平移得到CD,若四边形ABDC的面积为,则点C的坐标为 .
16.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在边BC上,AD=BD,点E在边AD上,且∠BED=45°,若CD=5,AE=6,则AC的长为 .
17.(2025·内江中考)对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解,则实数P的取值范围是 .
18.如图,在△ABC中,AC=1,BC=,AB=2,且AC在直线l上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①,可得到点P1;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=2+;将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=3+,……按此规律继续旋转,直到得到点P2 025,则AP2 025= .
三、解答题(共66分)
19.(6分)(1)解不等式:>2x.
(2)解不等式组:.
20. (6分)如图,已知△ABC中,∠C=50°,将AB沿射线BC方向平移至DE,使E为BC的中点,连接AD,记DE与AC的交点为O.
(1)求证:△AOD≌△COE;
(2)若AC平分∠BAD,求∠B的度数.
21.(8分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,在方格纸中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上.
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2;
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
22.(8分)课题学习
已知竹木工厂生产一种产品,该产品售价为1 000元/套,原材料成本价为550元/套(含设备损耗等),但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水.并且为了达到国家环保要求,工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作.现有两种处理废水的方案可供选择:
方案一:由工厂直接处理,费用为50元/吨,并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20 000元;
方案二:由废水处理厂统一处理,费用为150元/吨.
请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案,使得既达到环保要求,又获得最高利润(可设每月生产了x套产品,获得了y元的月利润).
23. (8分)如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线MN分别交AC,BC边于点D,E,连接BD.
(1)若CE=4,△BDC的周长为18,求BD的长.
(2)若∠ADM=60°,∠ABD=20°,求∠A的度数.
24. (8分)(2025·扬州一模)如图,将△AEC绕着点E顺时针旋转得到△BED,点D恰好落在AC边上,AE和BD相交于点O.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)过点E作EH⊥BD,垂足为H,若EH=3,AC=5,求△AEC的面积.
25.(10分)如图,请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)当x__________ 时,kx+b≥mx-n;
(2)不等式kx+b<0的解集是____________________;
(3)求两个一次函数的解析式;
(4)若直线l1分别交x轴,y轴于点M,A,直线l2分别交x轴,y轴于点B,N,求点M的坐标和四边形OMPN的面积.
26.(12分)数学老师在课堂上给出了一个问题,让同学们探究.在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D在直线BC上,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作EF∥BC,交直线AB于点F.
(1)当点D在线段BC上时,如图①,求证:BD+EF=AB;
分析问题:某同学在思考这道题时,想利用AD=AE构造全等三角形,便尝试着在AB上截取AM=EF,连接DM,通过证明两个三角形全等,最终证出结论;
推理证明:写出图①的证明过程;
探究问题:
(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图②;当点D在线段CB的延长线上时,如图③,请判断并直接写出线段BD,EF,AB之间的数量关系;
拓展思考:
(3)在(1)(2)的条件下,若AC=6,CD=2BD,则EF=__________.

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