资源简介

安徽合肥市第十一中学等校2026届高三第二学期4月质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
4.记的内角的对边分别为，已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.被除所得的余数为( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量的所有可能取值为，，，且，则( )
A. B. C. D.
8.设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. D.
10.已知抛物线的焦点到其准线的距离为，过点的直线交于，两点，设为坐标原点，则( )
A.
B. 若为的重心，则
C. 若，则
D. 若为定值，则
11.已知函数的定义域为，对，都有，，记，，则下列说法正确的是( )
A. 数列是等差数列
B. 当时，
C. 当时，
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知非零向量满足，则 ．
14.如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是等差数列，且．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，且点在双曲线上．
求双曲线的方程；
若双曲线上存在一点，满足，求点到双曲线的两条渐近线的距离之和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，是正三角形，，，为的中点．
证明：平面平面
求二面角的正弦值．
18.本小题分
某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获个个体，设个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共次．记第次捕获时种的数目为统计结果如下表：
求的分布列；
设函数，已知该区域中种的个体数为将使取得最大值的值作为的估计值
求的估计值；
据估计该区域中物种的个体总数．
19.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若存在两个极值点，记．
求的取值范围；
若，求直线斜率的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设等差数列的首项为，公差为，已知，
．
已知，则是首项，公比的等比数列，
，
，
令，
，
当时，，，
，函数单调递减，
，
，命题得证．

16.解：因为双曲线的离心率为，且点在双曲线上，
所以
所以双曲线的方程为
由可知，
所以双曲线的渐近线方程为，即和，
双曲线的左右焦点坐标分别为，
设，
因为，
所以，
即，于是有
由双曲线的对称性，不妨取，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离之和为．

17.解：如图，记，连接．
因为四边形为菱形，所以，，
因为是正三角形，所以，所以，
因为，平面，，
故BD平面，又平面，
因此平面平面
由已知得，，．
且，解得．
因此，即．
且，，所以平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量，平面的法向量，
则，即，可取
即，可取
所以，．
因此二面角的正弦值为．

18.解：依题意，的所有可取值为，，
，
，
所以的分布列为：
由统计表，得
，
求导得，当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
所以．
设该区域中物种的个体总数，由该区域中种个体数为，
得该区域中种的数目为，
由得从该区域中随机捕获个个体，该个体为种概率的估计值，
因此，解得，所以估计该区域中物种的个体总数为．

19.解：当时，，要证，即证，
令，则，
令，则，
，，故在上单调递增，，
，即，故在上单调递增，，
，得证．
求导得，存在两个极值点等价于在上有两个不同的根，
在上有两个不同的根，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故的最小值为，且当时，；当时，，
因此要使在上有两个不同的根，需要，
故的取值范围为．
由题得，，
把代入，得，同理得，
直线斜率为，
设，即，又，
，解得，即
则，即，
，
令，则，
令，则，故在上单调递增，
，即，故在上单调递增，
的最大值为，
要使直线斜率取最小值，即求的最大值，
故直线斜率的最小值为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑