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2026年高考数学模拟卷（新高考·新课标Ⅰ卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数（为虚数单位），则的实部为（ ）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 某科技公司研发的人工智能检测设备，其检测准确率服从正态分布，则检测准确率在内的概率约为（ ）（参考数据：）
A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.9973 D. 0.3413
5. 函数的图象大致为（ ）
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称
6. 已知双曲线（）的一条渐近线方程为，且过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
7. 如图，在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数（），若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
10. 关于三角函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B. 图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 图象可由的图象向右平移个单位得到
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的方程可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡的相应位置。
12. 已知数列为等差数列，且，，则________。
13. 若函数（）的图象恒过定点，则点的坐标为________。
14. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为________。（三视图：正视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图为边长为2的正三角形）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）
在中，角所对的边分别为，且满足。
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值。
16. （本小题满分15分）
随着低空经济的快速发展，无人机配送成为新兴物流方式。某物流公司引进一批无人机，经测试，无人机的飞行速度（单位：m/s）与负载重量（单位：kg）之间满足一次函数关系，当负载重量为0kg时，飞行速度为15m/s；当负载重量为10kg时，飞行速度为10m/s。
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若无人机配送的路程为1200m，飞行时间（单位：s）与负载重量之间的函数关系式为，求当负载重量为5kg时，飞行时间为多少？当负载重量为何值时，飞行时间不超过120s？
17. （本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
18. （本小题满分17分）
已知椭圆（）的左、右焦点分别为，离心率为，且过点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程。
19. （本小题满分17分）
已知函数（）。
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点（），且，求实数的取值范围。
参考答案与详细解析
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 【答案】A
【解析】由，解得，故；由，得，故。因此，故选A。
2. 【答案】A
【解析】，则，其实部为-1，故选A。
4. 【答案】A
【解析】由正态分布，得，，则，，故，故选A。
5. 【答案】C
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，图象关于原点对称，故选C。
6. 【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意得，即；又双曲线过点，代入双曲线方程得，即，，，则，，，故离心率，故选A。
7. 【答案】D
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，。设异面直线所成角为，则，故选D。
8. 【答案】A
【解析】当时，，恒成立；当时，等价于。令（），则。令，则（），故在上单调递增，，故，在上单调递增。由洛必达法则，，故，因此，故选A。
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9. 【答案】AB
【解析】A选项：，两边同乘正数，得，即，正确；B选项：，两边同乘（负数），得，两边同乘（负数），得，故，正确；C选项：当时，，错误；D选项：令，，，，则，，，错误。故选AB。
10. 【答案】ABC
【解析】A选项：最小正周期，正确；B选项：令（），解得，当时，，故图象关于直线对称，正确；C选项：令（），解得，当时，区间为，故函数在该区间上单调递增，正确；D选项：的图象向右平移个单位，得到，错误。故选ABC。
11. 【答案】AB
【解析】抛物线的焦点，准线方程为。当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程得，则，不符合的题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去得，设，，则。由抛物线的定义，，解得，，故直线方程为或，即或。综上，直线的方程可能为AB，故选AB。
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 【答案】3
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，故。
13. 【答案】
【解析】令，即，此时，故定点。
14. 【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为边长为2的正三角形，高为2（等腰三角形的高）。底面面积，体积。
四、解答题（共77分）
15. （本小题满分13分）
【解析】（1）由正弦定理，将转化为，（2分）
展开得，即。（4分）
因为在中，，所以，（5分）
故，解得。（6分）
又，所以。（7分）
（2）由三角形面积公式，，（8分）
代入，得，解得。（9分）
由余弦定理，，（10分）
代入，，，得，（11分）
即，则，（12分）
故（负值舍去）。（13分）
16. （本小题满分15分）
【解析】（1）设与之间的函数关系式为（），（2分）
由题意，当时，，代入得；（3分）
当时，，代入得，解得。（5分）
故与之间的函数关系式为（，且，即）。（6分）
（2）当时，（m/s），（7分）
则飞行时间（s）。（9分）
由，得，（11分）
即，解得。（13分）
又，故当负载重量不超过10kg时，飞行时间不超过120s。（14分）
综上，当负载重量为5kg时，飞行时间为96s；当负载重量不超过10kg时，飞行时间不超过120s。（15分）
17. （本小题满分15分）
【解析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，（1分）
则，，，，，，。（3分）
平面的法向量可取（因为平面在平面，法向量垂直于平面），（4分）
又，则，（5分）
故，又平面，（6分）
所以平面。（7分）
（2）设平面的法向量为，（8分）
由，，（9分）
则，即，（10分）
令，则，，故。（11分）
平面的法向量可取（垂直于底面），（12分）
设平面与平面所成锐二面角为，则。（14分）
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为。（15分）
18. （本小题满分17分）
【解析】（1）由椭圆离心率，得，又，故，即。（3分）
椭圆过点，代入椭圆方程，得，即，解得，则。（6分）
故椭圆的标准方程为。（7分）
（2）由（1）知，，故，，。（8分）
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，则，的面积为，不符合题意。（10分）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得。（11分）
设，，则，。（12分）
由弦长公式，。（13分）
的高为点到直线的距离，即。（14分）
由面积公式，。（15分）
两边平方得，化简得，即，整理得，解得，取正值，故。（16分）
故直线的方程为，整理得或。（17分）
19. （本小题满分17分）
【解析】（1）当时，，定义域为。（1分）
求导得。（2分）
令，则。（3分）
当时，，单调递增；当时，，单调递减。（4分）
，且，，故存在，，使得。（5分）
当或时，，单调递减；当时，，单调递增。（6分）
综上，的单调递减区间为，；单调递增区间为（其中，）。（7分）
（2），定义域为，。（8分）
因为函数有两个极值点（），所以有两个不等正根，即有两个不等正根，故有两个不等正根。（9分）
令（），则。（10分）
令，得，解得。（11分）
当时，，单调递增；当时，，单调递减。（12分）
，且当时，；当时，，故。（13分）
由极值点性质，，，即，。（14分）
，代入得：
。（15分）
由韦达定理，，，结合，可得，代入化简得。（16分）
由，得，即，结合及，解得。（17分）
综上，实数的取值范围为。

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