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吉林省长春市2026届高三质量监测(二)数学试题
本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-2,0,1,3},集合 则A∩B=
A. {-2,0,1} B. {0,1} C. {0} D. (-2,3)
2.已知平面向量a=(-1,2), b=(x,-2),若a⊥b,则x的值为
A. - 4 B. - 1 C. 1 D. 4
3.已知等差数列{an}的前n项和为 Sn，若 则
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
4.双曲线 的两个焦点分别是F 、F ，焦距为8，M是双曲线上的一点，且 则
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
5. (1+ ax) 的展开式中x 的系数为160，则a=
B.
6.某精密仪器厂生产一种标准长度为52mm的金属垫片.现随机抽取200个垫片测量其实际长度(单位： mm)，按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图.若规定长度在区间[51，53)内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
7.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则球O的表面积为
A. 6π B. 8π C. 9π D. 12π
8.已知实数m＞n＞1,若 且 则
A. 9 B. 21 C. 27 D. 30
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数 则下列结论正确的有
A. z的虚部是i B. z在复平面内对应的点在第二象限
10.已知函数f(x)= Asin(ωx+φ) (A＞0, ω＞0, 0＜φ＜π)的图象满足以下特征:图象经过点(0， )，并且在y轴右侧的第一个零点为π/9，第一个最低点为( 则下列有关函数f(x)及其性质的描述正确的是
A.
B. 为函数f(x)图象的一条对称轴
C. 将f(x)的图象向右平移π/18个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D. 函数f(x)的单调递减区间为
11.景区在春节期间推出A，B两种游玩套餐，已知某游客第一次选择A，B两种游玩套餐的概率分别为 和 ，若该游客第一次选择A套餐，则第二次选择A套餐的概率为 若该游客第一次选择B套餐，则第二次选择A套餐的概率为 ，则下列说法正确的是
A. 该游客第一次选择B套餐，第二次也选择B套餐的概率为
B. 该游客第一次选择B套餐的概率比第二次选择A套餐的概率小
C. 若该游客第二次选择A套餐，则他第一次选择A套餐的概率为
D. 若该游客第二次选择B套餐，则他第一次选择A套餐的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数 若 则 a的取值范围是 .
13.在△ABC中,已知 则△ABC的面积为 .
14.已知椭圆 的左、右焦点分别为F ，F . P为椭圆C上一点， 圆I与线段PF 的延长线和线段PF 的延长线分别相切于点A和点B，与线段F F 相切于点M，且 则椭圆C离心率的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于 170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表(单位：人).
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
男 8 24 32
女 12 6 18
合计 20 30 50
(1)依据α=0.005的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联
(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率.附： 其中n=a+b+c+D.
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
16. (15分)
在数列{an}中,
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)设 求数列{bn}的前n项和Sn.
17. (15分)
如图，三棱柱 的所有棱长均为2，且
(1)证明:
(2)若三棱柱 的体积为3，求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. (17分)
已知抛物线E： 上的点Q到焦点 F 距离的最小值为
(1)求E的方程;
(2)若点A，B在E上，且线段AB的中点在直线y=x上，点 求△PAB面积的最大值.
19. (17分)
在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量y=f(x)(单位：千只)与时间x (单位：月)，满足函数. 其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征.
定义:若函数g(x)在(a,+∞)上满足:
1.震荡性: g′(x)在(a,+∞)上无限次正负交替;
2.衰减性:任意给定正实数m,存在实数n,使得当x＞n时, |g(x)|＜m.
则称g(x)为震荡衰减函数.
(1)求f(x)在(0，2π)内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0 (不必证明).
(2)根据定义判断函数f(x)在(0，+∞)上是否为震荡衰减函数.如果是，给出证明：如果不是，说明理由.
(3)设h(x)=|f(x)|+|f′(x)| (x＞0) .求证: h(x)无最大值.
2026年长春市高三毕业班质量监测(二)
数学参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D D C B D
题号 9 10 11
答案 BD AC BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. a＞2 14.
四、解答题：本题共5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 【详细解答】
依据α=0.005的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联.
(2)从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率
16. 【详细解答】
(1)由题意 即数列 是公比为3的等比数列.
(2)由(1)可得 即
采用分组求和方式，设Pn为数列 的前n项和， Qn为数列{n}的前n项和，则 ①
②
①-②可得:
即
又
故
17. 【详细解答】
(1) 证明: 取AB中点M, 连结MC, MA
证毕.
(2)由三棱柱 的体积为3，可知三棱锥 的体积为1，
即]
即 即 即
以M为原点，以MA方向为x轴，以CM 方向为y轴，以MA 方向为z轴，建立如图所示坐标系.
即平面 与平面. 所成角的余弦值为
18. 【详细解答】
(1)抛物线E: 的焦点 准线为
抛物线上的动点Q到焦点 距离的最小值即为动点Q到准线 的最小值，即 即2p=1,即E的方程为
(2)设AB的方程为y= kx+b,
与抛物线E： 联立消去y可得
则
则
即AB的中点 在直线y=x上，
即 即
由弦长公式可知
点P到直线AB的距离为
即△PAB的面积为
令
则
令S′=0可得
即S的最大值为
即△PAB面积的最大值为
19. 【详细解答】
(1)由函数
则
在(0,2π)上,令 f′(x)=0,则 为极小值点， 为极大值点，
f(x)在(0，2π)内的所有极值点皆为使得f′(x)=0的点，
即在这些极值点处，波动量的增长率为0.
(2)由(1)可知
在(0，+∞)上无限次正负交替，则满足震荡性；
又
令 则x＞-lnm,令n= max{-lnm,0},
当x＞n时, 则f(x)满足衰减性，
综上，f(x)满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数.
不难看出h(x)＞0恒成立,
即若h(x)存在最大值点x ,则.
现研究f(x)在(0,π)上的单调性
①当 时，
②当 时，
③当 时，
其中φ为锐角， 即
当 时，h′(x)＞0,当π-φ＜x＜π时, h′(x)＜0,
综上，h(x)在 上单调递减，在 上单调递增，在(π-φ，π)上单调递减.
由
由 即h(x)在(0,π]上无最大值点.

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