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湖北省武汉2025年中考数学适应性考试题（一）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·武汉模拟）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·武汉模拟）桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃，从中一次性取出3张扑克牌，下列事件是必然事件的是（　　）
A．三张牌都为黑桃 B．三张牌都为红桃
C．三张牌中至少有一张黑桃 D．三张牌中至少有一张红桃
3．（2025·武汉模拟）汝窑，宋代五大名窑之一，因窑址位于宋时河南汝州境内而得名，出品的汝瓷造型古朴大方，以名贵玛瑙为釉，色泽独特．图为一汝瓷作品，有关其三视图下列说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．主视图和左视图相同 D．三视图各不相同
4．（2025·武汉模拟）截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·武汉模拟）计算的结果的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·武汉模拟）小王将一副三角板在桌面上摆出了如图所示的图案，点在上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·武汉模拟）甲、乙、丙三个同学并排走在一起，则甲乙恰好相邻的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·武汉模拟）某工厂接到了一批汽车配件的订单，该工厂立即把订单任务平均分给了甲、乙两车间，两车间每天都按各自的生产速度同时进行生产，中途因工厂同时对两车间设备进行检修维护，两车间停产4天后又各自按原来的速度进行生产，该工厂未完成的订单任务量（件）与生产时间（天）之间的函数关系如图所示，则该工厂完成任务需要的天数是（　　）
A．24天 B．26天 C．30天 D．34天
9．（2025·武汉模拟）如图，，，，为上四点，，，垂足为，若，则与弦围成的弓形的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·武汉模拟）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（　　）
A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·武汉模拟）中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作　 　．
12．（2025·武汉模拟）某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数的取值范围应为　 　．
13．（2025·武汉模拟）计算：　 　．
14．（2025·武汉模拟）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为　 　m．（精确到，参考数据：，，）
15．（2025·武汉模拟）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为　 　．
16．（2025·武汉模拟）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格：
2
以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图象关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是　 　．（填写序号）
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025·武汉模拟）解等式组：
18．（2025·武汉模拟）如图，点，，，在一条直线上，，．若________，则．请从①；②；③这三个选项中选一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
19．（2025·武汉模拟）某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为，，，四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次测试共调查了________名学生；扇形统计图中，等级部分所对应的圆心角的度数为________；
（2）若该中学八年级共有600名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少人？
（3）若等级为优，等级为良，等级为合格，等级为不合格，写出你对“学生体能”状况的看法和合理化建议．
20．（2025·武汉模拟）如图，内接于，，于点，连接交于点，并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2025·武汉模拟）如图，在的正方形网格中，，，均为小正方形的顶点．用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条．
（1）如图1，先画的中点，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段；
（2）如图2，为与网格线的交点，先平移线段至，使点与点重合，作点关于的对称点．
22．（2025·武汉模拟）问题背景：学校计划对校园里一块长，宽m的矩形场地进行绿化，如图1，将该矩形场地划分成5个区域，阴影部分宽度相同，空白部分宽度相同，阴影部分种植花卉，空白部分种植花卉（，两种花卉都要种植）．已知花卉的种植成本是9元，花卉的种植面积为，花卉的种植成本元，满足．
问题解决：
（1）若种植花卉的成本为5200元，求此时花卉的种植面积；
（2）学校按该方案对场地进行绿化，最多需要投入的种植成本是多少元？
（3）若学校计划投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于，直接写出每块阴影部分宽的取值范围．
23．（2025·武汉模拟）（1）如图1，在等边中，是上一点，是上一点，．
①求证：；
③若，连接，求证：；
（2）如图2，在中，，是边上一点，是上一点，连接，且．若，，直接写出的值．
24．（2025·武汉模拟）如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）为第一象限抛物线上一点，与，分别交于点，，若，求点的坐标；
（3）如图2，过点作轴交抛物线于另一点，为的中点，过点的直线（直线不过，两点）与抛物线交于，两点，直线与直线相交于点，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，再对各选项逐一判断.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃，2张红桃，从中随机抽取3张．
A、事件“三张牌都为黑桃”是随机事件，故选项A不符合题意；
B、事件“三张牌都为红桃”是不可能事件，故选项B不符合题意；
C、事件“三张牌中至少有一张黑桃”是必然事件，故选项C符合题意；
D、事件“三张牌中至少有一张红桃”是随机事件，故选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】
事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又分为必然事件和不可能事件，根据事件的定义和分类，逐项判断即可．
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图形可知，俯视图与主视图和左视图均不相同，
故选：D．
【分析】
分别从正面、上面和左面观察物体得到的图形叫主视图、俯视图和左视图．
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故选：D．
【分析】
积和乘方，给各因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
6．【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【分析】
先由平行线的性质可得，又，再利用角的和差关系即可．
7．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用树状图分析如下：
一共有种情况，甲、乙两人恰好相邻有种情况，
甲、乙两人相邻的概率是．
故选：D．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
8．【答案】D
【知识点】有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象得：甲乙两车间工作12天停产4天，则从第16天到24天生产了（件），
∴甲乙两车间每天共生产：（件），
∴前12天共生产（件），
∴该工厂订单任务是（件），
由图象得：生产速度快的车间24天完成生产任务，
∴生产速度快的车间每天生产：（件），
∴生产速度慢的车间每天生产：（件），
生产速度慢的车间完成生产任务需：（天），
故选：D．
【分析】
观察图象知，从第16天到24天生产了件，则甲乙两车间每天共生产：件，进而求出前12天共生产12000件，得出该工厂订单任务为24000件，由题意知甲乙两车间均分配到12000件的生产任务，即可得生产速度快的车间每天生产600件，生产速度慢的每天生产400件，即全部完工需要的时间等于生产速度慢的车间用的时间，即天．
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：连接、、，作于，
设，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
由①②可得，，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴与弦围成的弓形的面积为，
故选：B．
【分析】
如图：连接、、，作于，
设，，先由弧、弦、圆心角的关系可得AB=CD、AD=CB，再由圆周角定理结合等量代换可得、，再由勾股定理可得、，再利用割据补法求出弓形面积即可．
10．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：，
这20数的和的个位数为0，
经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，
或，
另一个数是或6．
故选：C．
【分析】
由题意知这20数的和的个位数为0，则无论多少次操作后剩余数字的个位数字的和总是0，即当剩余两个数且一个是时，另一个一定是一个个位数且两个个位数字的和是0．
11．【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：零上记作，
零下记作．
故答案为：．
【分析】
正负数是一对具有相反意义的量，若零上用“”表示，那么零下就用“”表示．
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】
由于要求反比例函数的函数值随着自变量的增大而减小，则，即．
13．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】
分式的加减运算，先化为同分母分式，再分解因式并约分即可．
14．【答案】17
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
，
故答案为：17．
【分析】
如图，延长交直线于点H，可构造和，再分别解直角三角形求出AH和BH，再利用线段的和差关系即可．
15．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，
∵，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点B作交延长线于H，再过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，则，解直角三角形可得，由折叠的性质结合角平分线的性质得到，则可根据等面积法求出的长，再解即可求出答案．
16．【答案】①②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：当时，，
∴点在函数的图象上，故①正确；
当时，，
当时，，
即不管取何值，始终有，
∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确；
由表知，函数的图象关于直线对称，即关于轴对称，故③错误；
∵当时，，随的增大而减小，
∴点，，若，则，故④正确；
由②可知，，
画函数图象如下：
当时，，
由图象可知，当直线与函数的图象有个公共点时，，故⑤正确；
综上，正确的结论是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【分析】
①由函数图象上点的坐标特征验证即可；
②由于，即无论取何值，始终有；
③观察表格知，该函数图象关于y轴对称；
④令，当时二次函数，其对称轴为直线，且在对称轴的右侧y1随x的增大而增大，则此时y随x的增大而减小；
⑤令得，则当时，直线与函数的图象有个公共点；当时时，直线与函数的图象有3个公共点；当时，直线与函数的图象有4个公共点；当时，直线与函数的图象也有2个公共点；当或时，直线与函数的图象没有公共点．
17．【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解一元一次不等式组，先求出每一个不等式的解集，再利用口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出各解集的公共部分即可．
18．【答案】解：选．理由如下：
，
．
∵，
∴，
∴．
，
，
，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
由于，则，若AC=BD，则由线段的和差关系可推导出AB=DC，即可利用SAS证明，此时再由全等的性质可得、，则，所以有，故满足条件的条件为 ① 或 ② ．
19．【答案】（1）50，
（2）解：（人）．
答：估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生约有72人；
（3）解：合格率虽然较大，但仍需加强锻炼，争取人人合格，提高优良率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：（人），
（人），
，
故答案为：50，；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；求出B等级的人数，进而求出B等级所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；
（2）用600乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（3）根据条形统计图和扇形统计图中各数据进行说理，答案不唯一，合理即可．
（1）解：（人），
（人），
，
故答案为：50，；
（2）解：（人）．
答：估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生约有72人；
（3）解：合格率虽然较大，但仍需加强锻炼，争取人人合格，提高优良率．
20．【答案】（1）证明：
即
；
（2）解：如图，连接OC，再延长交于点，连接，
，
，
，
．设，则．
在中，，
，
或（舍），
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；垂径定理的推论
【解析】【分析】
（1）由于AB=AC，则由垂径定理的推论可得AG垂直BC，又CD垂直AB，则由垂直的概念结合同角的余角相等可得结论成立；
（2）连接OC，再延长交于点，连接，由圆周角定理结合（1）的结论借助等边对等角可得，则，再由等腰三角形三线合一可得，此时可设，则．即半径，再在中应用勾股定理可得a的值，则AG可得，再在中应用勾股定理即可．
（1）证明：连接，．
，，，
，
，
．
，
，
；
（2）延长交于点，连接，
，
，
，
．设，则．
在中，，
，
或（舍），
，
．
21．【答案】（1）解：如图，点，线段即为所求；
（2）如图，和点即为所求；
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；同侧一线三垂直全等模型；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【分析】
（1）先利用格点构造平行四边形ABCD，连接BD交AC于点E，再利用一线三垂直全等模型构造全等三角形，再利用格点构造矩形即可确定点的位置；
（2）先利用格点E构造平行四边形，再由平行线分线段成比例定理可分别得线段BE与网格线的交点D、F、G，则MD即为线段AB平移后得到的线段；由于AM=MG、BD=DF，则过点B作FG的垂线段BN，则点N为点B关于MD的对称点．
（1）解：如图，点，线段即为所求；
（2）如图，和点即为所求；
22．【答案】（1）解：根据题意，得，
解得或（舍），
．
答：花卉的种植面积为；
（2）解∶ 设种植总成本为元，
则，
当时，取最大值为10800元；
（3）
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
（3）
解∶每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，花卉的种植总费用为，空白区域总面积为，种花卉种植成本为（元）．花卉的种植总费用为，
由题意，得，
，
．
，
，
．
【分析】
（1）先由题意得关于x的一元二次方程并求解得B花卉的种植面积，再用总面积减去B的面积即可；
（2）先利用含x的代数式表示出A花卉的种植面积，再设种植总成本为元，则是关于x的二次函数，由于二次项系数为负，则w有最大值，再根据二次函数的性质求出这个最大值即可；
（3）设每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，则可分别用含a的代数式表示出、两种花卉的种植费用，然后根据不等关系“投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于”列不等式组并求解即可．
（1）解：根据题意，得，
解得或（舍），
．
答：花卉的种植面积为；
（2）解∶ 设种植总成本为元，
则，
当时，取最大值为10800元；
（3）解∶每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，花卉的种植总费用为，空白区域总面积为，种花卉种植成本为（元）．花卉的种植总费用为，
由题意，得，
，
．
，
，
．
23．【答案】解：（1）①为等边三角形，
．
，
，
，
；
②如图，延长AD至点N，使EN=EC，再取EN中点F，分别连接BF、BN、CN．
，
是等边三角形．
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；手拉手全等模型；异侧一线三等角全等模型（锐角）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（2）如图，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，连接，过点作于点．
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
，，，
∴．
，
，
，，
．
，
．
设，则，
，
，，，
，
在中，．
【分析】（1）
①由等边三角形的性质知等及，再利用角的和差关系结合三角形外角的性质即可；
②延长AD至点N，使EN=EC，再取EN中点F，分别连接BF、BN、CN；则可证是等边三角形，再利用手拉手全等模型可证，则；再由等边三角形的性质结合角的和差关系可得，即是等边三角形，则由内错角相等可得CE平行BN，再由三角形相似的预备定理可得，由相似比结合等边三角形的性质可得BN等于EN的一半，即FB=FE，再借助三角形外角的性质可依次得、；
（2）过点作，交的延长线于点，在上取点，使，过点作于点．证明，可得，，，从而有；易证明，由相似的性质及已知得．设，则，从而可得，在中，利用余弦三角函数即可求解．
24．【答案】（1）
（2）解：如图，作轴于点，轴于点，于点，则，
∴，
，，
，
，
；
设，
；
令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
．
∵，
∴，
∴，
，
，
；
（3）解：∵，D两点关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线，∴．
为的中点，
；
设，，
如图，作于点，作，交延长线于点．
则，
，即，
，
即，
，
，
．
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
当时，
解得，
，
．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（1）
解：把A、C两点坐标分别代入抛物线解析式中，
得：，解得：，
∴；
【分析】
（1）把A、C两点坐标分别代入抛物线解析式中联立方程组并求解即可；
（2）作轴于点，轴于点，于点，则利用平行线的性质可证明，从而得，再利用抛物线上点的坐标特征可设，则；再利用待定系数法求出直线的解析式，则得点T的坐标，则线段长可得；再证明，利用相似三角形的性质即可求得p的值，从而求得点P的坐标；
（3）由M是的中点可利用中点坐标公式求得点M的坐标；再利用抛物线上点的坐标特征设，，再分别过点E、F作于点，作，交延长线于点，则，再利用其正切值相等可得；再利用待定系数法分别求出直线、的解析式，从而联立方程组可求得其交点P的坐标，则利用面积公式求出即可．
（1）解：把A、C两点坐标分别代入抛物线解析式中，
得：，解得：，
∴；
（2）解：如图，作轴于点，轴于点，于点，
则，
∴，
，，
，
，
；
设，
；
令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
．
∵，
∴，
∴，
，
，
；
（3）解：∵，D两点关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线，
∴．
为的中点，
；
设，，
如图，作于点，作，交延长线于点．
则，
，即，
，
即，
，
，
．
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
当时，
解得，
，
．
1 / 1湖北省武汉2025年中考数学适应性考试题（一）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·武汉模拟）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，再对各选项逐一判断.
2．（2025·武汉模拟）桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃，从中一次性取出3张扑克牌，下列事件是必然事件的是（　　）
A．三张牌都为黑桃 B．三张牌都为红桃
C．三张牌中至少有一张黑桃 D．三张牌中至少有一张红桃
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃，2张红桃，从中随机抽取3张．
A、事件“三张牌都为黑桃”是随机事件，故选项A不符合题意；
B、事件“三张牌都为红桃”是不可能事件，故选项B不符合题意；
C、事件“三张牌中至少有一张黑桃”是必然事件，故选项C符合题意；
D、事件“三张牌中至少有一张红桃”是随机事件，故选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】
事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又分为必然事件和不可能事件，根据事件的定义和分类，逐项判断即可．
3．（2025·武汉模拟）汝窑，宋代五大名窑之一，因窑址位于宋时河南汝州境内而得名，出品的汝瓷造型古朴大方，以名贵玛瑙为釉，色泽独特．图为一汝瓷作品，有关其三视图下列说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．主视图和左视图相同 D．三视图各不相同
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图形可知，俯视图与主视图和左视图均不相同，
故选：D．
【分析】
分别从正面、上面和左面观察物体得到的图形叫主视图、俯视图和左视图．
4．（2025·武汉模拟）截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．（2025·武汉模拟）计算的结果的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故选：D．
【分析】
积和乘方，给各因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
6．（2025·武汉模拟）小王将一副三角板在桌面上摆出了如图所示的图案，点在上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【分析】
先由平行线的性质可得，又，再利用角的和差关系即可．
7．（2025·武汉模拟）甲、乙、丙三个同学并排走在一起，则甲乙恰好相邻的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用树状图分析如下：
一共有种情况，甲、乙两人恰好相邻有种情况，
甲、乙两人相邻的概率是．
故选：D．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
8．（2025·武汉模拟）某工厂接到了一批汽车配件的订单，该工厂立即把订单任务平均分给了甲、乙两车间，两车间每天都按各自的生产速度同时进行生产，中途因工厂同时对两车间设备进行检修维护，两车间停产4天后又各自按原来的速度进行生产，该工厂未完成的订单任务量（件）与生产时间（天）之间的函数关系如图所示，则该工厂完成任务需要的天数是（　　）
A．24天 B．26天 C．30天 D．34天
【答案】D
【知识点】有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象得：甲乙两车间工作12天停产4天，则从第16天到24天生产了（件），
∴甲乙两车间每天共生产：（件），
∴前12天共生产（件），
∴该工厂订单任务是（件），
由图象得：生产速度快的车间24天完成生产任务，
∴生产速度快的车间每天生产：（件），
∴生产速度慢的车间每天生产：（件），
生产速度慢的车间完成生产任务需：（天），
故选：D．
【分析】
观察图象知，从第16天到24天生产了件，则甲乙两车间每天共生产：件，进而求出前12天共生产12000件，得出该工厂订单任务为24000件，由题意知甲乙两车间均分配到12000件的生产任务，即可得生产速度快的车间每天生产600件，生产速度慢的每天生产400件，即全部完工需要的时间等于生产速度慢的车间用的时间，即天．
9．（2025·武汉模拟）如图，，，，为上四点，，，垂足为，若，则与弦围成的弓形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：连接、、，作于，
设，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
由①②可得，，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴与弦围成的弓形的面积为，
故选：B．
【分析】
如图：连接、、，作于，
设，，先由弧、弦、圆心角的关系可得AB=CD、AD=CB，再由圆周角定理结合等量代换可得、，再由勾股定理可得、，再利用割据补法求出弓形面积即可．
10．（2025·武汉模拟）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（　　）
A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：，
这20数的和的个位数为0，
经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，
或，
另一个数是或6．
故选：C．
【分析】
由题意知这20数的和的个位数为0，则无论多少次操作后剩余数字的个位数字的和总是0，即当剩余两个数且一个是时，另一个一定是一个个位数且两个个位数字的和是0．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·武汉模拟）中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作　 　．
【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：零上记作，
零下记作．
故答案为：．
【分析】
正负数是一对具有相反意义的量，若零上用“”表示，那么零下就用“”表示．
12．（2025·武汉模拟）某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数的取值范围应为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】
由于要求反比例函数的函数值随着自变量的增大而减小，则，即．
13．（2025·武汉模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】
分式的加减运算，先化为同分母分式，再分解因式并约分即可．
14．（2025·武汉模拟）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为　 　m．（精确到，参考数据：，，）
【答案】17
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
，
故答案为：17．
【分析】
如图，延长交直线于点H，可构造和，再分别解直角三角形求出AH和BH，再利用线段的和差关系即可．
15．（2025·武汉模拟）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为　 　．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，
∵，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点B作交延长线于H，再过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，则，解直角三角形可得，由折叠的性质结合角平分线的性质得到，则可根据等面积法求出的长，再解即可求出答案．
16．（2025·武汉模拟）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格：
2
以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图象关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是　 　．（填写序号）
【答案】①②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：当时，，
∴点在函数的图象上，故①正确；
当时，，
当时，，
即不管取何值，始终有，
∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确；
由表知，函数的图象关于直线对称，即关于轴对称，故③错误；
∵当时，，随的增大而减小，
∴点，，若，则，故④正确；
由②可知，，
画函数图象如下：
当时，，
由图象可知，当直线与函数的图象有个公共点时，，故⑤正确；
综上，正确的结论是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【分析】
①由函数图象上点的坐标特征验证即可；
②由于，即无论取何值，始终有；
③观察表格知，该函数图象关于y轴对称；
④令，当时二次函数，其对称轴为直线，且在对称轴的右侧y1随x的增大而增大，则此时y随x的增大而减小；
⑤令得，则当时，直线与函数的图象有个公共点；当时时，直线与函数的图象有3个公共点；当时，直线与函数的图象有4个公共点；当时，直线与函数的图象也有2个公共点；当或时，直线与函数的图象没有公共点．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025·武汉模拟）解等式组：
【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解一元一次不等式组，先求出每一个不等式的解集，再利用口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出各解集的公共部分即可．
18．（2025·武汉模拟）如图，点，，，在一条直线上，，．若________，则．请从①；②；③这三个选项中选一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
【答案】解：选．理由如下：
，
．
∵，
∴，
∴．
，
，
，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
由于，则，若AC=BD，则由线段的和差关系可推导出AB=DC，即可利用SAS证明，此时再由全等的性质可得、，则，所以有，故满足条件的条件为 ① 或 ② ．
19．（2025·武汉模拟）某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为，，，四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次测试共调查了________名学生；扇形统计图中，等级部分所对应的圆心角的度数为________；
（2）若该中学八年级共有600名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少人？
（3）若等级为优，等级为良，等级为合格，等级为不合格，写出你对“学生体能”状况的看法和合理化建议．
【答案】（1）50，
（2）解：（人）．
答：估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生约有72人；
（3）解：合格率虽然较大，但仍需加强锻炼，争取人人合格，提高优良率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：（人），
（人），
，
故答案为：50，；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；求出B等级的人数，进而求出B等级所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；
（2）用600乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（3）根据条形统计图和扇形统计图中各数据进行说理，答案不唯一，合理即可．
（1）解：（人），
（人），
，
故答案为：50，；
（2）解：（人）．
答：估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生约有72人；
（3）解：合格率虽然较大，但仍需加强锻炼，争取人人合格，提高优良率．
20．（2025·武汉模拟）如图，内接于，，于点，连接交于点，并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：
即
；
（2）解：如图，连接OC，再延长交于点，连接，
，
，
，
．设，则．
在中，，
，
或（舍），
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；垂径定理的推论
【解析】【分析】
（1）由于AB=AC，则由垂径定理的推论可得AG垂直BC，又CD垂直AB，则由垂直的概念结合同角的余角相等可得结论成立；
（2）连接OC，再延长交于点，连接，由圆周角定理结合（1）的结论借助等边对等角可得，则，再由等腰三角形三线合一可得，此时可设，则．即半径，再在中应用勾股定理可得a的值，则AG可得，再在中应用勾股定理即可．
（1）证明：连接，．
，，，
，
，
．
，
，
；
（2）延长交于点，连接，
，
，
，
．设，则．
在中，，
，
或（舍），
，
．
21．（2025·武汉模拟）如图，在的正方形网格中，，，均为小正方形的顶点．用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条．
（1）如图1，先画的中点，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段；
（2）如图2，为与网格线的交点，先平移线段至，使点与点重合，作点关于的对称点．
【答案】（1）解：如图，点，线段即为所求；
（2）如图，和点即为所求；
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；同侧一线三垂直全等模型；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【分析】
（1）先利用格点构造平行四边形ABCD，连接BD交AC于点E，再利用一线三垂直全等模型构造全等三角形，再利用格点构造矩形即可确定点的位置；
（2）先利用格点E构造平行四边形，再由平行线分线段成比例定理可分别得线段BE与网格线的交点D、F、G，则MD即为线段AB平移后得到的线段；由于AM=MG、BD=DF，则过点B作FG的垂线段BN，则点N为点B关于MD的对称点．
（1）解：如图，点，线段即为所求；
（2）如图，和点即为所求；
22．（2025·武汉模拟）问题背景：学校计划对校园里一块长，宽m的矩形场地进行绿化，如图1，将该矩形场地划分成5个区域，阴影部分宽度相同，空白部分宽度相同，阴影部分种植花卉，空白部分种植花卉（，两种花卉都要种植）．已知花卉的种植成本是9元，花卉的种植面积为，花卉的种植成本元，满足．
问题解决：
（1）若种植花卉的成本为5200元，求此时花卉的种植面积；
（2）学校按该方案对场地进行绿化，最多需要投入的种植成本是多少元？
（3）若学校计划投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于，直接写出每块阴影部分宽的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，得，
解得或（舍），
．
答：花卉的种植面积为；
（2）解∶ 设种植总成本为元，
则，
当时，取最大值为10800元；
（3）
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
（3）
解∶每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，花卉的种植总费用为，空白区域总面积为，种花卉种植成本为（元）．花卉的种植总费用为，
由题意，得，
，
．
，
，
．
【分析】
（1）先由题意得关于x的一元二次方程并求解得B花卉的种植面积，再用总面积减去B的面积即可；
（2）先利用含x的代数式表示出A花卉的种植面积，再设种植总成本为元，则是关于x的二次函数，由于二次项系数为负，则w有最大值，再根据二次函数的性质求出这个最大值即可；
（3）设每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，则可分别用含a的代数式表示出、两种花卉的种植费用，然后根据不等关系“投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于”列不等式组并求解即可．
（1）解：根据题意，得，
解得或（舍），
．
答：花卉的种植面积为；
（2）解∶ 设种植总成本为元，
则，
当时，取最大值为10800元；
（3）解∶每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，花卉的种植总费用为，空白区域总面积为，种花卉种植成本为（元）．花卉的种植总费用为，
由题意，得，
，
．
，
，
．
23．（2025·武汉模拟）（1）如图1，在等边中，是上一点，是上一点，．
①求证：；
③若，连接，求证：；
（2）如图2，在中，，是边上一点，是上一点，连接，且．若，，直接写出的值．
【答案】解：（1）①为等边三角形，
．
，
，
，
；
②如图，延长AD至点N，使EN=EC，再取EN中点F，分别连接BF、BN、CN．
，
是等边三角形．
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；手拉手全等模型；异侧一线三等角全等模型（锐角）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（2）如图，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，连接，过点作于点．
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
，，，
∴．
，
，
，，
．
，
．
设，则，
，
，，，
，
在中，．
【分析】（1）
①由等边三角形的性质知等及，再利用角的和差关系结合三角形外角的性质即可；
②延长AD至点N，使EN=EC，再取EN中点F，分别连接BF、BN、CN；则可证是等边三角形，再利用手拉手全等模型可证，则；再由等边三角形的性质结合角的和差关系可得，即是等边三角形，则由内错角相等可得CE平行BN，再由三角形相似的预备定理可得，由相似比结合等边三角形的性质可得BN等于EN的一半，即FB=FE，再借助三角形外角的性质可依次得、；
（2）过点作，交的延长线于点，在上取点，使，过点作于点．证明，可得，，，从而有；易证明，由相似的性质及已知得．设，则，从而可得，在中，利用余弦三角函数即可求解．
24．（2025·武汉模拟）如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）为第一象限抛物线上一点，与，分别交于点，，若，求点的坐标；
（3）如图2，过点作轴交抛物线于另一点，为的中点，过点的直线（直线不过，两点）与抛物线交于，两点，直线与直线相交于点，求的面积．
【答案】（1）
（2）解：如图，作轴于点，轴于点，于点，则，
∴，
，，
，
，
；
设，
；
令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
．
∵，
∴，
∴，
，
，
；
（3）解：∵，D两点关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线，∴．
为的中点，
；
设，，
如图，作于点，作，交延长线于点．
则，
，即，
，
即，
，
，
．
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
当时，
解得，
，
．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（1）
解：把A、C两点坐标分别代入抛物线解析式中，
得：，解得：，
∴；
【分析】
（1）把A、C两点坐标分别代入抛物线解析式中联立方程组并求解即可；
（2）作轴于点，轴于点，于点，则利用平行线的性质可证明，从而得，再利用抛物线上点的坐标特征可设，则；再利用待定系数法求出直线的解析式，则得点T的坐标，则线段长可得；再证明，利用相似三角形的性质即可求得p的值，从而求得点P的坐标；
（3）由M是的中点可利用中点坐标公式求得点M的坐标；再利用抛物线上点的坐标特征设，，再分别过点E、F作于点，作，交延长线于点，则，再利用其正切值相等可得；再利用待定系数法分别求出直线、的解析式，从而联立方程组可求得其交点P的坐标，则利用面积公式求出即可．
（1）解：把A、C两点坐标分别代入抛物线解析式中，
得：，解得：，
∴；
（2）解：如图，作轴于点，轴于点，于点，
则，
∴，
，，
，
，
；
设，
；
令，解得：，
∴；
设直线的解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
．
∵，
∴，
∴，
，
，
；
（3）解：∵，D两点关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线，
∴．
为的中点，
；
设，，
如图，作于点，作，交延长线于点．
则，
，即，
，
即，
，
，
．
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
当时，
解得，
，
．
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