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2024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评八年级上学期1月数学二试试题
1．（2024八上·竞赛）已知关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的一元一次不等式 的解集．
【答案】解：∵不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集是x＜﹣ ，
∴a+3b＜0，即a＜﹣3b，
∵ ，即8a＝﹣12b， ，
∵a+3b＜0，2a+3b＝0，
则a＞0，b＜0，
∴bx﹣a＞0的解集为x＜﹣
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】结合题意，根据不等式的性质，得a＜-3b，2a+3b＝0；根据代数式的性质，得a＞0，b＜0，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案
2．（2024八上·竞赛）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：如果，，那么点Q（a，b）就是点P的“友好点”。例如：点P（6，3）的“友好点”是点Q（4，5）。点D（d，5）的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形DEF的面积为2，求点F的坐标。
【答案】解：由题意，的“友好点”为E，
。
轴，
。
。
。
。
设点F到直线DE的距离为h。
，
。
。
故当点F在直线DE右侧时，；
当点F在直线DE左侧时，。
或；
【知识点】点的坐标；点到直线的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据“友好点”的定义得到点E的坐标，然后根据轴， 求出d的值，然后根据三角形的面积求出点F的坐标即可.
3．（2024八上·竞赛）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF。若AB=4CM，EF=5cm，求BC的长。
【答案】解：如图，过点 F 作 FG⊥BC 交 BC于 G，又，
在中，，，，
在和中，，
设，则，
，
，
在中，，
，
即，
解得：，
。
的长为。
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】作于点G，则FG=AB=4cm，CG=DF，而BE=D'F，且D'F=DF，所以BE=CH，因为EF=5cm，所以EG=由 且AE=CE=3+CG=3+BE，得 求得 然后根据线段的和差解答即可.
4．（2024八上·竞赛）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，。若关于x，y的方程组
的解为，求关于x，y的方程组的解。
【答案】解： 可变形为.
令.
.
∵关于x，y的方程组
的解为
.
关于m、n的方程组
的解为
解得
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】
(2)将关于x，y的方程组 变形为根据方程组的解得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可.
5．（2024八上·竞赛）如图已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积。
【答案】解：由图知，，
.
∵长方形EMFD的面积是24，
，
设，，
则，，
由，得，
，
，
即，
∴阴影部分的面积为20。
【知识点】完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】根据拼图可知，正方形MFRN的边长为x-1，正方形GFDH的边长为x-3，由长方形EMFD的面积是24，可得(x-1)(x-3)=24，设a=x-1，b=x-3，进而得出a-b=2，ab=(x-1)(x-3)=24，由 可求出a+b=10，再根据S阴影部分 = 正方形GFDH=(a+b)(a-b)代入计算即可.
6．（2024八上·竞赛） 如图，在中，AD为BC边上的高，AE是的角平分线。在线段AE上作一点，使BF平分，连接CF交AD于点，若，且，，求线段AB的长。
【答案】解：连接CF交AD于点G，过点F作于点M，于点N，
∵ BF平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ BF平分，
∴，
∴，
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
，
∴AG=EC=4.5，
∵BE=3，
∴BC=BE+EC=7.5，
∴AB=BC=7.5.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；角平分线的性质；等积变换
【解析】【分析】连接CF交AD于点G，过点F作FM⊥BC于点M， FN⊥AB于点N， 先根据角平分线的性质得到FM=FN，则根据三角形面积公式得到AB= BC， 接着证明△ABF≌△CBF得到∠AFB=∠CFB，AF =FC， AB=BC， 再证明∠CFE= 90°， 从而得到∠AFC = 90°，接着证明△AFG≌△CFE得到AG = EC =4.5，所以BC=BE+EC =7.5， 得到AB= BC.
7．（2024八上·竞赛）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2024年，某社区共投入60万元用于购买健身器材和药品。2025年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2024年相同。
①求2024年社区购买药品的总费用；
②据统计，2024年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2024年相比，如果2025年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，2025年该社区用于健身家庭的药品费用是当年购买健身器材费用的，那么2025年该社区健身家庭有多少户？
【答案】解：设2024年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（60-y）万元，
2025年购买健身器材的费用为（1+50%）（60-y）万元，购买药品的费用为（1-）y万元，
根据题意得：，
解得：，，
则2024年购买药品的总费用为32万元；
设这个相同的百分数为m，则2025年健身家庭数为200（1+m）户，
2025年平均每户健身家庭的药品费用为万元，
依题意得：，
解得：，
，
（户），
则2025年该社区健身家庭的户数为300户。
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设2024年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为(60-y)万元，2025年购买健身器材的费用为( 万元，购买药品的费用为 万元，根据某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品，列出一元一次方程，解方程即可；
(2)设这个相同的百分数为m，则2025年健身家庭的户数为200(1+m)，根据2025年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题.
8．（2024八上·竞赛）如图1，已知八边形 ABCDEFGH 相邻的两边互相垂直，且 ，，动点 P 从八边形顶点 A 出发，沿着八边形的边以每秒 acm 的速度逆时针运动，当 P 运动到点 E 时调头，以原来的速度原路返回，到 A 点处停止运动. 的面积为 ，运动时间为 t （秒），S 与 t 的图象如图2所示，请回答以下问题：
（1）当点P第一次在边CD上运动时，求S与t的关系式：
（2）点P在返回过程中，当时间t为何值时，△AHP为等腰三角形？
【答案】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为，
根据图1可知，面积的最大值为：
，
，
.
，负值舍去；
延长ED交AB于点N，延长CD交AB于点M，如图所示：
∵八边形ABCDEFGH相邻的两边互相垂直，
∴四边形ABCM.ANDM，BCDN为长方形，
∴MC = AB=10cm，
根据图2可知，当点P在DE上运动时. △APH的面积为25CM2，
，
即 ，
解得： DM=5cm，
∴CD =10-5 = 5(cm).
∴DE=CD=5cm，
∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，
∴根据图2可知：点P从点C→D→E→D→C运动时间为：
16-6=10(s)，
；
点P第一次在边CD上运动时.如图所示：
PM =CM-PC=10-2(t-6)，
；
（2）解：当PH=PA，点P在ED上时， 过点P作PQ⊥AH.
则，
从给定的数学表达式AQ = AH = 5 ，
根据图2可知：点P从点A运动到点C所用时间为6，则：
AB+BC=2×6=12(cm)，
∴BC=12-10=2(cm)，
根据题意可知：四边形POAN，BCDN为长方形，
∴DN=BC=2cm， PN=AQ=5cm，
∴PD = PN-DN=5-2=3(cm).
∴EP=ED-PD=5-3=2(cm)，
此时；
当HA=HP=10cm时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴此时.
当时，点P在点B上，如图所示：
此时。
综上分析可知：或14或17时，为等腰三角形。
【知识点】矩形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；等腰三角形的概念
【解析】【分析】(1)根据题中已知信息，分析可知 求得AB的长度；再根据函数图象分析点P的运动轨迹，可DE的长度和a值，然后求出一次函数的解析式即可；
(2)根据点P运动轨迹可知当P与B重合时 是等腰三角形，当点P运动到AH垂直平分线上时PA=PH，此时 是等腰三角形，再进行求解即可，当点P在CD上，AP=AH=10，求出CP的值可得结论.

9．（2024八上·竞赛）如图，点C、B分别在x轴正半轴，Y轴正半轴上，A为第一象限内一点，A（m，m），∠ABC=45°，AB=AC。
（1）当 时，求：四边形 ABOC 的面积；
（2）点 E，点 D 分别在 AB，BC 上， 于点 H，交 AC 于点 F，连接 EF，DF，当 ， 时，，求：AF 的长。
【答案】（1）解：如图所示，过点A作轴于点M，作轴于点N，
∴，
∴四边形ANOM是矩形，
∴，
∵A(m，m)，m=6，
∴，
∴矩形ANOM是正方形，
∵， ，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形ABOC的面积为正方形ANOM的面积，
∴，
∴四边形ABOC的面积为36；
（2）解：延长FA到Q使AQ=AF，连接BQ、EQ，设EF和AD交于点P
，，
，，
垂直平分线段FQ，
，，
设，则，，
，，
，即，
，，
，
，
过D作于点N，则为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∴∠ADE= 180°-(∠BDE + ∠ADN)= 90°-2α，
∴∠NDE =∠ADE + ∠ADN =90°-α，
∴∠DQF=a，
∴∠BED=∠AEQ，
∴D、E、Q三点共线，
∴∠DBQ=∠BDQ=45°+α，
∴BQ=DQ，
∴BF=DQ·
在△ABF和△NQD中，
∴
，，。
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)过点A作轴于点M，作轴于点N，即可得到四边形ANOM是矩形，根据等腰直角的性质得到△ABN≌△ACM，将四边形ABOC的面积转化为正方形AMON的面积，从而得解；
(2)延长FA到Q使AQ=AF，连接BQ、EQ， 过D作 于点N，证 ，得到DN=AF，再利用面积即可求解.
10．（2024八上·竞赛）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且
（1）如图2，连接 AD，若点 P 为 y 轴负半轴上一点，点 Q 是 x 轴上一动点，连接 PE， PQ， EQ，当 时，求 周长的最小值；
（2）如图3，将直线 向上平移经过点 D，平移后的直线记为 ，若点 M 为 y 轴上一动点，点 N（6， n）为直线 上一点，是否存在点 M，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标，并写出其中一个点 M 的求解过程；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：把代入得：，解得，
∴ 点E的坐标为(4，-2)，把代入得，
∴ 点B的坐标为(0，-4)，∴，
∴，∴点C的坐标为(3，0)，设的解析式为，
把E(4，-2)，C(3，0)代入得：
解得
∴的解析式为；
在中，令得，
，
在中，令得，
，
点B的坐标为，
，
点E的坐标为，
，
，
，
，
，
作P关于x轴的对称点P'，连接P'E交x轴于Q，此时，此时周长最小，
如图：
在中，，，
，
PEQ周长的最小值为
（2）(0，6)， 或（0，9）或(0，9+)或(0，9-)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象的平移变换；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（2）存在点M，使为等腰三角形，理由如下：由（1）可知，B(0，-4)，C(3，0)，
由（2）可知，
，
∴当l1上移经过点D时，需将l1往上移10个单位长度，
的解析式为：，
∵ N点在上，且 N的坐标为 (6，n)，
，
N点的坐标为 (6，9)，
①作轴，那么 H 的坐标为 (0，9)。
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴当M点与D点重合时，为等腰三角形，
∴M点坐标为(0，6)；
②当时，设M(0，k)，作轴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
设N、C所在的直线为，将N(6，9)、C(3，0)代入，求得，，
∴N、C所在的直线为y=3x-9
∴当x=0时，该直线经过点(0，－9)）
∴当K=－9时，C、N、M三点共线，
∴M 的坐标为(0，9)：
③当NM =CN时，设M(0，r)，
在R△NHM中，NH=6，HM=|r-9l，
故M点坐标为(0，6)， 或（0，9）或(0，9+)或(0，9-)
故答案为：(0，6)， 或（0，9）或(0，9+)或(0，9-).
【分析】（1）先求出点A、D的坐标，可得BD长度，根据 以及 解得DP，得到点P的坐标，作P关于x轴的对称点P，连接P交x轴于Q，此时.PQ+EQ=P，此时\bigtriangleup PEQ周长的最小值， 再利用勾股定理求出答案；
（2）根据平移求出 的解析式，可得N点坐标，①由勾股定理可求出DC=DN，可得M点与D点重合时，有 是等腰三角形；②当CN=CM时，作N 轴，在中由勾股定理可求出CN长度， 设M点坐标为(0，k)， 在 中由勾股定理可求出k，注意是否存在三点共线的情况，得到M点坐标；③当NM=CN时， 设M点坐标为(0，r)，在 中由勾股定理可求出r，得到M点坐标.
1 / 12024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评八年级上学期1月数学二试试题
1．（2024八上·竞赛）已知关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的一元一次不等式 的解集．
2．（2024八上·竞赛）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：如果，，那么点Q（a，b）就是点P的“友好点”。例如：点P（6，3）的“友好点”是点Q（4，5）。点D（d，5）的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形DEF的面积为2，求点F的坐标。
3．（2024八上·竞赛）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF。若AB=4CM，EF=5cm，求BC的长。
4．（2024八上·竞赛）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，。若关于x，y的方程组
的解为，求关于x，y的方程组的解。
5．（2024八上·竞赛）如图已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积。
6．（2024八上·竞赛） 如图，在中，AD为BC边上的高，AE是的角平分线。在线段AE上作一点，使BF平分，连接CF交AD于点，若，且，，求线段AB的长。
7．（2024八上·竞赛）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2024年，某社区共投入60万元用于购买健身器材和药品。2025年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2024年相同。
①求2024年社区购买药品的总费用；
②据统计，2024年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2024年相比，如果2025年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，2025年该社区用于健身家庭的药品费用是当年购买健身器材费用的，那么2025年该社区健身家庭有多少户？
8．（2024八上·竞赛）如图1，已知八边形 ABCDEFGH 相邻的两边互相垂直，且 ，，动点 P 从八边形顶点 A 出发，沿着八边形的边以每秒 acm 的速度逆时针运动，当 P 运动到点 E 时调头，以原来的速度原路返回，到 A 点处停止运动. 的面积为 ，运动时间为 t （秒），S 与 t 的图象如图2所示，请回答以下问题：
（1）当点P第一次在边CD上运动时，求S与t的关系式：
（2）点P在返回过程中，当时间t为何值时，△AHP为等腰三角形？
9．（2024八上·竞赛）如图，点C、B分别在x轴正半轴，Y轴正半轴上，A为第一象限内一点，A（m，m），∠ABC=45°，AB=AC。
（1）当 时，求：四边形 ABOC 的面积；
（2）点 E，点 D 分别在 AB，BC 上， 于点 H，交 AC 于点 F，连接 EF，DF，当 ， 时，，求：AF 的长。
10．（2024八上·竞赛）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且
（1）如图2，连接 AD，若点 P 为 y 轴负半轴上一点，点 Q 是 x 轴上一动点，连接 PE， PQ， EQ，当 时，求 周长的最小值；
（2）如图3，将直线 向上平移经过点 D，平移后的直线记为 ，若点 M 为 y 轴上一动点，点 N（6， n）为直线 上一点，是否存在点 M，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标，并写出其中一个点 M 的求解过程；若不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】解：∵不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集是x＜﹣ ，
∴a+3b＜0，即a＜﹣3b，
∵ ，即8a＝﹣12b， ，
∵a+3b＜0，2a+3b＝0，
则a＞0，b＜0，
∴bx﹣a＞0的解集为x＜﹣
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】结合题意，根据不等式的性质，得a＜-3b，2a+3b＝0；根据代数式的性质，得a＞0，b＜0，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案
2．【答案】解：由题意，的“友好点”为E，
。
轴，
。
。
。
。
设点F到直线DE的距离为h。
，
。
。
故当点F在直线DE右侧时，；
当点F在直线DE左侧时，。
或；
【知识点】点的坐标；点到直线的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据“友好点”的定义得到点E的坐标，然后根据轴， 求出d的值，然后根据三角形的面积求出点F的坐标即可.
3．【答案】解：如图，过点 F 作 FG⊥BC 交 BC于 G，又，
在中，，，，
在和中，，
设，则，
，
，
在中，，
，
即，
解得：，
。
的长为。
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】作于点G，则FG=AB=4cm，CG=DF，而BE=D'F，且D'F=DF，所以BE=CH，因为EF=5cm，所以EG=由 且AE=CE=3+CG=3+BE，得 求得 然后根据线段的和差解答即可.
4．【答案】解： 可变形为.
令.
.
∵关于x，y的方程组
的解为
.
关于m、n的方程组
的解为
解得
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】
(2)将关于x，y的方程组 变形为根据方程组的解得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可.
5．【答案】解：由图知，，
.
∵长方形EMFD的面积是24，
，
设，，
则，，
由，得，
，
，
即，
∴阴影部分的面积为20。
【知识点】完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】根据拼图可知，正方形MFRN的边长为x-1，正方形GFDH的边长为x-3，由长方形EMFD的面积是24，可得(x-1)(x-3)=24，设a=x-1，b=x-3，进而得出a-b=2，ab=(x-1)(x-3)=24，由 可求出a+b=10，再根据S阴影部分 = 正方形GFDH=(a+b)(a-b)代入计算即可.
6．【答案】解：连接CF交AD于点G，过点F作于点M，于点N，
∵ BF平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ BF平分，
∴，
∴，
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
，
∴AG=EC=4.5，
∵BE=3，
∴BC=BE+EC=7.5，
∴AB=BC=7.5.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；角平分线的性质；等积变换
【解析】【分析】连接CF交AD于点G，过点F作FM⊥BC于点M， FN⊥AB于点N， 先根据角平分线的性质得到FM=FN，则根据三角形面积公式得到AB= BC， 接着证明△ABF≌△CBF得到∠AFB=∠CFB，AF =FC， AB=BC， 再证明∠CFE= 90°， 从而得到∠AFC = 90°，接着证明△AFG≌△CFE得到AG = EC =4.5，所以BC=BE+EC =7.5， 得到AB= BC.
7．【答案】解：设2024年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（60-y）万元，
2025年购买健身器材的费用为（1+50%）（60-y）万元，购买药品的费用为（1-）y万元，
根据题意得：，
解得：，，
则2024年购买药品的总费用为32万元；
设这个相同的百分数为m，则2025年健身家庭数为200（1+m）户，
2025年平均每户健身家庭的药品费用为万元，
依题意得：，
解得：，
，
（户），
则2025年该社区健身家庭的户数为300户。
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设2024年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为(60-y)万元，2025年购买健身器材的费用为( 万元，购买药品的费用为 万元，根据某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品，列出一元一次方程，解方程即可；
(2)设这个相同的百分数为m，则2025年健身家庭的户数为200(1+m)，根据2025年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题.
8．【答案】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为，
根据图1可知，面积的最大值为：
，
，
.
，负值舍去；
延长ED交AB于点N，延长CD交AB于点M，如图所示：
∵八边形ABCDEFGH相邻的两边互相垂直，
∴四边形ABCM.ANDM，BCDN为长方形，
∴MC = AB=10cm，
根据图2可知，当点P在DE上运动时. △APH的面积为25CM2，
，
即 ，
解得： DM=5cm，
∴CD =10-5 = 5(cm).
∴DE=CD=5cm，
∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，
∴根据图2可知：点P从点C→D→E→D→C运动时间为：
16-6=10(s)，
；
点P第一次在边CD上运动时.如图所示：
PM =CM-PC=10-2(t-6)，
；
（2）解：当PH=PA，点P在ED上时， 过点P作PQ⊥AH.
则，
从给定的数学表达式AQ = AH = 5 ，
根据图2可知：点P从点A运动到点C所用时间为6，则：
AB+BC=2×6=12(cm)，
∴BC=12-10=2(cm)，
根据题意可知：四边形POAN，BCDN为长方形，
∴DN=BC=2cm， PN=AQ=5cm，
∴PD = PN-DN=5-2=3(cm).
∴EP=ED-PD=5-3=2(cm)，
此时；
当HA=HP=10cm时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴此时.
当时，点P在点B上，如图所示：
此时。
综上分析可知：或14或17时，为等腰三角形。
【知识点】矩形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；等腰三角形的概念
【解析】【分析】(1)根据题中已知信息，分析可知 求得AB的长度；再根据函数图象分析点P的运动轨迹，可DE的长度和a值，然后求出一次函数的解析式即可；
(2)根据点P运动轨迹可知当P与B重合时 是等腰三角形，当点P运动到AH垂直平分线上时PA=PH，此时 是等腰三角形，再进行求解即可，当点P在CD上，AP=AH=10，求出CP的值可得结论.

9．【答案】（1）解：如图所示，过点A作轴于点M，作轴于点N，
∴，
∴四边形ANOM是矩形，
∴，
∵A(m，m)，m=6，
∴，
∴矩形ANOM是正方形，
∵， ，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形ABOC的面积为正方形ANOM的面积，
∴，
∴四边形ABOC的面积为36；
（2）解：延长FA到Q使AQ=AF，连接BQ、EQ，设EF和AD交于点P
，，
，，
垂直平分线段FQ，
，，
设，则，，
，，
，即，
，，
，
，
过D作于点N，则为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∴∠ADE= 180°-(∠BDE + ∠ADN)= 90°-2α，
∴∠NDE =∠ADE + ∠ADN =90°-α，
∴∠DQF=a，
∴∠BED=∠AEQ，
∴D、E、Q三点共线，
∴∠DBQ=∠BDQ=45°+α，
∴BQ=DQ，
∴BF=DQ·
在△ABF和△NQD中，
∴
，，。
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)过点A作轴于点M，作轴于点N，即可得到四边形ANOM是矩形，根据等腰直角的性质得到△ABN≌△ACM，将四边形ABOC的面积转化为正方形AMON的面积，从而得解；
(2)延长FA到Q使AQ=AF，连接BQ、EQ， 过D作 于点N，证 ，得到DN=AF，再利用面积即可求解.
10．【答案】（1）解：把代入得：，解得，
∴ 点E的坐标为(4，-2)，把代入得，
∴ 点B的坐标为(0，-4)，∴，
∴，∴点C的坐标为(3，0)，设的解析式为，
把E(4，-2)，C(3，0)代入得：
解得
∴的解析式为；
在中，令得，
，
在中，令得，
，
点B的坐标为，
，
点E的坐标为，
，
，
，
，
，
作P关于x轴的对称点P'，连接P'E交x轴于Q，此时，此时周长最小，
如图：
在中，，，
，
PEQ周长的最小值为
（2）(0，6)， 或（0，9）或(0，9+)或(0，9-)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象的平移变换；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（2）存在点M，使为等腰三角形，理由如下：由（1）可知，B(0，-4)，C(3，0)，
由（2）可知，
，
∴当l1上移经过点D时，需将l1往上移10个单位长度，
的解析式为：，
∵ N点在上，且 N的坐标为 (6，n)，
，
N点的坐标为 (6，9)，
①作轴，那么 H 的坐标为 (0，9)。
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴当M点与D点重合时，为等腰三角形，
∴M点坐标为(0，6)；
②当时，设M(0，k)，作轴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
设N、C所在的直线为，将N(6，9)、C(3，0)代入，求得，，
∴N、C所在的直线为y=3x-9
∴当x=0时，该直线经过点(0，－9)）
∴当K=－9时，C、N、M三点共线，
∴M 的坐标为(0，9)：
③当NM =CN时，设M(0，r)，
在R△NHM中，NH=6，HM=|r-9l，
故M点坐标为(0，6)， 或（0，9）或(0，9+)或(0，9-)
故答案为：(0，6)， 或（0，9）或(0，9+)或(0，9-).
【分析】（1）先求出点A、D的坐标，可得BD长度，根据 以及 解得DP，得到点P的坐标，作P关于x轴的对称点P，连接P交x轴于Q，此时.PQ+EQ=P，此时\bigtriangleup PEQ周长的最小值， 再利用勾股定理求出答案；
（2）根据平移求出 的解析式，可得N点坐标，①由勾股定理可求出DC=DN，可得M点与D点重合时，有 是等腰三角形；②当CN=CM时，作N 轴，在中由勾股定理可求出CN长度， 设M点坐标为(0，k)， 在 中由勾股定理可求出k，注意是否存在三点共线的情况，得到M点坐标；③当NM=CN时， 设M点坐标为(0，r)，在 中由勾股定理可求出r，得到M点坐标.
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