资源简介

(共12张PPT)
17.2　一元二次方程的解法
17．2.1　配方法
第1课时　直接开平方法
知识点一：形如x2＝p(p≥0)的解法
1．一元二次方程x2－1＝0的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝0
C
2．若关于x的一元二次方程x2－m＝0有实数根，则m的取值范围是 ( )A．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0
3．一元二次方程x2＝0.09的解为 .
D
x1＝0.3，x2＝－0.3
4．解下列方程：
(1)9x2＝25； (2)3x2＋5＝4.
解：x2＝，
∴x1＝，x2＝－.
解：3x2＝－1，
∴x2＝－.
∴方程无实数根．
知识点二：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法
5．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
D
6．用直接开平方法解下列方程：
(1)3(x－1)2＝12； (2)(2x＋3)2＝49.
解：x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
解：2x＋3＝±7，
∴x1＝2，x2＝－5.
易错点：忽视一元二次方程若有解就是两个
7．方程(x＋2)2＝0的解是 .
x1＝x2＝－2
8．已知三角形的两边长分别是5和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为( )
A．18 B．12 C．16 D．12或16
9．已知方程(x－2)2＝1的根也是方程x2－2mx＋1＝0的根，则m＝ .
C
或1
10．【核心素养·创新意识】对于实数m，n，我们用符号min{m，n}表示m，n两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{x2－1，2x2}＝2，
(1)可列方程为 ；
(2)x的值为 .
x2－1＝2
±
11．用直接开平方法解下列方程：
(1)4(x－2)2－36＝0；
解：4(x－2)2＝36，(x－2)2＝9，
x－2＝±3，
∴x1＝5，x2＝－1.
(2)x2＋2x＋1＝3.
解：(x＋1)2＝3，
x＋1＝±，
x＝－1±，
∴x1＝－1＋，x2＝－1－.(共13张PPT)
第4课时　可化为一元二次方程的分式方程及应用
知识点一：解可化为一元二次方程的分式方程
1．将分式方程2－＝去分母，整理后可得( )
A．5x－1＝0 B．5x＋3＝0
C．2x2＋3x＋1＝0 D．2x2－3x－1＝0
2．分式方程－＝1的解为 .
D
x=-1
3．解方程：＋＝.
解：方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得
x－3＋6＝x2＋3x.
整理，得(x＋3)(x－1)＝0，
解得x1＝－3，x2＝1.
当x＝－3时，(x＋3)(x－3)＝0，
∴x＝－3不是原方程的根．
当x＝1时，(x＋3)(x－3)≠0，
∴x＝1是原方程的根．
∴原方程的根为x＝1.
知识点二：可化为一元二次方程的分式方程的应用
4．一列客车已晚点6 min，如果将速度每小时加快10 km，那么继续行驶20 km便可准时到达，如果设客车原来行驶的速度是x km/h，可列出分式方程为( )
A.－＝6 B.－＝6
C.－＝ D.－＝
C
5．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且甲队提前天完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台空调，根据题意，列出方程为 .
-
6．解放军某部接到了为干旱受灾区限期打 30口水井的工作任务，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务．原计划每天打多少口井？
解：设原计划每天打x口井，由题意列方程为－＝5.
整理得x2＋3x－18＝0.
解得x1＝3，x2＝－6(舍去)，
经检验，x＝3是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天打3口井．
知识点三：其他问题
7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
8．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场 个．
易错点：把“单循环赛”和“双循环赛”弄混淆
9．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 .
B
5
x(x－1)＝72
10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C
11．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12 m，在绿灯亮时，小敏共用22 s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是 .
1 m/s
12．某玩具店采购员第一次用100元去采购某品牌玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元，则第二次采购玩具多少件？
解：设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具(x－10)件．根据题意，得＋＝， 整理，得x2－110x＋3 000＝0，解得x1＝50，x2＝60.
经检验，x1＝50，x2＝60都是原方程的解．
当x＝50时，每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，
高于玩具的售价，不合题意，舍去；
当x＝60时，每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，
低于玩具的售价，符合题意．
答：第二次采购玩具60件．
13．【核心素养·推理能力】某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合作，6天可以完成，需工程费用10 200元；若甲队单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？
解：设甲队单独做x天完成，则乙队单独做(x＋5)天完成，依题意得
＋＝， 整理得x2－7x－30＝0，
解得x1＝10，x2＝－3(不合题意，舍去)，
经检验，x＝10是原方程的根，则x＋5＝15.
设甲队每天的工程费用为a元，乙队每天的工程费用为b元．依题意得解得
∴甲队单独完成的费用：1 000×10＝10 000(元)，
乙队单独完成的费用：700×15＝10 500(元)．
∵10 000<10 500，
∴从节省资金的角度考虑，应选甲队．(共18张PPT)
17.2.3　
因式分解法
知识点一：解形如“AB＝0”或“A(x＋m)＝nA”的一元二次方程
1．方程x(x＋2)＝0的根是( )
A．x＝2 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
【变式】若一元二次方程的二次项系数为1，两根分别为－2和3，则该一元二次方程为 ．
C
(x＋2)(x－3)＝0(或x2－x－6＝0)
2．方程x(x＋1)＝5(x＋1)的解是( )
A．x＝5 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝－1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
3．一元二次方程7x2－21＝0的解为 .
D
x1＝，x2＝－
4．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－6x＝0； (2)3x(x－2)＝2－x.
解：x(x－6)＝0，
∴x＝0或x－6＝0，
∴x1＝0，x2＝6.
解：3x(x－2)＋(x－2)＝0，
(x－2)(3x＋1)＝0，
∴x＝2，x2＝－.
知识点二：解形如“x2＋(a＋b)x＋ab＝0”的一元二次方程
5．方程x2＋4x＋3＝0的两个根为 ( )
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝－1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝－3
D．x1＝－1，x2＝－3
D
6．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0； (2)x2－3x－28＝0.
解：(x＋4)(x－3)＝0，
∴x1＝－4，x2＝3.
解：(x－7)(x＋4)＝0，
∴x1＝7，x2＝－4.
知识点三：用适当的方法解一元二次方程
7．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
D
易错点：方程两边同除以含有未知数的代数式致错
8．小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下：
小敏： 两边同除以(x－3) 得3＝x－3， 则x＝6. 小霞：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得
(x－3)(3－x－3)＝0.
则x－3＝0或3－x－3＝0，
∴x1＝3，x2＝0.
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
解：小敏：×；小霞：×.
正确的解答：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
则x－3＝0或3－x＋3＝0，
∴x1＝3，x2＝6.
9．【整体思想】若(x＋2y)2＋3(x＋2y)－4＝0，则x＋2y的值为( )
A．1
B．－4
C．1或－4
D．－1或3
C
10．等腰三角形ABC的两边长分别是一元二次方程x2－9x＋18＝0两个解，则这个等腰三角形的周长是( )
A．9 B．12
C．15 D．12或15
【变式】一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长为 .
C
12
11．已知正比例函数y＝－x的图象上有一个点M，点M的横坐标是方程x2＋5x－14＝0的根，则点M的纵坐标为 .
2或－
12．用因式分解法解下列方程：
(1)(3x＋2)2－4x2＝0； (2)x2－10x＋25＝2(x－5)；
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(5x＋2)(x＋2)＝0，
∴x1＝－，x2＝－2.
解：(x－5)2＝2(x－5)，
(x－5)2－2(x－5)＝0，
(x－5)(x－5－2)＝0，
(x－5)(x－7)＝0，
∴x1＝5，x2＝7.
(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝13.
解：原方程可化为x2＋2x－8＝0，
(x－2)(x＋4)＝0，
∴x1＝2，x2＝－4.
13．在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴正半轴上，且线段OA，OB(OA＜OB)的长分别为方程x2－5x＋4＝0的两个根，点C在y轴正半轴上，且OB＝2OC.求A，B，C三点的坐标．
解：方程变形为(x－1)(x－4)＝0，
解得x1＝1，x2＝4，
∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4，
∵A，B分别在x轴正半轴上，
∴A(1，0)，B(4，0)；
又∵OB＝2OC，且点C在y轴正半轴上，
∴OC＝2，∴C(0，2)．
14．阅读下面的例题，解方程(x－1)2－5|x－1|－6＝0.
例：解方程x2－|x|－2＝0.
解：令y＝|x|，原方程化成y2－y－2＝0，
解得y1＝2，y2＝－1，
当|x|＝2时，x＝±2；
当|x|＝－1时，不合题意，舍去，
∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.
解：令y＝|x－1|，
原方程可化为y2－5y－6＝0，
解得y＝－1或y＝6，
当|x－1|＝－1时，不符合题意，舍去；
当|x－1|＝6时，即x－1＝6或x－1＝－6，
解得x＝7或x＝－5.(共13张PPT)
小专题(一)　
一元二次方程解法归类
类型一：直接开平方法
【方法指导】
形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，用直接开平方法求解．
1．解下列方程．
(1)3x2＝12；
解：x2＝4，
x＝±2.
(2)(x＋1)2－9＝0； (3)(2x＋3)2＝(3x＋2)2.
解：(x＋1)2＝9，
x＋1＝±3，
x1＝2，x2＝－4.
解：直接开平方，得
2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝－3x－2.
解得x1＝1，x2＝－1.
类型二：配方法
【方法指导】
当方程可化为二次项系数为1，且一次项系数是偶数时，用配方法求解．
2．解方程：
(1)x2＋4x－3＝0；
解：x2＋4x＝3，
x2＋4x＋22＝3＋22，
(x＋2)2＝7，
x＋2＝，x＋2＝－，
x1＝－2＋，x2＝－2－.
(2)4x2－8x＋3＝0； (3)x2－x＝3x＋5.
解：4x2－8x＝－3，
x2－2x＝－，
x2－2x＋1＝1－，
(x－1)2＝，
x－1＝或x－1＝－，
x1＝，x2＝.
解：移项，得x2－4x＝5.
配方，得x2－4x＋4＝5＋4，
即(x－2)2＝9.
开平方，得x－2＝±3.
∴x1＝5，x2＝－1.
类型三：公式法
【方法指导】
当方程没有明显特征时，用公式法求解，除了适合用直接开平方和因式分解法外的方程均可用公式法求解．
3．解方程：
(1)x2－5x＋2＝0；
解： 这里a＝1, b＝－5, c＝2,
因而b2－4ac＝25－4×1×2＝17> 0，
∴x＝， ∴x1＝，x2＝.
(2)3x2＋5x＝－4； (3)2x2－2x－1＝0.
解：原方程可化为3x2＋5x＋4＝0，
则a＝3，b＝5，c＝4.
∴b2－4ac＝52－4×3×4
＝－23<0.
∴原方程无实数根．
解：2x2－2x－1＝0，
a＝2，b＝－2，c＝－1，
Δ＝b2-4ac＝4－4×2×(－1)＝12>0，
∴x1＝，x2＝.
类型四：因式分解法
【方法指导】
当方程可化为一边为0，另一边为两个一次因式的积的形式或缺少常数项时，用因式分解法求解．
4．解方程：
(1)3x2－5x＋2＝0；
解：因式分解可得
(3x－2)(x－1)＝0，
∴x－1＝0或3x－2＝0，
∴x1＝1，x2＝.
(2)3x(x－2)＝x－2； (3)(x＋2)2－4(x－3)2＝0.
解：3x(x－2)－(x－2)＝0.
(x－2)(3x－1)＝0.
∴x1＝2，x2＝.
解：把方程左边分解因式，得
[(x＋2)＋2(x－3)][(x＋2)－2(x－3)]＝0，
即(3x－4)(－x＋8)＝0，
∴3x－4＝0或－x＋8＝0，
∴x1＝，x2＝8.
类型五：换元法
【方法指导】
换元法时将较复杂的一元二次方程或次数较高的偶次方程，通过换元，转化为一元二次方程．先解换元后的一元二次方程，进而求出原方程的解．
5．(金山区期中)降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程x4－x2－12＝0时，可以将x2看成一个整体，设x2＝y，则x4＝y2.原方程可化为y2－y－12＝0，解得y1＝4，y2＝－3.当y＝4时，x2＝4，所以x1＝－2，x2＝2；当y＝－3时，此方程没有实数根，所以原方程的根为x1＝－2，x2＝2.请根据上述内容，用适当的方法解下列方程：
(1)y4－16y2＝0；
解：(1)令y2＝t，
则t2－16t＝0，
解得t＝0或t＝16，
当t＝0时，y2＝0，∴y1＝y2＝0；
当t＝16时，y2＝16，∴y3＝4，y4＝－4.
(2)(y2－3y－3)(y2－3y＋1)＝5.
(2)令y2－3y＝m，
则(m－3)(m＋1)＝5，
即m2－2m－8＝0，
解得m＝4或m＝－2，
当m＝4时，y2－3y＝4，y2－3y－4＝0，
y1＝4，y2＝－1；
当m＝－2时，y2－3y＝－2，y2－3y＋2＝0，
y3＝1，y4＝2.(共3张PPT)
微专题2：
巧用一元二次方程根的定义求值
【方法指导】①已知一元二次方程的根求方程中待定字母的值时，一般将根代入原方程中即可求解；②已知一元二次方程的根求代数式的值时，若方程中的参数无法求出，应采用整体思想解决问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已知条件可求出，将其整体代入即可求解．
【针对训练】
1．若关于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一个根是2，则a的值为( )
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
D
2．已知m为方程x2＋3x－2 026＝0的根，那么m3＋2m2－2 029m＋2 026的值为( )
A．－2 025 　 B．0 C．2 025 D．4 050
3．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n＝ .
B
-2
【解析】m3＋2m2－2 029m＋m2＋3m＝m(m2＋3m)－2 026m＝0.


可


(共13张PPT)
小专题(二)　
一元二次方程的应用
类型一：跨学科问题
1．如图，小球悬浮于液体中(F浮＝G，G＝mg，g＝10 N/kg)，若F浮＝20 N，小球质量m为(x2＋x)kg，则x的值为( )
A．1
B．4
C．1或－2
D．－2
C
类型二：变化率问题
2．某超市一月份的营业额为20万元，已知第一季度的总营业额共100万元．如果营业额平均每月的增长率为x，那么由题意可列方程为 .
3．已知某种型号的医 疗器械连续两年降价，第一年降价20%，第二年降价80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是 .
20[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝100
60%
类型三：面积问题
4．如图，某中学有一块长30 m，宽20 m的长方形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度均为x m的“U”形区域种花，则花带的宽度为 m.
5
5．如图，在长方形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s 的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)问几秒后△PBQ的面积为8 cm2
解：设x s后△PBQ的面积为8 cm2.
∵AP＝x cm，QB＝2x cm，
∴PB＝(6－x)cm，
CQ＝(12－2x)cm.
由题意，得×2x(6－x)＝8，
解得x1＝2，x2＝4.
∴2 s或4 s后△PBQ的面积为8 cm2.
(2)是否存在这样的时刻，使得S△PDQ＝8 cm2？试说明理由．
解：不存在．
理由：设出发y s时△PDQ的面积为8 cm2.
S△PDQ＝S长方形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ.
由(1)可得，12×6－×12y－×2y(6－y)－×6×(12－2y)＝8，
整理，得y2－6y＋28＝0.
∵Δ＝36－4×28＝－76<0，∴原方程无解，
∴不存在这样的时刻，使得S△PDQ＝8 cm2.
类型四：循环问题
6．某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举行了21场比赛，则参加比赛的球队个数为( )
A．6 B．12 C．7 D．14
7．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包．若此次活动中，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有( )
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
C
B
类型五：和差倍分问题
8．把48张图片平均分给若干名学生，每人分得的图片数比学生人数少2.设学生有x人，则可列方程为 .
9．某果园种植了一片苹果树，总共有630棵．已知苹果树的行数比每行棵数多9，问果园有多少行苹果树？
x(x－2)＝48
解：设每行棵数为m，则行数为m＋9.根据题意得m(m＋9)＝630，
解得m1＝21，m2＝－30(舍去)，∴m＋9＝30，
∴果园有30行苹果树．
类型六：工程问题
10．西部建设中，某工程队承包了一段72 km的铁轨的铺设任务，计划若干天完成，在铺设完一半后，增添工作设备，改进了工作方法，这样每天比原计划可多铺3 km，结果提前了2天完成任务．原计划每天铺多少千米？计划多少天完成任务？
解：设原计划每天铺x km.根据题意，得＝＋＋2.
整理，得x2＋3x－54＝0.
解得x1＝6，x2＝－9(不合题意，舍去)．
经检验，x＝6是原方程的根， 当x＝6时，＝12(天)．
答：原计划每天铺6 km，计划12天完成任务．
类型七：数字问题
11．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点……第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10，若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 .
24
12．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字、十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．
解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为x2－2.根据题意，得
[10(x2－2)＋x]－(10x＋x2－2)＝36.
整理，得x2－x－6＝0.
解得x1＝3，x2＝－2(不符合题意，舍去)．
∴x2－2＝32－2＝7.
∴原来的两位数为73.
类型八：销售问题
13．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元/个的书包以40元/个的价格出售时，平均每月可售出600个，并且每个书包的售价每提高1元，则每月的销售量就减少10个．
(1)若售价定为42元/个，则每月可售出书包多少个？
(2)若书包的月销售量为300个，则每个书包的售价为多少元？
(3)当该商场每月销售这种书包有10 000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，销售价格应定为多少？
解：(1)当售价为42元/个时，每月可售出的书包个数为
600－10×(42－40)＝580.
(2)当书包的月销售量为300个时，每个书包的售价为
40＋(600－300)÷10＝70(元)．
(3)设销售价格定为x元/个，根据题意，得
(x－30)[600－10(x－40)]＝10 000，
整理，得x2－130x＋4 000＝0.
解得x1＝50，x2＝80.
当x＝50时，销售量为
600－10×(50－40)＝500(个)；
当x＝80时，销售量为
600－10×(80－40)＝200(个)．
因此为体现“薄利多销”的销售原则，销售价格应定为50元/个．(共3张PPT)
微专题3：
巧用配方法求值
【阅读理解】
先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.
∵(y＋2)2≥0，
∴(y＋2)2＋4≥4，
∴y2＋4y＋8的最小值是4.
请利用以上方法，解答下列问题：
1．当x＝ 时，代数式x2－2x－3有最 (选填“大”或“小”)值，是 .
2．当x＝ 时，代数式－2x2＋8x＋5有最 (选填“大”或“小”)值，是 .
3．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，则x－y＝ .
1
小
-4
2
大
13
3


可


(共6张PPT)
数学活动　
挪球游戏
1．现有三堆球，数量分别为 a＝1，b＝5，c＝44，按照挪球规则，应该如何操作，请填写表格：
操作步骤 A堆球数 B堆球数 C堆球数
初始状态 1 5 44
第一步 2(B→A，移1个) 4 44
第二步 4(C→A，移2个) 4 42
最终结果(至多两堆) 8(B→A，移4个) 0 42
2.若三堆球数量为 a＝1，b＝15，c＝34，请写出前3步的操作过程(说明移出堆，移往堆及移动球数)，并写出最终合并后的两堆球数．
解：第一步：B→A，移1个(A＝2，B＝14，C＝34)；
第二步：B→A，移2个(A＝4，B＝12，C＝34)；
第三步：B→A，移4个(A＝8，B＝8，C＝34)；
最终合并后两堆球数：16和34(第四步B→A移8个，A＝16，B＝0，C＝34)．
3．观察教材及本页前两题中A堆球数的变化，回答下列问题：
(1)A堆球数在操作过程中呈现什么规律？请用具体数据说明；
(2)操作步骤中，每次移动的球数与哪一堆的球数相关？有什么特征？
(3)分析B堆球数的变化特点，结合操作规则解释：为什么在多数情况下，最终能将三堆球合并为两堆？合并后两堆球数的和与初始总球数有什么关系？
解：(1)A堆球数呈2倍递增规律(1→2→4→8→16)，如教材中A堆从1到2，4，8，16，本页题中A堆从1到2，4，8，16.
(2)每次移动的球数与移往堆当前球数相等，特征为均是2的整数次幂(1，2，4...)．
(3)因为操作中总有一堆球数会通过2倍递增达到可覆盖另一堆的数量，最终使其中一堆球数变为0(如B堆被A堆合并)，故能合并为两堆；合并后两堆球数的和等于初始总球数(如前两题初始和为50，最终两堆和均为50)．
4．当 a>1 时，现有三堆球 a＝3，b＝11，c＝36，请尝试按照规则完成挪球操作，记录关键步骤，并回答：此时A堆球数的变化规律与 a＝1 时相比，有什么相同点和不同点？
解：关键步骤：
第一步：B→A，移3个(A＝6，B＝8，C＝36)；
第二步：C→A，移6个(A＝12，B＝8，C＝30)；
第三步：C→A，移12个(A＝24，B＝8，C＝18)；
第四步：A→B，移8个(A＝16，B＝16，C＝18)；
第五步：B→A，移16个(A＝32，B＝0，C＝18)．
相同点：最终均合并为两堆，总球数不变；
不同点：a＝1 时A堆呈2倍递增，a>1时A堆无固定2倍递增规律，初始堆数较大时易先合并其他堆．(共17张PPT)
17.4　一元二次方程的根与系数的关系
知识点一：一元二次方程的根与系数的关系
1．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是( )
A．－2 B．－3 C．2 D．3
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x＝4的两根，则x1＋x2的值是( )
A．0 B．3 C．－2 D．4
B
B
3．以3和－1为两根的一元二次方程是( )
A．x2＋2x－3＝0
B．－2x2－4x＋6＝0
C．3x2－6x－9＝0
D．x2－2x＋3＝0
C
4．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋2x＋1＝0，
x1＋x2＝ ，x1x2＝ ；
(2)2x2＋3＝7x2＋x，
x1＋x2＝ ，x1x2＝ ；
(3)5x－5＝6x2－4，
x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
-2
1
-
-
5．设方程x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2，求下列各式的值：
(1)x12＋x22；　　　　 (2)＋.
解：∵x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝2.
(1)原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12.
(2)原式＝＝2.
知识点二：运用根与系数的关系求字母的值
6．如果一元二次方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的两个根互为相反数，那么有( )
A．m＝0 B．m＝－1
C．m＝1　　 D．以上结论都不对
B
7．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且＋＝3，则p的值为( )
A．－ B. C．－6 D．6
8．一元二次方程x2－4x＋c＝0有一个根为3，则另外一个根为 ，c＝ .
A
1
3
9．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－1＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，求k的值．
(1)证明：∵b2－4ac＝k2＋4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)解：x1＋x2＝－k，x1x2＝－1，
由x1＋x2＝x1x2，得－k＝－1，
∴k＝1.
易错点：利用根与系数的关系时，忽略方程有实数根的前提
10．关于x的一元二次方程x2－mx＋m＋3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝2，则m的值为 .
-2
11．甲、乙两同学解方程x2＋px＋q＝0时，甲看错了一次项系数，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和－10，则原方程为 ( )
A．x2－9x＋14＝0 B．x2＋9x－14＝0
C．x2－9x＋10＝0 D．x2＋9x＋14＝0
12．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝－1，则a－x12-x22的值为( )
A．7 B．－7 C．6 D．－6
D
B
13．α，β是关于x的方程x2－x＋k－1＝0的两个实数根，且α2－2α－β＝4，则k的值为 .
-4
【解析】将方程α2－2α－β＝4化为α2－α－(α＋β)＝4.由原方程根与系数的关系得α＋β＝1，把α代入原方程得α2－α＝1－k，代值计算即可．
14．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0，
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根是另一根的2倍，求k 的值．
(1)证明：Δ＝b2－4ac
＝(k＋3)2－4×1×(2k＋2)
＝k2－2k＋1
＝(k－1)2，
∵(k－1)2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k为何值，方程总有两个实数根．
(2)解：设x1，x2是一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0两个根，x1＝m，x2＝2m，
∴
解得k＝0或k＝3，
∴k的值为0或3.
15．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1.
则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ；
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根分别为m，n，求＋的值；
－
解：(2)∵一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根分别为m，n，
∴m＋n＝，mn＝－.
∴＋＝＝＝－.
(3)思维拓展：已知实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值.
解：(3)∵实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，
∴s与t可看作是方程2x2－3x－1＝0的两个实数根，
∴s＋t＝，st＝－.
∴(s－t)2＝(s＋t)2－4st
＝()2－4×（-）＝，
∴s－t＝±， ∴－＝＝±.(共16张PPT)
17.2.2　公式法
知识点：用公式法解一元二次方程
1．用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是( )
A．5，6，－8
B．5，－6，－8
C．5，－6，8
D．6，5，－8
C
2．用公式法解方程(x＋2)2＝6(x＋2)－4时，b2－4ac 的值为( )
A．52 B．32 C．20 D．－12
3．以x＝为根的一元二次方程是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
C
D
4．用公式法解方程5x＋2＝3x2.
解：将方程化为一般形式，得 ，
∴a＝3，b＝ ，c＝ ，b2－4ac＝ ，
代入求根公式，得x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
3x2-5x-2=0
-5
-2
49
2
－
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0中，b2－4ac＝8，则m＝ .
6．用公式法解下列方程：
(1)x2－x－2＝0；
1
解：∵a＝1，b＝－1，c＝－2，
∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－2)＝9>0.
代入求根公式，得x＝＝，
∴x1＝－1，x2＝2.
(2)x2＋3x－1＝0； (3)x2－3x＝－.
解：a＝1，b＝3，c＝－1，
b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13＞0，
∴x1＝，x2＝.
解：将原方程化为一般形式为
x2－3x＋＝0，
∵b2－4ac＝9－4＜0，
∴方程无实数根．
易错点：利用公式法解方程时未化成一般形式
7．小明在解方程x2－5x＝－3的过程中出现了错误，其解答如下：
解：∵a＝1，b＝－5，c＝－3，···································第一步
∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－3)
＝37，·······················································第二步
∴x＝，····························································第三步
∴x1＝，x2＝.···············································第四步
(1)小明的解答是从第 步开始出错的；
二
(2)请写出本题正确的解答．
解：(2)方程化为一般式为x2－5x＋3＝0，
a＝1，b＝－5，c＝3，
Δ＝(－5)2－4×1×3＝13＞0，
x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
8．若代数式2x2＋3x－5与2x＋1的值相等，则x的值为( )
A．x1＝，x2＝－2
B．x1＝－，x2＝2
C．x1＝x2＝2
D．x1＝x2＝－
A
9．设x1为一元二次方程2x2－4x＝较小的根，则( )
A．0B．－1C．－2D．－5B
10．【核心素养·几何直观】如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的长方形．若x＝1.则
　　
(1)y的值为 ；
(2)正方形纸片的面积为 .
11．用公式法解下列方程：
(1)－x2－x＋＝0
解：将方程两边同乘－6，得3x2＋2x－5＝0，
则a＝3，b＝2，c＝－5，
∴b2－4ac＝64＞0，
代入求根公式，得x1＝1，x2＝－.
(2)2y(y－1)＋3＝(y＋1)2.
解：将方程化为一般形式，得y2－4y＋2＝0，
∴a＝1，b＝－4，c＝2，
∴b2－4ac＝8>0.
代入求根公式，得y1＝2＋，y2＝2－.
12．【换元思想】已知(m2＋n2)2－(m2＋n2)－6＝0，求m2＋n2的值．
解：令m2＋n2＝x，则(m2＋n2)2－(m2＋n2)－6＝0可整理为
x2－x－6＝0.
此时a＝1，b＝－1，c＝－6.
∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0.
代入求根公式，得x＝＝.
∴方程x2－x－6＝0的解为x1＝－2，x2＝3.
又∵m2＋n2≥0，
∴x≥0.
∴x＝3，即m2＋n2的值为3.
13．古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题 ，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能通过图解等方法来求解．欧几里得的《几何原本》记载，形如x2＋ax＝b2(a>0，b>0)的方程的图解法是(如图)：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根为( )
A．CD的长 B．AC的长
C．AD的长 D．BC的长
C(共15张PPT)
复习提升(二)　
一元二次方程及其应用
【考点突破】
考点一：一元二次方程的有关概念
1．下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A．x－1＝2x－3
B．2x－x2＝0
C．3x－2＝y
D.－x＋3＝0
B
2．若一元二次方程(a－3)x2－2x＋a2－9＝0的一个根是x＝0，则a的值是( )
A．2 B．3 C．3或－3 D．－3
3．将一元二次方程3x2＝－2x＋5化为一般形式后，其一次项系数与常数项的和为 .
D
-3
考点二：一元二次方程的解法
4．用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是 ( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝17
C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝17
5．已知x≠0，且x2－xy－6y2＝0，则的值为( )
A．3 B. C．－ D.或－
C
D
6．已知关于x的方程a(x－m)2＋k＝0(a，m，k均为常数，且a≠0)的两个解是x1＝1，x2＝4，则方程a(x－m－2)2＋k＝0的解是( )
A．x1＝1，x2＝－2 B．x1＝3，x2＝6
C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝－1，x2＝2
7．一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－8x＋12＝0的根，则该三角形的周长为 .
B
14
8．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－12＝0； (2)(x－5)2－8＝0；
解：将方程左边分解因式，
得(x－6)(x＋2)＝0，
∴x－6＝0，或x＋2＝0.
∴x1＝6，x2＝－2.
解：移项得(x－5)2＝8，
∴(x－5)2＝16，
∴x－5＝±4.
∴x1＝1，x2＝9.
(3)x2－x＋1＝0.
解：a＝，b＝－，c＝1，
b2－4ac＝(－)2－4××1＝1>0.
代入求根公式，得x＝＝±1.
∴x1＝＋1，x2＝－1.
考点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
9．已知α，β是方程x2＋2 021x＋1＝0的两个根，则(1＋2 026α＋α2)(1＋2 026β＋β2)的值为( )
A．4 B．9 C．12 D．25
10．已知关于x的方程(m－1)x2－4mx＋4m－2＝0有实数根，则m的取值范围是( )
A．m≥且m≠1 B．m≥1 C．m> D．m≥
D
D
11．已知关于x的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2＝5，求k的值．
解：(1)Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＞0，
解得k＞.
(2)x1x2＝k2＋1＝5，
解得k1＝－2，k2＝2，
∵k＞，∴k＝2.
考点四：一元二次方程的应用
12．某厂1月份生产某大型机器20台，计划2，3月份共生产90台该大型机器，设2，3月份每月生产该大型机器数量的平均增长率为x，根据题意可列方程为( )
A．20(1＋x)2＝90
B．20(1－x)2＝90
C．20(1＋x)＋20(1＋x)2＝90
D．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝90
C
13．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少 5件．若要使一天的总利润为1 120元，则该产品的质量档次为 .
6
14．某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4.求此次参加表演的机器人的总个数．
解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为n2.根据题意，有
(n－4)(2n－1)＝n2－4，
化简得，n2－9n＋8＝0，解得n＝1或n＝8，
∵n＝1时，行数n－4＝－3(不合理)，
∴n＝8.总机器人数为n2＝64.
答：此次参加表演的机器人的总个数为64.
综合提升】
15．某小区计划用40 m的篱笆围一个长方形花坛，其中一边靠墙(墙足够长，篱笆要全部用完)．
(1)如图①，AB为多少米时，长方形ABCD的面积为200 m2
(2)如图②，长方形EMNF的面积比(1)中的长方形ABCD面积小20 m2，小明认为只要此时长方形的长MN比图①中长方形的长BC少2 m就可以了．请通过计算，判断小明的想法是否正确．
解：(1)设AB＝x m，则BC＝(40－2x)m，
依题意得x(40－2x)＝200，
整理得x2－20x＋100＝0，
解得x1＝x2＝10.
答：AB为10 m时，长方形ABCD的面积为200 m2.
(2)由(1)可知：BC＝40－2x＝40－2×10＝20.
∵MN＝BC－2＝20－2＝18(m)，
∴EM＝＝＝11(m)，
∴长方形EMNF的面积＝MN·EM＝18×11＝198(m2)，
200－20＝180≠198，
∴小明的想法不正确．(共14张PPT)
第2课时　变化率问题
知识点一：平均变化率问题
1．好几个省作为国家首批电子商务进农村示范省，这些省先后携手多家电商巨头，推动线上线下融合发展，激发农村消费潜力，实现“省特产卖全国”．根据某农村超市统计十月份的营业额为38万元，十二月份的营业额为 50万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为( )
A．50(1＋x)2＝38 B．38(1－x)2＝50
C．38(1＋x)2＝50 D．50(1－x)2＝38
C
2．某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( )
A．20% B．11% C．22% D．44%
3．某市2023年8月山区森林覆盖率为58.8%，在响应“清洁地球从我做起”号召，鼓励市民积极参与植树造林活动之后，在2025年8月山区森林覆盖率达到67%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程为 .
A
58.8%(1＋x)2＝67%
4．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比 2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均增长率．
解：设3月份到5月份营业额的平均增长率为x，则400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，
(1＋x)2＝1.44，x＝20%.
答：3月份到5月份营业额的平均增长率为20%.
知识点二：下降率问题
5．某厂生产某种电子产品的技术高速发展，起初该厂生产一件产品的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本下降了30.2元．设每次的成本下降率均为x，则下列方程正确的是( )
A．225(1－2x)＝225－30.2
B．30.2(1＋x)2＝225
C．225(1－x)2＝30.2
D．225(1－x)2＝225－30.2
B
6．某商品每件300元，经过两次降价后，售价为243元．若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件 元．
7．某工厂计划用两年将某产品的成本降低19%，求平均每年降低成本的百分数．
270
解：设原来的成本为a，平均每年下降x，则
a(1－x)2＝a(1－19%)，
(1－x)2＝1－19%，
x＝10%或x＝190%(舍去)．
答：平均每年降低成本的百分数为10%.
8．某品牌手机经过5，6月份连续两次降价后，每部的售价由5 000元降到3 600元，且第一次降价的百分率是第二次的2倍．设第二次降价的百分率为x，则可列方程为( )
A．5 000(1－x)(1－2x)＝3 600
B．3 600(1－x)(1－2x)＝5 000
C．5 000(1－x)(1-)＝3 600
D．3 600(1＋x)(1＋2x)＝5 000
A
9．某乡为了让农民走上致富的道路，准备贷款给农民建池塘办养殖业.2024年乡政府共投资贷款 2万元人民币修建池塘80 m2.预计到2026年底乡政府三年累计投资贷款9.5万元人民币用于修建池塘，若在这两年内乡政府每年投资贷款的增长率相同．
(1)求每年乡政府投资贷款的增长率；
(2)若近几年内的修建成本不变，则到2026年底某乡共贷款修建多少平方米的池塘？
解：(1)设每年乡政府投资贷款的增长率为x，
根据题意得2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5.
解得x＝0.5＝50%或x＝－3.5(舍去)．
答：每年乡政府投资贷款的增长率为50%.
(2)根据题意得9.5×＝380(m2)．
答：若近几年内的修建成本不变，到2026年底共修建380 m2的池塘．
10．“尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上．
(1)求冰箱贴的原价；
解：(1)设冰箱贴的原价为x元，由题意，得
5x＋(x－5)(x－2)＝90，
整理，得x2－2x－80＝0，
解得x1＝10，x2＝－8(舍去)．
答：冰箱贴的原价为10元．
(2)一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率．
(2)设降价的百分率为m，由题意，得
10(1－m)2－2＝6.1，
整理，得(1－m)2＝0.81，
解得m1＝0.1＝10%，m2＝1.9(舍去)．
答：降价的百分率为10%.
11．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
(1)A社区居民人口至少有多少万人？
解：(1)设A社区居民人口有x万人，则B社区有(7.5－x)万人，依题意得
7．5－x≤2x，解得x≥2.5.
即A社区居民人口至少有2.5万人．
(2)街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
(2)依题意得1.2(1＋m%)2＋1×(1＋m%)×(1＋2m%)＝7.5×76%，
设m%＝a，方程可化为 1．2(1＋a)2＋(1＋a)(1＋2a)＝5.7，
化简得32a2＋54a－35＝0，
解得a＝0.5或a＝－(舍)，∴m＝50.
答：m的值为50.(共13张PPT)
第17章　
一元二次方程及其应用
17．1　一元二次方程
知识点一：一元二次方程的概念及根
1．下列方程中是一元二次方程的是( )
A．3x2＋x3＝0
B．(3x－1)(3x＋1)＝3
C．x2－2x＝x2
D．2x－3y＋1＝0
B
2．若方程(m－1)x2＋x＋＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是( )
A．m≥0 B．m≠0 C．m≥1 D．m≠1
3．若关于x的一元二次方程x2－2x－c＝0的一个根为x＝1，则c的值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
D
C
4．x＝1 方程2x2＋5x－3＝0的根；x＝－3 方程2x2＋5x－3＝0的根．(均选填“是”或“不是”)
知识点二：一元二次方程的一般形式
5．一元二次方程5x2－4x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为( )
A．5，－1 B．5，4
C．5，－4 D．5x2，－4x
不是
是
C
6．将2x(x－1)＝3(x＋5)＋4化为一元二次方程的一般形式为 ，其二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
【变式】一元二次方程3x2＋4x＝－x＋2的二次项系数、一次项系数与常数项的和为 .
2x2 -5x-19=0
2
-5
-19
6
7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)(x－3)2＝x＋3； (3)(2x－1)(x＋5)＝6x.
解：(1)整理，得3x2－5x＋1＝0，
故二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为1.
(2)整理，得x2－7x＋6＝0，
故二次项系数为1，一次项系数为－7，常数项为6.
(3)整理，得2x2＋3x－5＝0，
故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5.
知识点三：一元二次方程的模型
8．如图，有一块长25 cm、宽15 cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为231 cm2的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为x cm，则可列方程为 .
(25－2x)(15－2x)＝231
9．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了15次，若设共有x人参加同学聚会，列方程得 .
易错点：忽视一元二次方程二次项系数a≠0这一条件
10．已知方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 .
x(x－1)＝15
2
11．已知方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，则它的解是 ( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3
12．已知关于x的一元二次方程(k－2)x2＋3x＋k2－4＝0的常数项为0，则k的值为 .
D
-2
13．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k－1)x－3＝0.
(1)当k为何值时是一元一次方程？
(2)当k为何值时是一元二次方程？
解：(1)当k2－1＝0，且k－1≠0时，
即k＝－1时，此方程是一元一次方程．
(2)当k2－1≠0，即k≠±1时，此方程是一元二次方程．
14．关于x的一元二次方程(x－1)2＝2(x＋m)－3的一个根为－2.
(1)求m的值；
(2)将方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：(1)把x＝－2代入原方程，得
(－2－1)2＝2(－2＋m)－3.解得m＝8.
(2)一般形式为x2－4x－12＝0，
二次项系数为1，
一次项系数为－4，
常数项为－12.
15．根据下列问题列出一元二次方程，并将其化为一般形式．
小明同学是一位古诗文爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”
解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x＋(x＋3)＝(x＋3)2，
化为一般形式得x2－5x＋6＝0.(共16张PPT)
17.3　
一元二次方程根的判别式
知识点一：利用“Δ”判断方程根的情况
1．一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
A
2．(上海中考)以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0
C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0
3．一元二次方程2x2－3x＋4＝0中，Δ＝ ，该方程的根的情况为 ．
D
-23
无实数根
4．不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)2x2－2x＋1＝0； (2)16y2＋9＝24y；
解：a＝2，b＝－2，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝－4<0，
∴此方程无实数根．
解：原方程可变形为
16y2－24y＋9＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
(3)3(x2－1)－5x＝0.
解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.
∵a＝3，b＝－5，c＝－3，
∴Δ＝b2－4ac＝61>0.
∴此方程有两个不相等的实数根．
知识点二：利用根的判别式求字母的值或取值范围
5．若一元二次方程x2－ax＋2＝0有两个实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若一元二次方程2x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝ .
D
2
7．关于x的方程：(x－1)×(x－p)＝1.试说明：无论p取任何值时，方程总有两个不相等的实数根．
解：原方程变形为一般形式为
x2－(1＋p)x＋p－1＝0，
Δ＝[－(1＋p)]2－4×1×(p－1)
＝1＋2p＋p2－4p＋4
＝1－2p＋p2＋4
＝(1－p)2＋4，
∵(1－p)2≥0，
∴(1－p)2＋4>0，
即Δ>0，
∴无论p取任何值时，方程总有两个不相等的实数根．
易错点一：忽略一元二次方程的二次项系数不为0
8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
易错点二：未对方程进行分类讨论导致漏解
9．已知关于x的方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是 .
k>－1且k≠0
m≤3
10．已知一元二次方程ax2＋x＋1＝0有两个相等的实数根，则a，b的值可能是( )
A．a＝－1，b＝－4
B．a＝0，b＝0
C．a＝1，b＝2
D．a＝1，b＝4
D
11．定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
A
12．已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值为 .
13．已知关于x的一元二次方程(m2－1)x2＋2(m－2)x＋1＝0有实数根，
(1)m的取值范围为 ；
(2)当m取最大整数值时，3x2＋12x＋3的值为 .
2
m≤且m≠±1
6
14．(广州中考)已知T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)·(2a－3b)＋a2.
(1)化简T；
(2)若关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
解：(1)T＝a2＋6ab＋9b2＋4a2－9b2＋a2
＝6a2＋6ab.
(2)∵关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2a)2－4(－ab＋1)＝0.
∴a2＋ab＝1.
∴T＝6×1＝6.
15．如果关于x的方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的情况．
解：当m＝－1时，方程化为－3x－2＝0，
解得x＝－，不符合题意，
当m≠－1时，∵方程没有实数根，
∴(2m－1)2－4(m＋1)(m－1)<0，解得m>.
当m＝3时，方程化为－12x－8＝0，
解得x＝－，方程有一个根；
当m>且m≠3时，Δ＝4(m＋3)2＋4(m－3)(m＋5)＝8[(m＋2)2－7]>8[(+2)2－7]>0，
此时方程有两个不相等的实数解．
16．【运算能力】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4(k-)＝0.
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
(1)证明：∵Δ＝(2k＋1)2－4×4(k-)
＝(2k－3)2≥0，
故方程总有两个实数根．
(2)解：若底边为a＝4，则b＝c，Δ＝(2k－3)2＝0，∴k＝，x1＝x2＝2，有b＋c＝a，不能构成三角形；若腰为a＝4时，显然4是该方程的一个根，代入可得k＝，从而解得
x1＝2，x2＝4，
∴△ABC的周长为10.(共15张PPT)
第2课时　配方法
知识点一：配方
1．将二次三项式x2＋4x－96配方，下列正确的是( )
A．(x＋2)2＋100
B．(x－2)2－100
C．(x＋2)2－100
D．(x－2)2＋100
C
2．用适当的数填空：
(1)x2＋4x＋ ＝(x＋ )2；
(2)x2－3x＋＝(x－ )2；
(3)4x2－20x＋ ＝( －5)2；
(4)x2－x＋ ＝ (x－ )2.
4
2
25
2x
1
3．若关于x的方程x2＋(m－1)x＋4＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为 .
5或－3
知识点二：用配方法解方程
4．用配方法解方程x2＋4x＝5时，配方正确的是( )
A．(x＋2)2＝－1 B．(x＋2)2＝－9
C．(x＋2)2＝1 D．(x＋2)2＝9
5．对方程x2＋x－＝0进行配方，得x2＋x＋m＝＋m，其中m＝ .
D
6．用配方法解方程x2＋10x＋16＝0.
解：移项，得 .
两边同时加52，得 ＋52＝ ＋52.
左边写成完全平方的形式，得 .
方程两边开方，得 .
解得 .
x2＋10x＝－16
x2＋10x
-16
(x＋5)2＝9
x＋5＝±3
x1＝－2，x2＝－8
7．用配方法解下列方程：
(1)x2－2x－5＝0； (2)x2＋x－＝0；
解：x2－2x＝5，
x2－2x＋1＝5＋1，
即(x－1)2＝6，
∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
解：(x＋)2＝，
∴x1＝，x2＝－.
(3)2x2＋5x－12＝0；
解：2x2＋5x＝12，
∴x2＋x＝6，
∴x2＋x＋＝6＋，
即(x+)2=，
∴x＋＝±，
∴x1＝，x2＝－4.
(4)x2＋x－2＝0.
解：x2＋x＝3，
(x+)2＝，
∴x1＝，x2＝－2.
8．用配方法解下列方程，其中应在等号左右两边同时加上9的方程是( )
A．3x2－3x＝8 B．x2＋6x＝－3
C．2x2－6x＝10 D．2x2＋3x＝3
9．对于任意实数m，n，多项式m2＋n2－6m－10n＋36的值总是( )
A．非负数 B．0
C．大于2 D．不小于2
B
D
10．已知P＝m2－m，Q＝m－2，则P与Q的大小关系为( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P11．一元二次方程x2－2x＋m＝0配方后得(x－1)2＝n，则m＋n的值是 .
A
1
12．用配方法解方程：
(1)x2－6x－7＝0； (2)x(x＋4)＝6x＋12；
解：x2－12x－14＝0，
x2－12x＝14，
(x－6)2＝50，x－6＝±5，
∴x1＝6＋5，
x2＝6－5.
解：方程可化为x2－2x＝12，
配方，得(x－1)2＝13，
x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
(3)3(x－1)(x＋2)＝x－7.
解：(x+)2＝－，
∵－<0，
∴原方程无实数根．
13．规定 ＝ad－bc.例如 ＝1×4－(－3)×2＝10，若 ＝0，求x的值．
解：根据新定义，可得＝(2x2－3)×1－6x＝0，
即2x2－6x－3＝0.
二次项系数化1，得x2－3x－＝0，
移项，得x2－3x＝，
配方，得x2－3x＋＝＋，
∴(x-)2＝，∴x－＝±，∴x1＝，x2＝.

展开更多......

收起↑