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7.函数与导数
1.函数的单调性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：
如果 x1，x2∈I，当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果 x1，x2∈I，当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
(2)单调区间的定义：如果函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数零点
(1)函数零点的定义：对于一般函数y=f(x)，把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系：方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y=f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)=0的解.
3.函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有-x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数(且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数).
(2)①周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.
4.指数函数与对数函数的基本性质
(1)过定点：y=ax(a>0，且a≠1)恒过点 ，
y=logax(a>0，且a≠1)恒过点 .
(2)单调性：当a>1时，y=ax在R上是 ；y=logax在 上是增函数；
当05.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
6.导数的单调性、极值及最值
(1)函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a，b)上可导，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上 ；如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上 ；如果恒有f'(x)=0，f(x)在区间(a，b)上是 .
(2)函数的极值：函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(3)函数的最大(小)值
①函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②求y=f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：求函数y=f(x)在区间(a，b)上的 ；将函数y=f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)+g(x)为增(减)函数.
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
(3)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称.
(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数.
(5)定义在(-∞，+∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)=0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)=0.
(6)f(x)+f(-x)=0 f(x)为奇函数；
f(x)-f(-x)=0 f(x)为偶函数.
2.函数的周期性的重要结论
周期函数y=f(x)满足：
(1)若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2|a|.
(2)若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2|a|.
(3)若f(x+a)=，其中f(x)≠0，则函数的周期为2|a|.
(4)若f(x+a)+f(x)=c，则函数的周期为2|a|.
3.函数的对称性的重要结论
(1)f(a-x)=f(a+x) f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)f(a+x)=f(b-x) f(x)的图象关于直线x=对称.
(3)f(a+x)=2b-f(a-x) f(x)的图象关于点成中心对称.
4.函数图象平移变换的相关结论
(1)把y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y=f(x+c)的图象(c为常数).
(2)把y=f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移，b<0时向下平移)得到函数y=f(x)+b的图象(b为常数).
5.函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00)的图象.
(2)把y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的，而纵坐标不变，得到函数y=f(bx)(b>0)的图象.
6.抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表
抽象函数的性质 特殊函数模型
(1)f(x)f(y)=f(x+y)(x，y∈R)， (2)=f(x-y)(x，y∈R，f(y)≠0) 指数函数f(x)=ax(a>0，a≠1)
(1)f(xy)=f(x)+f(y)(x>0，y>0)， (2)f=f(x)-f(y)(x>0，y>0) 对数函数f(x)=logax(a>0，a≠1)
(1)f(xy)=f(x)f(y)(x，y∈R)， (2)f=(x，y∈R，y≠0，f(y)≠0) 幂函数f(x)=xn
f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y) 三角函数f(x)=sin x，g(x)=cos x
1.(2025·牡丹江模拟)若函数f(x)的定义域为[0，8]，则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.(1，16) B.(1，16]
C.(1，4) D.(1，4]
2.(2025·丽江模拟)已知a=，b=，c=ln 5-ln 4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
3.19世纪天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若P10(n)=(k∈N*，k≤2 024)，则k的值为(　　)
A.674 B.675
C.676 D.677
4.(2025·杭州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(0)=0，若对任意x∈R，都有f(x)>-1+f'(x)，则不等式f(x)<-1+ex的解集是(　　)
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.(-1，0)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(0，1)
5.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=yf(x)+xf(y)，则(　　)
A.f(0)=0 B.f=0
C.f(x)是偶函数 D.f·f≤0
6.(多选)已知函数f(x)=若存在四个不同的值x1，x2，x3，x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1A.x1+x2=4 B.x3x4=-1
C.17.已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)+f(2-x)=0，当-18.(教材选择性必修第二册P104第13题改编)已知曲线y=x+ln x在点(1，1)处的切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点，则a的值为　　　　.
9.(教材选择性必修第二册P104第19题)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
10.已知函数f(x)=ln x-ax，g(x)=，a≠0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的最小值.7.函数与导数
1.函数的单调性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：
如果 x1，x2∈I，当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果 x1，x2∈I，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
(2)单调区间的定义：如果函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数零点
(1)函数零点的定义：对于一般函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系：方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
3.函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数).
(2)①周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
4.指数函数与对数函数的基本性质
(1)过定点：y=ax(a>0，且a≠1)恒过点(0，1)，
y=logax(a>0，且a≠1)恒过点(1，0).
(2)单调性：当a>1时，y=ax在R上是增函数；y=logax在(0，+∞)上是增函数；
当05.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
6.导数的单调性、极值及最值
(1)函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a，b)上可导，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减；如果恒有f'(x)=0，f(x)在区间(a，b)上是常数函数.
(2)函数的极值：函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(3)函数的最大(小)值
①函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②求y=f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：求函数y=f(x)在区间(a，b)上的极值；将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)+g(x)为增(减)函数.
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
(3)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称.
(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数.
(5)定义在(-∞，+∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)=0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)=0.
(6)f(x)+f(-x)=0 f(x)为奇函数；
f(x)-f(-x)=0 f(x)为偶函数.
2.函数的周期性的重要结论
周期函数y=f(x)满足：
(1)若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2|a|.
(2)若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2|a|.
(3)若f(x+a)=，其中f(x)≠0，则函数的周期为2|a|.
(4)若f(x+a)+f(x)=c，则函数的周期为2|a|.
3.函数的对称性的重要结论
(1)f(a-x)=f(a+x) f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)f(a+x)=f(b-x) f(x)的图象关于直线x=对称.
(3)f(a+x)=2b-f(a-x) f(x)的图象关于点成中心对称.
4.函数图象平移变换的相关结论
(1)把y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y=f(x+c)的图象(c为常数).
(2)把y=f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移，b<0时向下平移)得到函数y=f(x)+b的图象(b为常数).
5.函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00)的图象.
(2)把y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的，而纵坐标不变，得到函数y=f(bx)(b>0)的图象.
6.抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表
抽象函数的性质 特殊函数模型
(1)f(x)f(y)=f(x+y)(x，y∈R)， (2)=f(x-y)(x，y∈R，f(y)≠0) 指数函数f(x)=ax(a>0，a≠1)
(1)f(xy)=f(x)+f(y)(x>0，y>0)， (2)f=f(x)-f(y)(x>0，y>0) 对数函数f(x)=logax(a>0，a≠1)
(1)f(xy)=f(x)f(y)(x，y∈R)， (2)f=(x，y∈R，y≠0，f(y)≠0) 幂函数f(x)=xn
f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y) 三角函数f(x)=sin x，g(x)=cos x
1.(2025·牡丹江模拟)若函数f(x)的定义域为[0，8]，则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.(1，16) B.(1，16]
C.(1，4) D.(1，4]
答案　D
解析　依题意，函数g(x)=有意义，等价于
解得12.(2025·丽江模拟)已知a=，b=，c=ln 5-ln 4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
答案　C
解析　设f(x)=ex-x-1，则f'(x)=ex-1，
当x>0时，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当x<0时，f'(x)<0，f(x)在(-∞，0)上单调递减；
所以f(x)的最小值为f(0)=0，即f(x)≥0 ex-x-1≥0 ex≥x+1在R上恒成立，
所以b=>-+1==a.
设g(x)=ln x-x+1，函数的定义域为(0，+∞)，则g'(x)=-1=，
当x>1时，g'(x)<0，g(x)在(1，+∞)上单调递减；
当00，g(x)在(0，1)上单调递增；
所以g(x)的最大值为g(1)=0，即g(x)≤0 ln x-x+1≤0 ln x≤x-1在(0，+∞)上恒成立，
所以c=ln 5-ln 4=ln <-1=<=a，
从而b>a>c.
3.19世纪天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若P10(n)=(k∈N*，k≤2 024)，则k的值为(　　)
A.674 B.675
C.676 D.677
答案　B
解析　P10(n)=P10(k)+P10(k+1)+…+P10(2 024)=lg +lg +…+lg =lg ，==lg 3，故k=675.
4.(2025·杭州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(0)=0，若对任意x∈R，都有f(x)>-1+f'(x)，则不等式f(x)<-1+ex的解集是(　　)
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.(-1，0)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(0，1)
答案　B
解析　f(x)<-1+ex即f(x)+1-ex<0，
即e-xf(x)+e-x-1<0.
令g(x)=e-xf(x)+e-x-1，
则g'(x)=-e-xf(x)+e-xf'(x)-e-x=e-x[f'(x)-f(x)-1]，
依题意，f(x)>-1+f'(x)，即f'(x)-f(x)-1<0，
因此g'(x)=e-x[f'(x)-f(x)-1]<0，
可得g(x)在R上单调递减，
又因为g(0)=e-0f(0)+e-0-1=0+1-1=0，
所以f(x)<-1+ex等价于g(x)由单调性可得x>0，即不等式的解集为(0，+∞).
5.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=yf(x)+xf(y)，则(　　)
A.f(0)=0 B.f=0
C.f(x)是偶函数 D.f·f≤0
答案　ABD
解析　令x=y=0，得f(0)=0，A正确；
令x=y=1，得f=f+f，
所以f=0.
令x=y=-1，得f=-f-f，
所以f=0，B正确；
令y=-1，得f=-f(x)，
所以f(x)是奇函数，C错误；
令x=，y=2，得f=2f+f=0，
所以f=-4f，f·f
=-4≤0，D正确.
6.(多选)已知函数f(x)=若存在四个不同的值x1，x2，x3，x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1A.x1+x2=4 B.x3x4=-1
C.1答案　CD
解析　作出f(x)的图象，如图所示，
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，
则直线y=t与y=f(x)的图象4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，
对于A，因为y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称，所以x1+x2=-4，故A错误；
对于B，因为|log2x3|=|log2x4|，由图象可得-log2x3=log2x4，
所以log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0，解得x3x4=1，故B错误；
对于C，由图象可得0对于D，由图象可知-4所以x1x2x3x4=x1(-4-x1)=--4x1=-+4∈(0，4)，故D正确.
7.已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)+f(2-x)=0，当-1答案　-
解析　由题设，f(2-x)=-f(x)=f(-x)，
故f(2+x)=f(x)，即f(x)的周期为2，
所以f(2+log25)=f(log25)=f
=f=-f，
且-1所以f(2+log25)=-=-.
8.(教材选择性必修第二册P104第13题改编)已知曲线y=x+ln x在点(1，1)处的切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点，则a的值为　　　　.
答案　0或
解析　y=x+ln x的导数为y'=1+，
曲线y=x+ln x在x=1处的切线斜率k=1+=2，
则曲线y=x+ln x在x=1处的切线方程为y-1=2x-2，即y=2x-1.
由于切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点，
联立
得ax2+(2a+1)x+2=0，①
方程有且只有一解，
当a=0时，①式变为x+2=0，则x=-2，
方程①有且只有一解，符合题意；
当a≠0时，则Δ=(2a+1)2-8a=0，
4a2-4a+1=0，解得a=.
综上，a=0或a=.
9.(教材选择性必修第二册P104第19题)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
解　(1)f(x)的定义域为R，
f'(x)=(2ex+1)(aex-1).
若a≤0，则aex-1<0恒成立，
所以f'(x)<0，即f(x)在R上单调递减.
若a>0，令aex-1=0，得x=-ln a，
当x∈(-∞，-ln a)时，f'(x)<0，
当x∈(-ln a，+∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增.
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增.
(2)因为f(x)有两个零点，所以a>0.
否则f(x)在R上单调递减，至多有一个零点，与题设不符，
所以由(1)得f(-ln a)<0，
即a×+(a-2)×+ln a<0，
有1--ln <0.
当a=1时，f(-ln a)=0，故f(x)只有一个零点，与题设不符；
当a>1时，有1-ln ->0，
即f(-ln a)>0，故f(x)无零点，与题设不符；
当a∈(0，1)时，1-ln -<0，
即f(-ln a)<0，
又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>0，
所以f(x)在(-∞，-ln a)上有一个零点，
由于ln>-ln a，
设存在正整数n0满足n0>ln，
则f(n0)=(a+a-2)-n0>-n0>-n0>0.
因此f(x)在(-ln a，+∞)上有一个零点.
综上，a的取值范围为(0，1).
10.已知函数f(x)=ln x-ax，g(x)=，a≠0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的最小值.
解　(1)f'(x)=-a=(a≠0)，x>0，
当a<0时，由于x>0，所以f'(x)>0恒成立，从而f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当a>0时，令f'(x)>0，解得0令f'(x)<0，解得x>，
从而f(x)在上单调递增，在上单调递减；
综上，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，没有单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax-，要使f(x)≤g(x)恒成立，
只要使h(x)≤0恒成立，也只要使h(x)max≤0.
h'(x)=-a+=，
若a>0，x>0，ax+1>0恒成立，
当00，
当x>时，h'(x)<0，
可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以h(x)max=h=ln -3≤0，解得a≥，
可知a的最小值为；
若a<0，x>0，ax-2<0恒成立，
当0当x>-时，h'(x)>0，
可知h(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以h(x)在(0，+∞)上无最大值，且当x趋近于+∞时，h(x)趋近于+∞，不符合题意；
综上所述，a的最小值为.

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