资源简介

6.解析几何
1.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
直线方程
相交
垂直
平行
重合
2.圆的三种方程
(1)圆的标准方程： (r>0).
(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0( ).
(3)圆的直径式方程： (A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆的直径的两端点).
3.三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的距离|AB|= .
(2)点到直线的距离d= (其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax+By+C=0).
(3)两平行线间的距离d= (其中两平行线方程分别为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0).
4.直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系有三种：
若d=，联立消去x或y得到方程的Δ，
(1)相离 d r Δ 0；
(2)相切 d r Δ 0；(求切线长，求切线方程)
(3)相交 d r Δ 0.(求弦长，求弦所在直线方程)
5.圆与圆的位置关系
圆(x-a)2+(y-b)2=(r1>0)与圆(x-c)2+(y-d)2=(r2>0)的位置关系有五种：
若d=，
(1)外离 d r1+r2；(有4条公切线)(求公切线方程)
(2)外切 d r1+r2；(有3条公切线)(求公切线方程)
(3)相交 |r2-r1| d r1+r2；(有2条公切线)(求公共弦所在直线方程，求公共弦长)
(4)内切 d |r2-r1|；(有1条公切线)(求公切线方程)
(5)内含 d |r2-r1|.(没有公切线)
6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) ||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|) |PF|=|PM|(点F不在直线l上，PM⊥l于M)
标准方程
图形
几何性质 范围
顶点
对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e==(01) e=
几何性质 准线 x=-
渐近线
1.常见的直线系方程
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)及直线x=x0.
(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+λ=0.
(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
2.与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.
3.两圆公共弦
两个圆的方程相减得到的二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.
4.圆、椭圆、双曲线、抛物线的弦长公式
设直线l：y=kx+b与曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
联立直线与曲线的方程，先消去一个未知数，利用根与系数的关系求x1+x2与x1x2.
(1)普通弦长公式：= = ；
(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦长公式：=x1++x2+=x1+x2+p.
5.通径
(1)椭圆通径长为.
(2)双曲线通径长为.
(3)抛物线通径长为2p.
6.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为y=±x.
(2)若渐近线的方程为y=±x，即±=0，则双曲线的方程可设为-=λ.
(3)若所求双曲线与双曲线-=1有公共渐近线，其方程可设为-=λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上).
(4)焦点到渐近线的距离总是b.
7.抛物线焦点弦的常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，且y1>0>y2，则
(1)焦半径|AF|=x1+=，
|BF|=x2+=.
(2)x1x2=，y1y2=-p2.
(3)弦长|AB|=x1+x2+p=.
(4)+=.
(5)以弦AB为直径的圆必与准线相切.
(6)S△OAB=(O为抛物线的顶点).
1.(2025·深圳模拟)若双曲线C：-y2=1(a>0)的渐近线方程是y=±，则C的离心率为(　　)
A.2 B.
C. D.
2.(2025·银川模拟)若直线l1：(m-2)x+3y+3=0与直线l2：2x+(m-1)y+2=0平行，则m等于(　　)
A.4 B.1
C.1或-4 D.-1或4
3.(教材选择性必修第一册P98第9题改编)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为(　　)
A. B.2
C.2 D.3
4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|=|AB|.则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.2 D.3
5.(多选)已知椭圆+=1(a1>b1>0)的离心率为e1，双曲线-=1(a2>0，b2>0)的离心率为e2，两曲线有公共焦点F1，F2，P是椭圆与双曲线的一个公共点，∠F1PF2=60°，以下结论正确的是(　　)
A.-=-
B.+=1
C.=3
D.若e2∈[，2]，则e1∈
6.(多选)(2025·新余模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为A'，B'，则(　　)
A.FA'⊥FB'
B.若|AF|=3|BF|，则直线AB的斜率为
C.A，O，B'三点共线(其中O为坐标原点)
D.|A'B'|2=4|AF||BF|
7.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，|PF|的最大值为3.设点A(，1)，则|PA|+|PF|的最小值为 .
8.(教材选择性必修第一册P99第13题改编)已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b.当b= 时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.
9.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C的离心率为2，点A(1，0)在C上，过F2的直线l交C的右支于P，Q两点.
(1)求直线AP，AQ的斜率之积；
(2)若△F1PQ的面积为6，求l的方程.
10.(2025·滁州模拟)在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，=.当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.(若P在x轴上，则点D与点P重合)
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F(1，0)的直线l交曲线C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交曲线C于D，E两点，其中A，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点.
①证明：直线MN过定点；
②求△FMN面积的最大值.6.解析几何
1.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
直线方程 y=k1x+b1，y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0
相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0
平行 k1=k2且b1≠b2 或
重合 k1=k2且b1=b2 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
2.圆的三种方程
(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(3)圆的直径式方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆的直径的两端点).
3.三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的距离|AB|=.
(2)点到直线的距离d=(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax+By+C=0).
(3)两平行线间的距离d=(其中两平行线方程分别为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0).
4.直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系有三种：
若d=，联立消去x或y得到方程的Δ，
(1)相离 d>r Δ<0；
(2)相切 d=r Δ=0；(求切线长，求切线方程)
(3)相交 d0.(求弦长，求弦所在直线方程)
5.圆与圆的位置关系
圆(x-a)2+(y-b)2=(r1>0)与圆(x-c)2+(y-d)2=(r2>0)的位置关系有五种：
若d=，
(1)外离 d>r1+r2；(有4条公切线)(求公切线方程)
(2)外切 d=r1+r2；(有3条公切线)(求公切线方程)
(3)相交 |r2-r1|(4)内切 d=|r2-r1|；(有1条公切线)(求公切线方程)
(5)内含 d<|r2-r1|.(没有公切线)
6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) ||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|) |PF|=|PM|(点F不在直线l上，PM⊥l于M)
标准方程 +=1(a>b>0) -=1(a>0，b>0) y2=2px(p>0)
图形
几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0) (0，0)
对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e==(01) e=1
几何性质 准线 x=-
渐近线 y=±x
1.常见的直线系方程
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)及直线x=x0.
(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+λ=0.
(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
2.与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.
3.两圆公共弦
两个圆的方程相减得到的二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.
4.圆、椭圆、双曲线、抛物线的弦长公式
设直线l：y=kx+b与曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
联立直线与曲线的方程，先消去一个未知数，利用根与系数的关系求x1+x2与x1x2.
(1)普通弦长公式：=·=·；
(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦长公式：=x1++x2+=x1+x2+p.
5.通径
(1)椭圆通径长为.
(2)双曲线通径长为.
(3)抛物线通径长为2p.
6.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为y=±x.
(2)若渐近线的方程为y=±x，即±=0，则双曲线的方程可设为-=λ.
(3)若所求双曲线与双曲线-=1有公共渐近线，其方程可设为-=λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上).
(4)焦点到渐近线的距离总是b.
7.抛物线焦点弦的常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，且y1>0>y2，则
(1)焦半径|AF|=x1+=，
|BF|=x2+=.
(2)x1x2=，y1y2=-p2.
(3)弦长|AB|=x1+x2+p=.
(4)+=.
(5)以弦AB为直径的圆必与准线相切.
(6)S△OAB=(O为抛物线的顶点).
1.(2025·深圳模拟)若双曲线C：-y2=1(a>0)的渐近线方程是y=±，则C的离心率为(　　)
A.2 B.
C. D.
答案　C
解析　因为双曲线C：-y2=1(a>0)的渐近线方程是y=±，
可得=，解得a=2，
则c==，
所以双曲线C的离心率为e==.
2.(2025·银川模拟)若直线l1：(m-2)x+3y+3=0与直线l2：2x+(m-1)y+2=0平行，则m等于(　　)
A.4 B.1
C.1或-4 D.-1或4
答案　D
解析　依题意得，(m-2)(m-1)=2×3，
得m2-3m-4=0，
解得m=4或m=-1，
当m=4时，直线l1：2x+3y+3=0与直线l2：2x+3y+2=0平行，符合题意；
当m=-1时，直线l1：x-y-1=0与直线l2：x-y+1=0平行，符合题意；
综上所述，m=4或m=-1.
3.(教材选择性必修第一册P98第9题改编)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为(　　)
A. B.2
C.2 D.3
答案　C
解析　把圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的方程相减可得公共弦所在直线的方程为x-y+2=0，
圆x2+y2-4=0的圆心(0，0)到直线x-y+2=0的距离d=，圆的半径r=2，
故两圆的公共弦的长为2=2.
4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|=|AB|.则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.2 D.3
答案　A
解析　设双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共焦点为(c，0)，
则抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-c，
令x=-c，则-=1，解得y=±，
所以|AB|=，
又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，
所以|CD|=，
因为|CD|=|AB|，
所以=，即c=b，
所以a2=c2-b2=c2，
所以双曲线的离心率e==.
5.(多选)已知椭圆+=1(a1>b1>0)的离心率为e1，双曲线-=1(a2>0，b2>0)的离心率为e2，两曲线有公共焦点F1，F2，P是椭圆与双曲线的一个公共点，∠F1PF2=60°，以下结论正确的是(　　)
A.-=-
B.+=1
C.=3
D.若e2∈[，2]，则e1∈
答案　BCD
解析　根据题意，
设F1(-c，0)，F2(c，0)，
对于A，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得
所以-=+，
即-=+，所以A错误；
对于B，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得
所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，
又由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°，
可得4c2=2+2-(-)=+3，
所以+=+==1，所以B正确；
对于C，由-c2=3c2-3，可得=3，所以C正确；
对于D，因为e2∈[，2]，所以∈，
由+=1可得∈，
所以e1∈，所以D正确.
6.(多选)(2025·新余模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为A'，B'，则(　　)
A.FA'⊥FB'
B.若|AF|=3|BF|，则直线AB的斜率为
C.A，O，B'三点共线(其中O为坐标原点)
D.|A'B'|2=4|AF||BF|
答案　ACD
解析　连接A'F，B'F，根据抛物线定义可知|AA'|=|AF|，
所以∠AA'F=∠AFA'，
由于AA'∥x轴，
所以∠AA'F=∠OFA'，
所以∠AFA'=∠OFA'，
同理可证∠BFB'=∠OFB'，
所以∠A'FB'=∠OFB'+∠OFA'=(∠OFB+∠OFA)=，
即FA'⊥FB'，故A正确；
过B作BC⊥AA'于C，设|BF|=d，
则|AF|=3d，|AC|=|AA'|-|A'C|=2d，
所以cos∠CAF===，
所以∠CAF=，
由对称性可知直线AB的斜率为±，故B错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A'，B'，
由于=，=，
由于A，F，B三点共线，
则y2-y1=0，
由于=2px1，=2px2，
则(y1-y2)=0，由于y1≠y2，
则y1y2=-p2，
所以kOA==，
kOB'==-，
所以=×=-=1，
即kOA=kOB'，
所以A，O，B'三点共线，故C正确；
由于y1y2=-p2，则=p4，
即2px1×2px2=p4，
所以x1x2=，
|A'B'|2=(y1-y2)2=+-2y1y2
=2px1+2px2+2p2
=4x1x2+2px1+2px2+p2
=4，
所以|A'B'|2=4|AF||BF|，故D正确.
7.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，|PF|的最大值为3.设点A(，1)，则|PA|+|PF|的最小值为　　　　.
答案　4-3
解析　设椭圆C的半焦距为c，
由题意得=，a+c=3，
所以c=，a=2，则b==，
又A(，1)，则点A在椭圆内，设椭圆C的左焦点为F'，则F'(-，0)，
所以|PA|+|PF|=|PA|+(2a-|PF'|)
=2a+|PA|-|PF'|≥2a-|AF'|=4-3.
当且仅当F'，P，A三点共线时，取得最小值.
8.(教材选择性必修第一册P99第13题改编)已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b.当b=　　　　时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.
答案　±
解析　如图，由已知得圆x2+y2=4的半径长是2，圆心O到直线l的距离为.
令=1，则b=±.
当b=时，与直线y=x+平行且距离等于1的直线是y=x和y=x+2.
直线y=x+2与圆x2+y2=4相切，切点到直线y=x+的距离是1；
直线y=x与圆x2+y2=4相交，两个交点到直线y=x+的距离是1.
因此当b=时，圆x2+y2=4上有三个点到直线l的距离都是1.
同理，当b=-时，圆x2+y2=4上也有三个点到直线l的距离都是1.
综上，当b=±时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.
9.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C的离心率为2，点A(1，0)在C上，过F2的直线l交C的右支于P，Q两点.
(1)求直线AP，AQ的斜率之积；
(2)若△F1PQ的面积为6，求l的方程.
解　(1)由题意得解得
所以C的方程为x2-=1.
所以F2(2，0)，由于直线l的斜率不为0，
设l的方程为x=my+2，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去x得
(3m2-1)y2+12my+9=0，
由
得m2≠，
则y1+y2=-，y1y2=，
故kAP·kAQ=·
=
=
==-9.
(2)由(1)得y1+y2=-，
y1y2=，
所以|y1-y2|=
=
==，
所以=|F1F2|·|y1-y2|
==6，
即45m4-32m2+3=0，
即(5m2-3)(9m2-1)=0，
解得m=±或m=±，
因为直线l交C的右支于P，Q两点，
所以x1+x2>0且x1x2>0，
即x1+x2=m(y1+y2)+4=->0，
x1x2=m2y1y2+2m(y1+y2)+4
=->0，
解得m2<，
所以仅有m=±满足题意，
所以直线l的方程为3x+y-6=0或3x-y-6=0.
10.(2025·滁州模拟)在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，=.当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.(若P在x轴上，则点D与点P重合)
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F(1，0)的直线l交曲线C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交曲线C于D，E两点，其中A，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点.
①证明：直线MN过定点；
②求△FMN面积的最大值.
(1)解　设点Q(x，y)是所求曲线C上的一点，且P(x1，y1)，
由PD⊥x轴于D，则D(x1，0)，
因为=，
可得
因为点P是圆x2+y2=4上任意一点，
则x2+=4，
即+=1，
即曲线C的方程为+=1.
(2)①证明　当直线l的斜率不存在或为0时，点D或点A在x轴上，不满足题意，
故直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=k(x-1)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
可得x1+x2=，
则y1+y2=k(x1+x2-2)=k=-，
所以点M的坐标为M，
因为直线DE与直线l垂直，
所以直线DE的方程为y=-(x-1)，
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
联立方程组
整理得(3k2+4)x2-8x+4-12k2=0，
可得x3+x4=，
则y3+y4=-(x3+x4-2)=，
所以点N的坐标为N，
则直线MN的斜率为kMN=，
所以直线MN的方程为
y-=，
即y-=-，
令y=0，解得x=，
所以直线MN过定点G.
②解　由①知，直线MN过定点G，且yM=-，yN=，
可得|GF|==，
则S△FMN=|GF||yM-yN|
=·
=·
=·，
令t=|k|+，则t≥2，
当且仅当|k|=1时取等号，
则=
=，
因为y=12t+在[2，+∞)上单调递增，
所以当t=2时，ymin=，
即当k=±1时，△FMN的面积取得最大值，最大值为×=.

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