资源简介

2.三角函数与解三角形
1.三角函数的图象和性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x，x≠+kπ，k∈Z
图象
单调性 在每一个闭区间 上单调递增； 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个闭区间 上单调递增；在每一个闭区间 上单调递减 在每一个区间 上单调递增
对称性 对称中心： ； 对称轴： 对称中心： ； 对称轴： 对称中心：
2.三角函数图象的两种变换方法
3.同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限.
-α π-α π+α 2π-α -α
sin sin α -sin α
cos cos α -cos α sin α
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、半角公式
sin(α±β)= sin 2α= .
cos(α±β)= cos 2α= = = .
tan(α±β)=tan 2α=.
cos2α=，sin2α=.
sin =±；cos =±；tan =±.符号由所在象限决定.
5.和差化积、积化和差公式
和差化积：
口诀：口口之和仍口口，口口之差负赛赛，赛赛之和是赛口，赛赛之差变口赛.
cos θ+cos φ= ，
cos θ-cos φ= ，
sin θ+sin φ= ，
sin θ-sin φ= .
积化和差：
cos αcos β= ，
sin αsin β= ，
sin αcos β= ，
cos αsin β= .
6.辅助角公式
y=asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中tan φ=，
y=asin x+bcos x=cos(x-φ)，其中tan φ=.
7.正弦定理及其变形
在△ABC中，===2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形：a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，sin A=，sin B=，sin C=，
a∶b∶c= .
8.余弦定理及其变形
在△ABC中，a2= ；
b2= ；
c2= .
变形：b2+c2-a2= ；
a2+c2-b2= ；
a2+b2-c2= .
cos A=；
cos B=；
cos C=.
9.三角形面积公式
S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.
1.三角恒等变换的常用技巧
(1)常值代换：①“1”的代换，如1=sin2θ+cos2θ，1=2sin =2cos =sin ，1=tan .②特殊三角函数值的代换.
(2)角的变换：涉及角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系时，常见的拆角、凑角技巧有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β，β=-=(α+2β)-(α+β)，+α=-等.
2.三角函数图象平移问题处理策略
(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点.
(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y=Asin(ωx+φ)中φ的正负和它的平移要求.
(3)看移动的单位长度：在函数y=Asin(ωx+φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位长度是.
3.三角形中的常见结论
(1)有关角的结论
A+B+C=π，A+C=2B B=；
A=π-(B+C) =-，
sin A=sin(B+C)，
cos A=-cos(B+C)，
sin =cos ，
cos =sin .
(2)有关边角关系的结论
b2+c2-a2=bc A=；
b2+c2-a2=bc A=；
b2+c2+bc=a2 A=；
b2+c2+bc=a2 A=.
1.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在上的最小值为(　　)
A.- B.-
C.0 D.
2.(教材必修第一册P214第12题)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　)
A.y=|sin x| B.y=cos x
C.y=tan x D.y=cos
3.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos =，则sin等于(　　)
A. B.
C. D.
4.在△ABC中，AB=2，BC=，∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD等于(　　)
A. B.1
C.2 D.
5.(多选)(2025·保定模拟)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x，则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)关于点中心对称
C.函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称
D.函数g(x)=f(x)-ax在上不单调，则a的取值范围为(-4，2)
6.(多选)在△ABC中，D是BC的中点，BC=4，AD=，下列结论正确的是(　　)
A.若AC=，则AB=
B.△ABC面积的最大值为2
C.·=7
D.若B=2C，则AB=3
7.(教材必修第一册P241第4题)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为　　　　.
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象经过点A(0，-1)，且f(x)在 上单调递增，则ω的最大值为　　　　.
9.(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=.
(1)求φ；
(2)设函数g(x)=f(x)+f，求g(x)的值域和单调区间.
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sin B-cos C=.
(1)求A；
(2)若b=c，且BC边上的高为2，求△ABC的面积.2.三角函数与解三角形
1.三角函数的图象和性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x，x≠+kπ，k∈Z
图象
单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上单调递增； 在每一个闭区间2kπ，(k∈Z)上单调递减 在每一个闭区间[-π+2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在每一个闭区间[2kπ，π+2kπ](k∈Z)上单调递减 在每一个区间(k∈Z)上单调递增
对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：x=+kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)； 对称轴：x=kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)
2.三角函数图象的两种变换方法
3.同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系：
tan α=.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限.
-α π-α π+α 2π-α -α
sin -sin α sin α -sin α -sin α cos α
cos cos α -cos α -cos α cos α sin α
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、半角公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β sin 2α=2sin αcos α.
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan(α±β)=tan 2α=.
cos2α=，sin2α=.
sin =±；cos =±；tan =±.符号由所在象限决定.
5.和差化积、积化和差公式
和差化积：
口诀：口口之和仍口口，口口之差负赛赛，赛赛之和是赛口，赛赛之差变口赛.
cos θ+cos φ=2cos cos ，
cos θ-cos φ=-2sin sin ，
sin θ+sin φ=2sin cos ，
sin θ-sin φ=2cos sin .
积化和差：
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]，
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]，
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]，
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
6.辅助角公式
y=asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中tan φ=，
y=asin x+bcos x=cos(x-φ)，其中tan φ=.
7.正弦定理及其变形
在△ABC中，===2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形：a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，sin A=，sin B=，sin C=，
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
8.余弦定理及其变形
在△ABC中，a2=b2+c2-2bccos A；
b2=a2+c2-2accos B；
c2=a2+b2-2abcos C.
变形：b2+c2-a2=2bccos A；
a2+c2-b2=2accos B；
a2+b2-c2=2abcos C.
cos A=；
cos B=；
cos C=.
9.三角形面积公式
S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.
1.三角恒等变换的常用技巧
(1)常值代换：①“1”的代换，如1=sin2θ+cos2θ，1=2sin =2cos =sin ，1=tan .②特殊三角函数值的代换.
(2)角的变换：涉及角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系时，常见的拆角、凑角技巧有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β，β=-=(α+2β)-(α+β)，+α=-等.
2.三角函数图象平移问题处理策略
(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点.
(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y=Asin(ωx+φ)中φ的正负和它的平移要求.
(3)看移动的单位长度：在函数y=Asin(ωx+φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位长度是.
3.三角形中的常见结论
(1)有关角的结论
A+B+C=π，A+C=2B B=；
A=π-(B+C) =-，
sin A=sin(B+C)，
cos A=-cos(B+C)，
sin =cos ，
cos =sin .
(2)有关边角关系的结论
b2+c2-a2=bc A=；
b2+c2-a2=bc A=；
b2+c2+bc=a2 A=；
b2+c2+bc=a2 A=.
1.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在上的最小值为(　　)
A.- B.-
C.0 D.
答案　A
解析　f(x)=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx，
由函数f(x)的最小正周期为π，可得T==π，
所以ω=±.
因为ω>0，所以ω=，则f(x)=-sin 2x，
由x∈，
得2x∈，sin 2x∈，
所以f(x)在上的最小值为-.
2.(教材必修第一册P214第12题)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　)
A.y=|sin x| B.y=cos x
C.y=tan x D.y=cos
答案　A
解析　对于A，y=|sin x|，将y=sin x在x轴下方的图象翻折到x轴上方，可知周期T=π，在区间上单调递减，故A正确；
对于B，y=cos x的周期T=2π，故B错误；
对于C，y=tan x的周期T=π，在上单调递增，故C错误；
对于D，y=cos的周期T==4π，故D错误.
3.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos =，则sin等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得cos α=2cos2-1
=2×-1=-，
因为0<α<π，则sin α===，
所以sin=sin αcos -cos αsin =×-×=.
4.在△ABC中，AB=2，BC=，∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD等于(　　)
A. B.1
C.2 D.
答案　A
解析　在△ABC中，由余弦定理得
cos∠BAC=，
即=-，解得AC=1或-3(舍去)，
在△ABD中，由正弦定理得=，
在△ACD中，由正弦定理得
=，
其中∠ADB+∠ADC=180°，
∠BAD=∠CAD=60°，
所以sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠CAD，
故==，
又BC=，所以BD=，
在△ABC中，由正弦定理得=，
解得sin∠ABC=，
在△ABD中，由正弦定理得
=，
即=，解得AD=.
5.(多选)(2025·保定模拟)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x，则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)关于点中心对称
C.函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称
D.函数g(x)=f(x)-ax在上不单调，则a的取值范围为(-4，2)
答案　ACD
解析　函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1，
对于A，f(x)的最小正周期为=π，故A正确；
对于B，令2x+=kπ(k∈Z)，
解得x=-+(k∈Z)，
∴点是函数f(x)的一个对称中心，故B不正确；
对于C，平移后的函数h(x)=f=2sin+1=2cos 2x+1，函数h(x)的图象关于y轴对称，故C正确；
对于D，g'(x)=f'(x)-a=4cos-a，当x∈时，2x+∈，∴g'(x)∈[-4-a，2-a)，要想函数g(x)不单调，则-4-a<0<2-a，∴a的取值范围为(-4，2)，故D正确.
6.(多选)在△ABC中，D是BC的中点，BC=4，AD=，下列结论正确的是(　　)
A.若AC=，则AB=
B.△ABC面积的最大值为2
C.·=7
D.若B=2C，则AB=3
答案　BCD
解析　在△ACD中，AC2+CD2=AD2，所以C=，AB==，A错误；
当AD⊥BC时，AD最大，所以△ABC面积的最大值为BC·AD=2，B正确；
·=·=·=-=7，C正确；
在△ABC中，由正弦定理可得=，得AC=2ABcos C.
在△ACD中，由余弦定理可得
cos C==，
即cos2C=.
在△ABD中，由余弦定理可得
cos 2C===2cos2C-1，
即AB2-7=8ABcos2C-4AB，
所以AB2-7=8AB·-4AB，
整理得AB2+2AB-15=0，
解得AB=3(AB=-5舍去)，D正确.
7.(教材必修第一册P241第4题)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为　　　　.
答案　y=2sin
解析　由题图可知A=2，=+=，
∴T=π，ω=2，
∴y=2sin(2x+φ)，
把点的坐标代入上式得sin=1.
又0<φ<π，∴φ=，
∴y=2sin.
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象经过点A(0，-1)，且f(x)在 上单调递增，则ω的最大值为　　　　.
答案　2
解析　因为f(0)=2sin φ=-1，|φ|<，
所以φ=-.
由≤x≤得-≤ωx-≤-，
则-+2kπ≤-<-≤+2kπ，k∈Z，
解得-2+12k≤ω≤2+6k，k∈Z，且ω>0.
由-2+12k<2+6k，k∈Z得
k<，k∈Z.
因为ω>0，所以当k<0时，不符合条件，
故k=0，即0<ω≤2.
故ω的最大值为2.
9.(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=.
(1)求φ；
(2)设函数g(x)=f(x)+f，求g(x)的值域和单调区间.
解　(1)由题意得f(0)=cos φ=(0≤φ<π)，所以φ=.
(2)由(1)可知f(x)=cos，
所以g(x)=f(x)+f=cos+cos 2x
=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos，
所以函数g(x)的值域为[-，].
令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，
单调递增区间为，k∈Z.
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sin B-cos C=.
(1)求A；
(2)若b=c，且BC边上的高为2，求△ABC的面积.
解　(1)∵sin B-cos C=，
∴2absin B=c2-a2+2abcos C，
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C，代入上式得2absin B=b2，
∴2asin B=b，由正弦定理=，
∴2sin Asin B=sin B，
又∵B∈，
即sin B≠0，∴sin A=，
∵A为锐角，∴A=.
(2)将b=c代入余弦定理得
cos A===，
化简得a=c，∴C=A=，B=，
如图，△ABC为等腰三角形，
又BC边上的高AD=2，
则在Rt△ACD中，C=，
∴AC=2AD=4，
在△ABC中，由正弦定理=，
即BC==4，
∴S△ABC=BC·AD=×4×2=4.

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