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第19章 四边形
19.2 平行四边形
2 平行四边形的判定
第19章 四边形
19.2 平行四边形
2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.通过对平行四边形判别条件的探索，得出判定平行四边形的方法.
2.能证明平行四边形的判定定理，并能用平行四边形的判定定理解决几何问题.
掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件选择合适的判定定理判定一个四边形是平行四边形.
能够灵活运用平行四边形的性质定理和判定定理进行简单的推理证明.
复习导入
平行四边形的性质
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
对角线
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形. 第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢
大家都困惑了……
知识讲解
知识点1 平行四边形的判定定理1
思考：将线段AB按如图中所给的方向和距离平移成线段A B ，连接AA ，BB .得到的四边形 ABB A ，它一定是平行四边形吗？为什么？
A
B
A'
B'
连接 AC.
∵ AB∥CD，∴∠BAC =∠DCA.
在 △ABC和△CDA中，
∴ △ABC≌△CDA .
∴ ∠ACB = ∠CAD. ∴ AD∥BC.
因此，四边形 ABCD 是平行四边形.
C
D
A
B
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，且AB = DC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
证一证
平行四边形的判定定理1
文字语言：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
注：常用符号“ ”表示“平行且相等”，
读作“平行且等于”.
符号语言：
在四边形ABCD中，∵AB　CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：
知识点2 平行四边形的判定定理2
思考：1.如图,过点A画两条线段AB,AD,以点B为圆心、AD长为半径画弧,再以点D为圆心、AB长为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等,它是平行四边形吗 为什么？
A
B
D
C
分析：
已知两组对边分别相等，只要再证明任意一组对边平行，即可证明所画四边形为平行四边形.
证明：
连接AC.
∵ AB=DC， AD＝BC，又 ∵AC=CA，
∴ △ABC ≌ △CDA，∠CAB=∠ACD .
∴ AB∥DC .
∵ AB=DC， AB∥DC .
因此，四边形ABCD是平行四边形.
B
D
C
A
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：
平行四边形的判定定理2
文字语言：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
思考：如图， 作两条直线l1， l2相交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA.
这样画出来的四边形ABCD的对角线就互相平分.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗？为什么？
分析：可证明一组对边平行且相等来说明所画四边形为平行四边形.
证明：
∵ OA=OC，OB＝OD，
又 ∵∠AOD=∠COB，∴ △AOD ≌ △COB.
∴ AD=CB，∠DAO=∠BCO .
∵ ∠DAO=∠BCO ，∴ AD∥CB .
∵ AD∥CB ，且 AD=CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
O
A
B
C
D
l2
l1
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：
平行四边形的判定定理3
文字语言：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
O
总结归纳
平行四边形的判定 名称 文字叙述 符号语言 图示
定义
定理1 定理2 定理3 ∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
O
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB∥CD，AB=CD，
(或AD∥BC，且AD=BC)，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=CD，且AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例5 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO
∵AE=CF，
∴OE=AO AE=CO CF=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
D
A
B
C
O
E
F
例6 已知：如图，直线l1，l2，l3互相平行，直线l4和l5分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1.
证明：过点B1作l6∥ l4，
分别交直线l1、l3于点E，F.
∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1
都是平行四边形.
∴ AB=EB1，BC=B1F.
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l4
l5
l6
∵ AB=BC，
∴ EB1=B1F.
又∵ l1∥ l3.
∴ ∠A1EB1=∠C1FB1.
在△A1B1E和△C1B1中,∵
∴ △A1B1E≌△C1B1F.
∴ A1B1=B1C1.
由此得到，
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
作为上述定理的特例，有如下推论：
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
随堂演练
1. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件：∠A :∠B : ∠C :∠D 的值为（ ）
A. 1 : 2 : 3 : 4
B. 1 : 4 : 2 : 3
C. 1 : 2 : 2 : 1
D. 3 : 2 : 3 : 2
D
2. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若 △ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = .
A
F
B
D
C
E
P
8
3. 已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件__________
________.
AD = BC 或
AB∥CD
4.在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )
AB∥CD,AD∥BC
AB=CD,AD=BC
(C)AB∥CD,AB=CD
(D) AB∥CD,AD=BC
D
B
D
A
C
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
（一组对边平行且相等）
A
B
D
C
（如图，反例）
4.
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是(　　)
A．AB＝CD
B．BC＝AD
C. ∠A＝∠C
D．BC∥AD
B
5.如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则 图中平行四边形共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
C
6.请你识别下列四边形哪些是平行四边形 为什么？
A
D
C
B
110°
70°
110°
（3）
（2）
A
B
C
D
120°
60°
5㎝
5㎝
B
A
D
C
4.8㎝
4.8㎝
（1）
7.6㎝
7.6㎝
（1）是.因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（2）是.因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（3）是.因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形
7. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于点 F．试判断四边形 ABFC 的形状，并证明你的结论．
解：四边形 ABFC 是平行四边形. 证明如下：
∵ AB∥CD，∴∠BAE =∠CFE.
∵ E 是 BC 的中点，∴ BE = CE.
又∵∠AEB =∠FEC，
∴ △ABE≌△FCE（AAS）.
∴ AE = FE．
∴ 四边形 ABFC 是平行四边形．
课堂小结
从边考虑
两组对边分别平行(定义法)
两组对边分别相等(判定定理2)
一组对边平行且相等（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等（定义拓展）
对角线互相平分（判定定理3）
19.2 平行四边形
2 平行四边形的判定
第2课时 三角形的中位线
第19章 四边形
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理.
2.会运用三角形中位线定理进行推理证明和计算.
三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线解决问题.
证明三角形中位线定理添加辅助线的方法.
复习导入
我们之前学习过三角形的哪些特殊线段呢？
高线
A
B
C
中线
角平分线
思考：三角形还有没有其他的特殊线段呢？
知识讲解
知识点 三角形的中位线定理
三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
例如：△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE，DE就是△ABC的中位线.
D
E
思考 1.三角形有几条中位线？
三条
A
B
C
D
E
F
2.三角形的中位线与中线有什么区别？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
联系
都是线段，都是与边的中点有关.
区别
中位线是两条边中点的连线，而中线 是一个顶点和对边中点的连线.
3. 三角形的中位线与第三边之间有怎样的关系呢？通过观察和测量，猜想DE和BC的位置关系和数量关系.
A
B
C
D
E
猜想：位置关系：DE∥BC
数量关系：DE= BC
A
B
C
D
E
4.如何证明这个猜想的命题呢？
已知：如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
求证:DE∥BC, DE= BC.
分析：要证明线段的“倍分”关系，
我们一般用截长补短法.
A
B
C
D
E
F
证明: 如图,延长DE到F,使DE=EF,连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE,∠AED=∠CEF, DE=FE，
∴△AED≌△CEF，
∴∠A=∠ECF, AD=CF，∴CF∥AB，
∵BD=AD，∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC,DF=BC，
又∵ DE= DF , ∴DE∥BC，DE= BC.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用数学语言表示
∵ DE 是△ABC 的中位线，
总结归纳
∴ DE∥BC，
A
B
C
D
E
例8 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=3，点D，E分别是BC，AC边上的中点，求线段DE的长.
解：在Rt△ABC中，有勾股定理，
得AB2+AC2=BC2．
∵AB=AC,BC=3，
∴2AB2=18.∴AB=3.
∵点D，E分别是BC，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE=AB=.
随堂练习
如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H为各边的中点，试判断四边形EFGH的形状有什么特征？证明你的结论，并与同伴交流.
解:四边形ABCD是平行四边形.
证明如下: 如图,连接AC.
在△DAC中，H，G分别是DA，DC的中点,
∴HG∥AC, HG=AC，
同理可证EF∥AC, EF= AC，
∴EF∥HG, EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
中点四边形
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形
称为中点四边形.
中点四边形
不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终
是平行四边形．
拓展
随堂演练
如图，要测定被池塘隔开的A，B两点之间的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB的长为(　　)
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
B
1.
如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为(　　)
A．10 cm
B．11 cm
C．12 cm
D．22 cm
D
2.
如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为(　　)
A．12 B．14 C．24 D．21
A
3.
4.
如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是(　　)
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长先增大后减小
C
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB的周长是18 cm，则EF＝________cm.
5.
3
解:∵AC＋BD＝24 cm，
∴OA＋OB＝12 cm，
又∵△OAB的周长是18 cm，
∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm.
又∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
运用整体思想
三角形的中位线
定义
连接三角形两边中点的线段
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
三角形中位线定理
课堂小结

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