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第19章 四边形
19.2 平行四边形
1 平行四边形的性质
第19章 四边形
19.2 平行四边形
1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质
学习目标
1.了解平行四边形的定义.
2.探索并掌握平行四边形的边、角等性质，并能简单应用.
学习重难点
掌握平行四边形的边、角等性质.
探索并掌握平行四边形的边、角等性质，并能简单应用.
难点
重点
情境导入
平行四边形是生活中常见的图形，你能举出一些实例吗？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
如图，四边形ABCD是平行四边形，记作 ABCD，
线段BD就是 ABCD的一条对角线.
A
B
C
D
知识点1 平行四边形的相关概念
知识讲解
平行四边形的两个要素：
1.是四边形
2.两组对边分别平行
解读
练习
1.如图，在 ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有平行四边形 个．
2.如图， ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是（ ）
A.13 B.14 C.15 D.18
9
第1题图
第2题图
D
知识点2 平行四边形边和角的性质
将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
想一想：通过拼图你可以得到什么启示？
平行四边形的对边相等，对角相等.
这个结论正确吗？
方法1：度量法
A
B
C
D
这个方法准确吗？
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形．
A
B
C
D
四边形问题
转化
三角形问题
方法2：推理证明
证明：如图，连接 AC.
（1）∵ AB∥DC，AD∥BC,
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.
在△ABC和△CDA中，
∵
∴△ABC≌△CDA.（ASA）
∴AB=DC，AD=BC.
D
A
B
C
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC.
求证：（1）AB = DC，AD = BC；
（2）∠DAB = ∠DCB，∠B = ∠D.
证明：（2）由（1）知∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.
∴∠BAC +∠DAC=∠DCA+∠BCA.
∴∠DAB =∠DCB.
由（1）已证△ABC≌△CDA.
∴∠B=∠D.
D
A
B
C
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°.
∴∠B =∠D.
同理可得∠A =∠C.
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等(邻角互补)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
C
D
平行四边形的性质
知识要点
性质1
性质2
例1 如图，在 ABCD 中，BE平分∠ABC交AD于点E.
（1）如果AE=2，求CD的长；
（2）如果∠AEB=40°，求∠C的度数.
解：∵ BE平分∠ABC，
∵AD∥BC.
∴∠ABE ==∠AEB.
∴ ∠ABE =∠EBC.
∴ AB=AE=2.
A
D
B
C
E
∴ ∠EBC =∠AEB.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2.
A
D
B
C
E
解：（2）由（1）知∠ABE=∠AEB=40°，
∴∠A=180°-（40°+40°）=100°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=100°.
例2 已知：如图，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A B C .
求证：△ABC的顶点分别是△A B C 三边的中点.
分析：要证明点A是B C 的中点，只要证明AB =AC .
证明：∵ AB∥B C，BC∥AB ，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AB =BC，
同理：AC = BC .
∴ BC =BA ，CA =CB .
∴△ABC的顶点分别是△A B C 三边的中点.
C
A
B
A
B
C
知识点3 平行线之间的距离
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线段，用刻度尺量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等.
合作探究
猜想：平行线之间的距离处处相等.
1
如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D. 求证：AC = BD.
证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
理论证明
a
b
A
B
C
D
∴ ∠1 =∠2 = 90°.
∴ AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形.
∴ AC = BD.
2
如果两条直线互相平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等 .
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离.
归纳总结
(简记为：两条平行线之间的距离处处相等）.
a
b
A
B
C
D
思考：两条平行线之间的距离、点与点之间的距离、点到直线的距离有何区别与联系？
点到直线的距离只有一条，即这点到直线的垂线段的长；而平行线的距离有无数条，从平行线中的一条上的任一点都可以作出两平行直线的距离.
a
b
A
B
A
B
思考：若将夹在两平行线间的垂线段改为平行线段呢？它们是否相等呢？
由平行四边形的定义可知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形的对边相等的性质易知夹在两条平行线之间的平行线段相等.
例3 如图，在 ABCD 中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF的长为直线AB和直线DC之间的距离.
∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4.
A
D
B
C
E
F
∴∠B=∠BAE，AE2+BE2=AB2.
∴BE=AE.
∴2AE2=16.
∴AE=2.
同理：AF=.
∴直线AD和直线BC之间的距离为2，直线AB和直线DC之间的距离为.
A
D
B
C
E
F
随堂演练
1.如图,在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则图中平
行四边形的个数为 (　 )
A.1　 B.2　
C.3　 D.4
C
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则 ABCD的周长为(　　)
A．6
B．12
C．18
D．24
B
3.如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
C
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B=56°. 求：
(1) ∠ADC和∠BCD的度数；
(2) AB和BC的长度.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝56°，
∴∠ADC＝∠B＝56°，
∠BCD＝180°－∠B＝180°－56°＝124°.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝25，BC＝AD＝30.
A
B
C
D
30
25
5.在平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A(a，b)，
B(4，－2)，C(－a，－b)，则下列关于点D的说法正确的是(　　)
甲：点D在第一象限
乙：点D与点A关于原点对称
丙：点D的坐标是(－4，2)
丁：点D到原点距离是2
A．甲乙 B．丙丁 C．甲丁 D．乙丙
B
6.在 ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，则 ABCD的周长为(　　)
A．20 cm　 　　　　B．22 cm
C．10 cm　 　　　　D．20 cm或22 cm
解析：分情况讨论如下：
如图①.BE＝3 cm，CE＝4 cm.∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠AEB. ∴AB＝BE＝3 cm.
∴ ABCD的周长＝(3＋3＋4)×2＝20(cm)．
D
6.在 ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，则 ABCD的周长为(　　)
A．20 cm　 　　　　B．22 cm
C．10 cm　 　　　　D．20 cm或22 cm
如图②.BE＝4 cm，CE＝3 cm.
同理可得AB＝BE＝4 cm.
∴ ABCD的周长＝(4＋4＋3)×2＝22(cm)．
D
课堂小结
平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
定义
边、角性质
对边平行
对边相等
对角相等
邻角互补
夹在两条平行线之间的平行线段相等
第19章 四边形
19.2 平行四边形
1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
学习目标
1.进一步探索并掌握平行四边形的对角线的性质.
2.应用平行四边形的性质解决简单的几何问题.
学习重难点
探索并掌握平行四边形的对角线的性质.
应用平行四边形的性质解决简单的几何问题.
难点
重点
复习回顾
一、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
二、平行四边形的性质
边的性质：
平行四边形的对边平行
平行四边形的对角相等，
角的性质：
且相等.
邻角互补.
知识讲解
知识点 平行四边形对角线的性质
我们知道了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
如图，在 ABCD 中，连接 AC，BD，设它们相交于点 O.
你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？
思考
猜想：OA = OC，OB = OD.
怎样证明这个猜想呢？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
量一量
拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确．
这个方法准确吗？
已知，如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：OB＝OD，OA＝OC .
证明：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
∴∠OAB＝∠OCD, ∠OBA＝∠ODC.
∴△OAB≌△OCD.
∴OB＝OD，OA＝OC.
你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
证一证
A
B
C
D
O
平行四边形对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
性质3
几何语言
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了面积相等的4个三角形.
例4 如图， 在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD=5，AO=AC，BD=2BO.
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.
∴AC=.
∴AO=AC=2.
∴BO=.
∴BD=2BO=2.
已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度.
解：因为平行四边形的对角线互相平分，
所以AC＝2OA＝6 ，BD＝2OB＝8 .
又因为OA2＋OB2＝32＋42＝52＝AB2，所以AC⊥BD.
由勾股定理，可得AD2＝OA2＋OD2，
而OD＝OB，所以AD2＝32＋42.
所以AD＝5. 同理，可得DC＝5，BC＝5.
随堂练习
随堂演练
1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(　　)
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB
C
2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是(　　 )
A．10
B．14
C．20
D．22
B
3.如图，若 ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ABCD的面积为(　 　)
A．40 cm2
B．32 cm2
C．36 cm2
D．50 cm2
A
4.如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是(　　)
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．2S1＝S2
C
5.如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F. 试说明：OE＝OF.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE≌△COF ，
∴OE＝OF.
课堂小结
平行四边形
对角线互相平分
对角线的性质

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