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第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
2 菱形
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
2 菱形
第1课时 菱形的性质
学习目标
1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
2.经历菱形性质定理的探索过程.
3.能够用综合法证明菱形的性质.
学习重难点
难点
重点
经历菱形性质的探索过程，掌握菱形的性质.
能够用综合法证明菱形的性质.
新课导入
下面几幅图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
由上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同点吗？从边的角度想一想。
平行四边形
菱形
想一想：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形.
菱形具有一般平行四边形的所有性质.
平行四边形不一定是菱形.
知识讲解
知识点1 菱形的定义
归纳
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
做一做：
知识点2 菱形的性质
通过上面的折纸活动，我们可以发现：
（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴.
（2）菱形四条边都相等.
（3）菱形的对角线互相垂直.
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：
性质1 菱形的四条边相等.
性质2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
归纳
证明菱形的性质：
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD，
∴ AB = BC = CD =AD.
（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.
∵ CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.
∴ AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
随堂练习
知识点3 菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE.
E
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 已知某菱形的两条对角线长分别为a，b，求该菱形的面积.
A
B
C
D
O
解：如图，设菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC=a，BD=b.
∴四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.（菱形的对角线互相垂直）
∴S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD
=BDAO+BDAO=BD（AO+OC）
=BDAC=ab.
如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴ S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30.
∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
而菱形两组对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴ 13h＝120，解得 h＝ .
A
B
C
D
O
随堂练习
随堂演练
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
C
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则△ABD 的周长等于（ ）
A. 18 B. 16
C. 15 D. 14
B
3. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm， 那么它的边长是 ______.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_____°.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，
则菱形的边长是______.
3 cm
30
A
B
C
O
D
5 cm
(4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角
线长为 11 cm，菱形的周长为_______.
44 cm
(5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2，
那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8 cm
4. 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中
对角线 BD 长 10 cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度；
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
(2) 菱形 ABCD 的面积为
∴ AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
D
B
C
A
E
5. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE．
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ CB = CD，CA 平分∠BCD．
∴∠BCE =∠DCE．
又 CE = CE，
∴△BCE≌△DCE (SAS)．
∴∠CBE =∠CDE．
∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠AFD =∠EDC．
∴∠AFD =∠CBE．
A
D
C
B
F
E
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
2 菱形
第2课时 菱形的判定
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
2.会用菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
学习重难点
难点
重点
掌握菱形的判定定理．
会用菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
复习导入
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
且 AB = AD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
知识讲解
知识点1 四边相等的四边形是菱形
小刚：分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 的长为半径画弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A，B，C，D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证一证
A
B
C
D
四边相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
菱形的判定定理1
归纳总结
四边形 ABCD
A
B
C
D
例题解读
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD，
∴△ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2
例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴ AC＝DF＝AD＝CF.
∴ 四边形 ACFD 是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.
归纳
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ABCD 是菱形.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言描述：
在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
例5 如图，在□ABCD中， 对角线 AC，BD相交于点 O，AC = 8，BD= 6，AB = 5，求AD的长.
A
B
C
D
O
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
OA=AC=4，OB=BD=3.
解：
又∵AB=5，
∴AB2=OA2+OB2.
∴△AOB 是直角三角形，即OA⊥OB.
∴□ABCD是菱形.
∴AD=AB=5.
如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F.求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2.
∵ EF 垂直平分 AC，
∴ AO = OC.
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴ EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
随堂练习
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ 　 ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
随堂演练
2.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是(　　)
A. ∠BAC＝90°
B. ∠DAE＝90°
C. AB＝AC
D. AB＝AE
A
3.判断：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形. （ ）
（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 . （ ）
（3）对角线互相平分的平行四边形是菱形. （ ）
（4）一组邻边相等的四边形是菱形. （ ）
（5）有一条对角线平分一组对角的四边形
是菱形. （ ）
×
×
×
√
√
A
B
C
O
D
4.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .
AC⊥BD
AB=BC
5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC=AC=4，OB＝OD=BD=3，
∵32+42＝52，
∴OD2+OA2＝AD2，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS）.
∴AE＝CF.
证明：（2）∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE＝ED，
∴平行四边形EBFD是菱形．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE上，且AF＝CE＝AE，试探索当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？
解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠EAC＝60°，
∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC，∠BDE＝90°，
∴∠BED＝60°，∠B＝∠ECD＝30°，
∴∠FEA＝60°，∠ECA＝60°，
∵AF＝CE＝AE，∴△AEF是等边三角形，△EAC是等边三角形，
∴AF＝EF＝EC＝CA，
∴四边形ACEF是菱形．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
课堂小结

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