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第20章 数据的初步分析
20.3 数据的离散程度
第20章 数据的初步分析
20.3 数据的离散程度
1 离差平方和与方差
学习目标
1.了解方差的意义，掌握方差的计算方法.
2.会计算样本的方差并进行简单的决策.
学习重难点
了解方差的意义，掌握方差的计算方法.
1.了解方差的意义，掌握方差的计算方法.
2.会计算样本的方差并进行简单的决策.
难点
重点
复习导入
1、集中趋势统计量：
平均数、
中位数、
众数.
2、平均数计算方法：
1
n
（x1+x2+x3+···+xn）
=
3、加权平均数计算方法：
这k个数据的加权平均数.
在总结果中的比重
我们称其为各数据的权，
其中f1，f2，f3，…，fk
分别表示数据
x1，x2，x3，…，xk
出现的次数，
或者
表示数据x1，x2，x3，…，xk
叫作
x1，x2，x3，…，xk
4、中位数的定义：
位于正中间的一个数据
(当数据的个数是偶数时)
一般地，
当将一组数据按大小顺序排列后，
(当数据的个数是奇数时)
或
正中间两个数据的平均数
叫作这组数据的中位数.
n 为奇数时，中间位置是第 个
n为偶数时，中间位置是第 , 个
你知道中间位置如何确定吗
一组数据中
5、众数的定义：
叫作这组数据的众数.
出现次数最多的数据
2
n+1
2
n
2
n
+1
知识讲解
知识点1 方差
问题 两台机床都生产直径为（20±0.2）mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个零件进行测量，结果如下(单位:mm)：
如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定？
机床A
20.0
机床B
20.0
19.8
20.0
20.1
19.9
20.2
20.0
20.0
20.2
20.2
20.0
19.8
20.1
19.9
19.9
20.2
20.1
19.8
19.8
（ ）
+0
从数据集中趋势这个角度
（ ）
0
-0.2
要比较零件的精度，首先想到比较两组数据的平均值：
xA
=
1
10
20.0
+
0
-0.2
+0.1
+0.2
-0.1
+0
+0.2
-0.2
+0.2
=20.0(mm)
-0.2
xB
=
1
10
20.0
+
-0.1
+0
-0.1
+0.2
+0
+0.1
+0.1
=20.0(mm)
xA
=
xB
=20.0 mm,
这时就需考察数据的离散程度了.
它们的中位数也都是20.0mm，
很难区分两台机床生产零件的精度的稳定性.
如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？
将每台机床生产的10个零件的直径用散点图表示，如下图.
图中过（0，20.0）与横轴平行的直线上的点表示零件直径的平均数所处的位置.
可见机床A生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有6个、
的
0.1mm
机床B生产出的零件的直径中
偏离这个平均数
0.2mm
的
有2个、
0.1mm的
有2个；
有4个，
生产的零件的精确度更稳定.
直观上容易看出
机床B
比机床A
直径波动较大
直径波动较小
概念学习
统计学中，通常采用离差平方和或方差衡量数据的离散程度.
设一组数据是
x1，x2，···，xn，
将s2
它们的平均数是 ，
1
n
[ ]
=
x
我们将
( x1 - )2
+( x2 - )2
+( xn - )2
x
x
+···
x
称为这组数据的
方差.
( x1 - )2+( x2 - )2+···+( xn - )2称为这组数据的离差平方和.
x
x
x
知识拓展：
反映的是数据在平均数附近波动的情况.
方差越小，
方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量，
一般地，
方差越大，
该组数据的波动就越大
（离散程度大）,
该组数据的波动就越小
（离散程度小）.
① 方差的作用：
才利用方差来判断它们的波动情况．
② 方差的适用条件：
当两组数据的平均数相等或相近时，
下面通过计算离差平方和与方差，来分析上述问题中机床A和机床B哪台生产的零件的精度更稳定.
MA= =0.26.
(20 -20)2
+ ···
+(19.8-20)2
+(19.8-20)2
(20 -20)2
+ ···
+(20-20)2
+(19.8-20)2
无论是离差平方和还是方差，我们都可以知道机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大.据此，我们可以评判机床B生产的零件精度更稳定.
知识拓展：
方差的单位是所给数据单位的平方.
MB= =0.12.
则方差分别为
=×0.26=0.026.
=×0.12=0.012.
例 用计算器求下列数据的方差 (结果保留2位小数)：
138 , 156 , 131 , 141 , 128 , 139 , 135 , 130.
解: 按键方法:
(1)设定计算模式. 在打开计算器后, 先按“2ndf ”, 然后按“MODE”1将其设定至“Stat”状态;
(2)按键“2ndf”“DEL”, 清除计算器原先在“Stat”模式下所储存的数据;
(3)数据输入, 依次按以下各键：
输入138, 然后按一下“DATA”; 输入156, 然后按一下“DATA”;
输入131, 然后按一下“DATA”; 输入141, 然后按一下“DATA”;
输入128, 然后按一下“DATA”; 输入139, 然后按一下“DATA”; 输入135, 然后按一下“DATA”; 输入130, 然后按一下“DATA”;
(4)求方差, 在计算器的键盘上, 用“σX”表示一组数据的方差的算术平方根.
按键“RCL”“σX”显示方差的算术平方根: σx=8.302860953
按键“X ”“=”显示方差: ANS2=68.9375
由上可得方差: s2=68.94
随堂演练
1.据统计,某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为
5,5,6,6,6,7,7.下列说法错误的是 (　 )
A.该组数据的中位数是6
B.该组数据的众数是6
C.该组数据的平均数是6
D.该组数据的方差是6
D
2. 在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是(　　)
A．平均数是5 B．中位数是6
C．众数是4 D．方差是3.2
B
3.甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测试中，他们成绩的平均分是 ＝85， ＝85， ＝85， ＝85，方差是s甲2＝3.8，s乙2＝2.3，s丙2＝6.2，s丁2＝5则成绩最稳定的是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
B
4.(1)观察下列各组数据并填空：
A：1　2　3　4　5　 ＝________，sA2＝________；
B：11　12　13　14　15 ＝_______，sB2＝_______；
C：10　20　30　40　50 ＝_______，sC2＝_______；
D：3　5　7　9　11　 ＝________，sD2＝________；
(2)比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？
A与B比较，B组中各数据比A组中对应各数据多10 ， ，方差不变
A与C比较，C组各数据为A组中对应各数据的10倍，
A与D比较，D组各数据为A组中对应各数据的2倍多1， ＝2 ＋1 , sD2＝22×sA2
3
2
13
2
30
200
7
8
，sC2＝102×sA2
(3)若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，
那么另一组数据3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数是
________，方差是________．
5.甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7 ；
乙：8 9 7 9 7 .
计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
解：
所以乙台编织机出的产品的波动性较小.
课堂小结
离差平方和与方差
定义
计算公式
性质
衡量一组数据的离散程度
（1）最小值为0；
（2）数据的离散程度大，
它们的值也大
离差平方和：
第 20章 数据的初步分析
20.2 数据的离散程度
2 用样本方差估计总体方差
学习目标
1.理解方差的意义；
2.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.
学习重难点
能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.
能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.
难点
重点
复习导入
设一组数据是
x1，x2，···，xn，
s2
它们的平均数是 ，
1
n
[ ]
=
x
我们用
( x1 - )2
+( x2 - )2
+( xn - )2
x
x
+···
x
来衡量这组数据的离散程度，
并把它叫作这组数据的
方差.
方差越大，数据的离散程度越大．
问题：什么是方差？
知识讲解
知识点 用样本方差估计总体方差
例 为了比较甲、乙两个新品种水稻的产量，各抽取了五块具有相同条件的试验田地，收割时分别称取两品种水稻的产量，得其每公顷产量（单位：t）如下表：
水稻品种 田地编号 1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
(2)哪个品种的产量较稳定？
解：甲、乙两个新品种在试验田中的产量各组成一个样本.
（2）
x甲
（12.6+12+12.3+11.7+12.9）
=
1
5
=12.3 (t)
x乙
（12.3+12.3+12.3+11.4+13.2）
=
1
5
=12.3 (t)
答：甲、乙两个新品种平均每公顷的产量一样高.
S甲2＝
1
5
＝0.18
]
(12.6-12.3)2
[
+(12-12.3)2
+(12.3-12.3)2
+(11.7-12.3)2
+(12.9-12.3)2
S乙2＝
1
5
＝0.324
]
(12.3-12.3)2
[
+(12.3-12.3)2
+(12.3-12.3)2
+(11.4-12.3)2
+(13.2-12.3)2
则 S甲2＜S乙2
答：甲品种的产量稳定性较好.
（1）
知识拓展
则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大.
② 在两组数据的平均数相差较大时，
① 一般地，在平均数相同的情况下，
方差越大，
以及两组数据的单位不同时，
不能直接通过比较方差来说明它们的离散程度.
某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm） 如下表：
随堂练习
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
甲 169 165 168 169 172 173 169 167
乙 161 174 172 162 163 172 172 176
两名同学的跳高成绩数据分析如下表：
平均数/cm 中位数/cm 众数/cm 方差/cm2
甲 a b c 5.75
乙 169 172 172 31.25
根据图表信息回答下列问题：
(1)a=______， b=______， c=______；
(2)这两名同学中，______的成绩更为稳定；（填甲或乙 ）
169
169
169
甲
(3)若预测跳高165cm 就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择___________同学参赛，理由是：_________________________.
(4)若预测跳高170cm 就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择___________同学参赛，理由是：_________________________.
甲
成绩在165cm 以上的次数甲多
乙
成绩在170cm 以上的次数乙多
随堂演练
1.甲、乙两个样本，甲的样本方差是2.15，乙的样本方差
是2.21，那么样本甲和样本乙的波动大小是( )
A.甲、乙的波动大小一样 B.甲的波动比乙的波动大
C.乙的波动比甲的波动大 D.无法比较
C
２．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10穴的分孽数后，计算出样本方差分别为S2甲＝11，S2乙=3.4，由此可以估计（ ）
A.甲比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐
C.分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比
B
3.某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛 (100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军)。该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8
选手甲的成绩（秒） 12.1 12.4 12.8 12.5 13 12.6 12.4 12.2
选手乙的成绩（秒） 12 11.9 12.8 13 13.2 12.8 11.8 12.5
根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？
解：想获得冠军派甲选手，想破纪录派乙选手，因为甲选手成绩较稳定，乙选手破纪录的可能性大.
4.某校要从甲、乙两名选手中选1名参加全市中学生射击比赛，两人近
期的10次测试成绩如图所示．
(1)求甲、乙两名选手10次测试成绩的平均数和方差；
(2)请你运用所学过的统计知识作出判断，派哪一名选手参加比赛更好？为什么？
解：派乙参加比赛更好，
因为x甲＝x乙，s2甲＝s2乙，所以乙的测试成绩更稳定．
所以派乙参加比赛更好．
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课堂小结
根据方差做决策方差
方差的作用：比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差

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