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第 20章 数据的初步分析
20.4 四分位数和箱线图
第 20章 数据的初步分析
20.4 四分位数和箱线图
1 四分位数
学习目标
1.理解四分位数的概念，会求一组数据的四分位数.
2.会用四分位数解决实际问题.
学习重难点
难点
重点
理解四分位数的概念.
会求一组数据的四分位数，并能解决实际问题.
知识点 四分位数
问题1 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛，来自甲、乙两个县的15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下：
甲：69,70,70,71,72,75,78,80,82,83,87,88,88,93,97；
乙：70,72,73,75,77,79,79,80,80,81,83,83,85,92,94.
（1）分别指出甲、乙两个县选手竞赛成绩的中位数；
（2）中位数能否反应两个县选手成绩的分布差异？有没有进一步分析这两个县选手成绩分布差异的方法？
探究新知
不难算出甲、乙两个县选手竞赛成绩的中位数都是80分，平均数都是80.2分，从平均水平来看，水平相当.
为了进一步分析上述两组数据的分布特点，我们可以利用一下方法.两组数据中位数都是80，从整体来看，中位数就是50%的位置，也就是说有50%的甲县（或乙县）选手的成绩不大于80分，且有50%的甲县（或乙县）选手的成绩不小于80分.一组数据从小到大排列后，中位数将其等分成两部分，类似地，我们也可以将一组数据从小到大排列后等分成四部分，然后再分析数据的分布特点.
探究新知
思考 将一组数据从小到大排列后，类比求中位数的方法，怎样将该组数据四等分？
一组数据从小到大排列，第25百分位数（记作m25）、中位数（记作m50）、第75百分位数（记作m75）把所有的数据等分成四部分，因此，称为四分位数，m25，m50，m75分别称为第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2）、第三四分位数（Q3）、其中m25满足小于或等于m25的至少占25%，大于或等于m25的至少占75%.
例1 求下列各组数据的四分位数.
（1）11,10,12,19,13,11,6,4,17,9,13,17,15；
（2）11,10,12,19,13,11,6,4,17,9,13,17.
解：（1）将这13个数据从小到大排列，得
4,6,9,10,11,11,12,13,13,15,17,17,19.
因为数据的个数是奇数，所以中位数m50=12.
13×25%=3.25,13×75%=9.75.
得到第25百分位数m25是第4个数10，第75百分位数m75是第10个数15.
因此，该组数据的四分位数分别为10,12,15.
（2）将这12个数据从小到大排列，得
4,6,9,10,11,11,12,13,13,17,17,19.
因为12×50%=6，所以中位数m50是第6,7个数的平均数=11.5.
因为12×25%=3,12×75%=9，所以第25百分位数m25是第3,4个数的平均数=9.5，第75百分位数m75是第9,10个数的平均数=15.
因此，该组数据的四分位数分别为9.5,11.5,15.
随堂演练
1.已知一组数据：8,4,2,6,4,5,1,2，则这组数据的第25百分位数为（ ）
A.3 B.2 C.6 D.5
2. 春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从分钟延长到分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员8人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如表．
在投中球数的这组数据中，第75百分位数为（ ）
A.3.5 B.4.5 C.5.5 D.6.5
B
D
3．某市10月1日—16日每日的最高气温（单位：℃）依次如下：26，27，28，26，27，29，30，25，26，28，27，24，23，25，28，27．求这组数据的四分位数m25，m50，m75．
解：把这16个数据从小到大排序：
23,24,25,25,26,26,27,27,27,27,28,28,28,29,30.
m25==25.5，m50==27，m75==28.
课堂小结
第一四分位数（Q1）：位于数据集的25%的位置
第二四分位数（Q2）：位于数据集的50%的位置
第三四分位数（Q3）：位于数据集的75%的位置
描述数据分布
四分位数
第 20章 数据的初步分析
20.4 四分位数和箱线图
2 箱线图
学习目标
1.会作一组数据的箱线图.
2.会用箱线图解决实际问题.
学习重难点
难点
重点
会作一组数据的箱线图.
用箱线图解决实际问题.
问题2 某银行有A和B两个理财经营团队，这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下：
试评价A和B两个团队的经营水平.
情景引入
将A，B两组数据从小到大排列，得
易得出A，B两组数据的最小值、第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数和最大值，如下表所示：
根据四分位数可知，在团队A经营的理财产品中，收益率低于3.195%的项目数占总量的25%（3项），收益率低于3.915%的项目数占总量的一半（6项），收益率高于4.440%的项目数占总量的25%（3项）.
类似地，也可以分析团队B经营的理财产品的收益率.
思考 能否将问题2中A，B两组数据的最小值、第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数和最大值更加直观地体现出来呢？
探究新知
知识点 箱线图
统计学上，常用箱线图直观地展示一组数据的统计特征值，便于分析不同类别数据各层次水平的差异（如离散程度、分布差异等）.
如图，箱线图通常会画出最小值、最大值和四分位数.
根据A，B两组数据的最小值、第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数和最大值画出箱线图.
通过箱线图可以直观看出、两个团队经营12项理财产品，团队A的产品收益率的中位数与团队B的几乎相同，但团队A的产品收益率明显比团队B的波动大，这与方差评价的结果是一致的，因此，可以说两个团队的经营收益基本一样，但是团队B的经营水平比团队A的要平稳得多.
对于稳健型投资者，选择团队B经营的理财产品更合适，对于部分激进型投资者，也可以选择团队A经营的理财产品.
例2 根据问题1中的甲、乙两个县各15名选手竞赛成绩的最小值、最大值和四分位数画出箱线图，并根据箱线图进行分析.
解：易求得甲、乙两个县各15名选手竞赛成绩（单位：分）的最小值、最大值和四分位数，如下表所示：
画出箱线图.
通过箱线图可以直观看出，甲、乙两个县选手成绩的中位数相同，但是甲县选手的成绩差距较大，乙县选手的成绩差距较小，并结合甲、乙两个县选手成绩的平均数，也可以说甲、乙两个县选手水平相当，但是乙县选手的成绩相对于甲县选手的更集中.
随堂演练
1.有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A.这组数据的第一四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的第三四分位数是15
D.被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13
B
2．如图是某两个理财团队负责的产品的收益率的箱线图，现有一笔资金想要投入理财账户中，则从总体经营效益与稳健度方面，应该选择团队______.（填“A”或“B”）
B
3．甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，70，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
(1)求甲组数据的四分位数；
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)不经过计算，哪组测试的成绩的方差更大？为什么？
解：（1）将甲组的成绩从小到大排列为70,70,80,89,91,92,96,98.
所以m25==75，m50==90，m75==94.
（2）如图所示.
（3）甲组测试的成绩的方差更大.理由如下：
根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中，
所以甲组测试的成绩的方差更大.
课堂小结
直观地展示一组数据的统计特征值，便于分析不同类型数据各层次水平的差异
箱线图

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