资源简介

(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第4章 因式分解
单元测试·培优卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 判断是否是因式分解
2 0.65 已知因式分解的结果求参数
3 0.65 公因式
4 0.65 单项式乘多项式的应用；提公因式法分解因式
5 0.85 添括号；已知式子的值，求代数式的值
6 0.76 判断能否用公式法分解因式
7 0.65 公因式；提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
8 0.65 已知式子的值，求代数式的值；完全平方公式分解因式
9 0.65 综合运用公式法分解因式
10 0.65 综合提公因式和公式法分解因式
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 已知因式分解的结果求参数
12 0.85 已知式子的值，求代数式的值；提公因式法分解因式
13 0.85 已知字母的值 ，求代数式的值；添括号
14 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；完全平方公式分解因式
15 0.94 判断是否是因式分解
16 0.4 计算多项式乘多项式；完全平方公式分解因式
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 提公因式法分解因式
18 0.85 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；平方差公式分解因式
19 0.85 已知因式分解的结果求参数
20 0.65 已知式子的值，求代数式的值；提公因式法分解因式
21 0.55 通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用；平方差公式分解因式
22 0.65 综合运用公式法分解因式
23 0.65 列代数式；提公因式法分解因式
24 0.69 平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第4章 因式分解单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C A A D C C D
1．C
本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．
解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解；
B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解；
C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解；
D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解．
2．C
首先设原式，进而求出即可．
解：原式
故，，，
解得：，，或，，，
∴．
故选C．
此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．
3．D
根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可．
解：，
故选：D．
本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．
4．C
根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案．
解：
，
∵阴影部分的面积为10，
∴．
∴的值不变．
5．A
本题考查代数式求值，根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
解：∵
∴当时， ．
故选：A．
6．A
根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果．
解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解；
②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解；
③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解；
④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为；
∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个．
7．D
本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式即可．
解：A：∵，，
∴公因式为，故此选项不符合题意；
B：∵，，
∴公因式为，故此选项不符合题意；
C：∵，，
∴公因式为，故此选项不符合题意；
D：∵，，且与无公因式，
∴没有公因式，故此选项符合题意．
故选：D．
8．C
本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案．
解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．C
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得．
解：原式
．
故选：C．
10．D
本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键．
提取公因式后，再用平方差公式分解即可．
解：
原式
∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；
故选：D．
11．
本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值．
解：设另一个因式为，则．
∵，
∴，
，
解得：．
故答案为：3
12．63
本题考查因式分解、代数式求值，通过提取公因式，将原式化为，然后利用已知条件整体代入计算即可．
解：，
∵，
∴
∴原式，
故答案为：63．
13．14
本题考查代数式求值，添括号，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
解：当时，
原式，
故答案为：．
14．
本题考查了完全平方公式因式分解，代数式求值，由，，，可得，则，，，然后代入求值即可，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题的关键．
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：．
15．①
本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可．
解：①是因式分解，符合题意；
②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：①．
16．3
本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解．
解：∵
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
17．(1)
(2)
本题考查提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题的关键；
（1）利用提公因式法分解因式；
（2）利用提公因式法分解因式．
（1）解：
（2）解：
．
18．
本题考查平方差公式的应用及一元一次方程的求解，先利用平方差公式展开方程中的乘积项，简化计算过程，再通过去括号、合并同类项将原方程转化为简单的一元一次方程，最后求解一元一次方程即可得到结果．
解：原方程为，
展开，得：，
去括号，得：，
合并同类项，得：，
移项，得：，
计算得：，
两边同时除以，得：．
19．(1)4
(2)另一个因式为，b值为1
本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系：
（1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案；
（2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可．
（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴另一个因式为，b值为1．
20．（1）；变式题：；（2）
本题考查因式分解，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握提公因式法分解因式．
（1）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题；
变式题：根据将代入求解，即可解题；
（2）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题．
解：（1）．
把，代入上式，
原式．
变式题：，，
，即，
故答案为：．
（2）原式．
把，代入上式，
原式．
21．(1)12
(2)262
(3)32
（1）先根据题中提供的方法，类比计算即可；
（2）设，，求出，，然后结合求出，即可求解；
（3）先确定长方形的长，宽，因此有，设，，则有，，结合求出，即可求解．
（1）解：设，，则，，
∴．
（2）解：设，，则，，，
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：由题意得，长方形的长，宽，则，
设，，则有，，
∵，
∴
∴，或（舍去）．
所以阴影部分的面积为：，
答：阴影部分的面积为32．
22．(1)D
(2)利用完全平方公式及平方差公式变形
(3)
（1）根据题意可得，其方法用了完全平方公式和平方差公式，故其使用的是公式法；
（2）根据题意可得其方法用了完全平方公式和平方差公式，即可进行解答；
（3）将改写为，再利用完全平方公式和平方差公式，即可进行解答．
（1）解：像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法用了完全平方公式和平方差公式，故其使用的是公式法；
故选：D．
（2）解：这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形；
故答案为：利用完全平方公式及平方差公式变形；
（3）解：原式，
本题考查用配方法进行因式分解的能力，完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，熟记完全平方公式，牢记完全平方公式结构特征，并能灵活变形应用是解题的关键．
23．（1）；；；（2）；（3）
本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案；
（2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案；
（3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可．
解：（1）由题意得，，
∴，，
∴；
（2）∵，，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴；
∵
，
∴．
24．(1)
(2)
（1）将多项式加1再减去1，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）将多项式加再减去，利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第4章 因式分解单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则代数式的值为（ ）
A．2025 B． C．2024 D．
6．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
8．已知，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
9．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若多项式有一个因式为，则的值为__________．
12．如果，那么____________．
13．已知代数式的值是，则代数式的值是_______．
14．已知满足，，，则的值为______．
15．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号）
16．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．把下列多项式分解因式：
(1)；
(2)．
18．解方程：
19．仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
(1)若二次三项式可分解为，则______．
(2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
20．（1）已知，，求的值；
变式题本质相同：逆向思维
若实数，满足，，则的值为_______．
（2）已知方程组，求代数式的值．
21．现场学习：
若x满足，求的值．
解：设，，则，，∴．
实践操作：请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)若，求的值；
(3)已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是12，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．
(4)
22．阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：
(1)像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是___________；
A．提公因式法 B．十字相乘法 C．配方法 D．公式法
(2)这种方法的关键是___________；
(3)用上述方法把分解因式．
23．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题：
如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，．
【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”）
【应用】（2）若，，，，求的长度；
【迁移】（3）若，，求的值．
24．对于二次三项式，不能直接运用公式法分解因式．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．过程如下：
．
像这样，先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
请解答下列问题：
(1)用“配方法”分解因式：．
(2)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：．请分解因式：．

展开更多......

收起↑