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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第4章 平行四边形单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C B C C D B A
1．A
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可．
解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意．
2．D
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．
解：∵ 原命题的结论是“”，
∴ 其否定为“”.
故第一步应假设“若，则”，
故选：D．
3．B
本题主要考查了平移的性质，长方形的周长，根据题意可得五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和，五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和，进而可知大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和．
解：根据题意得：把五个小长方形的长和宽分别平移到大长方形的长和宽上，则五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和，
五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和，
∴大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和，
∵五个小长方形的周长之和为50，
∴大长方形的周长为50．
故选：B．
4．C
根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果．
解：∵四边形为平行四边形，且周长为，
∴，，
∵点是的中点，
∴，为的中位线，
∴，
∴的周长．
5．B
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积与平行四边形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，，作交于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，通过，，，，得到，同理可证，即，从而推出答案．
过点作，，作交于点，交于点，如图所示：
四边形是矩形
，，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形
，， ，
，
即
同理可证
故选：B．
6．C
先证明四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．利用平行四边形的性质得出，，．则，即，则，，即可求解．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵是平行四边形的对角线，
∴，
∵是平行四边形的对角线，
∴．
∴，即，
∴，
同理，
即：，，，
综上有3对面积相等的平行四边形．
7．C
本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可．
A、与关于点O成中心对称，
点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意；
B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等，
，故B正确，不符合题意；
C、与不是对应角，
不成立，故C错误，符合题意；
D、与是对应线段，
，故D正确，不符合题意．
故选：C．
8．D
根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
解：如图：
∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴ΔBFG是等边三角形，
∴BF=BG=FG，
∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”，
∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示：
∴∠EBH=60°，
∵，
∴，EH=3，
∴EC=2EH=6，
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴,
故选：D．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．B
分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴且，
又、分别是和的角平分线，
∴，．
又，
∴，
是等腰三角形，即．
同理可证是等腰三角形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
10．A
根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解．
解：由四边形可以分成三角形的个数为；
五边形可以分成三角形的个数为；
六边形可以分成三角形的个数为；
；
∴边形可以分成三角形的个数为；
当，则可以分成三角形的个数为．
11．
根据平行四边形的性质以及角平分线的性质可知的长度，然后根据线段的和差关系即可求解．
解：在 中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
12．
根据题意可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
解：由题意得，解得或（舍去），
则该边形的内角和是：．
13．①②④
证明即可判断①正确；证明可判断②正确；作，证明可判断④正确；用反证法可判断③错误．
解：①∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴．
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴．
∵
，
∴，
∴，故②正确；
④作与点E，则，

∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
③假设正确，则，
∴，
∴，
∴．
作与点F．
∴，
∵，
∴，
∴，
这与矛盾，
∴不正确，故③错误．
故答案为：①②④．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及反证法，正确作出辅助线是解答本题的关键．
14．
利用三角形三边关系求得，再利用三角形中位线定理即可求解．
解：∵在中，，，
∴，即，
又∵是的中位线，
∴，
∴．
15．9.6
首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可．
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，垂直平分，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，解得，
∴，
∴，，
∴．
16．
先由勾股定理求出的长度，再根据旋转性质得到、、，证明是等边三角形；由、，证明垂直平分，最后在直角三角形中利用勾股定理计算的长度．
解：连接，令交于点，
∵在中，，，
∴．
∵绕点顺时针旋转得到，，
∴，，．
∴是等边三角形，
∴．
∵，，
∴点、点都在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴．
在中，
．
在中，
．
∴．
17．（1）见解析；（2）8．
本题考查全等三角形的判定与性质以及多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理和多边形内角和公式．
（1）通过线段的和差关系得到，再结合垂直条件得到直角，利用“”判定两个直角三角形全等，进而证明；
（2）设多边形边数为，根据多边形内角和公式与外角和的关系列方程求解．
（1）证明：∵，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：设这个多边形的边数为，由题意可得：，
∴，
答：这个多边形的边数为8．
18．(1)见解析
(2)见解析
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
（1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论；
（2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立．
（1）证明：，
，
又，
，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
（2）解：假设是等腰直角三角形，
则，
，
由（1）可知：≌，
∴，
，
，
，
不可能是等腰直角三角形．
19．(1)见解析
(2)①，②
（1）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明；
（2）①根据题意可得，，即可解答；
②求得，根据即可解决问题．
（1）证明：、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
；
（2）解：①，平分，
，
由（1）可知，，
，
，
，
；
②，
，
由（1）可知，
．
20．(1)3
(2)
(3)或．
(4)3
（1）过点作，利用平行四边形面积公式求解即可；
（2）由旋转的性质可知，，，分两种情况讨论：①当点在边上时，②当点在边上时，过点作于点，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当时，过点、作的垂线，垂足分别为、，证明，得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解；②当时，过点作的垂线，垂足为，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解；
（4）过点作的垂线，垂足为，证明，即可求解．
（1）解：如图，过点作于点P，
中，，面积为36，
，
，
即点到边的距离为3；
（2）解：由旋转的性质可知，，，
，
①如图，当点在边上时，
由（1）可知，，
在中，；
②如图，当点在边上时，过点作于点，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
长的取值范围为．
（3）解：①当时，如图，过点、作的垂线，垂足分别为、，
由（1）可知，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
；
②当时，如图，过点作的垂线，垂足为，
由（2）可知，，，
由旋转的性质可知，，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，即；
综上可知，的长为或．
（4）解：如图，过点作的垂线，垂足为，
点为的中点，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
（1）以为边作，交于即可；做法不唯一；
（2）连接，交于点，证明，得到，从而可得四边形是平行四边形，再证明，利用勾股定理的逆定理得到，即可证明结论．
（1）解：如图所示：
（2）连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，．
在与中，
．
又，
四边形是平行四边形，
．
，
，
由勾股定理的逆定理得，，
是矩形．
本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，矩形的证明，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．
22．(1)见解析
(2)
（1）先利用旋转的性质和等边三角形的性质判断出是等边三角形即可；
（2）先证明，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长度，即求出的长度，再用勾股定理求出的长度．
（1）证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
为等边三角形，
；
（2）解：由（1）得：为等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：．
23．(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)
本题主要考查了矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质以及等边三角形的性质，证明，然后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可证明结论；
（2）根据勾股定理解得的长度，然后根据矩形的面积公式求解即可．
（1）解：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：平行四边形的面积是．
24．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定，理解题意并证明三角形全等是解决本题的关键．
（1）根据题意可得，由旋转的性质可得，用证，则；
（2）由全等可得，进而根据角的转换可得，进而可得，进而可证明四边形是平行四边形．
（1）证明：∵，且，
∴，，，
∴，
∴，
根据旋转可得，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第4章 平行四边形
单元测试·培优卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.9 中心对称图形的识别
2 0.65 反证法证明中的假设
3 0.85 利用平移的性质求解；多边形的周长
4 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；利用平行四边形的性质求解
5 0.65 平行四边形性质和判定的应用；根据矩形的性质求面积；利用矩形的性质证明
6 0.65 利用平行四边形性质和判定证明
7 0.65 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
8 0.65 其他问题(轴对称综合题)；线段问题(旋转综合题)；等边三角形的判定和性质；利用菱形的性质求线段长
9 0.65 角平分线的有关计算；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解
10 0.65 对角线分成的三角形个数问题
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 角平分线的性质定理；角平分线的有关计算；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解
12 0.85 多边形对角线的条数问题；多边形内角和问题
13 0.65 等腰三角形的性质和判定；用反证法证明命题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
14 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；确定第三边的取值范围
15 0.65 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
16 0.65 根据旋转的性质求解；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 多边形内角和与外角和综合；全等的性质和HL综合（HL）
18 0.65 等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）；用反证法证明命题
19 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半；用勾股定理解三角形
20 0.52 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
21 0.65 尺规作一个角等于已知角；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；判断三边能否构成直角三角形；证明四边形是矩形；利用平行四边形的性质证明；平行四边形性质的其他应用
22 0.57 根据旋转的性质求解；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
23 0.65 证明四边形是矩形；根据矩形的性质与判定求线段长；等边三角形的性质；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；证明四边形是平行四边形2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第4章 平行四边形单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列航天航空企业的标志中是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
4．如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ）
A．16 B．21 C．13 D．18
5．如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，，，、的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B．
C． D．
8．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（ ）
A． B．3 C．1 D．2
9．如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
10．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在 中，已知，，平分交边于点，则等于____
12．若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________．
13．如图，中，，，点D在上，点K在边上，连接、交于点P，连接，，，垂足为T，，那么以下结论：
①；②；③；④；中正确结论的序号是______．

14．如图，在中，，，是的中位线，则的长度范围是______．
15．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____．
16．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的值是_____．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（1）如图，，垂足分别为、求证：；
（2）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，求这个多边形的边数？
18．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)用反证法证明不可能是直角三角形．
19．如图，在四边形中，，，、分别为、的中点，连接、、．
如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接
(1)求证：．
(2)若，平分，，
①求的度数；
②求的长．
20．如图，中，，面积为36．点是边上一动点，连接，点绕点顺时针旋转得到点，连接．点为的中点．
(1)点到边的距离为______．
(2)当点落在内部（不包括边界）时，求长的取值范围．
(3)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
(4)连接，当直线时，直接写出的长．
21．如图，在中，是对角线上一点，连接，．
(1)尺规作图：过点作交于点，连接；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，，求证：四边形是矩形．
22．在某次数学兴趣小组活动中，小明对等边三角形进行了数学探究活动，如图，他在等边三角形内取一个点D．使得，，然后他将绕点A逆时针旋转得到，连接，探究以下问题．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，是等边三角形．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如果，求平行四边形的面积．
24．如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E．
(1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：；
(2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．

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