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2025-2026-2高一年级4月学情检测
数学试卷
(满分150分，考试时间120分钟)
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的)
1.在复平面内，0为原点，向量OA对应的复数为1+2i,若点A关于y轴的对称点为B,
则向量0对应的复数为(，)
A.-2-i
B.-2+i
C.1+2i
D.-1-2i
2.设x,y∈R,向量a-(k,1),b-(1,),c=2,4)且aLcb∥c,则la+b1等于
A.5
B.2V5
C.10
D.10
3.已知复数z=i(3+),则2的虚部为·
A.3
B.3i
C.-3
D.-31
4.已知a,b是两个不共线的向量，设A丽-(a+5b,C-2a+8b,C而-3(a-b),则共线的三
点是(
)
AA,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
5.己知na=V3,则tan(a+)等于(
cosa-sina
A.2W3+1
B.23-1
C③
D.1-3
6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后
到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其南偏东70°方向，在B处观察灯
塔在其北偏东65°方向，那么B,C两点间的距离是()，
A.10V5海里
B.10W2海里
C.20W3海里
D.20W2海里
7.已知△4BC的三边长分别是Va,V万，VE,若a24b2=c2,则△ABC的形状是()
A.锐角三角形
B直角三角形
C.钝角三角形
D以上都有可能
高一数学第1页共4页
心2出本)强答演，四
8如图所示，半圆的直径4B-4,0为圆心，C是半圆上不同于4，B的任
意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PB)PC的最小值是(，)
A.2
B.0
C.-1
D.-2
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个
中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9已知集合M=(mm=i”,n∈N,其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(
A.(1-i01+i)
B品
c
D.(1-i)2
10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是
A.若A>B,则sinA>sinB
1e0m:西(62)a
B.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解
管4(
C.若△ABC为钝角三角形，则a2+b20-2表(5
D.若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为V3
11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(
A若AMAB+AC,则点M是△ABC的重心
B.若AM=2AEAC,则点M在边BC的延长线上
C.若2AM=xAB+yAC,且x+y=1,则△MBC的面积是△ABC面积的
.已知平面向量满足M:M丽-MMC,丽-（隔+），且点M与点A不重老
△ABC为等腰三角形
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在题中的横线上）
12.如果1-2i是关于x的实系数方程+p+g0的一个根，其中i是虚数单位，则
pq=_
13.己知向量a,b满足b5,a+b4,a-b外6，则向量a在向量b上的投影向量为
14.已知函数f-2-2,若a)=6(a),则a+b的取值范围是
高一数学第2页共4页2025-2026-2 高一年级 3 月学情检测
数学试卷
（时间：120 分钟 满分：150 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C C C A B B A D BC ABD ACD
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1.在复平面内，O 为原点，向量 对应的复数为-1+2i，若点 A 关于 y 轴的对称点为 B，则
向量 对应的复数为( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1-2i
答案 C
解析 由题意知点 A 的坐标为(-1，2)，
∵A(-1，2)关于 y 轴的对称点为 B(1，2)，
∴向量 对应的复数为 1+2i.
2.设 x，y∈R，向量 a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)且 a⊥c，b∥c，则|a+b|等于( )
A.5 B.2 C. D.10
答案 C
解析 因为向量 a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)且 a⊥c，b∥c，
所以 2x-4=0 x=2，1×(-4)-2y=0 y=-2，
从而 a+b=(2，1)+(1，-2)=(3，-1)，
因此|a+b|= =
3．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，则 的虚部为 .
4.已知 a，b 是两个不共线的向量，设 = (a+5b)， =-2a+8b， =3(a-b)，则共线的
三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
答案 A
解析 ∵ = + =a+5b，
∴ = ，又∵ ， 有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线.
5.已知 则 tan 等于( )
A.2 +1 B.2 -1
C. D.1-
答案 B
解析 因为
所以 tan α=1-
所以 tan =2 -1.
6.一海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到
达 B 处.在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔在其南偏东 70°方向，在 B 处观察灯塔在
其北偏东 65°方向，那么 B，C 两点间的距离是( )
A.10 海里 B.10 海里
C.20 海里 D.20 海里
答案 B
解析 根据已知条件可知，在△ABC 中，AB=20 海里，∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以 C=45
°，由正弦定理，得 = ，
所以 BC= =10 (海里).
7.已知△ABC 的三边长分别是 ， ， ，若 a2+b2=c2，则△ABC 的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上都有可能
答案 A
解析 由 a2+b2=c2，可知 c>a 且 c>b，
则在△ABC 中，边 所对的角为最大角，其余弦值为 = ，
又∵a2+b2=c2，∴(a+b)2=c2+2ab>c2，
∴a+b>c，故边 对应的角为锐角.
∴△ABC 为锐角三角形.
8.如图所示，半圆的直径 AB=4，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A，B 的任意一点，若 P 为半
径 OC 上的动点，则( + · 的最小值是( )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
答案 D
解析 由平行四边形法则得 + =2 ，故( + · =2 · ，| |=2-| |，且
， 方 向 相 反 ， 设 | |=t(0≤t≤2)， 则 ( + · =2 · =-2t
(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].因为 0≤t≤2，所以当 t=1 时，( + · 取得最小值，最小值为
-2.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对的得 6 分，部分选对的得
部分分，有选错的得 0 分)
9.已知集合 M={m|m=in，n∈N*}，其中 i 为虚数单位，则下列元素属于集合 M 的是( )
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
答案 BC
解析 根据题意，M={m|m=in，n∈N*}，
当 n=4k(k∈N*)时，in=1；
当 n=4k+1(k∈N)时，in=i；
当 n=4k+2(k∈N)时，in=-1；
当 n=4k+3(k∈N)时，in=-i，
∴M={-1，1，i，-i}.
选项 A 中，(1-i)(1+i)=2 M；
选项 B 中， = =-i∈M；
选项 C 中， = =i∈M；
选项 D 中，(1-i)2=-2i M.
10.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是( )
A.若 A>B，则 sin A>sin B
B.若 A=30°，b=4，a=3，则△ABC 有两解
C.若△ABC 为钝角三角形，则 a2+b2D.若 A=60°，a=2，则△ABC 面积的最大值为
答案 ABD
解析 对于 A 选项，若 A>B，则 a>b，由正弦定理可得 = ，所以 sin A>sin B，故 A
正确；
对于 B 选项，bsin A=4sin 30°=2，则 bsin A对于 C 选项，当△ABC 为钝角三角形，且 C 为钝角时，cos C= <0，可得 a2+b2若 C 不为钝角，则得不到 a2+b2对于 D 选项，由余弦定理与基本不等式可得 4=a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，即
bc≤4，当且仅当 b=c=2 时，等号成立，所以 S△ABC= bcsin A= bc≤ ，故 D 正确.
11.设点 M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法中正确的是( )
A.若 = + ，则点 M 是△ABC 的重心
B.若 =2 - ，则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若 2 =x +y ，且 x+y=1，则△MBC 的面积是△ABC 面积的
D.已知平面向量，满足 · = · ， =λ ，且点 M 与点 A 不重合，
则△ABC 为等腰三角形
答案 ACD
解析 对于 A，如图，设 BC 的中点为 D，若 = + = + = ×2 =
，则点 M 是△ABC 的重心，故 A 正确；
对于 B，若 =2 - ，即有 - = - ，即 = ，则点 M 在边 CB 的延长
线上，故 B 错误；
对于 C，如图，若 2 =x +y ，且 x+y=1，
由图可得 M 为 AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的 ，故 C 正确；
对于 D，因为 · = · ，所以 · = · ，
即 · = · ，
所以 ·cos∠BAM
= cos∠CAM，
因为 =λ ，所以点 M 在∠BAC 的角平分线上，所以∠BAM=∠CAM，
所以 cos∠BAM=cos∠CAM，
所以| |=| |，所以△ABC 为等腰三角形，
故 D 正确.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12.如 果 1-2i 是 关 于 x 的 实 系 数 方 程 x2+px+q=0 的 一 个 根 ， 其 中 i 是 虚 数 单 位 ， 则
pq= .
答案 -10
解析 因为 1-2i 是关于 x 的实系数方程 x2+px+q=0 的一个根，
所以(1-2i)2+p(1-2i)+q=0，
即 p+q-3-(2p+4)i=0，
所以 解得
所以 pq=-10.
13.已知向量 a，b 满足|b|=5，|a+b|=4，|a-b|=6，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为 .
答案 - b
解析 由题意可得(a+b)2=16，(a-b)2=36，
即 a2+b2+2a·b=16，a2+b2-2a·b=36，
两式相减可得 a·b=-5，又|b|=5，
得|a|cos〈a，b〉=-1，
则向量 a 在向量 b 上的投影向量为|a|cos〈a，b〉· =-1× b=- b.
14.已知函数 f(x)=|2x-2|,若 f(a)=f(b)(a≠b),则 a+b 的取值范围是 . 4.(－∞，2) [画出函数 f(x)的大致图象，不妨设 a由图象可知，a<1，b>1，
∴2b－2＝－(2a－2)，
∴2a＋2b＝4，
又∵2a＋2b>22a·2b＝22a＋b，
∴22a＋b<4，解得 a＋b<2，
∴a＋b 的取值范围是(－∞，2).
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13 分)已知 m∈R，复数 z=(m-2)+(m2-9)i.
(1)若 z 在复平面内对应的点在第一象限，求 m 的取值范围；
(2)若 z 的共轭复数 与复数 +5i 相等，求 m 的值.
解 (1)由题意得 解得 m>3，
所以 m 的取值范围是{m|m>3}.
(2)因为 z=(m-2)+(m2-9)i，
所以 =(m-2)+(9-m2)i，
因为 与复数 +5i 相等，
所以 解得 m=-2.
16.(15 分)已知- (1)求 的值 (2)求 sin x-cos x 的值.
解 (1)∵sin x+cos x=
∴1+2sin xcos x= 即 sin xcos x=-
∴
= =sin xcos x=- .
(2)由(1)知 sin xcos x=- <0，又- ∴cos x>0，sin x<0，
∴sin x-cos x=-
=- =- .
17.(15 分)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin C= cos B，a2
+b2-c2= ab.
(1)求 B； (2)若△ABC 的面积为 3+ ，求 c 边长。
解 (1)由余弦定理有 a2+b2-c2=2abcos C，
因为 a2+b2-c2= ab，
所以 cos C= ，
因为 C∈(0，π)，所以 sin C>0，
从而 sin C= = = ，
又因为 sin C= cos B，
即 cos B= ，
又 B∈(0，π)，所以 B= .
(2)由(1)可得 B= ，cos C= ，C∈(0，π)，
从而 C= ，sin A=sin(B+C)=sin
= × + × = .
方法一 由正弦定理有 = ，
从而 b= · c= c，
由三角形面积公式可知，
△ABC 的面积可表示为 S△ABC= bc·sin A
= · c·c· = c2，
由已知△ABC 的面积为 3+ ，
可得 c2=3+ ，所以 c=2 .
方法二 记 R 为△ABC 外接圆的半径，
由正弦定理得
S△ABC= ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C
=2R2· · ·
= ·R2=3+ .
所以 R=2.
所以 c=2R·sin C=2×2× =2 .
18.(17 分)已知向量 a= ，b= ，x∈ .
(1)求 a·b 及|a+b|；
(2)若 f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是- ，求λ的值
解 (1)a·b=cos cos -sin sin
=cos 2x，
|a+b|=
=
= =2 ，
因为 x∈ ，所以 cos x≥0，
所以|a+b|=2cos x.
(2)由(1)可得 f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x，
即 f(x)=2cos2x-1-4λcos x
=2(cos x-λ)2-1-2λ2.
因为 x∈ ，所以 0≤cos x≤1.
①当λ<0 时，当且仅当 cos x=0 时，
f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾；
②当 0≤λ≤1 时，当且仅当 cos x=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2，
由已知得-1-2λ2=- ，解得λ= ；
③当λ>1 时，当且仅当 cos x=1 时，f(x)取得最小值 1-4λ，
由已知得 1-4λ=- ，解得λ= ，这与λ>1 相矛盾.
综上所述，λ= .
19.(17 分)如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，且 =3 . 过 D 点的直线 EF 与
直线 AB 相交于 E 点，与直线 AC 相交于 F 点（E，F 两点不重合）.
(1)用 , 分别表示 ;
(2)如果 = ， = ，求λ+3μ的最小值.
解 (1)由 = ，
可得 = + .
(2) = + = +
由 D，E，F 共线，可知
由柯西不等式，
所以 的最小值为 4.

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