资源简介

浙江省湖州、衢州、丽水2026年4月三地市高三教学质量检测数学试卷
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.考生答题前,务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.
4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={1,2,3}, N={2,3,4,5},则
A. M∪N={1,4} B. M∩N={2,3}
C. M N D. N M
2.函数f(x)=tan2x的最小正周期是
A. π/4 B. π/2 C. π D. 2π
3.已知正方体ABCD-A B C D , E为棱 AB 的中点,则下列与直线BD 不互为异面直线的是
A. 直线DE B. 直线A E C. 直线A C D. 直线AA
4.已知复数 (i为虚数单位)，则
A. - i B. i C. 1 D. - 1
5.已知三组数据: ①4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6;②3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7;③2, 2, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 8的方差分别是 则
A. B.
C. D.
6.如图，已知正三角形ABC的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切，若点P是圆B上的动点，则 的最大值是
A. B.
C. 4 D.
7.已知O为坐标原点，点Q(0，3)，动点A、B在抛物线C： 上,满足OA⊥OB .若点O关于直线
AB 的对称点为P，则|PQ|的最大值是
A. B. 9 C. D. 8
8.已知函数f(x)的定义域为D，对于任意给定n∈N* ，都存在 使得 则称函数f(x)为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是
A. f(x)=x B. f(x)= x
C. D. f(x)= lnx
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知等比数列{an}的公比为q， 若 则下列说法正确的有
A. q=2 B.
C. D.
10.已知连续型随机变量Y服从正态分布N(2,2 ),记函数f(x)=P(x≤Y≤x+2),g(x)=P(Y≥x),则(注：若 则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95)
A. f(2)≈0.34 B. g(0)=0.5
C. f(x)的图象关于直线x=1对称 D. g(x)的图象关于点（1，）对称
11.已知定义在R 的函数y=f(x)和y=g(x)均为奇函数,且满足函数y=f(x+1)-1是奇函数,函数y=g(x+1)-x是偶函数.若当x∈[0,1]时, 则
B. 对任意n∈N°, f(n)=g(n)=n
C. f(x)=g(x)当且仅当x∈[4k-1,4k+1], k∈Z D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆 的离心率为 ▲ .
13.已知函数 则函数f(x)的单调递增区间是 ▲ .
14.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为r ，碗内放了三颗汤圆(视为半径均为r 的球).三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.
若汤圆与碗口等高，则
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC, △ABC和△PAB都是边长为1的正三角形.
(1)证明: PC⊥AB;
(2)若 求直线PE与平面PBC 所成角的正弦值.
16. (15分)
已知函数
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(-1, f(-1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)有极小值，且极小值大于0，求实数a的取值范围.(其中e≈2.71828是自然对数的底数)
17. (15分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C. 已知
(1)求cosB的值;
(2)若△ABC的面积为 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，并求边长a的值.
条件①: b=5;条件 ②: sinA-sinC=1;条件 ③:
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。
18. (17分)
设A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点.
(1)求轨迹W的方程；
(2)过点F(4，0)的动直线l 与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线x=1交于点C. 过点F作直线l ∥OC,直线l 与直线OP, OQ分别交于点D, E.
(i)证明: 为定值；(ii)若△EFQ的面积与△OPQ的面积之比为 ，求点Q的坐标.
19. (17分)
现有质地均匀的150种不同的铜币 , , ,…, 的数量分别为是 共计2026枚，即
(1)甲乙两人选择1枚铜币，进行抛币游戏，已知每次抛出铜币，出现正面向上和反面向上的概率均为 .游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷.
现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为P(n).例如：当n=2时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时
(1) (i) 计算P(3), P(4), P(5), P(6)的值;
(ii) 记 求 Sn;
(2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币 ， ， ，…， 的数量如何分布时，随机变量X的期望E(X)取到最大值，并说明理由.
湖州、衢州、丽水2026年4月三地市高三教学质量检测
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 l 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A D B C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 ABC AC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC, △ABC和△PAB都是边长为1的正三角形.
(1)证明: PC⊥AB;
(2)若 求直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
解:(1)取AB中点O……………………………………2分
PA=PB, O是AB的中点,所以AB⊥PO
又CA=CB, O是AB的中点,所以AB⊥CO.
又CO∩PO=O……………………………………………………4分
AB⊥平面POC,直线PC 平面POC所以PC⊥AB……………5分
(2)因为平面PAB⊥平面ABC,且平面PAB∩平面ABC=AB且AB⊥PO,可得PO⊥平面ABC.
如图，以O为原点，射线OA，OC，OP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.则O(0,0,0), A( ,0,0), B(- ,0,0), C(0, ,0), P(0,0, ). 8分
则
设平面PBC 的法向量为
由 得
解得 即 10分
由 得 所以又
设PE与平面PBC所成角为θ，则
因此直线PE与平面PBC所成角的正弦值是 ………………………………13分
16. (15分)
已知函数
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(-1, f(-1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)有极小值，且极小值大于0，求实数a的取值范围.(其中e≈2.71828是自然对数的底数)
解: (1)当a=1时,则 故 2分
故f'(-1)=1-e, f(-1)=e-2, ………4分
因此所求切线方程y-(e-2)=(1-e)(x+1)即y=(1-e)x-1 分
(2)由题意定义域为R, 7分
(i)若a≤0,则f'(x)≤0恒成立,
可知f(x)在R上递减，无极值，不合题意； 9分
(ii)若a＞0,令f′ (x)＞0,解得x＞-lna;令f′ (x)＜0,解得x＜-lna;
可知f(x)在(-∞,-lna)递减,在(-lna,+∞)内单调递增,
则f(x)有极小值. 无极大值， 12分
所以 即
令 则 可知g(a)在(0,+∞)内单调递增,且g(1)=0,不等式 等价于g(a)＜g(1),解得0＜a＜1,
所以实数a取值范围为
(0，1). …15分
17. (15分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C. 已知
(1)求cosB的值;
(2)若△ABC的面积为 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，并求边长a的值.
条件①: b=5; 条件②: sinA-sinC=1; 条件③:
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解：(1)由余弦定理得得 2分
整理得14acosB=11·ccosB+11·bcosC,由正弦定理得
14sinAcosB=11sinCcosB+11·sinBcosC=11sin(B+C)=11sinA 4分
因为sinA≠0,所以 6分
(2)若选择条件①.
由(1)可知, 8分
由 得ac=21 (*) 10分
又由余弦定理得 12分
解得 (**)
由(*)(**)式得a=7,c=3,或者a=3,c=7.
因此所求a的值是a=7或者a=3 5分
若选择条件③.
由(1)可知, 8分
又 10分
所以a:B. c=sinA:sinB:sinC=3:5:7,故 12分
所以
化简得 得a=3
因此所求a的值是3…………………………………………………………………15分
18. (17分)
设A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点.
(1)求轨迹W的方程；
(2)过点F(4，0)的动直线l 与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线x=1交于点C. 过点F作直线l ∥OC,直线l 与直线OP, OQ分别交于点D, E.
(i)证明: 为定值；(ii)若△EFQ的面积与△OPQ的面积之比为 求点Q的坐标.
解: (1)设动点为M(x,y). 1分
则由直线AM，BM斜率之积为3，得 …………4分
整理可得
因此轨迹W的方程为 5分
(2) (i)设直线l 的方程为x= ty+4, P(x ,y ), Q(x ,y ),则
直线l 的方程为 直线OP 的方程为
由 解得 10分
同理解得
故
因此 即点F是线段DE的中点，因此 为定值 12分
(ii)不妨假设点P在第二象限，点Q在第一象限，此时
得
得 即 解得 或 (舍去),
因此 代入双曲线得
由对称性可得当点Q在第四象限时，
因此点Q的坐标为 17分
方法二：由题意
利用OC∥DE结合 可得
不妨设 则
得
得
因此 得
解得 (负值舍去). 15分
故 因此 代入双曲线方程得
因此点Q的坐标为 17分
方法三：不妨设
因为利用OC∥DE 结合|DF|=|EF|,得
由 得 化简得
解得n=4m.因此 15分
故 因此 代入双曲线方程得
因此点Q的坐标为 17分
19. (17分)
现有150种不同质地的铜币◎ ,◎ , …,◎ 的数量分别为是 合计2026枚，即
(1)甲乙两人选择1枚铜币◎，进行抛币游戏，已知每次抛出铜币◎，出现正面向上和反面向上的概率均为 .游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷.
现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为P(n).例如：当n=2时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时
(1)(i)计算P(3), P(4), P(5), P(6)的值;
(ii)记 求 Sn;
(2)丙从这2026枚铜币中不放回地取出150枚，记取出的这些铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币◎ ，◎ ，…，◎ 的数量如何分布时，随机变量X的期望E(X)取到最大值，并说明理由.
解：
4分
(ii)分为两种情况：
①第一种情况：甲得 2分，乙得0分.此时由乙得0分可知：“反面向上”是成对出现的，所以n必须为偶数，设 n=2k(k∈N°)..此时第2k次是“正”，前2k-1次可以看成k-1组“反+反”与1次“正”的组合，共k种情况，则
②第二种情况：甲得2分，乙得 1分.此时最后一次是“正”，乙得 1分必须有“反+正+反”的组合，若干“反+反”组合，还有1次“正”，所以n必须是奇数，设n=2k+1(k≥2,k∈N°).此时前2k次可看成1次“正”，1次“反+正+反”，k-2组“反+反”的组合，共 种，
则 且P(1)=p(3)=0;
8分(猜出答案得2分，有分析的过程得4分)
故
故 - 12 分
(2) 记150种不同质地的铜币◎ , ◎ , …, ◎150数量为n ,n ,n 50,
故
只需求 的最小值即可，记 14分
铜币 1 2 3 … 150 备注
数量 n n n …
调整 n
由 得
令 可知 单调递减，而 即
故 : 15分
综上：只要n ，n …，n 50中有两个数之差大于等于2，一定能找到 使得 故n ,n …,n 50任意两数之差不超过 1. 16分
考虑22026=150×13+76,
故2026个不同种类铜币中分布：其中76种铜币各有14枚，74种铜币各有13枚时，E(X)最大，此时 17分

展开更多......

收起↑